よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。教科書、最高。
前回、二次関数のx軸との共有点を求めたよな？？
今回考えるのは、
共有点が何個あるか
だ。
えっ、個数なんてヒーフーミーと数えていけばどうにかなりそうだって？？
たしかに、そうかもしれねえ。
だがしかし、共有点の個数なら、二次方程式を最後まで解かなくても、
$$
D=b^2-4ac
$$
という判別式を使えば判断できるんだ。
二次関数、
$$
y=ax^2+bx+c
$$
について、判別式を、
$$
D=b^2-4ac
$$
とする。
すると、x軸との共有点の個数は、
$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
D>0 & 共有点は2個\\
D=0 & 共有点は1個\\
D<0 & 共有点は0個
\end{array}
}
$$
となるぞ。
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
二次関数、
$$
y=2x^2-5x-3
$$のグラフとx軸の共有点が何個あるかを調べてみよう。
二次関数は、
$$
y=2x^2-5x-3
$$
である。
したがって、
$$
a=2
$$
$$
b=-5
$$
$$
c=-3
$$
である。
判別式は、
$$
D=b^2-4ac
$$
である。
数値を代入すると、
$$
D=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)
$$
となる。
$$
=(-5)^2+24
$$
$$
=25+24
$$
$$
=49
$$
である。
したがって、
$$
D=49>0
$$
となる。
よし、Dが出たな。
ここでさっきの表を思い出してくれ。
$$
D>0
$$
なので、二次方程式、
$$
2x^2-5x-3=0
$$
は異なる2つの実数解をもつ。
ゆえに、二次関数、
$$
y=2x^2-5x-3
$$
のグラフはx軸と異なる2点で交わるってことだな。
よって、
$$
\boxed{共有点は2個}
$$
である。
共有点の個数だけなら、解の公式でxを求める必要はないぞ。Dが正か、0か、負かを見るだけだ。
よし、判別式 Dを計算すれば二次関数の共有点の数を計算できそうだな。
でも、
なぜ判別式でx軸との共有点の個数がわかるのか、スッキリさせたいよな。
二次関数、
$$
y=ax^2+bx+c
$$
のグラフとx軸との共有点では、
$$
y=0
$$
となる。
したがって、共有点のx座標を求めるには、
$$
ax^2+bx+c=0
$$
という二次方程式を解けばよいことになる。
つまり、x軸との共有点の個数は、二次方程式の実数解の個数と同じなんだ。
二次方程式、
$$
ax^2+bx+c=0
$$
の解は、解の公式より、
$$
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
となる。
ここで注目したいのが、平方根の中にある、
$$
b^2-4ac
$$
である。
これを、
$$
D=b^2-4ac
$$
とすると、解の公式は、
$$
x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}
$$
と書ける。
この√Dの部分が、実数としてどのような値になるかによって、実数解の個数が決まるんだ。
$$
D>0
$$
なら、
$$
\sqrt{D}
$$
は0より大きい実数になる。
そのため、
$$
x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}
$$
と、
$$
x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}
$$
という、異なる2つの実数解が得られる。
したがって、放物線とx軸との共有点は、
$$
\boxed{2個}
$$
となる。
$$
D=0
$$
なら、
$$
\sqrt{D}=0
$$
となる。
そのため、
$$
x=\frac{-b}{2a}
$$
という1つの実数解だけになる。
したがって、放物線はx軸にちょうど接し、共有点は、
$$
\boxed{1個}
$$
となる。
$$
D<0
$$
では、
$$
\sqrt{D}
$$
を実数の範囲で求めることができない。
そのため、
$$
ax^2+bx+c=0
$$
は実数解をもたない。
つまり、放物線とx軸は交わらないので、共有点は、
$$
\boxed{0個}
$$
となる。
まとめると、
$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
D>0 & 実数解2個 \rightarrow 共有点2個\\
D=0 & 実数解1個 \rightarrow 共有点1個\\
D<0 & 実数解0個 \rightarrow 共有点0個
\end{array}
}
$$
となる。
ポイントは、判別式が直接グラフを調べているわけではないということ。
判別式によって二次方程式の実数解の個数がわかり、その実数解がそのままx軸との共有点のx座標になる。
だから、判別式の値を調べることで、x軸との共有点の個数までわかるんだ。
共有点が何個あるかを聞かれたら判別式Dだ。Dが正なら2個、0なら1個、負なら0個。ここはセットで覚えよう。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。惣菜コーナーは、週一な
前回は、二次関数の式からグラフとx軸の共有点を求めたよな。
今回は、その逆だ。
つまり、
共有点の座標から二次関数の式を求める
ってことよ。
たとえば、次のような問題だ。
x軸と、
$$
(-2,\ 0)
$$$$
(4,\ 0)
$$で交わり、点、
$$
(1,\ -9)
$$を通る放物線をグラフとする二次関数を求めてみよう。
今日はこの問題の解き方を解説していくぞ。
よし、さっきの例題を一緒に解いていくぞ。
x軸との共有点のx座標は、
$$
-2
$$
と、
$$
4
$$
である。
x軸上の点では、
$$
y=0
$$
となる。
つまり、この二次関数は、
$$
x=-2
$$
のときと、
$$
x=4
$$
のときに、(y=0) になる。
したがって、求める二次関数は、
$$
y=a(x+2)(x-4)
$$
となる。
なぜなら、
x=-2, 4のどちらを入れても0になるような式であるはずだからな。
よし、問題にはあと手がかりが1つあったよな。
この放物線は、点、
$$
(1,\ -9)
$$を通る。
ってやつだ。
したがって、
$$
x=1
$$
$$
y=-9
$$
を、
$$
y=a(x+2)(x-4)
$$
へ代入するぞ。
すると、
$$
-9=a(1+2)(1-4)
$$
$$
-9=a\cdot3\cdot(-3)
$$
$$
-9=-9a
$$
$$
a=1
$$
となる。
$$
a=1
$$
を、
$$
y=a(x+2)(x-4)
$$
へ代入する。
すると、
$$
y=(x+2)(x-4)
$$
となる。
したがって、求める二次関数は、
$$
\boxed{y=(x+2)(x-4)}
$$
である。
展開すると、
$$
y=x^2-2x-8
$$
となる。
よって、
$$
\boxed{y=x^2-2x-8}
$$
と答えてもよい。
共有点から因数分解された形を作り、通る点を代入してaを決める。最後は因数分解された形でも、展開した形でも表せるぞ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、二次関数のグラフとx軸の共有点を求めるぞ。
二次関数のグラフをかくと、放物線が、
x軸と交わること
がある。
このとき、放物線とx軸の両方に含まれる点を、
共有点
というんだ。
二次関数、
$$
y=ax^2+bx+c
$$
のグラフは放物線になるよな？？
この放物線がx軸と交わる点が、二次関数とx軸の共有点だ。
x軸上にある点は、
$$
(\text{x座標},\ 0)
$$
という形をしている。
たとえば、
$$
(2,\ 0)
$$
や、
$$
(-3,\ 0)
$$
