よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。2連続で、湖だ
二次方程式では、
2つの解がどこにあるのか
を調べる問題が出てくるぞ。
たとえば、
正の解と負の解を1つずつもつ条件
を求める問題だ。
二次方程式、
$$
x^2-kx+8-2k=0
$$が正の解と負の解をもつとき、定数、
$$
k
$$の値の範囲を求めてみよう。
今回は、この問題を一緒に解いてみよう。
まず、
$$
f(x)=x^2-kx+8-2k
$$
と置こう。
すると、二次方程式、
$$
x^2-kx+8-2k=0
$$
の解は、二次関数、
$$
y=f(x)
$$
のグラフとx軸との共有点のx座標になる。
今回求めたいのは、
正の解と負の解を1つずつもつ
場合だ。
グラフで考えると、
x軸の負の部分と1回、正の部分と1回交わる
ということになる。
つまり、2つの共有点の間に、
$$
x=0
$$
が入っていればいいんだ。
負の解は原点より左、正の解は原点より右。つまり原点をはさんでx軸と交わればいいぞ。
それじゃあ、x=0のときはグラフどうなってるのかみていくぞ。
今回の二次関数、
$$
y=x^2-kx+8-2k
$$
では、
$$
x^2
$$
の係数が、
$$
1
$$
である。
つまり、放物線は上に開く。
上に開く放物線が、x軸の左側と右側で1回ずつ交わるためには、
$$
x=0
$$
のところでグラフがx軸より下にあればよい。
つまり、
$$
f(0)<0
$$
である。
なぜなら、上に開く放物線では、2つのx軸との共有点の間だけ、
$$
y<0
$$
になるからだ。
もし、
$$
x=0
$$
のとき、
$$
y<0
$$
なら、0は2つの共有点の間にある。
したがって、1つの共有点は負の範囲に、もう1つは正の範囲にあるんだ。
では、
$$
f(x)=x^2-kx+8-2k
$$
について、
$$
f(0)
$$
を求めよう。
$$
x=0
$$
を代入すると、
$$
f(0)=8-2k
$$
となる。
正の解と負の解を1つずつもつためには、
$$
f(0)<0
$$
だから、
$$
8-2k<0
$$
となる。
両辺から8を引くと、
$$
-2k<-8 $$ である。 両辺を、 $$ -2 $$ で割ると、不等号の向きが逆になって、 $$ k>4
$$
となる。
したがって、
$$
\boxed{k>4}
$$
が答えだ。
上に開く放物線なら、f(0)<0で原点が2つの共有点の間に入る。これだけで左右に1個ずつだ。
よし、以上だ。
もう一度おさらいしておこう。
二次方程式、
$$
f(x)=0
$$
が正の解と負の解をもつということは、
放物線が原点をはさんで、x軸の左右で1回ずつ交わる
ということだ。
上に開く放物線なら、
$$
f(0)<0 $$ 下に開く放物線なら、 $$ f(0)>0
$$
となればよい。
正の解と負の解なら、原点をはさんで左右に1個ずつ。まずx=0を見に行け。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。スーパー、周遊完了
二次方程式、
$$
ax^2+bx+c=0
$$
について、これまでは、
実数解が何個あるのか
を判別式で調べてきたよな？？
でも、さらに一歩進むと、
その解がどこに存在するのか
を調べる問題が出てくるぞ。
たとえば、次のような問題だ。
二次方程式、
$$
x^2-2kx-k+4=0
$$が異なる2つの正の解をもつとき、定数、
$$
k
$$の値の範囲を求めてみよう。
放物線、
$$
y=f(x)
$$
がx軸の正の部分と異なる2点で交わるためには、3つの条件を満たす必要がある。
それが、
① x軸と異なる2点で交わる
② 放物線の軸がy軸より右側にある
③ y軸との交点がx軸より上にある
の3つだ。
式で考えると、
$$
\boxed{
\begin{array}{l}
①\ D>0\\
②\ 軸のx座標>0\\
③\ f(0)>0
\end{array}
}
$$
となる。
1つずつ見ていこう。
まず、そもそも異なる2つの解がなければ話が始まらない。
二次方程式、
$$
x^2-2kx-k+4=0
$$
が異なる2つの実数解をもつ条件は、
$$
D>0
$$
である。
判別式、
$$
D=b^2-4ac
$$
について、
$$
a=1
$$
$$
b=-2k
$$
$$
c=-k+4
$$
だから、
$$
D=(-2k)^2-4\cdot1\cdot(-k+4)
$$
となる。
計算すると、
$$
D=4k^2+4k-16
$$
$$
D=4(k^2+k-4)
$$
である。
したがって、
$$
D>0
$$
より、
$$
k^2+k-4>0
$$
となる。
まず、
$$
k^2+k-4=0
$$
の解を求めると、
$$
k=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}
$$
となる。
$$
k^2+k-4
$$
の、
$$
k^2
$$
の係数は正なので、
$$
k^2+k-4>0
$$
