「一次方程式」には色々なタイプがあるけど、中には
分数と小数の両方を含む厄介な奴
がいるんだよね。
例えば次のような問題さ。
次の方程式を解け。
$$\frac{x}{4}-\frac{2x-7}{3}=x + 3.5$$
次のステップを踏むと解けるよ。
最初にすべきことは
「小数」を「分数」にすることだ。
これによって、分数だけの方程式に進化させるのさ。
分数だけの方程式にしてあげればもう大丈夫。分数を含む方程式の解き方なら知っているもんね。
この問題でいうと、小数の$3.5$を分数にして$\frac{35}{10}$にするんだ。
これで分数だけの方程式のできあがり。
$$\frac{x}{4}-\frac{2x-7}{3}=x + 3.5$$
$$\frac{x}{4}-\frac{2x-7}{3}=x + \frac{35}{10}$$
あとは、分数を含む方程式の解き方でとくだけ。
セオリー通り、分母の最小公倍数を両辺にかけて分数を消し去ろう。
例題では、
っていう3つの分数項があるから、こいつらの分母に注目。
分母の4、3、10の最小公倍数は「60」だね。
よって、方程式の両辺に60をかけると、
$$\frac{x}{4}-\frac{2x-7}{3}=x + \frac{35}{10}$$$$15x-20(2x-7)=60x +210$$
になる。
方程式から分数がなくなったから、あとはいつも通りに一次方程式を解くだけ。
$$15x-20(2x-7)=60x +210$$
この状態では、（）を含む方程式になっているから、分配法則でカッコを展開しよう。
$$15x-20(2x-7)=60x +210$$$$15x-40x + 140=60x +210$$
$$-85x =70$$
$$x =-\frac{14}{17}$$
になるはずだね。
こんな感じで、小数を分数にしてやれば、あら不思議。
小数と分数が含まれていようが、分数だけの方程式に様変わりだ。
テスト前によーく復習しておこう。
そんじゃねー
Ken
立体の問題ではこんな問題もあるっぽいよ。
次の立体の表面積を求めよ。
なんと、
円柱を2つ重ねた立体
の登場だ。
しかも「表面積」を求めろ、と。
今まで口を酸っぱく、
表面積を求める前に展開図をかこう
と言ってきたけど、この問題はちょっと例外。
なぜなら、展開図をかくのがむずいからね。
展開図はスルーしよう。
その代わり、
「底面積」と「側面積」を別々に計算して最後に足す
っていう解き方がおすすめ。
まず底面積を求めよう。
底面は、
の3つだね。
こいつらの面積を計算して最後に足せばいいんだ。
まず、小さい円柱の上面の底面積（上図1）。
半径3 cmの円だから、円の面積公式「半径×半径×円周率」で計算すると、
$$3×3×π$$
$$= 9π[cm^2]$$
だ。
次は真ん中のドーナッツのような図形（上図2）。
大きい円（半径6cm）から、小さい円（半径3 cm）の面積を引けばいいね。
（大きい円の面積） – （小さい円の面積）で計算すると、
$$ （6×6×π）- （3×3×π）$$
$$= 27π[cm^2]$$
になるね。
最後は下に敷かれているでかい円の面積。
こいつは半径6cmの円だから「半径×半径×円周率」で面積を計算すると、
$$6×6×π$$
$$= 36π[cm^2]$$
になる。
これらの底面積をぜーんぶ足してやると、
$$9π + 27π + 36π$$
$$= 72π[cm^2]$$
になるね。
次は側面積を求めよう。
「上の円柱の側面（1）」と「下の円柱の側面（2）」の面積を足せばいいんだ。
ここで円柱の側面積の求め方の復習ね。
直径×高さ×円周率
で計算できたよね？
上下の円柱の側面積を「（小さい円柱の表面積）＋（大きい円柱の表面積）」で足すと、
$$（6π × 5）+ （12π × 5）$$
$$= 30π + 60π$$
$$= 90π[cm^2]$$
になる。
あとは底面積と側面積を足すだけ。
「底面積＋側面積」を計算すると、
$$72π + 90π$$
$$= 162π [ cm² ]$$
になるはず。
こんな感じで、円柱が2つくっついていようが、基本は変わらない。