は、どちらもx軸上の点である。
つまり、x軸との共有点では、必ず、
$$
y=0
$$
が成り立つ。
x軸の高さは0だ。だから、放物線がx軸まで下りてきた場所では、y=0になるぞ。
共有点では、
$$
y=0
$$
なので、
$$
ax^2+bx+c=0
$$
となる。
これは二次方程式である。
この二次方程式を解いて得られた解が、共有点のx座標になる。
たとえば、二次方程式の解が、
$$
x=1,\ 5
$$
なら、共有点は、
$$
(1,\ 0)
$$
$$
(5,\ 0)
$$
である。
したがって、基本的な流れは、
$$
y=0とおく
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
二次方程式を解く
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
解を共有点のx座標にする
$$
となる。
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
二次関数、
$$
y=x^2-6x+5
$$のグラフとx軸の共有点の座標を求めてみよう。
x軸との共有点では、
$$
y=0
$$
である。
そこで、
$$
y=x^2-6x+5
$$
において、
$$
y=0
$$
とおく。
すると、
$$
x^2-6x+5=0
$$
となる。
この二次方程式を解けば、共有点のx座標がわかる。
$$
x^2-6x+5
$$
を因数分解する。これは中学数学で勉強した基本の公式でいけそうだな。
積が、
$$
5
$$
和が、
$$
-6
$$
になる2数は、
$$
-1
$$
と、
$$
-5
$$
である。
したがって、
$$
x^2-6x+5
$$
$$
=(x-1)(x-5)
$$
となる。
よって、
$$
(x-1)(x-5)=0
$$
である。
積が0になるためには、少なくとも一方が0になればよい。
したがって、
$$
x-1=0
$$
または、
$$
x-5=0
$$
である。
それぞれ解くと、
$$
x=1
$$
$$
x=5
$$
となる。
二次方程式の解、
$$
x=1
$$
$$
x=5
$$
は、共有点のx座標である。
また、共有点はx軸上にあるため、y座標は、
$$
0
$$
である。
したがって、共有点は、
$$
\boxed{(1,\ 0)}
$$
$$
\boxed{(5,\ 0)}
$$
となる。
二次方程式の答えが1と5でも、共有点の答えは座標だ。最後は必ず、\((1,0)\)、\((5,0)\)と書こう。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。
二次関数の最大値・最小値を求める問題、いろいろやってきたよな？
今回は、
二次関数の係数に文字が含まれちゃってる問題
に挑戦していくぞ。
たとえば、次のような問題だ。
$$
a
$$を定数とする。
二次関数、
$$
y=x^2-2ax+a^2+2
$$について、定義域が、
$$
1\leqq x\leqq4
$$であるとき、最大値と最小値を求めてみよう。
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
まずはお馴染みの平方完成からだ。
与えられた関数は、
$$
y=x^2-2ax+a^2+2
$$
である。
最初の3項は、
$$
(x-a)^2
$$
と表せる。
したがって、
$$
y=(x-a)^2+2
$$
となる。
よって、頂点は、
$$
(a,\ 2)
$$
であり、軸は、
$$
x=a
$$
である。
また、2乗の前の係数が正なので、グラフは上に開く放物線である。
上に開く放物線では、頂点に近いほど、
$$
y
$$
の値が小さくなる。
したがって、定義域、
$$
1\leqq x\leqq4
$$
の中で、軸、
$$
x=a
$$
に最も近い点を探せばよい。
場合1：a<1のとき
$$
a<1
$$
なら、軸、
$$
x=a
$$
は定義域の左側にある。
定義域、
$$
1\leqq x\leqq4
$$
は、すべて軸の右側にある。
上に開く放物線は、軸の右側では増加する。
したがって、定義域内では、
$$
x
$$
が増えるにつれて、
$$
y
$$
も増加する。
よって、最小値をとるのは、定義域の左端、
$$
x=1
$$
である。
$$
x=1
$$
を代入すると、
$$
y=(1-a)^2+2
$$
となる。
展開すると、
$$
y=1-2a+a^2+2
$$
$$
=a^2-2a+3
$$
である。
したがって、
$$
a<1
$$
のとき、
$$
\boxed{x=1のとき最小値a^2-2a+3}
$$
をとる。
場合2：1≦a≦4のとき
$$
1\leqq a\leqq4
$$
なら、軸、
$$
x=a
$$
は定義域内にある。
つまり、頂点、
$$
(a,\ 2)
$$
も定義域内にある。
上に開く放物線では、頂点で最小値をとる。
したがって、
$$
x=a
$$
のとき、最小値、
$$
2
$$
をとる。
よって、
$$
1\leqq a\leqq4
$$
のとき、
$$
\boxed{x=aのとき最小値2}
$$
である。
軸が定義域の中に入れば、頂点をそのまま使える。上に開くので、頂点のy座標2が最小値だ。
場合3：a>4のとき
$$
a>4
$$
なら、軸、
$$
x=a
$$
は定義域の右側にある。
定義域、
$$
1\leqq x\leqq4
$$
は、すべて軸の左側にある。
上に開く放物線は、軸の左側では減少する。
したがって、定義域内では、
$$
x
$$
が増えるにつれて、
$$
y
$$
は小さくなる。
よって、最小値をとるのは、定義域の右端、
$$
x=4
$$
である。
$$
x=4
$$
を代入すると、
$$
y=(4-a)^2+2
$$
となる。
展開すると、
$$
y=16-8a+a^2+2
$$
$$
=a^2-8a+18
$$
である。
したがって、
$$
a>4
$$
のとき、
$$
\boxed{x=4のとき最小値a^2-8a+18}
$$
をとる。
以上より、最小値は、
$$
\boxed{
\begin{array}{ll}
a<1のとき & x=1で最小値a^2-2a+3 \\[6pt] 1\leqq a\leqq4のとき & x=aで最小値2 \\[6pt] a>4のとき
&
x=4で最小値a^2-8a+18
\end{array}
}
$$
となる。
上に開く放物線では、軸から遠いほど、
$$
y
$$
の値が大きくなる。
したがって、最大値は定義域の左右の端点のうち、軸から遠い方でとる。
定義域の左端は、
$$
x=1
$$
右端は、
$$
x=4
$$
である。
軸は、
$$
x=a
$$
なので、左右の端から軸までの距離を比較する。
左端から軸までの距離は、
$$
|1-a|
$$
である。
右端から軸までの距離は、
$$
|4-a|
$$
である。
この2つの距離が等しくなる位置が、最大値の場合分けの境目になる。
ってことで、左右の端点の値が等しくなるaを求めるぞ。
$$
x=1
$$
のとき、
$$
f(1)=(1-a)^2+2
$$
である。
$$
x=4
$$
のとき、
$$
f(4)=(4-a)^2+2
$$
である。
この2つが等しくなる条件を求める。
$$
(1-a)^2+2=(4-a)^2+2
$$
両辺から2を引くと、
$$
(1-a)^2=(4-a)^2
$$
となる。
展開すると、
$$
a^2-2a+1=a^2-8a+16
$$
である。
両辺から、
$$
a^2
$$
を引くと、
$$
-2a+1=-8a+16
$$
となる。
両辺に、
$$
8a
$$
を加えると、
$$
6a+1=16
$$
である。
したがって、
$$
6a=15
$$
より、
$$
a=\frac{5}{2}
$$
となる。
つまり、軸が定義域の中央、
$$
x=\frac{5}{2}
$$
にあるとき、左右の端点の値が等しくなる。
最大値の場合1：a<5/2のとき
$$
a<\frac{5}{2}
$$
なら、軸は定義域の中央より左側にある。
このとき、右端、
$$
x=4
$$
の方が軸から遠い。
したがって、最大値は、
$$
