「一次関数の利用」で必ず出てくるのが、
点が動く問題。
ちまたでは、
動点の問題
と呼ばれているやつだ。
一番テストに出てくるのは「1つの点が動くパターン」。
だけど、厄介なことに、たまーに、
「2つの点が動く」問題が出ることもある。
例えば次のような問題さ。
AD = 4 cm、BC = 6 cm、 CD = 4 cm、∠C = ∠D = 90°の台形ABCDがある。
2点P、QはそれぞれA、Cを同時に出発し、点Pは辺AD上を、点Qは辺BC上をどちらも毎秒 1 cmの速さで動く。
端まで行けば折り返し、12秒間動くものとする。点P、Qが動き始めてからx秒後の4点A、B、P、Qを結んでできる図形の面積をy cm² とする。
（1） 0 ≤ x ≤ 12のとき、xとyの関係を表すグラフをかきなさい。
（2）四角形ABQPの面積が、台形ABCDの面積の4分の1になるのは点P、Qが動き始めてから何秒後ですか。
今日はこの応用問題を気合いで乗り切っていこう。
一次関数の動点では、
変域がいくつできるのか？
と見通しをつけるといいよ。
この問題では
点PがAから、点QがCから毎秒1cmの速さで動く
という条件があるね？
しかも、辺の端まできたら折り返して、12秒間動く、らしい。
12秒で四角形ABQPの面積 (y)はどのように変化するんだろう？？
分け方のポイントは、
動点が頂点に到着するタイミングで分ける
だよ。
ADはBCより短いから最初に、点PがDに着く。
そして、点Pに遅れてちょっとして点QがBに辿り着く。
PとQは、頂点にたどり着くタイミングが微妙に異なるから、4つの変域が考えられそう。
それぞれの変域で、四角形ABCDの面積の変化をみればいいんだ。
まずはPがAを出発してからDに着くまで。
図をかくとわかるけど、四角形ABQPは台形になる。
で、面積を求めるために、
という辺の長さが必要だね。
ポイントはBQの長さ。
QはCからスタートしてBに向かっているから
$$CQ＝ x cm$$
そして、そいつをBCの長さ 6 cm から引いたやつがCQの長さになるから、
$$BQ= BC – CQ$$
$$= 6 – x$$
になる。
さて。ここで台形ABQPの面積yを計算しよう。
（上の辺＋下の辺）×（高さ）÷2
だったから、
$$y = （AP＋BQ）× DC ÷ 2$$
$$= (x ＋6 -x）× 4 ÷ 2$$
$$= 12$$
になる。
0〜4秒では、台形ABQPの面積はずーっと12ってこと。
PがDに到着して、折り返しを始めたら、四角形ABQPの面積は変化するよ。
この場合、APの長さが変化してきていて、
$$8 – x$$
になってるはず。
ADを2倍した長さから、Pが動いた距離「x」を引くとAPになるね。
ただ、相変わらず四角形ABQPは台形さ。
同じように台形の面積 y を計算すると、
$$y = （AP＋BQ）× DC ÷ 2$$
$$= (8-x ＋6 -x）× 4 ÷ 2$$
$$= -4x + 28$$
になる。
この式から分かるのは、
このフェーズ（$0 ≤ x ≤ 4$）では時が経つにつれて面積が小さくなるってこと。
お次はPがDに到着して、PがAに戻るまでの時間。
6〜8 秒までだね。
ここでのポイントは、BQの長さが変化していること。
QはＢに到着して、折り返しているから、
BQ＝
Qが進んだ距離 – BCの長さ
= x – 6
になる。
すると、四角形ABQP（というか台形）の面積yを計算すると、
$$y = （AP＋BQ）× DC ÷ 2$$
$$= (8-x ＋x – 6）× 4 ÷ 2$$
$$= 4$$
になるね。
あら不思議。
またまた面積yが一定になっちゃった。
最後はQがCに戻るまで。
このタイミングは、Pが2回目にDに到着するタイミングでもあるとも言えるね。
変域で表すと
$$8 ≤ x ≤ 12$$
になる。
この時ポイントは、APの長さが変化していること。
PはAに到着して、折り返してDを目指しているはず。
だから、
APの長さ
=Pが進んだ距離 – ADの2倍の距離
= x – 8
になる。
四角形ABQP（というか台形）の面積yを計算すると、
$$y= （AP＋BQ）× DC ÷ 2$$
$$= (x – 8 ＋x – 6）× 4 ÷ 2$$
$$= 4x – 28$$
になる。
ふう、これで全部の変域における関数式が出せたぜ。
それぞれの式をグラフにするとこんな感じ。
あと1つやることがある。
それは、例題の（2）の
四角形ABQPの面積が、台形ABCDの面積の4分の1になるのはいつ？
に答えること。
つまり、これ、