となるのは、2つの解の外側である。
したがって、
$$
k<\frac{-1-\sqrt{17}}{2}
$$
または、
$$
\frac{-1+\sqrt{17}}{2}<k
$$
となる。
これが1つ目の条件だ。
次に、放物線の軸を考えよう。
二次関数、
$$
y=x^2-2kx-k+4
$$
では、
$$
x^2-2kx
$$
を平方完成すると、
$$
x^2-2kx=(x-k)^2-k^2
$$
となる。
したがって、
$$
y=(x-k)^2-k^2-k+4
$$
である。
つまり、この放物線の軸は、
$$
x=k
$$
だ。
異なる2つの正の解をもつなら、2つの共有点は両方ともy軸より右側にある。
その2点の真ん中にある軸も、当然、
$$
x>0
$$
の部分になければならない。
したがって、
$$
k>0
$$
となる。
これを②とする。
$$
f(x)=x^2-2kx-k+4
$$
だから、
$$
f(0)=4-k
$$
となる。
これが正であればよいので、
$$
4-k>0
$$
したがって、
$$
k<4
$$
となる。
これを③とする。
f(0)は、放物線がy軸とどこで交わるかを表すぞ。ここがx軸より上にあるかを見るんだ。
ここまでで、3つの条件が出そろった。
①より、
$$
k<\frac{-1-\sqrt{17}}{2}
$$
または、
$$
\frac{-1+\sqrt{17}}{2}<k
$$
である。
②より、
$$
k>0
$$
である。
③より、
$$
k<4
$$
である。
では、この3つをすべて満たす範囲を考えよう。
①では、
$$
k<\frac{-1-\sqrt{17}}{2}
$$
または、
$$
\frac{-1+\sqrt{17}}{2}<k
$$
だった。
しかし、②より、
$$
k>0
$$
でなければならない。
そのため、
$$
k<\frac{-1-\sqrt{17}}{2}
$$
の範囲は条件から外れる。
残るのは、
$$
\frac{-1+\sqrt{17}}{2}<k
$$
である。
さらに、③より、
$$
k<4
$$
なので、3つの条件の共通部分は、
$$
\boxed{
\frac{-1+\sqrt{17}}{2}<k<4
}
$$
となる。
これが答えだ。
3つの条件を別々に出したら、最後は全部を同時に満たす範囲だけ残すぞ。
よし、以上だ。
今回は、二次方程式の解の存在範囲について、異なる2つの正の解をもつ条件を確認した。
二次方程式、
$$
f(x)=0
$$
が異なる2つの正の解をもつということは、
y=f(x)のグラフが、x軸の正の部分と異なる2点で交わる
ということだ。
上に開く放物線なら、そのための条件は、
$$
\boxed{
D>0
}
$$
$$
\boxed{
軸のx座標>0
}
$$
$$
\boxed{
f(0)>0
}
$$
の3つ。
ようは、
「2点で交わる」「その中心が右にある」「y軸ではまだx軸より上にいる」
を確認しているんだな。
解が何個あるかだけじゃない。どこにいるかまで追いかける。それが解の存在範囲だ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。席移動、できたな
ここまで、二次不等式を1つずつ解いてきたよな？？
今回は、さらに一歩進んで、
連立二次不等式
を考えてみよう。
たとえば、次のような問題だ。
連立不等式、
$$
\begin{cases}
x^2-2x-8<0\\
x^2-6x+5\geq0
\end{cases}
$$を解いてみよう。
連立二次不等式といっても、いきなり2つをまとめて解くわけではない。
まずは、
1つ目の二次不等式を解く。
次に、
2つ目の二次不等式を解く。
そして最後に、
2つの答えの共通部分を求める
んだ。
連立ってのは「両方を同時に満たせ」って意味だ。最後に重なってるところだけ残すぞ。
まず、
$$
x^2-2x-8<0
$$
を解こう。
左辺を因数分解すると、
$$
(x-4)(x+2)<0
$$
となる。
したがって、x軸との共有点のx座標は、
$$
-2
$$
と、
$$
4
$$
である。
$$
x^2-2x-8
$$
の、
$$
x^2
$$
の係数は正なので、放物線は上に開く。
そして今回求めるのは、
$$
x^2-2x-8<0
$$
だから、グラフがx軸より下にある範囲を考えればよい。
したがって、
$$
\boxed{-2<x<4}
$$
となる。
これを①としておこう。
$$
-2<x<4
\qquad \cdots ①
$$
次に、
$$
x^2-6x+5\geq0
$$
を解こう。
因数分解すると、
$$
(x-1)(x-5)\geq0
$$
となる。
したがって、x軸との共有点のx座標は、
$$
1
$$
と、
$$
5
$$
である。
この放物線も上に開く。
今回求めたいのは、
$$
x^2-6x+5\geq0
$$
だから、グラフがx軸より上、またはx軸上にある範囲を考える。
したがって、
$$
\boxed{x\leq1,\quad 5\leq x}
$$
となる。
これを②としておこう。
