こんにちは！ぺーたーだよ。
相似の単元では、
相似条件とか、
相似の証明とか、いろいろ勉強してきたね。
今日は ちょっと新しい、
平行線と線分の比のから辺の長さを求める問題
について解説していくよ。
たとえば、つぎのような問題ね↓
平行線とか線分がたくさんあって、ちょっと難しそうだね。
だけど、慣れちゃえば簡単。
「これはできるぜ！」っていうレベルになっておこう。
次の段階に分けて説明してくね。
目次
問題をとく前に、
平行線と線分の比の性質を思い出そう。
3つの平行な直線（l・m・n）
と
2つの直線が交わる場面をイメージしてね。
このとき、
AP:PB=CQ:QD
が成り立つんだ。
つまり、
平行線にはさまれた、
向かいあう線分の長さの比が等しい
ってわけね。
これさえおさえておけば大丈夫。
平行線と線分の比の問題もイチコロさ！
さっそく、平行線と線分の比の問題を解いてみようか。
この手の問題は3ステップでとけちゃうよ。
平行線と線分の比がつかえる線分を見極めよう！
平行線にはさまれた線分のセット
をさがせばいいってわけね。
練習問題でいうと、
で平行線と線分の比がつかえそうだ。
なぜなら、こいつらは、
3本の平行線（l・m・n）にはされまれてるからさ。
あきらかに3本の平行線に囲まれてる。
平行線と線分の比の性質で比例式をつくってみよう。
平行線と線分の比の性質は、
2つの直線が、3つの平行な直線と交わるときAP:PB=CQ:QD
だったね？？
だから、練習問題でいうと、
AP : PB = CQ : DQ
2 : 4 = x : 6
っていう比例式ができるはず！
つぎは、比例式をといてみよう。
練習問題でつくった比例式は、
2 : 4 = x : 6
だったよね？？
比例式の解き方の「内項の積・外項の積」で解いてやると、
2 : 4 = x : 6
4x = 2×6
4x = 12
x = 3
になるね。
つまり、
求めたかったCQの長さは「3 cm」ってこと。
やったね！
平行線と線分の比の性質もだいたいわかったね。
あとは練習問題でなれてみよう。
今日はテストにでやすい問題を2つ用意したよ。
平行線と線分の比の問題になれてみようぜ。
l//m// nのとき、xの大きさを求めなさい。
この手の問題は、
AB : BC = AD : DE
という平行線と線分の比をつかえば一発さ。
これは、△ABDと△ACEが相似だから、
対応する辺の比が等しいことをつかってるね。
えっ。
なんで相似なのかって？？
それは、同位角が等しいから、
がいえるからなんだ。
三角形の相似条件の、
2組の角がそれぞれ等しい
がつかえるし。
さっそく、この比例式をといてやると、
AB : BC = AD : DE
x : 15 = 4 : 6
x = 10
になるね。
ってことは、ABの長さは、
10cm
になるってこと！
l//m// nのとき、xの大きさを求めなさい。
今度は直線がクロスしている問題だ。
対応する部分に色を付けるとこうなるよ。
なぜなら、これもさっきと同じで、
△ABDと△EBCの相似をつかってるから使えるんだ。
l・m・nがぜーんぶ平行だから、
錯角が等しいことがつかえるね。
だから、
2組の角がそれぞれ等しい
っていう三角形の相似条件がつかえる。
比例式をといてやると、
AB : BE = DB : BC
10 : 4 = x : 2
4x = 20
x = 5
になるね。
平行線と線分の比の問題は、
対応する辺の比をいかにみつけるか
がポイント。
最後の最後に練習問題を1つ！
練習問題
l//m// nのとき、xの大きさを求めなさい。
どう？とけたかな？？
解答はここをみてみてね。
それじゃあ、また。
ぺーたー
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
三角形の角の二等分線の定理の証明
に出会いました。
AB：AC = BD：DC であることを証明しなさい。
証明なんか、嫌いだ！
何で？
文章書くのむずい。。
確かに。
でも、数学の証明もやっぱり数学なんだ。
へっ？
どこが？
うーん、
スタートとゴールが明確なとこかな。
例えば計算問題だと？
問題を解くと、
答えにたどり着くってこと？
そう、証明も同じ。
証明すること
を見つけるのがスタートで、
証明できたらゴール！
ってこと。
道のり長そう……
ま、ってわけで。
二等分線の定理の証明のついでに、
証明にもなれちゃうおう。
この定理は知っておくと後々便利だよ。
……って言われても。。
三角形の二等分線の定理の証明は、