表面積を求めるために、底面積と側面積を足すのさ。
そんじゃねー
Ken
よくテストに出てくるのが「式の値」。
シンプルにいうと、
ある値を文字式に代入する
という問題だ。
今日は式の値の応用問題に挑戦しよう。
いきなり数字を代入したいだろうけど、ちょっと待った！
代入前にやることがあるんだ。
それは、
求めやすいように文字式を変形させること。
計算が楽になったり、問題の突破口が開けたりするよ。
例題だと、
$$2x² + xy + 2y²$$
の値を求めたいよね。
ただ、このままだと求めにくいから、文字式を変形させてあげよう。
がわかっているから、これらを使って値を出しやすいように式を変形。
具体的にいうと、
$$2x² + xy + 2y²$$
$$= 2(x+y)² – 3xy$$
のように「$x + y$」と「$xy$」だけであらわすといいね。
これなら代入しやすくなる。
あとは代入するだけ。
$$2(x+y)² – 3xy$$
に
を代入して、
$$2(x+y)² – 3xy$$
$$= 2 × 1² – 3 × (-3)$$
$$= 2 + 9$$
$$= 11$$
になるね。
こんな感じで、式の値のコツは、
代入前に式をいかに変形させるか
ってこと。
代入前に式の形を整えてみよう。
そんじゃねー
Ken
ルート関係でよく出てくるのはこの問題。
一度解きほぐせばすぐに解けるようになるよ。
知っておきたいのは、
ルートの中身が「何かの2乗」になれば自然数になること。
ルートの中身が何かの2乗なら、ルートが外れて自然数になるよね。
例えば、$\sqrt{5}$の2乗だったら、ルートが外れて自然数「5」になるはず。
例題ではルートの中身が「$54a$」だったから、「$54a$」が何かの数字を2乗になるように、$a$を調整すればいい。
ルートの中身を素因数分解しよう。
例題では、ルートの中身が
$54a$
だったから、$a$の前にある54を素因数分解しよう。
詳しくは「素数分解のやり方」で復習してみてね。
素因数分解すると、
$$54 = 2 × 3³$$
になるね。
素因数の指数に注目しよう。
指数とは、
数字についている乗数のこと
だ。
例えば「$3^2$」なら「2」が指数ってこと。
例題では54が
$$2 × 3³$$
に素因数分解できた。
それぞれの因数の「2」と「3」の指数をみると、
になってる。
どの因数の指数も「奇数」ってことだ。
ルートが自然数になるのは、
ルートの中身が「何かの2乗」になるとき
だ。
この場合だと「2」と「3」の指数がぜんぶ偶数になるときさ。
指数が偶数になるパターンは複数考えられるけど、最小の労力で済むのが、
「2」と「3」を1つずつかける方法。
これによって、「$54 = 2 × 3³$」が
$$2² × 3⁴$$
になって、因数の指数がすべて偶数になるね。
だから、54にかける$a$は「 2と3を1個ずつかけた」6が正解だ。
$a$を6とすれば、$\sqrt{54a}$は18という自然数になるはず。
こんな感じでルートの問題と見せかけて、
素因数分解の応用問題だったわけだ。
テストに出やすいからよく復習しておこう。
そんじゃねー
Ken
一次方程式で出てきやすいのが
かっこ（）
がついたバージョン。
例えばこんなやつかな↓
次の方程式を解いて。
$$5 ( x + 1 ) = 3 ( 2x -3 )$$
解き方は次の3ステップだよ。
「かっこ」がついていたら、分配法則を使おう。
「分配法則」とは、
かっこ内の項に1つ1つかけて、すべて足す
という計算方法だったね。
たとえば、
$$a × ( b + c )$$
という式があったしよう。
この時、かっこ前の「a」を、中身の「b」と「c」にかけて、そして足して、
$$a × ( b + c )$$
$$= a × b + a × c$$
になるのさ。
例題で分配法則を使うと、
$$5 ( x + 1 ) = 3 ( 2x -3 )$$
$$5x + 5 = 6x – 9$$
になるはず。
かっこを外したら、あとは移項するだけ。
左に文字、右に数字を移項してみよう。
移項とは、
= の反対側に項を移動させる作業