$$
x\leq1,\quad 5\leq x
\qquad \cdots ②
$$
ここからが、連立不等式のポイントだ。
①は、
$$
-2<x<4
$$
②は、
$$
x\leq1,\quad 5\leq x
$$
だった。
連立不等式では、
①と②の両方を同時に満たすx
を探す。
まず、
$$
-2<x<4
$$
と、
$$
x\leq1
$$
が重なる部分は、
$$
-2<x\leq1
$$
である。
一方、
$$
-2<x<4
$$
と、
$$
5\leq x
$$
は重ならない。
したがって、連立不等式の解は、
$$
\boxed{-2<x\leq1}
$$
となるんだ。
それぞれを解いたあと、最後に「どっちにも入ってるところ」を探す。それが連立だ。
連立不等式では、2つの解を頭の中だけで比べると混乱しやすい。
そんなときは、数直線に書いてみよう。
①の、
$$
-2<x<4
$$
は、
$$
-2
$$
から、
$$
4
$$
までの間。
②の、
$$
x\leq1,\quad 5\leq x
$$
は、
$$
1
$$
より左側と、
$$
5
$$
より右側である。
この2つを同じ数直線に書くと、重なっているのは、
$$
-2<x\leq1
$$
の部分だけだとわかる。
つまり、
連立不等式では、数直線を使って共通部分を見る
とかなりわかりやすいんだ。
2本あっても慌てるな。1本ずつ倒して、最後に答えを重ねればいい。
それじゃあな。
この前は一次不等式の解き方を勉強してきたな。
今日はもう一歩進んで、
小数を含む一次不等式の解き方
を勉強していこう。
例えば、次のような$x$についての不等式だ。
$$0.25x+3>0.4x-1.5$$
小数第2位まである数、小数第1位まである数、そして整数まで混じっている。
見た目はちょっと面倒そうだよな。
でも、臆することはないぞ。
小数を含む一次不等式では、
最初に小数を整数にしてしまえばいい
んだ。
つまり、不等式の両辺に10や100などをかけて、小数点を消し去ってやるのさ。
小数を掃除できたら、あとはいつもの一次不等式と同じように解けばいい。
それじゃあ、さっきの例題を解いてみよう。
$$0.25x+3>0.4x-1.5$$
まずは、不等式に含まれている小数をチェックしてみよう。
$$0.25x+3>0.4x-1.5$$
この中には、
$$0.25$$
$$0.4$$
$$1.5$$
という小数があるな。
さらに、
$$3$$
という整数も混じっている。
ここで注目したいのは、
一番細かい小数が小数第何位まであるか
だ。
今回、一番細かいのは、
$$0.25$$
だな。
0.25は小数第2位まである。
そこで、不等式の両辺に「100」をかけてみよう。
$$0.25x+3>0.4x-1.5$$
$$100(0.25x+3)>100(0.4x-1.5)$$
$$25x+300>40x-150$$
ほら、小数が全部なくなっただろ。
これでかなり計算しやすくなったな。
ここで注意したいのは、
小数の項だけに100をかけるわけではない
ということだ。
例えば、
$$3$$
も不等式の左辺にある項だから、
$$3×100=300$$
になる。
つまり、
不等式の両辺にあるすべての項に100をかける
んだ。
「小数だけ100倍して、整数はそのまま」
なんてことをすると、元の不等式とは別物になってしまうから気をつけよう。
じゃあ、小数を整数にするには何をかければいいのか。
基本的には、
小数第1位までなら10
小数第2位までなら100
小数第3位までなら1000
を両辺にかければいい。
例えば、
$$0.4x+1.2>3$$
なら、小数第1位までしかないので、
$$10$$
を両辺にかければいい。
$$0.4x+1.2>3$$
$$4x+12>30$$
となる。
一方、
$$0.06x+1.25<2$$
なら、小数第2位まであるので、
$$100$$
を両辺にかける。
$$0.06x+1.25<2$$
$$6x+125<200$$
となるぞ。
だから、
一番桁数の多い小数に合わせて10、100、1000……をかける
と覚えておこう。
小数を消したら、ここからは普通の一次不等式と同じだ。
さっきの例題は、
$$25x+300>40x-150$$
まで変形できたな。
文字の項を片方に、数字だけの項を反対側に集めよう。
$$25x+300>40x-150$$
$$25x-40x>-150-300$$
$$-15x>-450$$
移項するときは、符号が変わることに注意してくれよな。
例えば、
$$+40x$$
を左辺に移項したら、
$$-40x$$
になる。
同じように、
$$+300$$
を右辺に移項したら、
$$-300$$
になるぞ。
最後に、文字の係数で不等式の両辺を割るぞ。
今、
$$-15x>-450$$
となっている。
$x$の係数は、
$$-15$$
だな。
ここで注意だ。
不等式の性質で勉強したように、
負の数で不等式の両辺をかけたり割ったりすると、不等号の向きが逆転する
んだったな。
今回は両辺を、
$$-15$$
で割る。
だから、
$$-15x>-450$$
