みんな、元気にしてる？そらだよ☆彡
今日は二次関数y = ax2 のグラフをかくんだ！
どちらかというと、今日は「絵を描く」感覚(^_-)-☆
え？絵を描くの苦手？
大丈夫だよ、グラフは絵とはべつものだし！
いっしょに二次関数y=ax2のグラフの書き方を勉強していこう！！
二次関数y=ax2のグラフの書き方はつぎの3ステップ。
グラフが通る点をたくさんゲットして、
雰囲気で放物線をかけばいいのさ。
「グラフ」はたくさんの値＝「点」の集まりの「線」だよね。
ということは、まずは「値」を求めなきゃ、グラフは描けないよね。
そして今度は、点たちを座標に書き込むことができる。
点を描き込むことができれば、できたも同然！
あとは点と点を結んで「線」（放物線）を描けちゃうんだ。
今日はいっしょに、
y=1/2x^2
の二次関数のグラフをかいていこうか。
xとy データの「表」をつくるよ！
紙と鉛筆の用意はできたかな？
さっそく始めるよ！
まず、xの値の範囲を決めよう。
沢山あったほうがより正確なグラフがかける。
だけど、今はおおよその形がわかればいいから、
データは10程度あればいいかな。
ってことで、今回はxの変域を「-5 ≦ x ≦ 5」と範囲を決めよう。
そうすると、表はこんな感じになる。
つぎはxの値をいれたときのyを求めればいいね。
地道に計算してみると、こうなる↓↓
計算ばっかでやんなっちゃうけど、ここは我慢しようね。
あとは計算結果を表にうめるだけ。
できたー？
さっきの点データを座標にかきこんでいくよ。
今回グラフをかくのは、メモリの単位が1のの座標でかくんだ。
だから、座標の点はxとyが整数の点だけでいいね。
y=1/2x^2の点データでいうと、
の5つの点だね。
こいつを座標にうちこんでみると、
こうなるね。
最後に点と点を結んでいくよ！
フリーハンドでもいいし、ものさしを使ってもいいよ。
座標の点をもとに雰囲気と直感でかいていこう。
座標をうてないところは点データをもとに、
そこらへんを通るように調整しよう。
おーーーらっよっと、
全部頑張って描きあげたよ！
こんな感じになったかな？
二次関数y=ax2の書き方はどうだったかな？？
きれいな二次関数の放物線のグラフをかくコツは、
たくさん点データを求めること。
これにつきるかな。
雰囲気の部分がすくなくなるからね。
あとは、いろんなグラフを描いてみよう。
またね(^_-)-☆
そら
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。トイレが近いね。
中学で勉強する関数もいよいよ大詰め。
一年生のころから、
とかたくさん関数をみてきたね。
今日は、ほんとうに最後の最後。
新しい関数を1つ勉強するんだ。
その名も、
いろいろな関数
だ。
ぶっちゃけ、名前とかとくにないんだけど、
身近でとっつきやすいよ。
マイナーっちゃマイナーなんだけど、テストにたまにでてくるんだ。
記事をよんでマスターしておこう。
つぎの例題をといてみよう。
練習問題
つぎの表はSIMカードの1ヶ月分の料金体系をあらわしています。
データ使用量ごとに料金が決まっています。
データ使用量をx GB、月額料金をy円とするとき、つぎの4つの問に答えなさい。
<データ使用量>
問1.
グラフをかきなさい。ただし、横軸を「データ使用量」、縦軸を「料金」とする
問2.
こいつは関数といえそうか
問3.
6GBつかうと月いくらか？
問4.