yが特定の値になる時のxを求めよ
という問題だ。
まずは「台形ABCDの面積の4分の1」がいくつか探っていこう。
台形ABCDは上辺が4、下辺が6、高さが4の台形だから、
$$（4 + 6 ）× 4 ÷ 2$$
$$= 20 cm²$$
という面積になる。この4分の1は「$5 cm²$」だ。
ここで、さっき適当にかいたグラフに注目。
yが「5 」になっている箇所を探してみると、2つヒットだ。
という2つの変域でyが5になる瞬間があるじゃないか。
ということで、これら2つの変域の関数にそれぞれ$y＝5$を代入して、その時のxを求めればいいことになる。
まず、QがＢに着くまで（$4 ≤ x ≤ 6$）の場合。
$$y = -4x + 28$$
に $y = 5$を代入すると、
$$5 = -4x + 28$$
$$x= \frac{23}{4}$$
になるね。
あと1つは、QがCに戻るまで（$8 ≤ x ≤ 12$）の場合。
$$y = 4x -28$$
に$y = 5$を代入しよう。
すると、
$$5 = 4x -28$$
$$x = \frac{33}{4}$$
になる。
ってことで、四角形ABQPの面積yが$5 cm²$になる時間は、
の2つだ。
いやーほんとおつかれさま。
動点が2つあるとこんなに厄介だとは思わんかったな。
応用問題では出現することがあるから対策しておこう。
そんじゃねー
Ken
前回、「平行な2直線の求め方」を勉強してきたね？
今回はそれと似たようなやつで、
ある直線に「垂直な」式を求める問題
にチャレンジしよう。
例えば、次のような問題↓
状況を図にかくとこんな感じ。
点線になっている一次関数の式を求めるんだ。
この手の問題は次の方法で解けるはず。
2直線が垂直だったらわかること。
それは、
2直線の傾きをかけたら 「- 1」になる
こと。
例えば「$y = – 3x + 4$」に垂直な直線の傾きを考えてみよう。
傾き「- 3」にかけたら 「- 1」になる傾きを求めればいいんだ。
求めたい直線の傾きを「a」とすると、
$$- 3 a = -1$$
$$a = \frac{1}{3}$$
と出てくるね。
って感じで、垂直ってヒントから、一次関数の傾きがわかっちまうんだ。
さっきのステップで$y = ax + b$の傾きが分かった。
あとは座標を代入して「切片b」を求めよう。
例題では
点（3, – 1）を通る
っていうヒントがあったから、この座標を代入しよう。
すでに傾きは$\frac{1}{3}$とわかったから、
$$y = \frac{1}{3} x + b$$
$$-1 = \frac{1}{3} × 3 + b$$
$$b = -2$$
となるね。
ここで疑問に思うのが、
垂直な2直線の傾きをかけたらなぜ「- 1」になるのか？
ってこと。
シンプルでわかりやすいけど、理由を教えてもらえないとしっくりこないよね。
これを証明するには、中学3年生でならう三平方の定理を使うよ。
例えば$y =mx$、$y = nx$という1次関数（比例）があったとしよう。
そして、直線上にx座標が「1」の点A、Bがあるシチュエーションを想像してくれ。
このとき、ABの長さはAのy座標からBのy座標を引いて
$$m – n$$
になるはず。
三平方の定理を使うと
$$OA ＝\sqrt{(1² + m²)} $$
$$OB ＝ \sqrt{(1² + n²)}$$
と計算できる。
直角三角形OABに注目して、三平方の定理を使うと、
$$AB² = OA² + OB²$$
$$(m – n)^2 = {\sqrt{(1² + m²)}}^2 + {\sqrt{(1² + n²)}}^2$$
$$2mn = -2$$
$$mn = -1$$
となる。
「m」と「n」は垂直な直線の傾きだから、
垂直な2直線の傾きをかけると-1になる
って証明できるね。
こんな感じで、垂直な直線の傾きをかけると -1 になるから便利。
ついでに、なぜそうなるのかを理解しておけば怖いものなしだ。
テストに出てきやすいからよーく復習しておこう。
そんじゃねー
Ken
一次関数でわりと出てくるのは
平行な直線の式を求めよ
ってやつ。
例えば次の問題↓
よく出てくるわりに、解き方がワンパターン。
1度解けるようになれば大丈夫。
一次関数の「傾き」から求めよう。
問題文でわかっているのは
「とある直線」と平行
ってこと。
2直線が平行だとわかることが1つ。
それは、
傾きが等しい
ってこと。
一次関数の「傾き」とは、変化の割合のことで、
xが1増加したとき y がどれぐらい変化するか？
を表していたね。