x=4
$$
でとる。
最大値は、
$$
(4-a)^2+2
$$
である。
展開すると、
$$
a^2-8a+18
$$
となる。
よって、
$$
a<\frac{5}{2}
$$
のとき、
$$
\boxed{x=4のとき最大値a^2-8a+18}
$$
である。
最大値の場合2：a=5/2のとき
$$
a=\frac{5}{2}
$$
なら、軸は定義域の中央にある。
左端、
$$
x=1
$$
と、右端、
$$
x=4
$$
は軸から同じ距離にある。
したがって、両端で同じ最大値をとる。
$$
x=1
$$
を代入すると、
$$
y=
\left(1-\frac{5}{2}\right)^2+2
$$
$$
=
\left(-\frac{3}{2}\right)^2+2
$$
$$
=
\frac{9}{4}+\frac{8}{4}
$$
$$
=
\frac{17}{4}
$$
となる。
よって、
$$
a=\frac{5}{2}
$$
のとき、
$$
\boxed{x=1,\ 4のとき最大値\frac{17}{4}}
$$
をとる。
最大値の場合3：a>5/2のとき
$$
a>\frac{5}{2}
$$
なら、軸は定義域の中央より右側にある。
このとき、左端、
$$
x=1
$$
の方が軸から遠い。
したがって、最大値は、
$$
x=1
$$
でとる。
最大値は、
$$
(1-a)^2+2
$$
である。
展開すると、
$$
a^2-2a+3
$$
となる。
よって、
$$
a>\frac{5}{2}
$$
のとき、
$$
\boxed{x=1のとき最大値a^2-2a+3}
$$
である。
以上より、最大値は、
$$
\boxed{
\begin{array}{ll}
a<\frac{5}{2}のとき & x=4で最大値a^2-8a+18 \\[8pt] a=\frac{5}{2}のとき & x=1,\ 4で最大値\frac{17}{4} \\[8pt] a>\frac{5}{2}のとき
&
x=1で最大値a^2-2a+3
\end{array}
}
$$
となる。
最小値は軸が定義域の左・中・右のどこにあるかを見る。最大値は、左右の端点のうち軸から遠い方を選ぶんだ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。
二次関数の最大値・最小値を求める問題では、定義域が、
$$
0\leqq x\leqq4
$$
のように、具体的な数で与えられることが多い。
だがしかし、定義域が、
$$
0\leqq x\leqq a
$$
のように、文字を含む場合もあるんだ。
たとえば、次のような問題だ。
$$
a
$$を正の定数とする。
二次関数、
$$
y=x^2-4x+1
$$について、定義域が、
$$
0\leqq x\leqq a
$$であるとき、最大値と最小値を求めてみよう。
ただし、
$$
a>0
$$とする。
この場合、最大値・最小値を1つの式だけで答えられず、
aの値による場合分け
が必要になるぞ。
今日は、この問題の解き方を解説していく。
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
まず、二次関数、
$$
y=x^2-4x+1
$$
を平方完成する。
$$
x^2-4x
$$
について、
$$
(x-2)^2=x^2-4x+4
$$
なので、
$$
x^2-4x=(x-2)^2-4
$$
である。
したがって、
$$
y=(x-2)^2-4+1
$$
となる。
よって、
$$
y=(x-2)^2-3
$$
である。
この放物線の頂点は、
$$
(2,\ -3)
$$
であり、軸は、
$$
x=2
$$
である。
また、2乗の前の係数が正なので、放物線は上に開く。
放物線の軸は、
$$
x=2
$$
である。
上に開く放物線なので、
$$
x\leqq2
$$
の範囲では、xが増えるにつれてyは減少する。
一方、
$$
x\geqq2
$$
の範囲では、xが増えるにつれてyは増加する。
つまり、
$$
x=2
$$
を境に、
$$
減少
\quad\longrightarrow\quad
増加
$$
へ変わる。
定義域の右端、
$$
x=a
$$
が軸のどちら側にあるかによって、最小値をとる場所が変わる。
最小値については、右端、
$$
x=a
$$
が頂点、
$$
x=2
$$
まで届くかどうかを考える。
0<a<2の場合
定義域は、
$$
0\leqq x\leqq a
$$
であり、
$$
a<2
$$
である。
したがって、定義域全体が軸、
$$
x=2
$$
の左側にある。
この範囲では、xが増えるにつれてyは減少する。
よって、最も右にある、
$$
x=a
$$
のとき、最小値をとる。
$$
x=a
$$
を関数に代入すると、
$$
y=a^2-4a+1
$$
となる。
したがって、
$$
0<a<2
$$
のとき、
$$
\boxed{x=aのとき最小値a^2-4a+1}
$$
である。
a=2の場合
定義域は、
$$
0\leqq x\leqq2
$$
である。
右端が頂点、
$$
x=2
$$
と一致する。
したがって、
$$
x=2
$$
のとき、最小値、
$$
-3
$$
をとる。
a>2の場合
$$
a>2
$$
なら、定義域、
$$
0\leqq x\leqq a
$$
の中に頂点、
$$
x=2
$$
が含まれる。
上に開く放物線では、頂点が最も低い点である。
したがって、
$$
x=2
$$
のとき、最小値、
$$
-3
$$
をとる。
最小値の答え
以上より、最小値は、
$$
0<a<2
$$
のとき、
$$
x=a
$$
で、
$$
a^2-4a+1
$$
である。
また、
$$
a\geqq2
$$
のとき、
$$
x=2
$$
で、
$$
-3
$$
である。
まとめると、
$$
\boxed{
\begin{array}{ll}
0<a<2のとき
&
x=aで最小値a^2-4a+1
\\[6pt]
a\geqq2のとき
&
x=2で最小値-3
\end{array}
}
$$
となる。
最小値では、右端aが頂点x=2まで届くかを見る。届かなければ右端、届けば頂点が最小になるぞ。
お次は最大値だ。
0<a<4の場合
$$
0<a<4
$$
では、右端、
$$
x=a
$$
は、
$$
x=4
$$
より左側にある。
この範囲では、
$$
f(a)<1
$$
または、aが十分小さい場合でも、
$$
f(a)\leqq1
$$
となる。
したがって、左端、
$$
x=0
$$
で最大値、
$$
1
$$
をとる。
よって、
$$
0<a<4
$$
のとき、
$$
\boxed{x=0のとき最大値1}
$$
である。
a=4の場合
右端は、
$$
x=4
$$
である。
$$
f(0)=1
$$
$$
f(4)=1
$$
なので、左右の端で同じ最大値をとる。
したがって、
$$
a=4
$$
のとき、
$$
\boxed{x=0,\ 4のとき最大値1}
$$
である。
a>4の場合
$$
a>4
$$
なら、右端、
$$
x=a
$$
は、
$$
x=4
$$
よりさらに右側にある。
このとき、右端は軸、
$$
x=2
$$
から左端より遠くなる。
したがって、
$$
f(a)>f(0)
$$
となる。
よって、
$$
x=a
$$
のとき最大値をとる。
最大値は、
$$
f(a)=a^2-4a+1
$$
である。
したがって、
$$
a>4
$$
のとき、
$$
\boxed{x=aのとき最大値a^2-4a+1}
$$
となる。
最大値の答え
以上より、最大値は、
$$
\boxed{
\begin{array}{ll}
0<a<4のとき & x=0で最大値1 \\[6pt] a=4のとき & x=0,\ 4で最大値1 \\[6pt] a>4のとき
&
x=aで最大値a^2-4a+1
\end{array}
}
$$
である。
よし、以上だ。
今回は、二次関数の最大値・最小値について、動く定義域をaの値で場合分けする方法を確認したな。
この手の問題では、
を順番に調べることが重要だ。