の5ステップだよ。
へー！
5つでいいんだね。
そうそう！
あっというまだよ！
それじゃあいくよー！
以下の図で∠BAD＝∠CADのとき、
AB：AC = BD：DC であることを証明しなさい。
証明のために補助線をひこう！
証明の種をみつけるんだ。
えっと・・・・
補助線ってなに？？
問題を解くのを
助けてくれる線だよ！
誰かが引いてくれるわけじゃないのかな……
そう！
残念ながら、
自分でひかなきゃいけないんだよね。。
ひー
今回ひく補助線は2本！
まず、ADをのばしまくる。
ほい！
もう一本は、
ABと平行で、
Cを通る直線をひくんだ。
この直線
と
ADの延長線との交点
をEとしよう。
かけた！
書いた前後の変化を考えてみよう！
んー……、
あっ！三角形が増えてる！
そうだね。
いいところに気づいた！
増えた三角形
と
元の三角形
を見比べると……？
んー……、あっ！
相似な図形をみつけてみて！
△ABDと△ECDかな？？
いいね！
覚えた相似条件と照らし合わせてみよう！
そ、相似条件…（遠い目）
ってなる人のために、
ちゃんと用意しといたよ！
さすがは先生！
生徒のこと分かってる！！
できれば3秒で覚えてほしいけど、
慣れるまで書いておぼえてね。
えっと、この場合は……
注目ポイントは、
平行線！
あっ！
錯角だ！！
そうだね。
錯角が等しいから、
だね。
ってことは、
相似条件の3つめの、
2組の角がそれぞれ等しい
を使えばいいんだ！
そう！その調子！
△ABDと△ECDが相似
ってわかったから……
AB : CE = BD : DC・・・(1)
だ！！
そうそう！
つぎは、
二等辺三角形をさがしてみて！
にとうへんさんかくけい？？
二等辺三角形になるための条件はおぼえてるー？
あ、
底角が等しくなる
じゃなかったっけ！？
お、それもあるね！
じゃあその条件つかおう。
二等辺三角形みつけられるかな？？
あ！
∠CAE＝∠CEAだから、
△ACEは二等辺三角形だ！！
ってことは、
AC = CE ・・・ (2)
になる。
お、いいねー！
(1)と(2)から何が言える？？
AB : EC = BD : DC・・・(1)
AC = CE ・・・ (2)
だから、、
あ。
AB : AC = BD : DC
ってことか！
そう！
これで証明したいことが見つけられたね！
やったー！
これで……
終わらないよ。
これから証明書くからね！
ひょええええええええ
つぎは証明をかくよ。
いよいよね。
ういっす……
手順は簡単！
って感じだよ！
書けそうなとこからで大丈夫！
CからABに平行に引いた直線と、
ADとの交点をEとします。
△ABDと△ECDにおいて、
錯角が等しいので、
∠ABD＝∠ECD…①
∠BAD＝∠CED…②
①，②より、
対応する2つの角が等しいので、
△ABD∽△ECD
また、相似な図形では、
対応する辺の比が等しいので、
BD：DC＝AB：CE
△ACEは二等辺三角形なので、
AC=CE
よって、
BD：DC＝AB：AC
できた！！
どう？？
おー！
やるじゃーーん
今までのことを書いた
って感じかも！！
いいね。
自分で見つけたことを証明に書けばいいの。
証明は準備ができれば、
難しいってわけではないんだ。
証明マスターになった気がする
そう、その調子！！
挑戦してるうちに慣れてくるよ。
おつかれさま！
三角形の角の二等分線の定理の証明は、
の5ステップだったね？？
難しいけど、
何度も挑戦してみようかな。
そう！その意気だよ！
うっす！
どーも、ぺーたーだよ。
図形と相似の単元で、
中点連結定理
を勉強していくよね。
えっ、忘れたって！？
中点連結定理を簡単にいってやると、
三角形の2辺の中点を通る線が、
底辺に平行で、
なおかつ、
底辺の半分になってるよー
っていう定理なんだ。
けっこう便利なんだけど、
なんでそうなるの？
って思ったことはないかな？
思ったことがなくても、
中点連結定理を使えれば大丈夫なんだけどねw
ってことで、今日は、
なんで中点連結定理が使えるか？？
を証明していくよ！
さっそく中点連結定理を証明していくよ。
3ステップで証明できちゃうんだ。
中点連結定理を証明するために、
つぎの、
△ADEと△ABC
を思い浮かべてみて。
DとEはそれぞれ、ABとACの中点ね。
中点連結定理の証明のゴールは、
を証明することだよ。
さっそく証明していこう！
まずは△ADEと△ABCの相似の証明だ。
D・Eはそれぞれの中点だから、
だよね？？
ってことは、比であらわすと、
になるはずなんだ。