2つの直線が平行ってことは、
xが1変化した時の y の変化量も同じであるはず。
変化の割合（傾き）が違っていたとしたら、平行ではなく、どっかしらで交わっちゃう。
よって、平行な2直線の傾きは等しいはずだね。
例題では
直線 y = – 3 x + 4 と平行
って言ってるから、求めたい傾きは、 y = – 3 x + 4 の傾き「-3」と等しいはず。
一次関数 y = ax + bの傾き「a」が「-3」ってことだから、
y = -3x + b
になる。
これでステージクリアにしたいけど、まだ解けたことにならないよ。
なぜなら、一次関数y =ax + bのうち、切片「b」が不明だからさ。
bの正体をつかんだらはじめて、直線の式が求められたことになる。
ってことで、切片bを求めるため、座標を直線の式に代入しよう。
例題だと、
y = -3x + b
に
点（2, -1）
という座標を代入するんだ。
すると、
y = -3x + b
-1= -3 × 2 + b
b = 5
になる。
つまり、切片bは「5」だから、直線の全体の式は、
y = -3x + 5
になるはず。
こんな感じで、
「2直線が平行」 → 「傾きが等しい」
を知っていれば難しいことはないね。
次は「垂直な2直線の式の求め方」を勉強していこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。シロップはやさしいね。
中学数学では二次関数y=ax2を勉強するよね？？
二次関数の問題にはたくさんあって、
放物線のグラフをかいたりしていくよ。
なかでも、テストにでやすいのは、
一次関数と二次関数の交点を求める問題
だ。
こんなふうに、
一次関数と二次関数y=ax2が交わっていて、
その交点を求めてね？
って問題なんだ。
今日はこの問題の解き方をわかりやすく解説していくよ。
よかったら参考にしてみて。
さっそく交点をもとめてみよう。
たとえば、つぎの練習問題だね。
—————————————————————————–
練習問題
二次関数 y=x^2 と一次関数 y=x+6 の交点を求めてください。
関数の交点を求めるには、
連立方程式をつくるのが一番。
一次関数のときにならった、
2直線の交点の求め方とやり方はおなじだね。
練習問題でも連立方程式をつくってみると、
こうなるね。
この2つの方程式から、xとyの値を求めていけばいいのさ。
さっそく連立方程式をといていこう。
連立方程式の解き方は、
の2つあったよね？？
関数の交点を求めるときは、
代入法をつかっていくよ。
なぜなら、
「y =○○」になっていてyが代入しやすいからね。
つぎは二次方程式をといていこう。
二次方程式の解き方はたくさんあるけど、
どれをつかっても大丈夫。
練習問題の、
x^2 = x + 6
も解き方はいっしょ。
左辺にぜんぶの項を移項してみると、
x^2 – x – 6 = 0
になるね。
こいつを因数分解すると、
x^2 – x – 6 = 0
(x – 3) (x +2) = 0
になる。
あとは、どっちかが0になっていれば式がなりたつから、
この一次方程式をといてやると、
になるね。
最後にxを関数に代入してみよう。
関数にxをいれるとy座標がわかるからね。
2つの交点のx座標が、
ってわかったよね？？
このx座標を、
「二次関数」か「一次関数」
のどっちかに代入するんだ。
今回は、そうだな、
簡単な一次関数「y=x+6」に代入してみよう。
すると、2つの交点のy座標は、
になる。
よって、2つの交点の座標は、
の2点になるね。
おめでとう！
これで一次関数と二次関数の交点が求められたね。
一次関数と二次関数の交点を求める問題はよくでてくるよ。
なぜなら、中学数学の総復習になるからね。
テスト前によーく復習しておこうね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。汗かきたいね。
一次関数の変域の求め方の基礎はわかった。
だけど、ときどき、
変域の応用問題ってでてくるよね。
たとえば、つぎのような問題さ。
y=-2x+bのxの変域がc≦x≦4のとき、yの変域が-5≦y≦5である。bとcを求めなさい。
いっけん楽勝にみえる。
だけどじつは、うっかりミスを誘うトラップ問題なんだ。
今日はこの変域の問題の解き方を3ステップで解説していくよ。
よかったら参考にしてみてね。
例題をいっしょにといていこう。
y=-2x+bのxの変域がc≦x≦4のとき、yの変域が-5≦y≦5である。bとcを求めなさい。
この手の問題はつぎの3ステップでとけちゃうよ。