のことだったね。
例題を移項で整理すると、
$$5x + 5 = 6x – 9$$
$$5x – 6x = -9 – 5$$
$$- x = – 14$$
になるはず。
「xの係数」で割ろう。
例題では、xの係数が「-1」 だから両辺を「-1」で割ると、
$$- x = – 14$$
$$x = 14$$
になる。これでやっとxが求められたね。
でもでもでもさ？
たまに、
かっこ前に「分数」がある問題
も出るよね。
例えば次のようなやつ↓
次の方程式を解いて。$$\frac{1}{3}（x + 2）＝ \frac{1}{2}（2x + 1）$$
さっきと解き方は同じだけど、分配法則の前に、
分数を消し去る
という手順が必要さ。
つまり、
分母の「最小公倍数」を両辺にかけるんだ。
例題だと、分母の「3」と「2」の最小公倍数は「6」。
よって、6を両辺にかけると、
$$\frac{1}{3}（x + 2）＝ \frac{1}{2}（2x + 1）$$
$$6 × \frac{1}{3}（x + 2）＝6 × \frac{1}{2}（2x + 1）$$
$$2 ( x + 2 ) = 3 ( 2x + 1 )$$
になるね。
さっきと同じ「かっこつきの方程式」になったから、同じように解いて、
$$2 ( x + 2 ) = 3 ( 2x + 1 )$$$$2x + 4 = 6x + 3$$$$-4x = -1$$
$$x = \frac{1}{4}$$
と出る。
あと、もう1つ出てきやすいのが、
掛け算じゃなくて「割り算」のパターン。
たとえば、次のような問題かな。
次の方程式を解いてね。$$（x + 4）÷ 2 = （2x + 1）÷ 3$$
この手の問題では、
「割り算」を「掛け算」に直すといいよ。
ずばり、
「÷」後の数字を分母にした分数をかればいいんだ。
例題だと、
$$（x + 4）÷ 2 = （2x + 1）÷ 3$$
$$（x + 4）× \frac{1}{2} = （2x + 1）× \frac{1}{3}$$
になる。
これは「分数がかっこの前についているパターン」と同じさ。
さっきと同じように、分母の最小公倍数を両辺にかければいいんだ。
$$（x + 4）× \frac{1}{2} = （2x + 1）× \frac{1}{3}$$
$$（x + 4）× \frac{1}{2} × 6= （2x + 1）× \frac{1}{3}× 6$$
$$3 ( x + 4 ) = 2 ( 2x + 1 )$$
$$3x + 12 = 4x + 2$$
$$-x = -10$$
$$x = 10$$
テストに割と出やすいからよーく復習しておこう。
そんじゃねー
Ken
「一次関数の利用」で必ず出てくるのが、
点が動く問題。
ちまたでは、
動点の問題
と呼ばれているやつだ。
一番テストに出てくるのは「1つの点が動くパターン」。
だけど、厄介なことに、たまーに、
「2つの点が動く」問題が出ることもある。
例えば次のような問題さ。
AD = 4 cm、BC = 6 cm、 CD = 4 cm、∠C = ∠D = 90°の台形ABCDがある。
2点P、QはそれぞれA、Cを同時に出発し、点Pは辺AD上を、点Qは辺BC上をどちらも毎秒 1 cmの速さで動く。
端まで行けば折り返し、12秒間動くものとする。点P、Qが動き始めてからx秒後の4点A、B、P、Qを結んでできる図形の面積をy cm² とする。
（1） 0 ≤ x ≤ 12のとき、xとyの関係を表すグラフをかきなさい。
（2）四角形ABQPの面積が、台形ABCDの面積の4分の1になるのは点P、Qが動き始めてから何秒後ですか。
今日はこの応用問題を気合いで乗り切っていこう。
一次関数の動点では、
変域がいくつできるのか？
と見通しをつけるといいよ。
この問題では
点PがAから、点QがCから毎秒1cmの速さで動く
という条件があるね？
しかも、辺の端まできたら折り返して、12秒間動く、らしい。
12秒で四角形ABQPの面積 (y)はどのように変化するんだろう？？
分け方のポイントは、
動点が頂点に到着するタイミングで分ける
だよ。