場合分けの数字を暗記する必要はない。頂点まで届く地点と、左右の端点が同じ高さになる地点を自分で求めればいいんだ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、二次関数を使った文章題を解くぞ。
高校数学Iの二次関数では、たまに文章題が出題されるよな。
例えば、次のような問題さ。
長さ、$24\mathrm{m}$のフェンスを使って、まっすぐな壁に接する長方形の花壇を作る。
壁に接する辺にはフェンスを設置せず、残りの3辺だけをフェンスで囲む。
花壇の面積を最大にするには、壁に垂直な辺を何mにすればよいだろうか。
また、そのときの花壇の最大面積を求めてみよう。
こんな感じの二次関数の文章題が出ても、まあ落ち着けよな。
文章題では、次の順番で考えるといいぞ。
文章題では、いきなり平方完成するんじゃない。まず、どの長さをxと置けば面積を表しやすいかを考えるんだ。
よし、今回は「壁に垂直な辺の長さ」を、$x$mとするぞ。
壁に垂直な辺を何mにすればよいだろうか。
って問題に書いてあるからな。文章題で求めたいものをxと置くのが鉄則だ。
同じ長さの辺が2本あるので、この2辺に使うフェンスの長さは、
$$
2x
$$
mである。
フェンス全体の長さは、
$$
24\mathrm{m}
$$
なので、残りの壁と平行な辺の長さは、
$$
24-2x
$$
mとなるな。
文章中で、
花壇の最大面積を求めてみよう。
って書いてあるから、求めたい量は「花壇の最大面積」で間違いないよな。
ってことで、花壇の面積を、$S$平方メートルとする。
長方形の面積は、
$$
縦\times横
$$
である。
したがって、
$$
S=x(24-2x)
$$
となる。
これを展開すると、
$$
S=24x-2x^2
$$
である。
項の順番を整えると、
$$
S=-2x^2+24x
$$
となる。
これで、花壇の面積を、
$$
x
$$
の二次関数として表すことができた。
文章題では、式を作ったあとに、
$$
x
$$
がとれる範囲を確認する必要がある。
壁に垂直な辺の長さは正なので、
$$
x>0
$$
である。
また、壁と平行な辺の長さ、
$$
24-2x
$$
も正でなければならない。
したがって、
$$
24-2x>0
$$
である。
この不等式を解くと、
$$
-2x>-24
$$
両辺を、
$$
-2
$$
で割るので、不等号の向きが変わり、
$$
x<12
$$
となる。
よって、定義域は、
$$
0<x<12
$$
である。
面積は、
$$
S=-2x^2+24x
$$
であった。
これを平方完成する。
まず、
$$
-2
$$
をくくり出す。
$$
S=-2(x^2-12x)
$$
となる。
ここで、
$$
x^2-12x
$$
を平方完成する。
$$
(x-6)^2=x^2-12x+36
$$
なので、
$$
x^2-12x=(x-6)^2-36
$$
である。
したがって、
$$
S=-2\{(x-6)^2-36\}
$$
となる。
かっこを外すと、
$$
S=-2(x-6)^2+72
$$
である。
平方完成すると、花壇の面積は、
$$
S=-2(x-6)^2+72
$$
と表せる。
この式のグラフは、頂点が、
$$
(6,\ 72)
$$
である下に開く放物線になる。
また、花壇として成立するための定義域は、
$$
0<x<12
$$
である。
グラフを見ると、定義域内で最も高い点は頂点であることがわかる。
頂点の、
$$
x
$$
座標は、
$$
6
$$
であり、
$$
0<6<12
$$
なので、頂点は定義域内に含まれている。
したがって、
$$
x=6
$$
のとき、面積は最大になる。
そのときの面積は、頂点の、
$$
S
$$
座標である、
$$
72
$$
平方メートルである。
よって、
$$
\boxed{x=6\mathrm{m}のとき最大面積72\mathrm{m}^2}
$$
となる。
面積の式は下に開く放物線になる。頂点のx座標が6なので、x=6のとき面積が最大だ。
よし、あとは壁と平行な辺の長さだ。
$24-2x$mだから、
$$
24-2\cdot6
$$
となる。
計算すると、
$$
24-12=12
$$
である。
したがって、面積が最大になるときの花壇は、
$$
壁に垂直な辺：6\mathrm{m}
$$
$$
壁と平行な辺：12\mathrm{m}
$$
となる。
よし、以上だ。
今回は、二次関数の文章題として、フェンスを使って作る花壇の面積を最大にする方法を確認した。
という解き方だったが、つまりは
問題文で求めたいものをxと置いて、あとはいつも通りに二次関数の問題を解けばいいんだな。
文章から二次関数を作れれば、あとは平方完成して頂点を調べるだけだ。長さをxで表し、面積の式を作る流れを身につけよう。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。ラーメンは、1日2杯までな
二次関数の問題では、関数の式に、
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
などの未知の定数が含まれていることがある。
たとえば、次のような問題だ。
二次関数、
$$
y=x^2-6x+c
$$について、定義域が、
$$
1\leqq x\leqq5
$$であり、最大値が、
$$
4
$$であるとする。
このとき、定数、
$$
c
$$の値を求めて。
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
まず、
$$
y=x^2-6x+c
$$
を平方完成する。
$$
x^2-6x
$$
について、
$$
(x-3)^2=x^2-6x+9
$$
なので、
$$
x^2-6x=(x-3)^2-9
$$
である。
したがって、
$$
y=(x-3)^2-9+c
$$
となる。
よって、
$$
y=(x-3)^2+c-9
$$
である。
$$
y=(x-3)^2+c-9
$$
より、放物線の軸は、
$$
x=3
$$
である。
頂点は、
$$
(3,\ c-9)
$$
となる。
また、2乗の前の係数は正なので、放物線は上に開く。
定義域は、
$$
1\leqq x\leqq5
$$
であり、
$$
x=3
$$
は定義域内にある。
したがって、頂点で最小値をとる。
最大値は、定義域の端点でとる。
まず、左端、
$$
x=1
$$
での値を求める。
$$
y=(1-3)^2+c-9
$$
$$
=4+c-9
$$
$$
=c-5
$$
となる。
次に、右端、
$$
x=5
$$
での値を求める。
$$
y=(5-3)^2+c-9
$$
$$
=4+c-9
$$
$$
=c-5
$$
となる。
この定義域は軸、
$$
x=3
$$
を中心として左右対称なので、両端で同じ値をとる。
したがって、この関数の最大値は、
$$
c-5
$$
である。
問題より、最大値は、
$$
4
$$
である。
したがって、
$$
c-5=4
$$
という方程式ができる。
両辺に5を加えると、
$$
c=9
$$
となる。
よって、求める定数は、
$$
\boxed{c=9}
$$
である。
最大値が4だからといって、すぐy=4とするだけでは足りない。まず最大値をとる場所が、左右の端点だと判断するんだ。
$$
c=9
$$
なので、関数は、
$$
y=(x-3)^2+9-9
$$
となる。
したがって、
$$
y=(x-3)^2
$$
である。
頂点は、
$$
(3,\ 0)
$$
なので、
$$
x=3
$$
のとき、最小値、
$$
0
$$
をとる。
よって、答えは、
$$
\boxed{c=9}
$$
$$
\boxed{x=3のとき最小値0}
$$
である。
オッケー、以上だ。
ここまでの問題を解く手順を整理しよう。
まず、二次関数を平方完成して、
$$
y=a(x-p)^2+q
$$
の形にする。
これにより、軸、
$$
x=p
$$
と、頂点、
$$
(p,\ q)
$$
がわかる。
次に、定義域との位置関係から、最大値・最小値をとる、
$$
x
$$
を判断するっていう流れだったな。
基本から飛び出しそうな問題だが、やることは基本問題と同じだ。