まずは問題で登場する、
一次関数の傾きの符号をチェックしよう！
傾きが＋なのか？？
それとも、とんでもなくマイナスなのか？？
さらっと調べてみよう。
例題の関数の、
y = -2x + b
に注目してみて。
こいつの傾きは「-2」。
あきらかにマイナスがついちゃってるよね？？
ってことで、例題の傾きは負の数だ。
つぎは、
xが大きくなるとyはどうなるか？？
を考えてみよう。
もし、一次関数の傾きが＋のとき、
xが大きければ大きいほどyも大きいね？
だから、xが最大値になるとき、yも最大値になるってわけ。
逆に、傾きが -のとき、
xが大きければ大きいほどyは小さくなっちゃう。
だから、xが最大値のときはyは最小値になるわけさ。
つまり、これをまとめるとつぎのようになる↓↓
※ min：最小値、 max: 最大値
例題をみてみよう。
一次関数の傾きは「マイナス」だったよね？？
xとyの変域から最小値・最大値をだしてみると、
になってるね。
んで、一次関数の傾きがマイナスだから、
になるんだ！
つまり、
y = -2x + b は、
の2点を通るんだ。
こんな感じで、
xとyの組み合わせをみつけるのが第2ステップだよ。
最後は、2つの座標を式に代入してみよう。
例題の直線は、
の2点を通るはずだったね？？
こいつを直線の式、
y = -2x + b
に代入してbを求めればいいんだ。
さっそく、y = -2x + bに（4, -5)を代入すると、
y = -2x + b
-5 = -2 × 4 + b
b = 3
になるね。
つぎは、bの値がわかった一次関数の、
y = -2x + 3
に（c, 5）を代入してcを求めてみよう。
すると、
y = – 2x + 3
5 = – 2c + 3
c = -1
になるよ。
これで文字の正体がわかったね。
おめでとう。
一次関数の変域の問題はよく、
グラフをかけば解ける
っていわれる。
だけどね、ぶっちゃけグラフなんていらん。
傾きの符号をみて、xとyの組み合わせを考えればいいんだ。
応用問題におそれず挑んでいこう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。換気は大事だね。
一次関数の変域の問題ってよくでるよね。
たとえば、つぎのような問題さ。
例題
1次関数y = -3x+7について、xの変域が -1 ≦ x ≦ 9のとき、yの変域を求めなさい。
一次関数の変域とかあきらかにむずそうだけど、
基本をおさえればチョー簡単なんだ。
今日はこのタイプの問題を攻略するためにも、
一次関数の変域の求め方がわかる3ステップ
を紹介するよ。
よかったら参考にしてみて。
3ステップで変域を求められるよ。
例題をいっしょにといてみよう！
1次関数y = -3x+7について、xの変域が -1 ≦ x ≦ 9のとき、yの変域を求めなさい。
まず、変域の端と端を代入してやろう。
たとえば、xの変域が○ ≦ x ≦ □だとしたら、
を一次関数に代入すればいいんだ。
例題でわかっているのはxの変域の、
-1 ≦ x ≦ 9
だね。
この変域の端っこの、
を一次関数 y = -3x + 7 に代入すればいいんだ。
x = -1 を代入すると、
y = -3x + 7
= -3 × (-1) + 7
= 10
になる。
一方、x = 9を代入してやると、
y = -3x + 7
=-3 × 9 + 7
= – 20
になるね。
これが第1ステップ！
さっき計算した2つの値のどちらが大きいのか？？
を比べてみよう。
そして、
大きい値を右に、小さい値を左にかくんだ。
例題では、
の2つをゲットできたね？？
こいつらを比べてみると、
明らかに10のほうがでかい。
-20のほうが小さいね。
だから、10を右に、-20を左にかいてみて。
これが第2ステップ！
最後は不等号で結んでみよう。
使う不等号は、
問題でわかってる変域と同じものを使うよ。
例題でいうと、xの変域は「≦」を使ってるよね？？
だからyの変域も「≦」を採用するのさ。
例題をみてみよう。
「大きい値」と「小さい値」の間に「y」をかく。
そして、
「小さい値」・「大きい値」と「y」を「≦」で結んでやるのさ。
-20≦y≦10
これでyの変域が求まったよ。
おめでとう。
でもさ、なんで変域が求められるんだろう？？
話がうますぎるよね。
じつは、ここだけの話なんだけど、
一次関数がまっすぐだからなんだ。
xの変域の端っこと端っこのy座標が、
yの変域の端っこと端っこになっているよ。
これは傾きがマイナスでも同じだね。
もし、一次関数が波だっていたり、