ADはBCより短いから最初に、点PがDに着く。
そして、点Pに遅れてちょっとして点QがBに辿り着く。
PとQは、頂点にたどり着くタイミングが微妙に異なるから、4つの変域が考えられそう。
それぞれの変域で、四角形ABCDの面積の変化をみればいいんだ。
まずはPがAを出発してからDに着くまで。
図をかくとわかるけど、四角形ABQPは台形になる。
で、面積を求めるために、
という辺の長さが必要だね。
ポイントはBQの長さ。
QはCからスタートしてBに向かっているから
$$CQ＝ x cm$$
そして、そいつをBCの長さ 6 cm から引いたやつがCQの長さになるから、
$$BQ= BC – CQ$$
$$= 6 – x$$
になる。
さて。ここで台形ABQPの面積yを計算しよう。
（上の辺＋下の辺）×（高さ）÷2
だったから、
$$y = （AP＋BQ）× DC ÷ 2$$
$$= (x ＋6 -x）× 4 ÷ 2$$
$$= 12$$
になる。
0〜4秒では、台形ABQPの面積はずーっと12ってこと。
PがDに到着して、折り返しを始めたら、四角形ABQPの面積は変化するよ。
この場合、APの長さが変化してきていて、
$$8 – x$$
になってるはず。
ADを2倍した長さから、Pが動いた距離「x」を引くとAPになるね。
ただ、相変わらず四角形ABQPは台形さ。
同じように台形の面積 y を計算すると、
$$y = （AP＋BQ）× DC ÷ 2$$
$$= (8-x ＋6 -x）× 4 ÷ 2$$
$$= -4x + 28$$
になる。
この式から分かるのは、
このフェーズ（$0 ≤ x ≤ 4$）では時が経つにつれて面積が小さくなるってこと。
お次はPがDに到着して、PがAに戻るまでの時間。
6〜8 秒までだね。
ここでのポイントは、BQの長さが変化していること。
QはＢに到着して、折り返しているから、
BQ＝
Qが進んだ距離 – BCの長さ
= x – 6
になる。
すると、四角形ABQP（というか台形）の面積yを計算すると、
$$y = （AP＋BQ）× DC ÷ 2$$
$$= (8-x ＋x – 6）× 4 ÷ 2$$
$$= 4$$
になるね。
あら不思議。
またまた面積yが一定になっちゃった。
最後はQがCに戻るまで。
このタイミングは、Pが2回目にDに到着するタイミングでもあるとも言えるね。
変域で表すと
$$8 ≤ x ≤ 12$$
になる。
この時ポイントは、APの長さが変化していること。
PはAに到着して、折り返してDを目指しているはず。
だから、
APの長さ
=Pが進んだ距離 – ADの2倍の距離
= x – 8
になる。
四角形ABQP（というか台形）の面積yを計算すると、
$$y= （AP＋BQ）× DC ÷ 2$$
$$= (x – 8 ＋x – 6）× 4 ÷ 2$$
$$= 4x – 28$$
になる。
ふう、これで全部の変域における関数式が出せたぜ。
それぞれの式をグラフにするとこんな感じ。
あと1つやることがある。
それは、例題の（2）の
四角形ABQPの面積が、台形ABCDの面積の4分の1になるのはいつ？
に答えること。
つまり、これ、
yが特定の値になる時のxを求めよ
という問題だ。
まずは「台形ABCDの面積の4分の1」がいくつか探っていこう。
台形ABCDは上辺が4、下辺が6、高さが4の台形だから、
$$（4 + 6 ）× 4 ÷ 2$$
$$= 20 cm²$$
という面積になる。この4分の1は「$5 cm²$」だ。
ここで、さっき適当にかいたグラフに注目。
yが「5 」になっている箇所を探してみると、2つヒットだ。
という2つの変域でyが5になる瞬間があるじゃないか。
ということで、これら2つの変域の関数にそれぞれ$y＝5$を代入して、その時のxを求めればいいことになる。
まず、QがＢに着くまで（$4 ≤ x ≤ 6$）の場合。
$$y = -4x + 28$$
に $y = 5$を代入すると、
$$5 = -4x + 28$$
$$x= \frac{23}{4}$$
になるね。
あと1つは、QがCに戻るまで（$8 ≤ x ≤ 12$）の場合。
$$y = 4x -28$$