ADとDBの比を合わせると、
AD:AB=1:2…①
ACの比も同じ考え方でAEとECの比を合わせると、
AE:AC=1:2…②
になるね。
んで、
△ADEと△ABCは角Aを共有してるよね？？
ってことで、
角DAE = 角BAC （共通）…③
だ。
①、②、③より、三角形の相似条件の、
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいが使えるから、
△ADE∽△ABC
になるね。
これで相似の証明はできた！
三角形の相似比を求めてみよう。
①のAD:AB=1:2より、
△ADEと△ABCの相似比は1：2になるよ。
なぜなら、
ADとABは対応してる辺どうしだからね。
つまり、
△ADEと△ABCの対応する辺の比は全て、
1：2になるはずなんだ。
ってことは、残りの対応する辺の、
DEとBCの相似比も1:2になるね。
DE:BC=1:2
こいつを別の言い方をすると、
DE=1/2BC
ともできるよね。
これでDEがBCの半分になるってことはわかったね！
あとは、
DEとBCが平行であること
を証明していこう。
これで中点連結定理の証明が完了するね。
平行の証明には、
同位角が等しいこと
をつかっていくよ。
△ADE∽△ABCだから、相似の図形の性質をつかうと、
対応する角はすべて等しいはずだね。
ってことは、
角ADE = 角ABC
がいえちゃうんだ。
こいつらは、どうみても同位角。
同位角が等しいから、
同位角をつくってるDEとBCは平行
ってことがいえるんだ。
ってことで、
DE // BC
になるよ。
ここまでの3つのステップから、
DE//BC
DE=1/2BC
であることが言えるんだ。
おめでとう！
中点連結定理を証明できたね！！
ここまでで、中点連結定理は証明できたね？？
べつに証明はできなくてもいいけど、
なぜ、中点連結定理がつかえるのか？？
ということは、ふんわりでもいいから頭の片隅においておいてね。
じゃ、またね！
ぺーたー
こんにちは！ぺーたーだよ。
相似の単元の勉強はどうかな？？
相似の証明問題だったり、
相似比を求める問題が出たり
あれこれ大変だね。
今日はもう1つ新しい、
相似比をつかった体積の比の求め方
を解説するよ！
ついでに表面積の比の出し方も説明するから、
セットで覚えてあげよう。
相似比から体積比をだすときは、
つぎの公式をつかってみよう。
それは、
相似比の3乗が体積比になるよ
っていう公式だ。
くわしくいうと、
2つの相似な立体があって、相似比がn:mのとき、
2つの立体の体積比は、
n^3 : m^3
になるってこと。
この公式で練習問題をといてみよう。
練習問題
次の円錐は相似の関係です。
体積比と表面積の比を求めてください。
この体積比の問題は、2ステップでとけちゃうんだ。
立体の体積比を求めるには、
相似比
が必要なんだ。
練習問題をみてみると、
2つの円錐は相似である
ってかいてあるね。
わざわざ相似を証明する必要ないからうれしい！
さっそく相似比を求めてみよう。
対応する辺を「半径」として、相似比をもとめてみてね。
2つの円錐の底面の半径はそれぞれ、
だったよね？？
ってことは、こいつらの相似比は、
2: 4
= 1: 2
になるんだ。
相似比が出たら、
体積比はとっても簡単！
体積比の公式の、
相似比を3乗してやると体積の比になる
を使えばいいのさ。
練習問題でも体積比の公式をつかっていこう。
相似比は1：2っていうことがわかったね。
体積比はその相似比を3乗した、
1^3：2^3
= 1 : 8
になるね。
ってことで、
この2つの立体の体積比は「1 : 8」。
やったね！
えっ。
体積比は何の役にたつのかって？？
じつは、体積比がわかると、
「ある立体の体積」から「べつの立体の体積」が計算できちゃうんだ。
たとえば、さっきの練習問題で、
円錐Bの体積が80 [cm^3]だったとしよう。
この2つの立体の体積比は、
1: 8だったよね？？
ってことは、
「円錐Aの体積」は「円錐Bの体積」の8分の1。
ってことは、円錐Aの体積は、
（円錐Bの体積）×1/8
= 10 [ cm^3 ]
になるんだ。
ね？？
体積比をつかうと立体の体積がわかっちゃうんだ！
相似比から体積比が求められたね！
おめでとう・・・・・・！！
っていうのはまだはやい。
じつは、練習問題の最後に、
表面積の比も求めなさい
ってかいてあるじゃん？
せっかくだから、表面積の比も相似比から計算してみよう。
ずばり、表面積の比の求め方は、
面積比の求め方といっしょ。
つまり、