ギザギザしていたら変域はこのやり方だと無理。
なぜなら、変域の端っこ以外に、
最大値とか最小値がいるかもしれないからね。
一次関数がまっすぐだからこそ、変域の端っこが最大値・最小値になる
ってことを覚えておこう！
一次関数の変域の求め方は簡単。
の3ステップでいいんだ。
問題をといて変域に慣れていこう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。
一次関数の利用の問題ってムズい。
中でも、
動点の問題
が一番ヤッカイなんだ。たとえば、つぎのような問題だね。
タテの長さが4cm、横の長さが5cmの長方形ABCDの周上を、点Pは毎秒1cmの速さで、AからB、Cを通ってDまで移動します。
PがAを出発してからx秒後の△APDの面積をy cm²とするとき、yはxの変化にともなってどう変化するのか説明しなさい。
今日はこの動点の問題をわかりやすく解説していくよ。
よかったら参考にしてみてね。
問題のポイントは、
三角形の高さだけが変化していること
だ。
逆に、底辺はどんなに時が経っても動かない。
高さの変化をトラッキングすれば面積が計算できそうだね。
例題でいうと、
△APDの底辺ADは固定だね？
だって、AとDは動かないからさ。
Pの移動によって高さだけ変わっていくんだ。
しかも、高さの変化は点が辺を移動するたびに変わっていくよ。
例題でいうと、動点Pが、
にそれぞれあるときの3パターンだね。
今日はこの3つのフェーズごとに解説していくよ。
PがAB上を動いている場合だ。
このとき、△APDの高さは、
APの長さ
だよね？？
Pは1秒間にx cm動く。
APの長さはx秒後に「x cm」になっているはずだ。
よって、動点Pが辺AB上にあるとき（0 ≦ x ≦4）のとき、
△APDの面積は、
△APD = 底辺 × 高さ × 1/2
= 5 × x × 1/2
= 5/2 x
になるね。
ここまでの△APDの面積yの変化をグラフにしてみると、
こんな感じになる ↓↓
つぎは点Pが辺BCにたどり着いたケース。
まだまだ動点Pの旅は続くんだ。辛いね。
PがBC上にあるときの△APDの高さって、
点Pから辺ADにおろした垂線になるよね？
垂線とADの交点をHとすればPHが高さってことだ。
じつはこの高さって、
動点Pが左らへんにいても、
真ん中らへんにいても、
右のほうにいても、
変わらないんだ！
ぜんぶ辺AB・DCと同じ長さ（4cm）になるはず。
よって、動点Pが辺BC上にあるとき（4 ≦ x ≦ 9）、
△APD の面積 = 底辺AD × 高さ × 1/2
= 5 × 4 × 1/2
= 10[cm²]
になるね。
つまり、動点PがBC上にあるとき、
△APDの面積はつねに一定というわけさ。
変数xがはいっていないからね。
ここまで△APDの面積の変化をグラフにあらわすと、
こうなるね↓↓
いよいよ最後のフェーズ。
Pが辺CDにさしかかった場合さ。
このときの△APDの高さって、
線分DPだよね？
x秒後のDPの長さをだしてやれば、
△APDの面積yを式であらわせるってこさ。
このときの高さDPは、
「3つの辺（AB・BC・CD）」 – 「 Pが動いた距離」
で計算できるよ。
（3つの辺の長さ）＝ 4 + 5 + 4
＝ 13 [cm]
になる。
そんで、x秒後に「Pが動いた距離」は、
x [cm]
だね。
ってことで、
DPの長さは（3つの辺の長さ）- （Pが動いた距離）で求めることができるので、
13 – x
になるね。
よって、Pが辺CD上を動くとき（9 ≦ x ≦ 13）、
△APDの面積 ＝ 底辺AD × 高さDP × 1/2
＝ 5 × （13-x） × 1/2
＝ 5/2 (13-x)
となる。
よって、こいつをグラフに表してやると、
こうなるね↓↓
△APDの面積yをxであらわすことができて、
それをグラフにすれば完ぺきだ！
テストに出やすい問題だからしっかりおさえておこう。
動点の問題はどうだった？
フェーズごとに面積の変化が異なる
ってことさえ押さえておけば十分さ。
あとは、
どの辺が底辺・高さになっているのか？？
ということに注意してみてね。
そんじゃねー
Ken
「一次関数の利用」はぶっちゃけ難しい。
だって、一次関数の応用問題だからね。
文章問題ばっかりだから、苦手意識もってるヤツも多いね。
今日は1次関数の利用の問題の解き方のコツを3つにしぼって
紹介するよ。よかったら参考にしてみてね。
一次関数の利用の問題でもっとも重要なのは、
どの値を「x」 「y」とおくか？？