に$y = 5$を代入しよう。
すると、
$$5 = 4x -28$$
$$x = \frac{33}{4}$$
になる。
ってことで、四角形ABQPの面積yが$5 cm²$になる時間は、
の2つだ。
いやーほんとおつかれさま。
動点が2つあるとこんなに厄介だとは思わんかったな。
応用問題では出現することがあるから対策しておこう。
そんじゃねー
Ken
前回、「平行な2直線の求め方」を勉強してきたね？
今回はそれと似たようなやつで、
ある直線に「垂直な」式を求める問題
にチャレンジしよう。
例えば、次のような問題↓
状況を図にかくとこんな感じ。
点線になっている一次関数の式を求めるんだ。
この手の問題は次の方法で解けるはず。
2直線が垂直だったらわかること。
それは、
2直線の傾きをかけたら 「- 1」になる
こと。
例えば「$y = – 3x + 4$」に垂直な直線の傾きを考えてみよう。
傾き「- 3」にかけたら 「- 1」になる傾きを求めればいいんだ。
求めたい直線の傾きを「a」とすると、
$$- 3 a = -1$$
$$a = \frac{1}{3}$$
と出てくるね。
って感じで、垂直ってヒントから、一次関数の傾きがわかっちまうんだ。
さっきのステップで$y = ax + b$の傾きが分かった。
あとは座標を代入して「切片b」を求めよう。
例題では
点（3, – 1）を通る
っていうヒントがあったから、この座標を代入しよう。
すでに傾きは$\frac{1}{3}$とわかったから、
$$y = \frac{1}{3} x + b$$
$$-1 = \frac{1}{3} × 3 + b$$
$$b = -2$$
となるね。
ここで疑問に思うのが、
垂直な2直線の傾きをかけたらなぜ「- 1」になるのか？
ってこと。
シンプルでわかりやすいけど、理由を教えてもらえないとしっくりこないよね。
これを証明するには、中学3年生でならう三平方の定理を使うよ。
例えば$y =mx$、$y = nx$という1次関数（比例）があったとしよう。
そして、直線上にx座標が「1」の点A、Bがあるシチュエーションを想像してくれ。
このとき、ABの長さはAのy座標からBのy座標を引いて
$$m – n$$
になるはず。
三平方の定理を使うと
$$OA ＝\sqrt{(1² + m²)} $$
$$OB ＝ \sqrt{(1² + n²)}$$
と計算できる。
直角三角形OABに注目して、三平方の定理を使うと、
$$AB² = OA² + OB²$$
$$(m – n)^2 = {\sqrt{(1² + m²)}}^2 + {\sqrt{(1² + n²)}}^2$$
$$2mn = -2$$
$$mn = -1$$
となる。
「m」と「n」は垂直な直線の傾きだから、
垂直な2直線の傾きをかけると-1になる
って証明できるね。
こんな感じで、垂直な直線の傾きをかけると -1 になるから便利。
ついでに、なぜそうなるのかを理解しておけば怖いものなしだ。
テストに出てきやすいからよーく復習しておこう。
そんじゃねー
Ken
一次関数でわりと出てくるのは
平行な直線の式を求めよ
ってやつ。
例えば次の問題↓
よく出てくるわりに、解き方がワンパターン。
1度解けるようになれば大丈夫。
一次関数の「傾き」から求めよう。
問題文でわかっているのは
「とある直線」と平行
ってこと。
2直線が平行だとわかることが1つ。
それは、
傾きが等しい
ってこと。
一次関数の「傾き」とは、変化の割合のことで、
xが1増加したとき y がどれぐらい変化するか？
を表していたね。
2つの直線が平行ってことは、
xが1変化した時の y の変化量も同じであるはず。
変化の割合（傾き）が違っていたとしたら、平行ではなく、どっかしらで交わっちゃう。
よって、平行な2直線の傾きは等しいはずだね。
例題では
直線 y = – 3 x + 4 と平行
って言ってるから、求めたい傾きは、 y = – 3 x + 4 の傾き「-3」と等しいはず。
一次関数 y = ax + bの傾き「a」が「-3」ってことだから、
y = -3x + b
になる。