最大値・最小値から定数を求めるときは、平方完成、軸、定義域、端点の順に確認する。条件を使う場所を決めてから方程式を作ろう。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、二次関数で最大値や最小値が存在しない場合を考えるぞ。
二次関数の最大値・最小値を求めるときは、平方完成して頂点を調べたよな？
で、定義域が指定されている場合は、定義域の端点での値も確認した。
でもな、たまーに、
最大値・最小値がない二次関数っていうのもあるんだ。
最大値や最小値がないのは、
最大または最小になりそうな値に近づくことはできても、その値を実際にはとれないとき
だ。
たとえば、定義域が、
$$
1<x<5
$$
となっている場合を考える。
この定義域では、
$$
x=1
$$
と、
$$
x=5
$$
は含まれていない。
不等号に、
$$
=
$$
がついていないからだ。
つまり、
$$
x
$$
は1より大きく、5より小さい値をとるが、1と5そのものにはならない。
たとえば、
$$
x=1.1
$$
$$
x=1.01
$$
$$
x=1.001
$$
のように、1に限りなく近づくことはできる。
しかし、
$$
x=1
$$
をとることはできない。
同じように、
$$
x=4.9
$$
$$
x=4.99
$$
$$
x=4.999
$$
のように、5へ限りなく近づけるが、
$$
x=5
$$
にはならない。
端点にはいくらでも近づける。でも、その点自体は定義域に入っていない。ここが重要だぞ。
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
二次関数、
$$
y=x^2-6x+7
$$について、定義域が、
$$
1<x<5
$$であるとき、最大値と最小値を求めてみよう。
この問題では、
$$
x=1
$$
と、
$$
x=5
$$
を定義域に含んでないよな？？
さあ、どうなることやら。
$$
y=x^2-6x+7
$$
を平方完成する。
$$
x^2-6x
$$
について、
$$
(x-3)^2=x^2-6x+9
$$
なので、
$$
x^2-6x=(x-3)^2-9
$$
である。
したがって、
$$
y=(x-3)^2-9+7
$$
となる。
整理すると、
$$
y=(x-3)^2-2
$$
である。
よって、放物線の頂点は、
$$
(3,\ -2)
$$
であり、軸は、
$$
x=3
$$
となる。
定義域は、
$$
1<x<5
$$
である。
頂点の、
$$
x
$$
座標は、
$$
3
$$
なので、
$$
1<3<5
$$
が成り立つ。
したがって、頂点は定義域内にある。
また、
$$
(x-3)^2\geqq0
$$
なので、
$$
y=(x-3)^2-2\geqq-2
$$
である。
等号が成り立つのは、
$$
x=3
$$
のときである。
$$
x=3
$$
は定義域に含まれているので、この関数は、
$$
x=3
$$
のとき、
$$
y=-2
$$
を実際にとる。
したがって、最小値は、
$$
-2
$$
である。
次に、最大値を考える。
放物線は上に開き、軸は、
$$
x=3
$$
である。
定義域、
$$
1<x<5
$$
の中では、頂点から最も離れた場所は左右の端に近いところである。
端点での値を計算すると、
$$
x=1
$$
のとき、
$$
y=(1-3)^2-2
$$
$$
=4-2
$$
$$
=2
$$
である。
また、
$$
x=5
$$
のときも、
$$
y=(5-3)^2-2
$$
$$
=4-2
$$
$$
=2
$$
となる。
しかし、定義域は、
$$
1<x<5
$$
なので、
$$
x=1
$$
と、
$$
x=5
$$
はどちらも使えない。
したがって、この関数は、
$$
y=2
$$
をとらない。
$$
x
$$
を1に限りなく近づけると、
$$
y
$$
は2に限りなく近づく。
また、
$$
x
$$
を5に限りなく近づけても、
$$
y
$$
は2に限りなく近づく。
しかし、
$$
x=1
$$
と、
$$
x=5
$$
は定義域に含まれていない。
そのため、
$$
y=2
$$
にはならない。
どの、
$$
y<2
$$
を選んでも、それより2に近い大きな値をとることができる。
したがって、最大値は存在しない。
この関数の値域は、
$$
-2\leqq y<2
$$
である。
よって、
$$
x=3
$$
のとき、最小値、
$$
-2
$$
をとるが、最大値はない。
yは2にいくらでも近づけるが、2にはならない。だから2を最大値とはいえないんだ。
以上より、
$$
x=3
$$
のとき、最小値、
$$
-2
$$
をとる。
一方、最大値はない。
したがって、答えは、
$$
\boxed{x=3のとき最小値-2}
$$
$$
\boxed{最大値はない}
$$
である。
よし、以上だ。
今回は、二次関数で最大値・最小値がない場合について、定義域の端点に注目して確認した。
定義域の端点を含まないときは要チェック。
を確認しような。
端点を含まないと、値には近づけても到達できないことがある。最大値・最小値では、等号が成り立つかどうかが決定的なんだ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。
前回、平方完成で二次関数の最大値・最小値を求める問題、やったよな？
でもな、たまに高校数学Iでは、
定義域がある場合の二次関数の最大値・最小値を求める問題
っていうのが出てくるんだ。
例えば、次のような問題だ。
二次関数、
$$
y=x^2-6x+10
$$について、定義域が、
$$
1\leqq x\leqq5
$$であるとき、最大値と最小値を求めてみよう。
定義域がある二次関数の最大値・最小値は、次の順番で求めるぞ。
このやり方で例題を一緒に解いてみよう。
まず、
$$
y=x^2-6x+10
$$
を平方完成する。
$$
x^2-6x
$$
について、
$$
(x-3)^2=x^2-6x+9
$$
なので、
$$
x^2-6x=(x-3)^2-9
$$
である。
したがって、
$$
y=(x-3)^2-9+10
$$
となる。
整理すると、
$$
y=(x-3)^2+1
$$
である。
$$
y=(x-3)^2+1
$$
より、頂点は、
$$
(3,\ 1)
$$
である。
また、軸は、
$$
x=3
$$
である。
定義域は、
$$
1\leqq x\leqq5
$$
なので、
$$
x=3
$$
は定義域内にある。
また、2乗の前の係数は正なので、放物線は上に開く。
したがって、頂点で最小値をとる。
$$
x=3
$$
のとき、
$$
y=1
$$
なので、最小値は、
$$
1
$$
である。
次に、定義域の左端、
$$
x=1
$$
での値を求める。
$$
y=(1-3)^2+1
$$
$$
=4+1
$$
$$
=5
$$
である。
したがって、
$$
x=1
$$
のとき、
$$
y=5
$$
となる。
次に、定義域の右端、
$$
x=5
$$
での値を求める。
$$
y=(5-3)^2+1
$$
$$
=4+1
$$
$$
=5
$$
となる。
したがって、
$$
x=5
$$
のときも、
$$
y=5
$$
である。
調べた値は、
$$
x=1のとき、y=5
$$
$$
x=3のとき、y=1
$$
$$
x=5のとき、y=5
$$
である。
したがって、
$$
x=1,\ 5
$$
のとき、最大値、
$$
5
$$
をとる。
また、
$$
x=3
$$
のとき、最小値、
$$
1
$$
をとる。
よって、答えは、
$$
\boxed{x=1,\ 5のとき最大値5}
$$
$$
\boxed{x=3のとき最小値1}
$$
である。
頂点が定義域の中にあるので、頂点が最小値になる。最大値は左右の端を比べるが、今回は両方とも5だな。
よし、もう一問解いてみよう。
二次関数、
$$
y=-x^2+2x+3
$$について、定義域が、
$$
2\leqq x\leqq4
$$であるとき、最大値と最小値を求めてみよう。
さっきの問題は頂点が定義域内にあったよな？
今回は定義域外にあるパターンだ。
まず、
$$
y=-x^2+2x+3
$$
を平方完成する。
最初の2項から、
$$
-1
$$
をくくり出す。
$$
y=-(x^2-2x)+3
$$
となる。
ここで、
$$
x^2-2x