相似比の2乗の比になってるのよ。
相似比が1:2の「円錐A・Bの表面積の比」は、
1^2 : 2^2
= 1 : 4
になるわけね。
もし、円錐Bの表面積が40 [cm^2]だったら、
円錐Aの表面積は10 [cm^2]
になるわけだね。
おめでとう！
相似比から表面積の比も求められたね！
体積の比も、表面積の比も公式を覚えちゃえば楽勝。
しっかり公式を覚えてあげようね。
問題をときまくって段々なれていこう！
じゃあ、またね
ぺーたー
どーも、ぺーたーだよ。
中点連結定理をつかった証明問題はたくさん、ある。
なかでもよくでてくるのは、
平行四辺形であることを証明する問題
だ。
たとえば、つぎみたいな証明問題ね。
このとき四角形EFGHが平行四辺形になることを証明しなさい。
みんなけっこう難しいって
思ってるんじゃないかな？
今回はどうやって、
中点連結定理で平行四辺形を証明するのか
を3ステップで証明していくよ。
さっそく証明問題をといていくよ。
四角形ABCDの4辺AB、BC、CD、DAのそれぞれの中点をE、F、G、Hとする。
このとき四角形EFGHが平行四辺形になることを証明しなさい。
証明を始める前に1つだけやることがあるんだ。
それは、
対角線を1本かいてあげること！
そうするとこうなるね ↓↓
今回は、対角線BDをひいたけど、ACでも同じだからね。
対角線を引いたら、いくつか三角形が見えてくるよね？
練習問題でいうと、
の4つだね。
平行四辺形を証明するために
2組の三角形に分けてみてみよう。
まずは△AEHと△ABDに注目してみて。
EとHはそれぞれ、
辺ABと辺ADの中点だよね？？
ってことは、中点連結定理をつかうと、
EH // BD・・・(1)
EH = 1/2 BD・・・(2)
がいえるんだ。
おなじことを△CGFと△CDBでもやってみよう。
FとGは、辺BGと辺DCの中点。
ってことで、中点連結定理がつかえるから、
FG // BD・・・(3)
FG = 1/2 BD・・・(4)
になるね。
最後は平行四辺形になる条件をつかうよ。
5つの条件を見なくても言えるかな？（。）
くわしくは平行四辺形になるための5つの条件をよんでみてね。
ちなみに、中点連結定理を使って平行四辺形を証明する問題は
1組の対辺が平行で長さが等しい
を使うのがほとんど。
今回もこの条件をつかうよ。
(1)と(3)から、
EH//BD//FGになるね。
つまり、
EH//FG・・・（5）
がいえるわけだね。
また、(2) と (4)から、
EH = FG = 1/2 BD・・・（6）
がいえるね。
EHとFGの両方がBDの半分になってるからさ。
んで、
(5)と(6)より、平行四辺形になる条件の、
1組の対辺が平行で長さが等しい
がつかえるわけだね。
だから、
四角形ABCDは平行四辺形
ってわけ。
おめでとう！
これで証明おしまい！
中点連結定理をつかった平行四辺形の証明はどうだった？？
この問題のポイントは、
対角線の補助線がひけるかどうか
だね。
平行四辺形を証明する問題は数をこなすのが一番！
おぼえるまで何回かといてみてね。
じゃあねー
ぺーたー
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。甘さを極めたね。
相似な図形で最後にでてくるのは、
相似の利用
っていうモンスターだ。
これはおもに、
相似を現実世界でもつかってみよう
というもの。
むちゃくちゃ実践的だから、
相似の証明より100倍ぐらいおもろいよ。
その相似の利用でよくでてくるのが、
縮図の問題
なんだ。
今日はこの問題を解説していくよ。
よかったら参考にしてみてね。
さっそく問題をといてみよう。
つぎの例題をみてみて。
映画「ザ・ウォーク」の主人公にまつわる問題なんだ。
練習問題
とある、むかし。
綱渡りで飯をくってる男が、いた。
野心が強すぎた彼は、ニューヨークの高層ビルに縄をかけて、
綱渡りしたいと思ってたのだ。
そこで、ビルとビルの間の距離を測らなきゃいけない。
縄をはらなきゃいけないからね。
ただ、いま彼がわかっているのは、
自分の現在地から2つのビルまでの距離
と、
角度
だけ。
だ。
彼は縮図をつかって、
ビルの距離をはかることを思いついたのだった。
彼よりもさきに縮図でビル間の距離を計測しなさい。
ただし、400分の1の縮図をつかうこと。
この手の問題は3ステップでとけちゃうよ。
まずは縮図をかこう。
現実世界よりも小さい図をかけってことだね。
練習問題では、400分の1の縮図をつかえっていわれているから、