$$-15x÷(-15)<-450÷(-15)$$
$$x<30$$
となる。
したがって答えは、
$$x<30$$
だ。
小数を含む一次不等式が出てきたら、次の順番で解けばいい。
① 一番細かい小数が小数第何位まであるか確認する
② 両辺に10、100、1000……をかけて小数を整数にする
③ 移項して、文字の項と数字の項を整理する
④ 文字の係数で両辺を割る
そして、
負の数で両辺を割るときは不等号を逆転させる
ことを忘れないようにしよう。
小数第1位、小数第2位、整数が混じっていても大丈夫だ。
一番細かい小数に合わせて10や100をかければ、一気に整数だけの不等式にできる
んだ。
次は連立不等式の解き方を勉強していこう。
それじゃあ！
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。キムチ、最高
これまで、二次不等式とグラフの関係を見てきたよな？？
今日は、こんな問題はどうだろう。
二次不等式の解が、すべての実数になる条件を求める
というタイプだ。
たとえば、次のような問題を解いてみよう。
二次不等式、
$$
x^2+kx+k+4>0
$$の解がすべての実数となるとき、定数、
$$
k
$$の値の範囲を求めてみよう。
まず、
$$
x^2+kx+k+4>0
$$
の解が、
すべての実数
とはどういうことなのか考えてみよう。
これは、どんな実数、
$$
x
$$
を代入しても、
$$
x^2+kx+k+4>0
$$
が成り立つということだ。
そこで、
$$
y=x^2+kx+k+4
$$
という二次関数を考える。
すると、
$$
x^2+kx+k+4>0
$$
という条件は、
$$
y>0
$$
ということになる。
つまり、
どんなxでも、放物線がx軸より上にある
必要があるんだ。
つまり、放物線は、
x軸と共有点を持たない
必要があるな。
接してもないし、交わってもいない。
放物線とx軸との共有点の個数は、判別式を使えば調べられたよな。
二次方程式、
$$
x^2+kx+k+4=0
$$
の判別式を、
$$
D
$$
とする。
判別式は、
$$
D=b^2-4ac
$$
だった。
そして、
$$
D<0 $$ なら、二次方程式は実数解を持たない。 つまり、放物線とx軸との共有点は、 $$ 0個 $$ である。 今回、 $$ x^2+kx+k+4>0
$$
がすべての実数で成り立つには、放物線がx軸と共有点を持ってはいけない。
したがって、条件は、
$$
\boxed{D<0}
$$
となるんだ。
上に開いて、しかもx軸と会わない。それならグラフ全部がx軸の上になるぞ。
では、
$$
x^2+kx+k+4=0
$$
について判別式を計算しよう。
この二次方程式では、
$$
a=1
$$
$$
b=k
$$
$$
c=k+4
$$
である。
したがって、
$$
D=b^2-4ac
$$
より、
$$
D=k^2-4\cdot1\cdot(k+4)
$$
となる。
整理すると、
$$
D=k^2-4k-16
$$
である。
今回必要なのは、
$$
D<0
$$
だから、
$$
k^2-4k-16<0
$$
を解けばよい。
ここで、
$$
k^2-4k-16<0
$$
を解こう。
まず、
$$
k^2-4k-16=0
$$
の解を求める。
簡単には因数分解できないので、解の公式を使う。
$$
k=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot(-16)}}{2}
$$
$$
k=\frac{4\pm\sqrt{16+64}}{2}
$$
$$
k=\frac{4\pm\sqrt{80}}{2}
$$
$$
k=\frac{4\pm4\sqrt5}{2}
$$
したがって、
$$
k=2\pm2\sqrt5
$$
となる。
$$
k^2-4k-16
$$
の、
$$
k^2
$$
の係数は正なので、グラフは上に開く。
したがって、
$$
k^2-4k-16<0
$$
となるのは、2つの解の間である。
よって、
$$
\boxed{
2-2\sqrt5<k<2+2\sqrt5
}
$$
となる。
これが答えだ。
よし、以上だ。
今回は、二次不等式がすべての実数で成り立つ条件を確認した。
たとえば、
$$
ax^2+bx+c>0
$$
がすべての実数で成り立つには、グラフ全体がx軸より上にある必要がある。
そのため、
$$
a>0
$$
で放物線が上に開き、
さらに、
$$
D<0 $$ でx軸と共有点を持たないことが必要になるってことよ。
つまり、 $$ \boxed{ a>0,\quad D<0 } $$ ということだ。
ようは、
「すべての実数で成り立つ」なら、グラフ全体をx軸の上か下に押し込めばいい
ってことだな。
全部のxで成立させたいなら、x軸をまたがせるな。上か下に丸ごと置いてしまえ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、x軸と会わない
これまで、二次不等式について、
放物線がx軸と2点で交わる場合
や、
