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3分でわかる！3乗の展開公式の証明

クマシロ

クマシロ

よう、消しゴムの妖精のくましろだ。レシート、引き寄せたぜ

3乗の展開公式を勉強してきたけどさ、圧倒的に覚えづらいよな。

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
$(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$

【高校数学 I】3乗の展開公式の使い方

https://text.tomo.school/cubic-expansion-formula

よう、消しゴムの妖精クマシロだ。俺のことは学級委員長には内緒な中学数学では山のように式を展開してきたよな。お世話になりまくった公式は次の3つだ。

(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

忘れちゃったやつは随時復習しといてや。でもな、残念ながら高校数学 I ではこいつらに加えて、3乗の展開公式が登場するぜ。つまり式を3乗するときに使える計算公式ってわけだ。 3乗の展開公式の2種類注目の公式は次の2つだ。 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 ...

一応、お前らのために「3乗の展開公式の覚え方」考えてみたけど、どうも割に合わねぇってことに気がついたんだ。

一発で頭にはいる！3乗の展開公式の覚え方

https://text.tomo.school/cubic-expansion-formula-memorization

よう、消しゴムの妖精のくましろだ。タオル、ほしいな。ここまでで3乗の展開公式を勉強してきたな。

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}

だけどさ、どうだ、これ覚えられるか？そんなの無理って感じだよな。文字と数字だけの公式だし、これは難易度が高すぎるわい。そんなお前のために、今日はとっておきの3乗の展開公式の覚え方を紹介するぞ。 3乗の展開公式その1

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

の覚え方まずはこの展開公式だな。$(a+b)^3 = a^3 + 3a^...

そんなくそ覚えづらい3乗の展開公式を丸暗記しなくて済むよう、この公式を証明できるようにしようぜ。

つまりは、なぜこの公式で使えるのかという根本を知るんだ。公式を証明できるようにしておけば、テスト本番で忘れても自分で作れるからな。

それじゃあ、2つの3乗展開公式を1つずつ証明していくぞ。

1つ目の3乗展開公式　 $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ 　の証明

次の3ステップで証明できるぜ。

細かく分解する

$(a + b)^{3}$ を一気に計算するんじゃなくて、細かい掛け算に分解するぞ。

3乗を「1乗× 2乗」の計算にわけて考えるんだな。

2乗の展開公式なら中学数学で死ぬほどを使って身に付いているし、1乗の計算はシンプルな掛け算だからな。

$(a + b)^{3}$ を「1乗× 2乗」にわけると、次のようになるな。

$(a + b)^{3}$

$= (a + b) (a + b)^{2}$

で、 $(a + b)^{2}$ を2乗の展開公式で計算すると次のようになるな。

$(a + b)^{3}$

$= (a + b) (a + b)^{2}$

$= (a + b) (a^{2} + 2 a b + b^{2})$

分配法則を使う

お次は分配法則だ。かっこを外すときに死ぬほどお世話になってきた法則だな。

【中学数学】分配法則のチョー便利な1つの使い方

https://text.tomo.school/分配法則

分配法則って何よ？？あんまり美味しそうじゃないけど。。こんにちは！この記事を書いているKenです。昼飯に焼き肉を食べました。分配法則 (distributive property) という計算法則をご存知ですか？！　名前が超カッコイイこの法則は、中学1年生の数学でで登場します。はじめてこの数学用語をみかけた中学生の方は、は？？　分配？？？　お、おれの財産は渡せねえよう！とぶっきらぼうになってしまうかもしれません。そんな一見、超うさん臭い「分配法則」くんですが、じつは中学校の数学の中で、かなりかなりの重要度を誇...

この分配法則でさっきの計算式 $(a + b) (a^{2} + 2 a b + b^{2})$ を展開しよう。

ポイントは後から前に分配法則を使うことだ。

後ろの $(a^{2} + 2 a b + b^{2})$ から前の $(a + b)$ に分配法則を使ってやるんだ。すると、次のようになる。

$(a + b) (a^{2} + 2 a b + b^{2})$

$= a (a^{2} + 2 a b + b^{2}) + b (a^{2} + 2 a b + b^{2})$

で、またまた分配法則で（）を外してやるぞ。

$a (a^{2} + 2 a b + b^{2}) + b (a^{2} + 2 a b + b^{2})$

$= a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{3}$

同類項をまとめる

最後は同類項まとめる作業だ。

【中2数学】同類項のまとめ方がわかる3ステップ

https://text.tomo.school/like-terms

同類項ってどうやってまとめるの？？こんにちは！この記事をかいているKenだよ。我が家にたんすが来たね。「同類項」って、「文字」と「次数」が同じ項たちのことなんだ。つまり、同じ英文字を使っていて、なおかつ、その文字が何回かけられているかが一緒の項たちってことさ。たとえば、a²-2a-3a＋4っていう多項式があったとしよう。この多項式にはぜんぶで4つの項があるけど、「文字」と「次数」が同じなのは次の2つだね。 -2a -3aこの2つの項が同類項ってことになる。そんで、中2数学の「式の計算」っていう単元では...

同類項とは「文字と文字がかけられている数が同じ項のこと」だったな。同類項を探して、同類項の係数を足し算でまとめればいいんだ。

ここまで変形してきた式に注目してくれ。

$a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{3}$

この式における同類項は、

$2 a^{2} b と a^{2} b$
$a b^{2} と 2 a b^{2}$

だな。この同類項たちをまとめると、次のようになる。

$a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{3}$

$= a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

オッケー、こいつは紛れもなく $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ っていう展開公式の右側だよな。意外にも簡単に証明できたぜ。

証明に使ったのは、

2乗の展開公式
分配法則
同類項まとめる方法

でどれも中学数学で勉強した内容だ。忘れちゃったら復習しといてくれよな。

2つ目の3乗展開公式 $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ の証明

2つ目の3乗の展開公式も証明していくぞ。大体1つ目の公式と同じ流れだから安心してくれ。

むしろ、2つ目の公式のほうが証明がシンプルでやりやすいぞ。

分配法則で展開

まずはこの公式の左辺を分配法則で展開してみよう。

$(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

1つ目の公式の証明と同じく、後ろから前に分配法則を使うぞ。

$(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

$= a (a^{2} - a b + b^{2}) + b (a^{2} - a b + b^{2})$

そして、かっこをまたまた分配法則ではずすと、次のようになるな。

$a (a^{2} - a b + b^{2}) + b (a^{2} - a b + b^{2})$

$= a^{3} - a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b - a b^{2} + b^{3}$

同類項をまとめる

同類項をまとめるぞ。

$a^{3} - a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b - a b^{2} + b^{3}$ の同類項はこいつらだ。

$- a^{2} b と a^{2} b$
$a b^{2} と - a b^{2}$

この同類項をまとめると・・・・、そう、キレイさっぱり2つのグループとも0になる。

だから、

$a^{3} - a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b - a b^{2} + b^{3}$

$= a^{3} + b^{3}$

になるな。

こいつは紛れもなく2つ目の3乗展開公式 $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ の右側だ。

ってことで、2つ目の3乗の展開公式の証明も終了だ！

クマシロ

クマシロ

証明に使うのは中学数学の内容だったな！

次はこの3乗の展開公式を使って3乗の因数分解に挑戦していこう。

それじゃあな！