だ。これさえ間違えなければ、ぶっちゃけどうにかなる。
ってことで、
一次関数の利用での文字の置き方のコツ
というものをみていこう。
1つ目は、問題文の中に、
何をx・yと置いたらいいのか？？
がかいてあるパターンだ。
こういうときは、
でてきた値をそのままx・yとおいてあげよう。
たとえば、つぎのような問題だね。
最近、クラスのマドンナに告白したらふられてしまったA君。
ふと、北に向かいたくなったので実家の自転車でひたすらこぎつづけました。
A君の自転車はロードバイク。
平均で分速400 mのスピードがでていました。A君がすすんだ距離をy m、自転車をこぎつづけた時間をx分とします。yはxの変化にともなってどう変化するでしょうか？？
この手の問題はチョー簡単。
問題文の通りにy とxの値をあててやればいいんだ。
とすると、
y = 400x
みたいになるね。
流れに逆らわずに、そのまま文字でおいてあげよう。
2つ目のパターンは「時間によって値が変化する問題」だ。
こういう問題では、
とおいてやればいいんだ。
たとえばつぎのような問題だね。
疲れきったA君はマンガ喫茶にいきました。
基本料金が「500円」で、追加料金が10分ごとに180円かかります。
A君のおこづかい1000円で最大までいれる時間をしらべなさい。
この問題では、
A君がマンガ喫茶に支払う金額
が時間によって変化しているね。
長く引きこもるほど金がたくさん必要なわけさ。
よって、この問題では、
をxとyでおいてみよう。
仮に、1分1秒ごとに追加料金が加算されるとすると、
y = 180・x/ 10 + 500
= 18x + 500
こうなるね。
ちなみに、
y（料金）に1000円を代入してみると、
1000 = 18x + 500
18x = 500
x = 27.8
になるね。つまり、27分以上マンガを読み続けると1000円をオーバーしちゃうわけだ。
ちなみに、この漫画喫茶の料金体系は10分ごとに追加料金が発生するようになってるから、答えは最大で20分だね。
A君、ちょっとしか読めないね・・・
○○が◇◇の一次関数になる
ってかいてある問題もある。
こういうときは、
とおいて一次関数をつくってあげればいいんだ。
たとえば、つぎのような問題だね。
疲れきったA君は家にかえってカレーをつくることにしました。
母ちゃんに相談したところ、3人前のカレーをつくるには1700円、5人前のカレーをつくるには3500円かかると言われました。
カレーにかかる代金は、カレーを食べる人数の一次関数になっています。
このとき、8人前のカレーの料金を求めなさい。
この問題では、
カレーにかかる代金は、カレーを食べる人数の一次関数になっています。
ってかいてあるね。
だから、
とおいてみよう。
1次関数になるはずだからy = ax + bのカタチになるね。
この式に、
を代入してみよう。
すると、
1700 = 3a + b
3500 = 5a + b
っていう連立方程式ができるでしょ？
こいつを加減法でといてやると、
-1800 = -2a
a = 900
になる。aの値を元の式に代入すると、b = -1000がえられるね。
つまり、
このカレー1次関数は、
y = 900x – 1000
になるんだ。
8人前のカレーを食べる場合はxに8を代入すればいいから、
y = 7200 -1000
= 6200
になるね。
つまり、8人前のカレーは6200円でくえるってわけさ！
一次関数の利用はぶっちゃけむずい。
だけど、どんな問題にもヒントが隠れているんだ。
の3つのパターンを意識していれば問題ないよ。
あとは問題をときまくって慣れてみてね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。無駄に課金しちゃったね。
一次関数のグラフってむちゃくちゃ便利。
なんと。
なんと、だよ。
グラフを使えば、
連立方程式の解を求めることができるんだ。
連立方程式の解き方がわからなくても大丈夫。
ぶっちゃけどうにかなる。
これってすごくない？。
そこで今日は、
一次関数のグラフをつかって連立方程式の解を求める方法を、
3つのステップで解説していくよ。
よかったら参考にして。
つぎの例題をといてみよう。
つぎの連立方程式を、グラフを使って解きなさい。
3x + y = 5
x + y = 3
つぎの3ステップでとけちゃうよ。
方程式のグラフを2つかこう。
かき方を忘れたときは、
「方程式とグラフ」を復習してみてね。
例題の、
の2つの方程式をグラフにしてみると、こうなるね ↓↓
ここからが勝負さ！
グラフの交点をみつけてみよう。