放物線がx軸と1点で接する場合
を見てきたよな？？
では、放物線が、
x軸とまったく共有点を持たない場合
はどうなるんだろうな。
今回は、次の二次不等式を使って考えてみよう。
二次不等式、
$$
x^2-4x+5>0
$$を解いてみよう。
まず、左辺を使って二次関数、
$$
y=x^2-4x+5
$$
を考えよう。
平方完成すると、
$$
y=(x-2)^2+1
$$
となる。
ここで、
$$
(x-2)^2
$$
は必ず、
$$
0
$$
以上である。
したがって、
$$
(x-2)^2+1
$$
は必ず、
$$
1
$$
以上になる。
つまり、この放物線の最小値は、
$$
1
$$
である。
グラフはx軸より上にあり、x軸と交わることも、接することもないんだ。
いちばん低いところでもy=1だ。そりゃx軸には届かないな。
平方完成をすれば、グラフがx軸より上にあることを確認できた。
でも、x軸と共有点を持つかどうかだけなら、判別式でも調べることができる。
二次方程式、
$$
x^2-4x+5=0
$$
について、
$$
a=1
$$
$$
b=-4
$$
$$
c=5
$$
である。
判別式、
$$
D=b^2-4ac
$$
より、
$$
D=(-4)^2-4\cdot1\cdot5
$$
$$
D=16-20
$$
$$
D=-4
$$
となる。
したがって、
$$
D<0
$$
である。
判別式が負なので、
$$
x^2-4x+5=0
$$
は実数解を持たない。
つまり、
$$
y=x^2-4x+5
$$
のグラフはx軸と共有点を持たないということだ。
D<0なら共有点なし。あとは上向きか下向きか。それだけで全部かゼロかが決まるぞ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。
これまで、二次不等式について、
放物線がx軸と異なる2点で交わる場合
を中心に見てきたよな？？
たとえば、二次方程式、
$$
ax^2+bx+c=0
$$
の判別式、
$$
D=b^2-4ac
$$
が、
$$
D>0
$$
なら、放物線はx軸と異なる2点で交わる。
そして、その2つの共有点を境目にして、グラフがx軸より上か下かを調べればよかった。
では、
$$
D=0
$$
の場合はどうなるのだろうか。
今回は、
放物線がx軸と1点で接する場合の二次不等式
について考えてみよう。
たとえば、次の二次不等式だ。
二次不等式、
$$
x^2-6x+9>0
$$を解いてみよう。
今回の二次不等式は、
$$
x^2-6x+9>0
$$
だったよな。
因数分解すると、
$$
(x-3)^2>0
$$
となる。
ここで、
$$
y=(x-3)^2
$$
のグラフを考えてみよう。
このグラフは、
$$
x=3
$$
のときだけ、
$$
y=0
$$
になる。
それ以外のxでは、グラフはすべてx軸より上にある。
つまり、
$$
x\neq3
$$
なら、
$$
y>0
$$
となる。
したがって、
$$
\boxed{x\neq3}
$$
が答えである。
言い換えると、
3以外のすべての実数
だ。
「共有点が1個だから答えも1個」じゃないぞ。今回は、その1点以外が全部答えだ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。券売機の前まで、だったな
二次不等式を解いていると、こんな形が出てくることがある。
$$
-x^2+2x+3\geq0
$$
よく見ると、
$$
x^2
$$
の係数が、
$$
-1
$$
になっているよな。
こういうとき、教科書ではよく、
両辺に-1を掛ける
という操作をする。
すると、
$$
x^2-2x-3\leq0
$$
となる。
でも、
なんでわざわざ-1を掛けるんだ？？
と思うかもしれない。
今回は、この理由から確認していこう。
まず、
$$
-x^2+2x+3\geq0
$$
を、そのまま二次関数として考えてみよう。
$$
y=-x^2+2x+3
$$
では、
$$
x^2
$$
の係数が負なので、グラフは下に開く放物線になる。
もちろん、このままグラフを考えて二次不等式を解いてもいい。
数学的には何の問題もない。
ただし、これまで二次不等式では、
$$
x^2
$$
の係数が正の、
上に開く放物線
を中心に考えてきた。
そこで、両辺に、
$$
-1
$$
を掛けて、
$$
x^2
$$
の係数を正にしておくと、これまでと同じ感覚で考えやすくなるんだ。
マイナスを掛けるのは絶対のルールじゃない。上に開く形にして見慣れた問題に直してるだけだ。
それじゃあ、次の二次不等式を解いてみよう。
$$
-x^2+2x+3\geq0
$$
まず、両辺に、
$$
-1
$$
を掛ける。
すると、
$$
x^2-2x-3\leq0
$$
となる。
次に、左辺を因数分解する。
$$
x^2-2x-3
$$
は、
$$
(x-3)(x+1)
$$
と因数分解できる。
したがって、
$$
(x-3)(x+1)\leq0
$$
となる。
まず、
$$
x^2-2x-3=0
$$
を考える。
因数分解すると、
$$