$$
を平方完成する。
$$
(x-1)^2=x^2-2x+1
$$
なので、
$$
x^2-2x=(x-1)^2-1
$$
である。
したがって、
$$
y=-\{(x-1)^2-1\}+3
$$
となる。
かっこを外すと、
$$
y=-(x-1)^2+1+3
$$
である。
よって、
$$
y=-(x-1)^2+4
$$
となる。
$$
y=-(x-1)^2+4
$$
より、頂点は、
$$
(1,\ 4)
$$
である。
また、軸は、
$$
x=1
$$
である。
しかし、定義域は、
$$
2\leqq x\leqq4
$$
である。
したがって、
$$
x=1
$$
は定義域内にない。
頂点は、定義域の左側にある。
定義域内では、頂点から右へ離れるほど、
$$
y
$$
の値が小さくなる。
つまり、定義域内でこの関数は減少している。
定義域の左端は、
$$
x=2
$$
である。
$$
y=-(2-1)^2+4
$$
$$
=-1+4
$$
$$
=3
$$
となる。
したがって、
$$
x=2
$$
のとき、
$$
y=3
$$
である。
定義域の右端は、
$$
x=4
$$
である。
$$
y=-(4-1)^2+4
$$
$$
=-9+4
$$
$$
=-5
$$
となる。
したがって、
$$
x=4
$$
のとき、
$$
y=-5
$$
である。
定義域内では関数が減少している。
したがって、左端で最大値をとり、右端で最小値をとる。
よって、
$$
x=2
$$
のとき、最大値、
$$
3
$$
をとる。
また、
$$
x=4
$$
のとき、最小値、
$$
-5
$$
をとる。
答えは、
$$
\boxed{x=2のとき最大値3}
$$
$$
\boxed{x=4のとき最小値-5}
$$
である。
頂点はx=1だが、定義域は2から4までだ。頂点は使えないので、左右の端の値を比べればいいぞ。
よし、以上だ。
今回は、定義域がある二次関数の最大値・最小値の求め方を確認した。
要は、
平方完成して二次関数の頂点を求めて、定義域の中にあるのか、外にあるのか確認すりゃいいってことさ。
定義域がある場合は、平方完成して終わりではない。そこがスタートラインだ
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。公園が、癒し
高校数学Iでは、二次関数の最大値や最小値を求める問題、出てきちゃうよな。
例えば、次のような問題だ。
二次関数、
$$
y=x^2-6x+11
$$の最大値・最小値を求めてみよう。
このタイプの問題は業界では、
定義域がない場合の二次関数の最大値・最小値の問題
と呼ばれているぞ（たぶん）。
なぜなら、二次関数の最大値・最小値を求めないといけないんだけど、定義域が全く指定されていないからだな。
今日はこの二次関数の最大値・最小値を求める問題をわかりやすく解説していくぞ。
定義域がない二次関数の最大値・最小値は、次の順番で求める。
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
二次関数、
$$
y=x^2-6x+11
$$の最大値・最小値を求めてみよう。
まず、右辺を平方完成する。
$$
y=x^2-6x+11
$$
$$
x^2-6x
$$
を、
$$
(x-3)^2
$$
の形にする。
$$
(x-3)^2=x^2-6x+9
$$
なので、
$$
x^2-6x=(x-3)^2-9
$$
である。
したがって、
$$
y=(x-3)^2-9+11
$$
となる。
整理すると、
$$
y=(x-3)^2+2
$$
である。
$$
y=(x-3)^2+2
$$
より、頂点は、
$$
(3,\ 2)
$$
である。
また、2乗の前の係数は、
$$
1
$$
であり、正である。
したがって、放物線は下に凸である。
$$
(x-3)^2\geqq0
$$
なので、
$$
y=(x-3)^2+2\geqq2
$$
となる。
よって、
$$
x=3
$$
のとき、最小値、
$$
2
$$
をとる。
また、上方向へはどこまでも大きくなるので、最大値はない。
したがって、答えは、
$$
x=3のとき、最小値2
$$
であり、最大値はない。
平方完成すると、頂点は（3，2）だ。上へ開くので、頂点のy座標2が最小値になるぞ。
よし、もう1問解いてみようか。
$$
y=-2x^2+8x-5
$$
の最大値・最小値を求めてみよう。
まず、平方完成する。
$$
y=-2x^2+8x-5
$$
最初の2項から、
$$
-2
$$
をくくり出す。
$$
y=-2(x^2-4x)-5
$$
となる。
ここで、
$$
x^2-4x
$$
を平方完成する。
$$
(x-2)^2=x^2-4x+4
$$
なので、
$$
x^2-4x=(x-2)^2-4
$$
である。
したがって、
$$
y=-2\{(x-2)^2-4\}-5
$$
となる。
かっこを外すと、
$$
y=-2(x-2)^2+8-5
$$
である。
よって、
$$
y=-2(x-2)^2+3
$$
となる。
$$
y=-2(x-2)^2+3
$$
より、頂点は、
$$
(2,\ 3)
$$
である。
また、2乗の前の係数は、
$$
-2
$$
であり、負である。
したがって、放物線は上に凸である。
$$
(x-2)^2\geqq0
$$
なので、
$$
-2(x-2)^2\leqq0
$$
である。
よって、
$$
y=-2(x-2)^2+3\leqq3
$$
となる。
したがって、
$$
x=2
$$
のとき、最大値、
$$
3
$$
をとる。
また、下方向へはどこまでも小さくなるので、最小値はない。
答えは、
$$
x=2のとき、最大値3
$$
であり、最小値はない。
おし、以上だ。
今回は、定義域がない場合の二次関数の最大値・最小値について確認した。
二次関数を平方完成して、
$$
y=a(x-p)^2+q
$$
の形にする。
頂点は、
$$
(p,\ q)
$$
である。んで、グラフを想像して、最大値か最小値を求めてやりゃいいってことよ。
定義域がない二次関数では、平方完成して頂点を見つける。これで突破できる。
次は、定義域が指定されている場合の最大値・最小値を確認していこう。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。タワーで、回復だ
建物や塔、空中にある物体の高さは、巻尺を使って直接測ることが難しいよな？
なんせ、でかい。
しかし、
がわかれば、三角比を使って高さを計算できるんだ。
このように、距離や角度を利用して、直接測れない長さを求めることを、
測量
というぞ。
高校数学Iでは測量に関する次のような問題が登場する。
空中にある点Aの高さを求めるため、地上の2地点B、Cから点Aを観測した。
点Aの真下の地点を、
$$
D
$$とする。
地上の2地点B、Cの間の距離は、
$$
BC=60\mathrm{m}
$$である。
また、
$$
\angle ABC=45^\circ
$$$$
\angle ACB=105^\circ
$$$$
\angle ACD=60^\circ
$$であった。
このとき、点Aの高さ、
$$
AD
$$を求めてみよう。
今日はこの問題を一緒に解いてみよう。
今回の問題では、最初に正弦定理を使って、観測地点から対象までの斜めの距離を求める。
そのあと、直角三角形に注目し、sinを使って高さを求めるぞ。
具体的には次の4ステップを踏むことになる。
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
まず、三角形ABCに注目する。
三角形の内角の和は、
$$
180^\circ
$$
である。
したがって、
$$
\angle BAC
=
180^\circ
–
\angle ABC
–
\angle ACB
$$
となる。
値を代入すると、
$$
\angle BAC
=
180^\circ
–
45^\circ
–
105^\circ
$$
である。
よって、
$$
\angle BAC=30^\circ
$$
となる。
これで、三角形ABCについて、
$$
BC=60
$$
$$
\angle ABC=45^\circ
$$
$$