月々のおこづかいが3,000円のとき、何GBまでデータを使用できるか？
それじゃあさっそく、問1からといてみようか。
いろいろな関数のグラフをかいてみよう。
まず、x軸とy軸をひいてみるっと。
んで、この問題では、
だったね？？
料金体系通りに関数のグラフをかいてみよう。
データ使用量が3GBまでのとき、
月額料金yは「1,000円」で一定だったね？？
だから、このいろいろな関数のグラフは、
こうなるはずだ↓↓
こんなかんじで、
までの使用量の場合の様子をグラフにしてやると、
になるね。
あとは、境界をかいてやるだけ。
その境界をふくまないときは「○」、
ふくむときは「●」でぬりつぶしてやればいいのさ。
今回は「〜GBまで」っていう料金体系だったから、
上限の境界はふくむわけね。
不等号に=がついてるところが「●」、それ以外は「○」だよ。。
はい、グラフ完成〜
結論からいっちゃおう。
こいつは、まぎれもない関数なんだ。
なぜなら、
xが変化するごとにyの値が1つに決まるでしょ？？
たとえば、
xが10のとき、yは3500に定まってるじゃん？？
だから、こいつは関数なんだ。
もしも、こんなかんじにグラフがぶっこわれたら、こいつは関数じゃない。
なぜなら、
xが10のとき、yの値が3500と7000の2つあるからね。
ってことで、安心してね。こいつは関数だ。
つぎは、xが6のときのyの値を求めればいいね。
いろいろな関数のグラフをみてみると、
x = 6のうえには、
の2つがあるようにみえるよね？？
だがしかし、境界に注目してほしいんだ。
棒のはしっこね。
境界のルールは、
だったよね？？
ってことは、x = 6のときをふくんでるのは、
y = 1800のグラフ
だ。
つまり、
月額データ使用量が6GBのとき、料金は1800円ってわけね。
今度は逆だ。
yがある値以下になるときのxの変域を求めればいいのよ。
グラフをみてみると、3000円以内になるためには、
の2つなら月額3000円以内になりそうだ。
だから、
1ヶ月に6GBまでデータを使用できるね。
以上でいろいろな関数の問題は終了だよ。
どう？？ なんだかいけそうな気がするでしょ？
ちょっと変わってる関数だけど、ポイントは1つ。
それは、
境界
だ。
グラフの端っこが含むか含まないのかに注意してね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！ぺーたーだよ。
中学3年生で習う相似。
「相似」ってふつうに生活してたら耳にしないよね？？
最初はだれもが「ん、相似ってなんだ？」ってなる単元だ。
この単元でいちばん出てくるのは、
相似比を求めるタイプの問題
なんだ。
今日はテストで問題が解けるように、
相似比の求め方を解説していくよ。
よかったら参考にしてみて。
=もくじ=
相似比の求め方を勉強する前に、まず、
相似とはなにか？？
を復習してみようか。
相似な図形とはずばり、
1つの図形の形を変えずに大きくしたり小さくした図形のことだよ。
たとえば、ある△ABCをビックライトでむちゃくちゃでかくした。
その結果、
△DEFができたとしよう。
このとき、△ABCと△DEFは相似な図形である
っていえるんだ。
なぜなら、2つの三角形は拡大・縮小の関係にあるからね。
んで、相似比っていうのは、
相似な図形の対応する辺の比
のことなんだよ。
たとえば、△ABCと△DEFの例だったら、
が相似比なんだ。
さあ、今回はこの相似比を求め方を解説していくよ。
相似比の求め方はつぎの3つのステップだよ。
練習問題をいっしょにといてみよう。
練習問題
下の2つの三角形は相似である。相似比を求めよ。
まず相似な図形の向きをそろえよう。
対応する頂点・辺がかさなるように回転させればいいんだよ。
練習問題をみてみよう。
このままだと対応する辺が見つけにくくない？
その理由は、三角形の向きが同じじゃないからだ。
だから、2つの三角形の向きを同じにしてあげよう！
△DEFを左にぐるっとまわしてやればいいのさ。
そうするとこうなるよ。
これで対応する辺がみつけやすくなったね。
つぎは、対応する辺の長さを確認してみて。
相似比は、
対応する辺の長さの比
だったよね？？
だから、相似比を求めるためには、
2つの対応する辺の長さ
を知る必要があるわけ。
練習問題でいうと、
が対応する辺だね。
こいつらの長さはそれぞれ、
になってるね！
あとは相似比を求めるだけ。
相似比は、
対応する辺の長さの比
だったよね？？
だから、もし、2つの相似な図形があったら、
対応する辺1 : 対応する辺2
の比を求めればいいわけ。
練習問題でいうと、△ABCと△DEFの相似比は、
AB : DE
を求めればいいね。
なぜなら、
この2つの辺が対応する辺同士だからね。
だったから、
AB : DE
= 5: 15
= 1: 3
になる。
これが2つの三角形の相似比なんだ。
答えるときは一番簡単な整数で答えるよ。
そこだけ注意してね！
他の辺で計算しても1：3になるから安心して。
図形の相似比を求めるには回転させるのがカギ！
頭の中で回転させるイメージ力が必要。
回転させたらノートの余白に描いちゃおうね。
目ですぐに確かめられるから、解く時間を減らすこともできるよ。
相似比は基本的なことだからやり方覚えておいてね。
じゃ、また今度！
ぺーたー
こんにちは！Drリードだよ。
二次方程式の解き方にはたくさん種類があったね。
今日はもう1つ解き方を勉強していくよ。
その名も、
平方完成をつかった二次方程式の解き方
だ。
この解き方は、
因数分解できなくて、
なおかつ、
解の公式を忘れたときに使える解き方なんだよ。
絶望的な状況をすくってくれるのが平方完成ってわけ。
つぎの2次方程式の問題をといていこうか。