400分の1にした図をかいてみようか。
まずは、ビルまでの距離の、
をcmの単位になおしてみよう。
1m = 100cmだから、
だよね？？
こいつを400分の1に小さくすると、
になる。
実際に縮図を作図してみよう。
まず男がいる地点を縮図上に点をうつ。
つぎに、適当な方向に13cmの線を、ひく。
これは男からビルAまでの縮図上の距離だね。
つぎは分度器の出番。
分度器で男の点から50°をはかって、
適当に直線をひいてみよう。
そしたら、今度は男からビルBまでの縮図上の距離の、
19.5cm
をはかってあげる。
あとは、ビルとビルの間を線でむすぶだけ。
これで縮図の完成だ！
つぎは、縮図の長さをはかろう。
問題で求めたい長さ
をはかればいいんだ。
練習問題では、
ビルAとビルBの距離
だったよね？？
縮図上で、2つのビルの距離をはかってみると、
うわっ！
15 cm
になってるじゃん！！
最後はリアルな長さにもどしてあげよう。
つまり、
縮図の倍率をかければいいのさ。
今回の練習問題では、
400分の1の縮図だったね？？
だから、縮図を400倍してやると、リアルな大きさになるわけよ。
ビルとビルの間は縮図上は15 cm。
こいつを400倍すると、
リアルな世界のビルとビルの距離になるんだ。
ってことで、リアルな世界のビル間の距離は、
15 × 400
= 6000 cm
= 60m
ってわけだね。
縮図からビルとビルの距離を求められたね。
あとは、60m以上の縄を買って渡るだけだ。
ふぁいつ！
相似の利用の縮図はどうだったかな？？
ぶっちゃけ、相似の利用の縮図問題は、
作図の正確さ
が重要になるんだ。
分度器と定規で精密な作図をしてみてね。
それじゃあ！
Ken
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
相似と合同の違いがわからなくなってしまいました。
どっちも図形の問題だね。
いっとくけど、
相似と合同はべつものだよ。
えー！
でも、２つの図形を比べるとか、
ちょっと似てない？
どっちかわかんなくなる。
確かに、ちょっと紛らわしいかも。
違いを見つけていこう！
ういす！！
相似と合同の違いはつぎの3つかな。
3つもあるんだ！
たいへん！！
ゆっくりみていけば大丈夫。
それじゃあいくよー！
まずは言葉の意味から！
えっと・・・・
合同が「同じ」で、
相似が「似る」・・・・・？
うわ！ ぴったり重なった！！
すげえ！
じゃあ相似は？？
こんな感じで、形は一緒だけど、
大きさが違う！
なんか、拡大コピー見てるみたい。
そうだね！
小6で出てきた『拡大と縮小』を思い出せるといいね。
あー！あいつか！
対応している角度
と
辺の比
が等しくなっているんだ。
へー！
くわしくは、
相似な図形の性質を復習してみてね。
相似と合同では、
成立条件
に違いがあるよ。
せいりつじょうけん？？
へー！
合同条件と相似条件ってことかな？？
そうそう！
三角形の相似条件と合同条件をみてみよっか！
パッと見ただけじゃわからない…
じゃあ、
1つ目の条件を見比べてみよう！
1つ目？あっ！
相似は辺の「比」が等しいけど、
合同は辺の「長さ」が等しいとこかな！
そう！
図で表すとこんな感じ。
下の三角形は辺の比が1: 1: 1だから、
辺の比が等しい。
だから、相似っていえる！
なるほど！
一方、
辺の長さがぜーんぶ等しかったら、
合同っていえるわけ。
なるへ！
くわしくは、
「三角形の合同条件と相似条件の違い」
をよんでね。
記号の違いもある！
今回紹介する最後の違いだ！！
うす！！
相似と合同の記号のはつぎのやつだよ↓↓
めっちゃ違うじゃん！！
そうだね。
相似記号は、
アルファベットのSを横に倒したような記号。
合同記号は、
＝に一本書き足したような記号
になっているね。
書き間違えないようにしようっと！
どう？？
相似と合同の違いはわかったかな？？
えっと、
『合同』は全く同じ図形だから、辺の長さまで同じ。記号は『≡』。
『相似』は似ている図形だから、辺の長さの比が一緒になる。記号は『∽』。
完ぺきじゃん！
『似ているけど同じじゃない』
それが『相似』だ！
やったあーー！
やあ、ぺーたーだよ。
中3になると、相似を勉強するよね。
覚えること多くて大変。
相似の証明したり、相似比を求めたり…ほんといろいろ。
中でもよくでてくるのが、
相似比から面積比を求める問題。
むずかしそうにみえるけど、公式さえ分かってれば大丈夫。
面積比は絶対に求められる！
今日はこの面積比の公式を紹介していくよ〜