\angle BAC=30^\circ
$$
がわかった。
次に、三角形ABCに正弦定理を使う。
正弦定理より、
$$
\frac{AC}{\sin\angle ABC}
=
\frac{BC}{\sin\angle BAC}
$$
が成り立つ。
今回、
$$
\angle ABC=45^\circ
$$
$$
\angle BAC=30^\circ
$$
なので、
$$
\frac{AC}{\sin45^\circ}
=
\frac{60}{\sin30^\circ}
$$
となる。
この式を、
$$
AC
$$
について整理すると、
$$
AC
=
\frac{60\sin45^\circ}{\sin30^\circ}
$$
である。
ここで、
$$
\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}
$$
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
AC
=
\frac{
60\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}
}{
\frac{1}{2}
}
$$
となる。
分子を計算すると、
$$
60\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}
=
30\sqrt{2}
$$
である。
したがって、
$$
AC
=
30\sqrt{2}
\div
\frac{1}{2}
$$
となる。
分数で割るときは、その逆数をかけるので、
$$
AC
=
30\sqrt{2}\cdot2
$$
よって、
$$
AC=60\sqrt{2}
$$
となる。
三角形ABCでは、正弦定理を使ってACを求める。ACは点Cから空中の点Aまでの斜めの距離だ。
次に、三角形ACDに注目する。
点Dは点Aの真下にあるので、
$$
AD\perp CD
$$
である。
したがって、
$$
\angle ADC=90^\circ
$$
であり、三角形ACDは直角三角形である。
この直角三角形では、
$$
AC
$$
が斜辺である。
また、角ACDから見ると、
$$
AD
$$
は対辺である。
したがって、sinの定義より、
$$
\sin\angle ACD
=
\frac{AD}{AC}
$$
となる。
今回は、
$$
\angle ACD=60^\circ
$$
なので、
$$
\sin60^\circ
=
\frac{AD}{AC}
$$
である。
両辺に、
$$
AC
$$
をかけると、
$$
AD=AC\sin60^\circ
$$
となる。
ここに、
$$
AC=60\sqrt{2}
$$
を代入する。
$$
AD
=
60\sqrt{2}\sin60^\circ
$$
ここで、
$$
\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
なので、
$$
AD
=
60\sqrt{2}
\cdot
\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
となる。
係数を計算すると、
$$
60\div2=30
$$
である。
また、
$$
\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}
$$
なので、
$$
AD=30\sqrt{6}
$$
となる。
したがって、点Aの高さは、
$$
\boxed{30\sqrt{6}\mathrm{m}}
$$
である。
よし、以上だ。
空間図形の測量だろうと、2Dの平面の三角形を見つけられればこっちのものさ。
あとはこれまで習ってきた三角比の知識を活用して答えを求めればいいな。
直接測れない高さでも、測れる距離と角度を使えば計算できる。正弦定理で斜めの距離を求め、直角三角形で高さを取り出そう。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、数Iの空間図形の計量をやるぞ。
高校数学Iの空間図形の計量、やっかいだよな。
三角比はてっきり2Dの世界かと思ってたらいきなり3Dだもん。
例えば次のような問題が出てくる。
1辺の長さが3の正四面体ABCDがある。
辺BCの中点を、
$$
M
$$とする。
また、頂点Aから線分MDへ下ろした垂線を、
$$
AH
$$とする。
つまり、
$$
AH\perp MD
$$である。
さらに、
$$
\angle AMD=\theta
$$とする。
このとき、次のものを求めてみよう。
- cosθの値
- 正四面体の高さAH
- 正四面体ABCDの体積V
大丈夫だ。
安心しろ。
3Dになろうが2Dだろうがやることは一緒。
空間図形の中から三角形を取り出して習得済みの三角比の知識を駆使していこうぜ。
問題全体の流れは、次のようになるぞ。
$$
AMとDMを求める
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
\triangle AMDで\cos\thetaを求める
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
\sin\thetaを求める
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
正四面体の高さAHを求める
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
底面積と高さから体積を求める
$$
正四面体ABCDの各面は正三角形である。
したがって、
$$
\triangle ABC
$$
は、1辺の長さが3の正三角形である。
点Mは辺BCの中点なので、
$$
BM=CM=\frac{3}{2}
$$
となる。
正三角形では、頂点から向かい側の辺の中点へ引いた線分は、その辺に垂直になる。
したがって、
$$
AM\perp BC
$$
である。
よって、
$$
\triangle ABM
$$
は直角三角形になる。
三平方の定理より、
$$
AM^2+BM^2=AB^2
$$
である。
ここに、
$$
BM=\frac{3}{2}
$$
$$
AB=3
$$
を代入すると、
$$
AM^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2=3^2
$$
となる。
したがって、
$$
AM^2+\frac{9}{4}=9
$$
$$
AM^2
=
9-\frac{9}{4}
$$
$$
AM^2
=
\frac{36}{4}-\frac{9}{4}
$$
$$
AM^2=\frac{27}{4}
$$
である。
長さは正なので、
$$
AM=\frac{3\sqrt{3}}{2}
$$
となる。
同じように、
$$
\triangle DBC
$$
も1辺の長さが3の正三角形である。
点Mは辺BCの中点なので、線分DMは正三角形DBCの高さになる。
したがって、
$$
DM=\frac{3\sqrt{3}}{2}
$$
である。
よって、三角形AMDでは、
$$
AM=\frac{3\sqrt{3}}{2}
$$
$$
DM=\frac{3\sqrt{3}}{2}
$$
$$
AD=3
$$
という3辺の長さがわかった。
AMとDMは、それぞれ1辺3の正三角形の高さだ。どちらも3√3/2になるぞ。
次に、
$$
\triangle AMD
$$
に注目する。
この三角形では、
$$
\angle AMD=\theta
$$
である。
角θをはさむ2辺は、
$$
AM
$$
と、
$$
DM
$$
である。
また、角θの向かい側の辺は、
$$
AD
$$
である。
余弦定理より、
$$
AD^2
=
AM^2+DM^2
–
2\cdot AM\cdot DM\cos\theta
$$
が成り立つ。
これを、
$$
\cos\theta
$$
について整理すると、
$$
\cos\theta
=
\frac{AM^2+DM^2-AD^2}
{2\cdot AM\cdot DM}
$$
となる。
ここに、
$$
AM=DM=\frac{3\sqrt{3}}{2}