これでステージクリアにしたいけど、まだ解けたことにならないよ。
なぜなら、一次関数y =ax + bのうち、切片「b」が不明だからさ。
bの正体をつかんだらはじめて、直線の式が求められたことになる。
ってことで、切片bを求めるため、座標を直線の式に代入しよう。
例題だと、
y = -3x + b
に
点（2, -1）
という座標を代入するんだ。
すると、
y = -3x + b
-1= -3 × 2 + b
b = 5
になる。
つまり、切片bは「5」だから、直線の全体の式は、
y = -3x + 5
になるはず。
こんな感じで、
「2直線が平行」 → 「傾きが等しい」
を知っていれば難しいことはないね。
次は「垂直な2直線の式の求め方」を勉強していこう。
そんじゃねー
Ken
食塩水の問題は、食塩水ってだけで厄介だけど、たまに、
混ぜる系の文章問題
が出てくるんだ。
例えばこんな感じ↓
この文章題の特徴は、
混ぜている
ってこと。
食塩水をちょっと取り出して、代わりに水を混ぜちゃってる。
いかにも難しそうだけど、冷静になって次の4ステップを踏めば解けるよ。
まずは、ゆっくりと、
問題内容を図で整理してみよう。
さっきの例題では、
12%の食塩水600gからxg取り出し、取り出した分だけ水を加えて、その結果600g7.2%の食塩水になったんだね？
この様子を図にあらわすとこんな感じだ↓
図を描くときのポイントは、
を食塩水の下にメモすることだよ。
問題でわかっている情報を整理してみよう。
食塩水を混ぜようが捨てようが、方程式の文章問題の鉄則は変わらない。
それは、
「求めたいもの」を文字でおく
だ。
例題だと、
くみ出した食塩水の量（重さ）
を求めたいから、こいつを「x g」と置いてやろう。
食塩水をかき混ぜようが、塩を新たに加えようが、シェイクしようが、
食塩水の文章題では「食塩の重さ」で等式を作る
のが鉄則。
例題だと、
（くみだす前の食塩の重さ） – （くみ出した食塩の重さ）=（残った食塩の重さ）
という等式を作ってあげればいいね。
具体的にいうと、
（600 g 12%の食塩水に入ってる食塩の重さ）-（x g 12%の食塩水に入ってる食塩の重さ）= （600g 7.2% 食塩水に含まれる食塩の重さ）
になる。
ここで思い出したいのが食塩水の公式。
食塩水の重さは、
（食塩の重さ）＝（食塩水の重さ）× （濃度）
で求められたよね。
公式を使って式を立てると、
600×100分の12 – x ×100分の12 = 600×100分の7.2
になる。
この方程式はなんという偶然か「分数を含む方程式」。
分数が含まれている場合、分母の最小公倍数を両辺にかけるのが常套手段だったね。
分母の最小公倍数「100」を両辺にかけると、
600×100分の12 – x ×100分の12 = 600×100分の7.2
12（600-x） = 600 × 7.2
x = 240
となる。
xはくみ出した食塩水の重さだったから、答えは「240 g」だ。
という感じで、混ぜる系の食塩水も冷静になればノープロブレム。
諦めずにチャレンジしてみてね。
そんじゃねー
Ken
世界にはいろんな一次方程式の問題があるけど、やっぱり厄介なのが、
道のり・速さの文章問題だね。
これまで
を勉強してきたけど、もう一個、今日は文章問題にチャレンジしてみよう。
それは、
どっちかが早く着いちゃったパターン
だ。
例えば次のような問題 ↓
この文章題では、兄が弟よりも速く移動しちゃってるから、
兄が弟より14分早く到着している。
うん、これがまさしく「早く着いちゃった系の速さの文章題」だ。
3ステップを踏めば解けるはずだよ。
この問題でも「方程式の文章題の鉄板セオリー」が使えるね。
それは、
求めたいものをXとおく
だ。
例えば、例題では、
Ａ町からＢ町までの道のりを求めなさい
と言ってるよね？
だから「Ａ〜Ｂまでの道のり」を「x km」と置けばいいんだ。
ここで冷静になって、道のり・速さの公式を思い出そう。
速さの公式は、
（道のり）÷（速さ）＝ （移動にかかった時間）
だったよね。
公式を使うと、何が求められそうか見てみよう。
文章題では、
兄と弟の速さ