(x-3)(x+1)=0
$$
だから、
$$
x=3
$$
または、
$$
x=-1
$$
となる。
つまり、放物線、
$$
y=x^2-2x-3
$$
は、
$$
x=-1
$$
と、
$$
x=3
$$
でx軸と交わる。
今回求めたいのは、
$$
x^2-2x-3\leq0
$$
だった。
つまり、
$$
y\leq0
$$
となる範囲を求めればよい。
$$
y=x^2-2x-3
$$
は上に開く放物線で、
$$
x=-1,\ 3
$$
でx軸と交わる。
そのため、グラフがx軸より下にあるのは、
$$
-1<x<3
$$
の範囲である。
さらに今回は、
$$
\leq0
$$
なので、
$$
y=0
$$
となる共有点も含める。
したがって、
$$
\boxed{-1\leq x\leq3}
$$
となる。
「≤0」はx軸より下＋x軸上だ。だから共有点も答えに入るぞ。
ここで、
本当に-1を掛けないと解けないのか？
という疑問もあるかもしれない。
もちろん、そのままでも解ける。
もとの二次関数、
$$
y=-x^2+2x+3
$$
を考えてみよう。
これは下に開く放物線である。
そして、
$$
-x^2+2x+3=0
$$
を解くと、
$$
x=-1,\ 3
$$
となる。
今回求めたいのは、
$$
-x^2+2x+3\geq0
$$
だから、
$$
y\geq0
$$
となる範囲を探せばよい。
下に開く放物線では、2つの共有点の間でグラフがx軸より上にある。
したがって、
$$
\boxed{-1\leq x\leq3}
$$
となる。
答えはもちろん同じだ。
つまり、
-1を掛けるのは、解けるようにするためではなく、解きやすくするため
なんだ。
マイナスを掛ける理由は「上向きにして考えやすくするため」。そして負を掛けたら不等号は反転。ここをセットで覚えろ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。
二次不等式は、左辺を因数分解できるなら解けたよな？？
たとえば、
$$
x^2-9>0
$$
なら、
$$
(x+3)(x-3)>0
$$
とできる。
でも、二次不等式の中には、
簡単に因数分解できないもの
もあるんだ。
そんなときに使えるのが、
二次方程式の解の公式
だ。
今回は、次の問題を解いてみよう。
二次不等式、
$$
x^2-4x+1>0
$$を解いてみよう。
まず、
$$
x^2-4x+1>0
$$
を見てみよう。
この左辺、
$$
x^2-4x+1
$$
は、整数を使って簡単に因数分解することができない。
こんなときは、無理に因数分解しようとせず、
$$
x^2-4x+1=0
$$
という二次方程式を考える。
そして、この二次方程式の解を、解の公式を使って求めればいいんだ。
因数分解できないなら、解の公式に交代だ。目的は同じ。0になるxを探すぞ。
二次不等式、
$$
x^2-4x+1>0
$$
を解くとき、まず、
$$
x^2-4x+1=0
$$
を考える。
なぜなら、この方程式の解が、
$$
y=x^2-4x+1
$$
という放物線とx軸との共有点のx座標になるからだ。
つまり、まずは、
どこでグラフがx軸と交わるのか
を調べるわけだな。
二次方程式、
$$
x^2-4x+1=0
$$
について、
$$
a=1
$$
$$
b=-4
$$
$$
c=1
$$
である。
二次方程式の解の公式、
$$
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
を使う。
代入すると、
$$
x=
\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1}
$$
となる。
計算すると、
$$
x=
\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}
$$
$$
x=
\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}
$$
ここで、
$$
\sqrt{12}=2\sqrt{3}
$$
だから、
$$
x=
\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}
$$
となる。
したがって、
$$
x=2\pm\sqrt{3}
$$
である。
つまり、放物線、
$$
y=x^2-4x+1
$$
は、
$$
x=2-\sqrt{3}
$$
と、
$$
x=2+\sqrt{3}
$$
でx軸と交わる。
解の公式で求めた2つの値は、放物線がx軸を横切る場所だ。
次に、
$$
y=x^2-4x+1
$$
のグラフを考えよう。
この二次関数では、$x^2$の係数が正の数だから、放物線は上に開く。
そして、
$$
x=2-\sqrt{3}
$$
と、
$$
x=2+\sqrt{3}
$$
でx軸と交わる。
すると、グラフは2つの共有点の外側ではx軸より上にあり、共有点の間ではx軸より下にある。
つまり、
$$
x<2-\sqrt{3} $$ では、 $$ y>0
$$
となる。
また、