$$
$$
AD=3
$$
を代入する。
$$
\cos\theta
=
\frac{
\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2
+
\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2
–
3^2
}
{
2\cdot
\frac{3\sqrt{3}}{2}
\cdot
\frac{3\sqrt{3}}{2}
}
$$
まず、
$$
\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2
=
\frac{27}{4}
$$
なので、
$$
\cos\theta
=
\frac{
\frac{27}{4}
+
\frac{27}{4}
–
9
}
{
2\cdot\frac{27}{4}
}
$$
となる。
分子を計算すると、
$$
\frac{27}{4}+\frac{27}{4}
=
\frac{54}{4}
=
\frac{27}{2}
$$
である。
したがって、
$$
\frac{27}{2}-9
=
\frac{27}{2}-\frac{18}{2}
$$
$$
=\frac{9}{2}
$$
となる。
分母は、
$$
2\cdot\frac{27}{4}
=
\frac{27}{2}
$$
である。
よって、
$$
\cos\theta
=
\frac{\frac{9}{2}}{\frac{27}{2}}
$$
$$
=\frac{1}{3}
$$
となる。
したがって、
$$
\boxed{\cos\theta=\frac{1}{3}}
$$
である。
正四面体の高さ、
$$
AH
$$
を求めるためには、
$$
\sin\theta
$$
が必要になる。
三角比の相互関係より、
$$
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1
$$
である。
したがって、
$$
\sin^2\theta
=
1-\cos^2\theta
$$
となる。
ここで、
$$
\cos\theta=\frac{1}{3}
$$
なので、
$$
\sin^2\theta
=
1-\left(\frac{1}{3}\right)^2
$$
$$
=
1-\frac{1}{9}
$$
$$
=
\frac{8}{9}
$$
である。
角θは三角形AMDの内角なので、
$$
\sin\theta>0
$$
である。
したがって、
$$
\sin\theta
=
\sqrt{\frac{8}{9}}
$$
$$
=
\frac{\sqrt{8}}{3}
$$
$$
=
\frac{2\sqrt{2}}{3}
$$
となる。
よって、
$$
\boxed{\sin\theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}}
$$
である。
余弦定理でcosθを求めたら、sin²θ＋cos²θ＝1を使う。これで高さの計算に必要なsinθが出るぞ。
点Aから線分MDへ垂線AHを下ろしているので、
$$
AH\perp MD
$$
である。
したがって、
$$
\triangle AMH
$$
は直角三角形になる。
また、
$$
H
$$
は線分MD上にあるので、
$$
\angle AMH=\angle AMD=\theta
$$
である。
直角三角形AMHにおいて、斜辺は、
$$
AM
$$
であり、角θの向かい側の辺は、
$$
AH
$$
である。
したがって、sinの定義より、
$$
\sin\theta=\frac{AH}{AM}
$$
となる。
両辺に、
$$
AM
$$
をかけると、
$$
AH=AM\sin\theta
$$
である。
ここに、
$$
AM=\frac{3\sqrt{3}}{2}
$$
$$
\sin\theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}
$$
を代入する。
$$
AH
=
\frac{3\sqrt{3}}{2}
\cdot
\frac{2\sqrt{2}}{3}
$$
分母と分子を約分すると、
$$
AH=\sqrt{3}\sqrt{2}
$$
となる。
したがって、
$$
AH=\sqrt{6}
$$
である。
よって、正四面体の高さは、
$$
\boxed{AH=\sqrt{6}}
$$
となる。
今回、底面を、
$$
\triangle BCD
$$
と考える。
正四面体の高さとは、頂点Aから底面BCDへ下ろした垂線の長さである。
点Hは線分MD上にあり、線分MDは底面BCDの中にある。
また、正四面体の対称性から、点Hは底面の中心に位置し、
$$
AH\perp 平面BCD
$$
となる。
したがって、
$$
AH
$$
が正四面体の高さになる。
正四面体ABCDの底面を、
$$
\triangle BCD
$$
とする。
三角形BCDは、1辺の長さが3の正三角形である。
辺BCと辺CDの長さは、
$$
3
$$
であり、その間の角は、
$$
60^\circ
$$
である。
したがって、sinを使った三角形の面積公式より、
$$
\triangle BCDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot3
\cdot3
\cdot\sin60^\circ
$$
となる。
ここで、
$$
\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
なので、
$$
\triangle BCDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot3
\cdot3
\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
=
\frac{9\sqrt{3}}{4}
$$
となる。
したがって、底面積は、
$$
\boxed{\frac{9\sqrt{3}}{4}}
$$
である。
錐体の体積は、
$$
V
=
\frac{1}{3}
\times
底面積
\times
高さ
$$
で求められる。
今回の正四面体では、底面積が、
$$
\frac{9\sqrt{3}}{4}
$$
高さが、
$$
\sqrt{6}
$$
である。
したがって、
$$
V
=
\frac{1}{3}
\cdot
\frac{9\sqrt{3}}{4}
\cdot
\sqrt{6}
$$
となる。
係数を計算すると、
$$
\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{4}
=
\frac{3}{4}
$$
である。
また、
$$
\sqrt{3}\sqrt{6}
=
\sqrt{18}
$$
$$
=3\sqrt{2}
$$
なので、
$$
V
=
\frac{3}{4}\cdot3\sqrt{2}
$$
となる。
したがって、
$$
V=\frac{9\sqrt{2}}{4}
$$
である。
よって、正四面体ABCDの体積は、
$$
\boxed{\frac{9\sqrt{2}}{4}}
$$
となる。
底面は1辺3の正三角形で、面積は9√3/4だ。これに高さ√6をかけて3で割れば、体積は9√2/4になるぞ。
以上より、
$$
\cos\theta=\frac{1}{3}
$$
$$
AH=\sqrt{6}
$$
$$
V=\frac{9\sqrt{2}}{4}
$$
である。
したがって、答えは、
$$
\boxed{
\cos\theta=\frac{1}{3},
\quad
AH=\sqrt{6},
\quad
V=\frac{9\sqrt{2}}{4}
}
$$
となる。
ふう、まじ長かったな。
今回は、数Iの空間図形の計量として、正四面体の高さと体積を求める方法を確認した。
ぶっちゃけ、結論、こうだ。
空間図形の問題でも、実際に使うのは平面図形の知識である
と。
立体の中から三角形を取り出し、長さ、角、高さの順に求める。空間図形も、平面図形の積み重ねだと考えれば解きやすくなるぞ。
それじゃあな。