が分かっていて、かつ、さっき「A〜Ｂの距離」を「x」にしたよね。
ということは、現段階で
がわかってるってこと。
この2つで「道のり・速さの公式」を使うと、
弟と兄が「AからＢまでの移動」にかかった時間
が計算できそうだ。
ということで、公式で計算できそうな「移動にかかった時間」で等式を作ってみよう。
が、しかし、だよ？
ここで問題がひとつ発生だ。
それは、
兄と弟の移動時間が等しくない
ってこと。
問題文には、
兄のほうが14分早く着きました
って書いてあるよね。
兄と弟のかかった時間を等しくさせるためには、
兄の時間に「早く着いて余った時間」を足せば「弟の移動時間」に等しくなるはず。
つまり、
（弟の移動時間）＝（兄の移動時間）＋（早く着いて余った時間）
という等式を作ればいいことになる。
速さの公式によると、
（道のり）÷（速さ）＝ （移動にかかった時間）
だったから「A〜Bまでの道のり」を「x km」とすると、
x ÷ 5 ＝ x ÷ 6 ＋14分
になる。
ただし、ここで注意したいのが「時間の単位」だ。
公式で求めた「x ÷ 5 」とか「x ÷ 6」とかの単位は「時間」。
なぜなら、道のりの単位は「km」で、速さの単位は「毎時km」だったからだね。
等式を成り立たせるためには、
「14分」の単位を「分」じゃなくて「時間」に直せばいいんだ。
そのために、14を60で割ればいいね。
ってことで、さっきの等式は
（A〜Ｂの道のり）÷（弟の速さ）＝（A〜Ｂの道のり）÷（兄の速さ）＋14分
x ÷ 5 ＝ x ÷ 6 ＋14÷ 60
5分のx = 6分のx + 60分の14
になる。
あとは解くだけ。
5分のx = 6分のx + 60分の14
は「分数を含む方程式」。
分母の最小公倍数を両辺にかけて分数を消せばいいね。
今回の方程式では、
という3つの分母で、こいつらの最小公倍数は60。
ってことで、両辺に60をかけてみよう。
すると、
5分のx = 6分のx + 60分の14
12x = 10x + 14
2x = 14
x = 7
となる。
xは「ＡからＢまでの道のり」としていたから、
ＡからＢは 7 km 離れている、とわかったね。
こんな感じで、「どっちかが早く着いちゃった文章題」でもやることは一緒。
でいいんだ。
テストに出やすいからよーく復習しておこう。
そんじゃねー
Ken
中学数学では「角度を求める問題」が出てくるけど、中でも厄介なのが
図形が折られちゃっているパターンだ。
例えばこんな感じの問題↓
長方形の紙を次のように折りました。角度xを求めなさい
じつは、図形の折り返しの問題もカンタン。
2つのコツを知っていれば解けるようになるよ。
図形を折り返ししても、
元の図形の「長さ」や「角度」は変わらない
ことが大原則。
つまり、
折る前の図形
と
折られて移動した図形
はまったく同じってことだね。
たとえば、この三角形を
こんな感じでおったら、
こうなって、
AとBはまったく同じ三角形ってわけ。
業界用語でいうと、2つの図形は「合同」といえるね。
合同であることから、
折り返して移動しても「辺の長さ」や「角度」は変わらない、と言えるんだね。
なぜなら、合同な図形は対応する角度、
辺の長さがそれぞれ等しいっていう性質があるからだ。
詳しくは「合同な図形の性質」を復習してみてね。
ここで1つ目の図形を見てみよう。
ここが折り目になっていて、
右下の四角形（台形）が左上に移動したわけだ。
「折る前の図形」と「移動した実線の図形」は合同。
つまり、長さや角度はそのままだから、角度がすでにわかってるところがあるね。
左上の角度は90度。
そして、三角形の内角の和は180度だから、180から90と32を引いて、
180 – 90 – 32
= 58
となって、残りの内角で58度。
さらに対頂角を使って、小さい三角形の内角の1つも58度。
三角形の内角の和は180で、1つが直角90度だから、残りは32度。
で、さらに小さな三角形で対頂角を使う。
あとはミニ三角形で「外角の性質」を使って
90 + 32
=122
で、xは「122度」になるはず。
こんな感じで、
折り返しても長さや角度が変わらない