面積比にはつぎの公式があるよ。
「面積比」は「相似比の2乗」になる
ってやつだ。
たとえば、△ABCと△A’B’C’の相似比が「n:m」だとしよう。
このとき面積比は、
n² : m²
になってるんだ。
せっかくだから、この面積比の公式をつかってみよう。
つぎの2つの三角形をイメージしてみて。
△ABCと△A’B’C’の辺の長さがそれぞれ、
と、
になってるよ。
この2つの三角形の面積比をだしてみよう！
公式なら2ステップで面積比だせちゃうんだ。
まず相似比を出してやろう！
相似比の求め方は覚えてる？？
相似な図形同士の、
対応する辺の長さの比
を求めればよかったね？？
今回でいうと、辺ABに対応する辺は辺A’B’。
AB=3cm, A’B’=6cmだから、
相似比は、
AB : A’B’
= 3: 6
= 1 :2
になるね。
相似比が出ちゃえばあとは簡単。
相似比を2乗すれば面積比がでるってわけ。
△ABCと△A’B’C’の相似比は、
1: 2
だったね？？
面積比は2乗してやった比の、
1² : 2²
= 1 : 4
になるはず！
おめでとう！
相似比から面積比を計算できちゃったね。
面積比の公式でもう1つ問題を解いてみよう。
公式はつかっておぼえるのが一番！
つぎの図の△ABCにおいて、AD = 16cm、DB = 4cmで、
△ADEと△ABCは相似です。
まずは相似比を求めるよ。
この場合、対応する辺は分かるかな？
色で分けるとこうなるよ！
この問題では、ADの長さ（16 cm）が分かっているから、
赤色の辺を使って考えてみよう。
ABの長さはわかるかな？
そう、そうだね。
AB
= AD + DB
= 16 + 4 = 20
になってるはず。
AD=16cm、AB=20cmだから、
相似比は…
△ADE : △ABC
= 16 : 20
= 4:5
だ！
面積比はさっきの公式で一発！
面積比は相似比の2乗になる
だったよね？？
この公式をあてはめると、
面積比
= 4² : 5²
= 16 : 25
になるね。
ってことで、答えは16:25！
最後は△ADEの面積だ。
さっきの面積比で求めていくよ。
△ADEの面積がわからないから、ｘ[ cm²] とでもしておこう。
んで、
△ADEの面積：△ABCの面積 = 面積比
っていう比例式をつくってみようぜ。
だから、比例式は、
△ADEの面積：△ABCの面積 = 16 : 25
x : 50 = 16 : 25
になるね。
比例式の解き方でといてやると、
x : 50 = 16 : 25
25 x = 16×50
x = 32 [cm²]
になる。
つまり、
△ADEの面積は32 [cm²]ってわけ！
相似比で面積比もとめられた？？
相似比の2乗が面積比になる
っていう公式さえおぼえてれば怖くない。
面積比を求める問題はきっと大丈夫！
じゃ、またね！
ぺーたー
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。にんじんはゆでたいね。
中3数学では、
式の計算の利用
って単元を勉強していくよ。
因数分解の公式をふつうの計算問に使ってみたり、
いろいろな証明にチャレンジしたりするんだ。
そんな中でも、よく質問をうけるのが、
図形の証明問題
だ。
たとえば、つぎのような証明問題だね。
例題
タテの長さがp、横の長さがqの長方形の花壇がある。道幅をa、道のちょうど真ん中をとおる線の長さをLとする。道の面積をSとするとき、
S = aL
となることを証明しなさい。
今日はこのタイプの問題を攻略するために、
式の計算の利用の図形証明問題の解き方
を4ステップで解説していくよ。
よかったら参考にしてみてね。
4ステップでとけちゃうよ。
例題をいっしょにといてみよう！
例題
タテの長さがp、横の長さがqの長方形の花壇がある。道幅をa、道のちょうど真ん中をとおる線の長さをlとする。道の面積をSとするとき、
S = al
となることを証明しなさい。
道幅の面積Sを計算してみて。
S以外の文字で面積をあらわせばいいんだ。
道幅の面積は、
（「花壇＋道」の面積）- （花壇の面積）
で求められるよ。
「全体の面積」から「花壇の面積」をひいちまえばいいってわけ。
例題でもまずは、
を計算してみよう。
まず、（花壇＋道）の面積だね。
タテ・横の長さは、
になってる。
だから、この長方形の面積は、
たて×よこ
= (2a+p)(2a+q)
= 4a^2 + 2a(p+q)+pq
になるんだ。
うまく乗法の公式で展開してね。
つぎは花壇の面積。
花壇は、