$$
2-\sqrt{3}<x<2+\sqrt{3}
$$
では、
$$
y<0
$$
となる。
さらに、
$$
x>2+\sqrt{3}
$$
では、
$$
y>0
$$
となる。
今回求めたいのは、
$$
x^2-4x+1>0
$$
だった。
これは、
$$
y>0
$$
となる範囲を求めるという意味だ。
したがって、
$$
\boxed{
x<2-\sqrt{3},\quad 2+\sqrt{3}<x
}
$$
となる。
今回の問題では解の公式で二次不等式を解いたな。
このように二次不等式で解の公式を使うのは、
左辺を0とした二次方程式が簡単に因数分解できないとき
だ。
たとえば、
$$
x^2-5x+6>0
$$
なら、
$$
(x-2)(x-3)>0
$$
と簡単に因数分解できる。
この場合は、解の公式を使う必要はない。
一方、
$$
x^2-4x+1>0
$$
のように、簡単に因数分解できない場合は、
$$
x^2-4x+1=0
$$
として、解の公式を使うってことよ。
つまり、
まず因数分解できるかを見る。
難しければ解の公式を使う。
と覚えておこう。
因数分解できなきゃ終わりじゃない。解の公式が控えているんだ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。スーパーに、通ってるぞ
ここまで、二次関数のグラフとx軸との共有点について見てきたよな？？
今回は、この共有点の知識を使って、
二次不等式
を解いてみよう。
たとえば、次のような問題だ。
二次不等式、
$$
x^2-4>0
$$を解いてみよう。
よし、さっきの二次不等式を解いていくぞ。
まずは、
$$
y=x^2-4
$$
のグラフとx軸との共有点を求めよう。
x軸上では、
$$
y=0
$$
だから、
$$
x^2-4=0
$$
を解けばよい。
因数分解すると、
$$
(x+2)(x-2)=0
$$
となる。
したがって、
$$
x=-2
$$
または、
$$
x=2
$$
である。
つまり、放物線は、
$$
x=-2
$$
と、
$$
x=2
$$
でx軸と交わる。
では、
$$
y=x^2-4
$$
のグラフを考えてみよう。
この放物線は上に開いている。
そして、
$$
x=-2,\ 2
$$
でx軸と交わる。
すると、グラフは、
$$
x<-2
$$
の範囲ではx軸より上、
$$
-2<x<2
$$
の範囲ではx軸より下、
$$
2<x
$$
つまり、
$$
y>0
$$
つまりつまり、
$$
x^2-4>0
$$
となる範囲だった。
したがって、
$$
\boxed{x<-2,\ 2<x}
$$
となるんだ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。鹿と、出会ったな
これまでは、二次関数のグラフとx軸との共有点を考えてきたよな？？
たとえば、
$$
y=ax^2+bx+c
$$
とx軸との共有点を求めるときは、
$$
y=0
$$
として、
$$
ax^2+bx+c=0
$$
という二次方程式を解けばよかった。
でも、放物線が交わる相手はx軸だけとは限らない。
今回は、
放物線と一般の直線との共有点
について考えてみよう。
たとえば、次のような問題だ。
放物線、
$$
y=x^2-2
$$と直線、
$$
y=2x+1
$$の共有点の座標を求めてみよう。
よし、早速解いていくぞ。
解き方はズバリ、
直線と放物線の2つの式を連立して解く
だ。
共有点は、2つのグラフの両方にいる点だ。だから、2つの式を同時に満たすぞ。
放物線、
$$
y=x^2-2
$$
と、直線、
$$
y=2x+1
$$
を連立すると、
$$
\begin{cases}
y=x^2-2\\
y=2x+1
\end{cases}
$$
となる。
ここで、どちらの式も左辺が、
$$
y
$$
になっているよな。
共有点では、この2つのyの値が同じになる。
したがって、
$$
x^2-2=2x+1
$$
と置けばよい。
同じ点なら、同じxに対するyも同じだ。だから右辺どうしをイコールで結べるぞ。
では、
$$
x^2-2=2x+1
$$
を解いていこう。
右辺を左辺に移項すると、
$$
x^2-2x-3=0
$$
となる。
因数分解すると、
$$
(x+1)(x-3)=0
$$
だから、
$$
x=-1
$$
または、
$$
x=3
$$
となる。
これで、共有点のx座標が求められた。
次は、y座標を求めよう。
求めた、
$$
x=-1
$$
を、直線、
$$
y=2x+1
$$
に代入する。
すると、
$$
y=2(-1)+1
$$
$$
y=-2+1
$$
$$
y=-1
$$
となる。
したがって、1つ目の共有点は、
$$
\boxed{(-1,\ -1)}
$$
である。
次に、
$$
x=3
$$
を、
$$
y=2x+1
$$
に代入する。
すると、
$$
y=2\cdot3+1
$$
$$
y=6+1
$$
$$
y=7
$$
となる。
したがって、もう1つの共有点は、
$$
\boxed{(3,\ 7)}
$$
である。
よって、放物線、