と知っておけば、折り返しの問題も解けるはずだよ。
さっきのことを応用してやると、図形の折り目は「角の二等分線」になってるはずだ。
なぜなら、折る前と折った後の図形が合同だからだね。
2つ目の例題を見てみよう。
この図形は2箇所で折られていて、折り目が2箇所ついているね。
折り目が「角の二等分線」であることを使うと、
折り目を挟んでいる角度が等しい
ことになる。
それぞれa、bと置いてやると、
2a + 2b + 40 = 180
っていう方程式が作れるね。
「 a + b 」について解いてあげると、
2a + 2b + 40 = 180
a + b = 70
ってなる。
この問題ではラッキーなことに、
角度 xは「a とbを足したもの」に「40度」を加えたものだ。
よって、「a + b + 40」がxになるはずだね。
ってことで、「a + b + 40」を計算してみると、
a + b + 40
=70 + 40
= 110
と出てくる。
つまり、xは110度ってわけ。
こんな感じで、図形を折り返している角度の問題は、
さえ知っていれば大丈夫。
ガンガン問題を解いていこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。博物館、ハマったね。
世の中にはいろいろな立体が存在しているけど、中には
扇形が底面の立体
もあるみたいだね。
例えばこんな感じ↓
街を歩いていると、次のような底面が扇形の立体が出現した。この立体の表面積を求めよ
この手の問題は次の5ステップで解けるよ。
底面が「扇」だろうが「四角」だろうが「三角」だろうが、やることは一緒。
表面積を求める問題では、
まず展開図をかいてみよう。
なぜなら、
展開図をかくと、どの図形の面積を求めれば表面積が計算できるのか？
という全体像が見えてくるからだ。
ってことで、例題で出てきた立体の展開図はこんな感じ↓
上下に底面の扇形が2つ。
そいつらが長方形をサンドイッチしているような展開図がかけたはず。
の面積を計算して、ぜーんぶ足せば表面積が出そうだね。
ということで、扇形の底面積から求めよう。
円周率×半径×半径×中心角÷360
だったね？
例題の扇形は
だから、まんま公式にぶちこんでやって、
円周率×半径×半径×中心角÷360
= π × 4 × 4 × 90 ÷ 360
= 4π [ cm² ]
となるね。
これが扇形1つの面積だ。
お次は側面積。
こいつさえ分かれば、表面積が計算できるね。
展開図をかいてみてわかったのは
側面の「縦の長さ」はわかっているけど「横の長さ」がわからない
っていう事態。
具体的に言うと、真ん中の「赤い辺の長さ」がわからない。。
がしかし、だよ？
「うっわ、ダメじゃん、表面積求められねえ」
と諦めるのはまだ早い。
長さがわからない辺の長さは、
底面の「扇形の弧と重なる部分」なんだ。
つまり、扇形の弧の長さを求めてやれば、この長さがわかるわけだ。
直径×円周率×中心角÷360
だから、扇形の弧の長さは
であることを使うと、
直径×円周率×中心角÷360
= 8 × π × 90 ÷ 360
= 2π [ cm ]
になるね。
これを使ってやると、側面の横の長さは、
4 + 2π + 4
= 2π + 8 [ cm ]
になるはず。
側面の長方形の縦と横の長さがわかったね。
あとは長方形の面積公式の
（タテの長さ）×（ヨコの長さ）
で側面積を計算すればオッケーだ。
だから、
（タテの長さ）×（ヨコの長さ）
= 10 ×（2π + 8）
= 20π + 80 [ cm² ]
になるね。
あとは表面積を求めるだけ。
さっきも言ったけど、この立体の表面積は
をぜーんぶ足せば計算できるね。
つまり、
（扇形の面積）× 2 + （長方形の面積）
だ。
ここまで求めてきた
を使うと、
（扇形の面積）× 2 + （長方形の面積）
= 4π × 2 + 20π + 80
= 28π + 80 [ cm² ]
と表面積が計算できる。
っていう感じで、底面が扇形だろうが、立体の表面積を求める問題はすべて、
とりあえず展開図をかいてみることが大事。
これによって、
がわかってくるはずだ。
そんじゃねー
Ken