の長方形だね。だから、こいつの面積は、
（花壇の面積）
= たて×よこ
= pq
になるね。
よって、道幅の面積Sは、
S = （花壇+道の面積）- （花壇の面積）
= 4a^2 + 2a(p+q)+pq – pq
= 4a^2 + 2a(p+q)
になる！
つぎは「道の真ん中を通ってる線」の長さだ。
例題では、
2×（道の真ん中のタテ+道の真ん中のよこ）
で求められるよ。
になってるから、
道の真ん中の線のぜんぶの長さLは、
L =2×（道の真ん中のタテ+道の真ん中のよこ）
= 2×(a+q+a+p)
= 2 (2a + p + q)
になるね。
道幅の面積Sを因数分解してみよう。
共通因数でくくってもいいし、
因数分解の公式をつかってもいいよ。
例題の道幅の面積Sは、
S = 4a^2 + 2a(p+q)
だったよね？？
こいつを共通因数2aで（）くくってやると、
S = 2a(2a+p+q)
になるはず。
これで因数分解は終了さ。
「道幅の面積S」に「道の真ん中を通る線L」を代入しよう。
Step2で求めたLは、
L = 2 (2a + p + q)
だったよね？？
じつは、この、2a+p+qに注目してほしいんだ。
これ、Sを因数分解してできた文字といっしょだね。
だから、もし、
Lの式を（2a + p + q）についてとければSに代入できそうだね。
さっそく、Lの式を(2a+p+q)についてとくと、
2a + p + q = L÷2
になるね。
これを道幅面積Sの式に代入すると、
S = 2a(2a+p+q)
= 2a × L÷2
= aL
になるね！
これで「S = aL」を証明できちゃったね！
式の計算の利用？？
花壇とか道幅とかめんどそう？？
だけどね、使ってるのはシンプルにこの2つなんだ。
基本をおさえて証明を撃破していこう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。シロップに要注意だね。
中学数学でならう公式は3つある。
ぶっちゃけ公式覚えてれば大丈夫。
もうね、楽勝。
公式通りに計算すればいいからね。
だけどさ、
乗法公式はなんでつかえるんだろう？？
ぶっちゃけ怪しいんだよね。
知らないおじさんについていくみたいでさ。
そんな疑問を解消するために今日は、
乗法公式（式の展開の公式）はなぜつかえるのか？？
を解説していくよ。
よかったら参考にしてみてね。
式の展開の公式を証明するために使うのはただ1つ。
それは、
さ。
えっ。分配法則なんて忘れただって？？
そうだね。
分配法則とはずばり、
（）の外側の数字や文字を（）内の項に順番にかけて展開すること
だよ。
たとえば、
(a+b)(c+d)
っていう計算式があったとしよう。
分配法則つかえば一瞬で展開できるんだ。
まず、「a」をうしろにある（）内の項にそれぞれかける。
そして、たす。
(a+b)(c+d)
＝ ac + ad
つぎは「b」をうしろの（）内の項にかけて、たしてやるんだ。
つまり、
「b」を「c」と「d」にかけてたせばいいのさ。
よって、
(a+b)(c+d)
＝ ac + ad +bc + bd
になるね。
この分配法則が使えればOK。
乗法公式も証明できちゃうよ。
さっそく一つ目の、
(x+a)(x+b)
を証明してみよう。
分配法則で展開してやればいい。
まず、「x」をうしろの（）の2つの中にかける。
(x+a)(x+b)
= x^2 + bx
つぎは、「a」をうしろの2つの項にかけてたしてやる。
すると、
(x+a)(x+b)
=x^2 + bx +ax +ab
になるね。
あとは同類項「bx」、「ax」をまとめるだけさ。
(x+a)(x+b)
= x^2 + bx +ax +ab
= x^2 +(a+b)x + ab
すると、乗法公式のできあがり！
いっちょ上がりさ。
つぎは平方の公式の証明だね。
こいつも分配法則で証明できちゃう。
まず、(a+b)^2をかけ算になおしてみよう。
すると、
(a+b)^2
= (a+b)(a+b)
になるね。
これをさっきみたいに分配法則で展開してみよう。
まず、いちばん左の「a」を後ろの「a」と「b」にかける。
そして、たす。
(a+b)^2
= (a+b)(a+b)
= a^2 + ab
つぎは、「b」を後ろの「a」と「b」にかける。
そして、たす。
(a+b)^2
= (a+b)(a+b)
= a^2 + ab + ab + b^2
あとは同類項をまとめるだけ。
すると、
(a+b)^2
= (a+b)(a+b)
= a^2 + ab + ab + b^2