$$
y=x^2-2
$$
と、直線、
$$
y=2x+1
$$
の共有点は、
$$
\boxed{(-1,\ -1),\ (3,\ 7)}
$$
となる。
まずxを求めて、そのxをどちらかの式に戻せばyも出る。共有点の完成だ。
よし、以上だ。
今回は、放物線と直線の共有点の求め方を確認した。
やることはシンプルだ。
放物線、
$$
y=f(x)
$$
と、直線、
$$
y=g(x)
$$
の共有点では、2つのyの値が同じになる。
だから、
$$
f(x)=g(x)
$$
としてxを求めればよい。
そして、求めたxをどちらかの式に代入すれば、y座標も求められる。
ようは、
共有点は2つの式を同時に満たす点だから、2つの式を連立する
ってことだな。
放物線だろうが直線だろうが、共有点なら両方の式に所属している。日直かつ保健係、みたいなもんだ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。公園、最高
二次関数とx軸の共有点の個数は、判別式、
$$
D=b^2-4ac
$$
を使えば調べられたよな？？
前回の記事では、
$$
D>0
$$
なら共有点は2個、
$$
D=0
$$
なら共有点は1個、
$$
D<0
$$
なら共有点は0個、
という基本を確認したことを思い出してくれ。
今回は、さらに一歩進んで、
二次関数の式に文字kが含まれている場合
を考えるぞ。
たとえば、次のような問題だ。
二次関数、
$$
y=x^2-8x+k
$$のグラフとx軸の共有点の個数が、定数、
$$
k
$$の値によってどのように変わるか調べてみよう。
このような問題では、
kの値によって判別式Dの符号が変わり、その結果、x軸との共有点の個数も変化する
んだ。
一緒に解いていくぞ。
x軸上では、
$$
y=0
$$
である。
したがって、二次関数、
$$
y=x^2-8x+k
$$
とx軸との共有点を考えるには、
$$
x^2-8x+k=0
$$
という二次方程式を考えればよい。
この二次方程式の実数解の個数が、そのままx軸との共有点の個数になる。
共有点の個数を知りたいなら、まずy=0。あとはできた二次方程式の実数解が何個あるかを調べるぞ。
よし、次は判別式を作っていくぞ。
二次方程式、
$$
x^2-8x+k=0
$$
について、
$$
a=1
$$
$$
b=-8
$$
$$
c=k
$$
である。
したがって、判別式は、
$$
D=b^2-4ac
$$
より、
$$
D=(-8)^2-4\cdot1\cdot k
$$
となる。
計算すると、
$$
D=64-4k
$$
である。
さらに、
$$
D=4(16-k)
$$
と表せる。
ここから、
$$
16-k
$$
の符号によって場合分けすればよい。
場合1：D>0のとき
まず、
$$
D>0
$$
の場合を考える。
$$
D=4(16-k)
$$
なので、
$$
4(16-k)>0
$$
となる。
4は正の数だから、
$$
16-k>0
$$
を考えればよい。
したがって、
$$
k<16
$$
である。
このとき、二次方程式、
$$
x^2-8x+k=0
$$
は異なる2つの実数解をもつ。
したがって、二次関数のグラフはx軸と異なる2点で交わる。
よって、
$$
\boxed{k<16のとき共有点は2個}
$$
である。
場合2：D=0のとき
次に、
$$
D=0
$$
の場合を考える。
$$
4(16-k)=0
$$
なので、
$$
16-k=0
$$
である。
したがって、
$$
k=16
$$
となる。
このとき、二次方程式は重解をもつ。
したがって、放物線はx軸に接する。
よって、
$$
\boxed{k=16のとき共有点は1個}
$$
である。
D=0は、放物線がx軸にちょうど触れる状態だ。共有点は1個になるぞ。
場合3：D<0のとき
最後に、
$$
D<0
$$
の場合を考える。
$$
4(16-k)<0
$$
なので、
$$
16-k<0 $$ となる。 したがって、 $$ k>16
$$
である。
このとき、二次方程式は実数解をもたない。
したがって、放物線はx軸と交わらない。
よって、
$$
\boxed{k>16のとき共有点は0個}
$$
である。
以上より、二次関数、
$$
y=x^2-8x+k
$$
とx軸との共有点の個数は、
$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
k<16 & 2個\\ k=16 & 1個\\ k>16 & 0個
\end{array}
}
$$
となる。
つまり、
$$
k<16 $$ なら2点で交わり、 $$ k=16 $$ ならx軸に接し、 $$ k>16
$$
ならx軸と交わらない。
よし、以上だ。
今回は、文字kを含む二次関数について、x軸との共有点の個数を判別式で場合分けする方法を確認した。
ようは、
判別式Dを作って、D=0になる値を境目として場合分けする
ってことだな。
文字が入ってもやることは同じだ。判別式を作って、D=0になる値を境目に、正・0・負へ場合分けすればいいぞ。
それじゃあな。