よーくみつめてみて。
そう、
そうだ。
2つの直線がまじわっている点をみつければいいんだ。
どう？
あったでしょ？？
最後に「交点の座標」をよみとろう。
座標がよめればこっちのものさ。
だって、
交点の座標 = 連立方程式の解
になるからね。
つまり、
になるんだ。
例題の交点をよみとってみると、
座標が（1, 2）であることがわかるね。
ってことは、
3x + y = 5
x + y = 12
の連立方程式の解は、
になるんだ。
やったね。
連立方程式の解き方を知らなくてもとけちゃった！てへ・・・
ってわけさ。
連立方程式が苦手なヤツにはこの方法haオススメだよ。
グラフをかくだけで連立方程式がとけるんだ。
つまり、
見た目（ビジュアル）だけでとけちゃうんだ。
むっちゃ便利でしょw？
たまにテストにでてくるから、よーく復習しておいてね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。10円玉たまってるね。
「方程式」を「一次関数のグラフ」にする。
これが案外、むずかしい。
方程式なんか一次関数にみえないもん。
グラフをかくのもめんどくさそうだね。
そこで今日は、
「二元一次方程式」を「1次関数のグラフ」にする方法を2つ紹介するね。
よかったら参考にしてみて。
二元一次方程式って、
文字が2つある1次方程式
のことだよね。
この二元一次方程式をグラフにしてよ？
みたいな問題がちょくちょくでてくるんだ。
たとえば、つぎのような例題みたいにね↓↓
（1）3x + y = 7
（2）2x + 3y = 6
つぎの2つの書き方で攻略していこう！
1つ目の書き方は、
yについて等式を変形しちゃう方法だ。
等式の変形をつかって、
○○x + △y = ××
を、
y = ○○x + ××
に変形してやればいいのさ。
これは一次関数のカタチと一緒だね。
だから、一次関数のグラフの書き方をつかえばいいんだ。
この書き方は、
yの係数が「1」のときに使うのが便利だよ。
だって、xを移項するだけでいいからね。
例題でいうと、（1）の二元一次方程式だね。
3x + y = 7
をyについてといてやると、
y = -3x + 7
になる。
こいつは、傾き「3」、切片「7」の一次関数と同じ。
あとは一次関数のグラフの書き方通りにかくと、
こうなるね↓↓
等式の変形ができればこっちのもんさ！
x・y軸との交点を求める方法だ。
方程式に、
を代入して、x・y軸との交点をさがせばいいんだ。
この書き方は、
yの係数が1より大きいときに便利だよ。
たとえば、例題の（2）の一次関数だね。
（2）2x + 3y = 6
x・y軸との交点をさがすために、
をそれぞれ代入してみよう。
x = 0のとき、
3y = 6
y = 2
になる。つまり、y軸との交点は（0, 2）ってわけさ。
また、y = 0のときは、
2x = 6
x = 3
になる。つまり、x軸との交点は（3, 0）ってわけだね。
2つの交点をむすぶとグラフがかけるよ。
こんな感じでね ↓↓
コツは、
yの係数によって書き方をかえる
ことだ。
たまにでてくる問題だからマスターしておこうね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。洗濯物ためすぎたね。
一次関数の式を求める問題
ってけっこうあるよね。下手したら、3問に1問ぐらいは出るかもしれない。
テスト前におさえておきたい問題だね。
今日はこの「直線の式を求める問題」をわかりやすく解説していくよ。
よかったら参考にしてみてね^-^
まず、直線の式が計算できるケースを確認しよう。
つぎの4つの要素のうち、2つの値がわかっているときに式が求められるんだ。
たとえば、傾きと切片がわかっているとき、とか、座標と切片がわかっているとき、みたいな感じだね。
求め方のパターンをみていこう！
まずは一次関数の「傾き」と「切片」の値がわかっている場合だ。
たとえば、つぎのような問題だね。
例題
yはxの一次関数で、そのグフラの傾きは-5、切片は7であるとき、この一次関数の式を求めなさい。
このタイプの問題はチョー簡単。
一次関数の式「y = ax + b」に傾き「a」と切片「b」の値を代入するだけだよ。
例題での「傾き」と「切片」は、
だね。
だから、一次関数の直線の式は、
y = -5x + 7
になる。
代入すればいいだけだから簡単だね。
つぎは「傾き」と「座標」がわかっている場合だ。
たとえばつぎのような問題だね。
例題
yはxの一次関数で、そのグラフが点（2, 10）を通り、傾き3の直線であるとき、この一次関数の式を求めなさい。