= a^2 + 2ab + b^2
あら。
平方の公式のできあがり！
いよいよ「和と差の積」の公式の証明だ。
こいつも分配法則で一発。
まず、いちばん左のaを右の（）内の項にかける。
そして、たす。
(a +b) (a-b)
= a^2 – ab
2つめの「b」を後ろの（）にかけてやると、
(a +b) (a-b)
= a^2 – ab +ab -b^2
になるね。
あとは同類項をまとめてやろう。
の2つだね。
こいつらをたして消してやると、
ほら！
乗法の公式の「和と差の積」のできがあがり。
乗法公式を覚えることは大切。
だけど、
テストで忘れたら危機。危機におちいる。
だからこそ、
なぜ乗法公式がつかえるのか？？
ってとこまでおさえておこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。替え玉は必須だね。
長方形の性質の中に、
対角線の長さが等しい
ってやつがあるよ。
たとえば、長方形ABCDがあったとしよう。
このとき、
対角線AC = 対角線BD
になるってわけ。
対角線ACが12cmだとすると、
対角線BDも12cmになるんだ。
どう？？
むちゃくちゃ便利だよね？？
でもさ、
なんで長方形の対角線の長さが等しいんだろう？？
不思議すぎるよね。
むしろ、怪しい。
そこで今日は、
なぜ長方形の対角線の長さが等しくなるのか？？
を4ステップで解説していくよ。
さっきの長方形ABCDをつかって証明していこう！
証明の方向性としては、
△ABCと△DCBの合同
を証明していくよ。
長方形の定義は、
4つの角がすべて等しい四角形
だったよね？？
ってことは、
角ABC = 角DCB = 90°・・・（1）
だ。
長方形は平行四辺形の1種だったね？？
ってことは、
平行四辺形の性質がつかえるってわけ。
よって、
2組のむかいあう辺がそれぞれ等しい
より、
AB = DC ・・・（2）
になるね。
BCは共通だから、
BC = CB ・・・（3）
(1), (2), (3)より、
2辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
△ABC ≡ △DCB
になるね！
合同な図形の性質をつかってあげよう。
対応する辺の長さはそれぞれ等しいから、
AC = DB
になるね。
ACとDBは長方形ABCDの対角線だね？？
だから、
長方形の対角線同士が等しいっていえるんだ！
長方形の性質の、
対角線の長さはそれぞれ等しい
はおさえておこう！
三角形の合同で簡単に証明できるから安心だね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。明太子が恋しいぜ。
ひし形の対角線にはつぎの性質がある。
それは、
対角線は垂直に交わる
ってやつだ。
たとえば、ひし形ABCDがあったとしよう。
対角線の交点をMとすると、
AC⊥BD
になるんだ。
つまり、
角AMD = 90°になるってわけ。
むちゃ便利そうな性質だね。
だけど、
なぜ、ひし形の対角線は垂直に交わるんだろう？？
ちょっと不思議すぎるよね。
そこで今日は、この謎を証明していくよ。
よかったら参考にしてみて。
さっそく証明していこう。
つぎの4ステップで証明できちゃうんだ。
例の「ひし形ABCD」をつかって証明していこう。
証明の方向性としては、
△ABMと△ADMの合同を証明していくよ。
△ABMと△ADMにおいて、
ひし形の定義（4つの辺がすべて等しい）より、
AB = AD・・・(1)
ひし形は平行四辺形だから、
平行四辺形の性質がつかえるね。
対角線は中点でそれぞれ交わる
という性質より、
BM = DM・・・(2)
AMは共通だから、
AM = AM・・・(3)
(1)・(2)・(3)より、
3つの辺がそれぞれ等しいから、
△ABM ≡ △ADM
がいえるね。
合同な図形同士の対応する角はそれぞれ等しいから、
角AMB = 角AMD・・・(4)
になるね。
角AMBと角AMDをたしたら直線になっているから、
角AMB + 角AMD = 180°・・・(5)
になるはず。
(4)、(5)より、
角AMD + 角AMD = 180°
角AMD = 90°
になるね。
よって、
ひし形ABCDの対角線は垂直に交わることになるよ。
ひし形の性質でおさえておきたいのは、
対角線が垂直に交わる
ということ。
性質をただ暗記するだけじゃなくて、
なぜ対角線が垂直に交わるのか？？
ということもおさえておこう。
そんじゃねー
Ken