この手の問題も同じだよ。
一次関数の式「y = ax + b」に傾きaと、座標を代入してやればいいんだ。
bの方程式ができるから、そいつを根性でとくだけさ。
例題では、
っていう一次関数だったよね？？
まずはaに傾き「3」を代入してみると、
y = 3x +b
になるでしょ？ そんで、こいつにx座標「2」とy座標「10」をいれてやればいいのさ。
すると、
10 = 3 × 2 + b
b = 4
になるね。
つまり、この一次関数の式は「y = 3x + 4」になるよ！
こんな感じで、傾きと座標をじゃんじゃん代入していこう！。
つぎは「切片」と「座標」がわかっている問題だね。
たとえば、つぎみたいなヤツさ↓↓
例題
yはxの一次関数で、そのグラフが点（2, 11）を通り、切片3の直線であるとき、この一次関数の式を求めなさい。
このタイプの問題もいっしょ。
一次関数の式「y = ax +b」に切片と座標を代入してやればいいんだ。
そんで、できた方程式を解いてやれば直線の式が求められるね。
例題では、
だったね？
切片の「3」をy = ax+bに代入してみると、
y = ax + 3
になるね。
そんでコイツに、
を代入してやると、
11 = 2a + 3
になる。
この方程式をaについて解いてやると、
11 = 2a + 3
2a = 8
a = 4
になる。
つまり、この一次関数の傾きは「4」ってことだ。
だから、
一次関数の式は「y = 4x + 3」になるね。
このタイプの問題も代入して方程式をとくだけさ！
最後は、直線が通る2点の座標がわかっている問題だ。
たとえば、つぎのような問題さ。
例題
つぎの一次関数の式を求めなさい。
グラフが、2点（1, 3）、（-5, -9）を通る直線である。
ちょっとめんどくなるけど、解き方はこれまでと一緒。
一次関数の式「y = ax + b」に2点の「x座標・y座標」を代入してやればいいのさ。
問題に慣れるまで練習してみてね。
直線の式を求め方はどうだった？？
4パターンあるとか言っちゃったけど、
だいたいどれも解き方は一緒。
一次関数の式「y = ax + b 」に、
のうち2つを代入してやればいいんだ。
テスト前によーく復習してね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。担々麺うますぎだね。
一次関数という単元は、
グラフの書き方がわかればどうにかなる。
もうね、ほんとね、どうにかなる。
だって、グラフの問題がたくさんでるからね。
グラフをかければ一次関数をマスターしたようなもんさ。
今日はそんな1次関数の攻略のカギをにぎる、
一次関数のグラフの書き方
を3ステップで紹介していくよ。
よかったら参考にしてみてね。
書き方の基本は、
グラフが通るであろう2点を結ぶ
ということだ。
なぜなら、
一次関数のグラフはゼッタイに直線になるからね。
2点をむすべば直線がかけちゃうんだ。
ってことは、
直線が通る2点をさがせばゲームクリアってわけ。
例題をといてみよう。
つぎの一次関数のグラフをかきなさい。
y = 3/5 x -2
つぎの3ステップでグラフがかけちゃうんだ。
「y軸」と「一次関数」の交点をうとう。
切片を「y座標」とする点を「y軸上」にとってやればいいんだ。
例題をみてみよう。
一次関数の切片は、
xもyもついていない項のこと
だったね。
例題の関数では、
「xもyもついていない項」って「-2」だよね？
ってことは、コイツが切片だ。
この切片をy座標とするy軸上の点（0, -2）をうっちゃおう。
これが1つ目の点だ。
つぎは「xもyも整数になる点」を打とう。
xに適当な整数を代入して座標をだしてみて。
傾きが整数のときはxに「1」をいれてやればいいね。
ただ、例題みたいに傾きが分数の場合は、
「分母の数字」をxに代入してみよう。
xもyも整数の点がゲットできるはずさ。
例題をみてみよう。
傾きは3/5。
だから、xに分母の「5」を代入してみよう。
すると、
y = 3/5 × 5 -2
= 1
ってなるでしょ？
つまり、この一次関数は「整数の座標（5, 1）」を通るわけさ。
これで2点目がわかったね！
あとは2点をむすぶだけ。
定規で直線をひいてみよう。
できた直線が一次関数ってわけさ！
例題では、
をむすんでみよう。
すると、こんな感じになるっしょ？ ↓↓
おめでとう！
1次関数のグラフがかけたね。
一次関数のグラフはむずかしくない。
をむすんであげればいいんだ。
あとは問題になれてみてね。
そんじゃねー
Ken