平方完成をつかった二次方程式になれるためにね。
練習問題
つぎの二次方程式を解きなさい。
x^2 + 6x -5 = 0
xがついてない項を右に移項しちゃおう。
つまり、
数字の項を右によせちまえばいいわけ。
練習問題でいうと、
3つめの項の、
-5
がxがついてない項だ。
こいつを右に移項すると、
x^2 + 6x -5 = 0
x^2 + 6x = 5
になるね。
つぎは、どんな手をつかってもいいから、
左辺を「xをふくむ式」の2乗にしてみよう。
例題の式をみてみて。
x^2 + 6x = 5
左をxをふくむ式の2乗にするために、
両辺に同じ数をたしてみよう。
左側が （ ）2 の形になるためには、「?」に何が入ったらいいと思う？
そう。
そうだよ、そうなんだ。
?には「9」がはいって、
x^2 + 6x + 9 = 5 + 9
になればいいね。
なぜなら、
左辺で因数分解の平方の公式の、
（a+b）^2 = a^2 + 2ab +b^2
がつかえるようになるからね。
さっそく因数分解してやると、
x^2 + 6x + 9 = 5 + 9
(x+3)^2 = 14
こんなかんじで、左辺に（xをふくむ式）の2乗をつくりたいときは、
xの係数の半分を2乗したやつを両辺にたせばいいね。
なっとくだ！
ここまできたら、平方根の解き方の形になったね。
左辺の2乗をとっぱらって、右辺を左辺の平方根にすればいい。
練習問題の、
(x+3)^2 = 14
もおなじように平方根の解き方をつかってみると、
x + 3 = ±√14
x = -3 ± √14
になるね。
おめでとう！
これで平方完成の解き方もマスターだ。
このめんどくさい解き方を、
平方完成で解く方法
っていうんだ。
因数分解できなくて、解の公式も忘れたら平方完成で解く
って、覚えといてくれよ。
心配なときは、つぎの練習問題もといてみてね。
レベルの高い解き方なんだから、練習あるのみだよ。
何回もね。へいへいほ～～♪
練習問題2. つぎの二次方程式を解きなさい。
x^2 + 3x + 1 = 0
⇒ 平方完成の二次方程式の問題の答えはこちら
平方完成は高校数学ですごく大切になるんだ。
平方完成を制するものは高校数学を制すといっても過言じゃあない。
いまのうちからマスターしておこう。
そいじゃねー
Dr.リード
こんにちは。けんいちだよ。
二次方程式では、便利な「解の公式」を勉強したね。
2次方程式「ax² + bx + c = 0」において、
解のxが、
x = {-b±√(b² -4ac)}÷2a
になる公式だったね。
じつはこの解の公式。
なんと、
bが偶数のときは解の公式が使いやすくなるんだ。
b’をxの係数（b）を半分にしたやつとすると、
x = {-b’ ± √(b’²-ac)}/a
で計算できちゃうのよ。
たとえば、xの係数が偶数の二次方程式、
x² – 6x +1 = 0
があったとしよう。
このとき、xの係数の半分は-3。
こいつを偶数の公式のb’に代入してやると、
x = {-b’ ± √(b’²-ac)}/a
= {-(-3) ± √(-3)²-1)}/1
= 3± √8
= 3± 2√2
になるね。
ふつうの解の公式よりも簡単にとける。
まじ最高だ。
今日はせっかくだから、
なぜ偶数の解の公式がつかえるのか？？
と
どういうふうに便利になのか？？
をみていこうか。
=もくじ=
bが偶数のときの解の公式は便利ってわかった。
じゃあつぎは、
なぜ偶数のときの解の公式が使えるのか？？
をみていこうか。
bは偶数だから、整数b’を使うと、
b=2b’
と表せる。
すると、二次方程式「ax² + bx + c = 0」 は、
ax² + 2b’x + c = 0
とかきなおせるね。
解の公式のなかの「b」を「2b’」におきかえればいいね。
すると、
x = {-2b’±√((2b’)² -4ac)}÷2a
= {-2b’±√(4b’² -4ac)}÷2a
になる。
つぎはルートの中身を簡単にするよ。
中身の、
4b’² – 4ac
を共通因数の4でくくると、
4( b’² – ac )
になるじゃんね。
4は2の2乗だから、ルートの外にだしてやると、
x = {-2b’±√4(b’² -ac)}÷2a
= {-2b’±2√(b’² -ac)}÷2a
になる。
最後に約分しよう。
分母と分子に共通の2っていう約数があるからね。
分母・分子を2でわると、
x = {-b’±√(b’² -ac)}/a
になる。
これでbが偶数の公式になったね。
実際に具体例で計算してみると、それがよく分かるよ。
例えば、2次方程式「3x^2 -8x +1 = 0」をふつうの解の公式で解いてみよう。
係数をそのまま当てはめると、
x = -(-8)±√{(-8)²-4×3×1}/2/3
= 8±2√13/6
= 4±√13/3
になるね。
でも、この二次方程式のbは「-8」で偶数。
さっきの偶数の解の公式もつかえるね。
偶数の解の公式にあてはめてみると、b’=-4だから、
x = -(-4)±√{(-4)²-3×1}/3
= 4±√13/3
ってなるね。
そうそう。
偶数の解の公式をつかってやると、
素因数分解や約分の手間がはぶけるんだ。
a=1のときは分数じゃなくなるからもっと簡単。
bが偶数の場合は絶対お得だよ！！！
二次方程式のbが偶数になってる？？
迷わず偶数の解の公式をつかってみよう。
ふつうの解の公式よりはやく解けるからね。
問題をたくさんといてなれていこう。
そんじゃねー
けんいち
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。日光にさらされてるね。
中3数学では、夏がすぎたころから、
関数y=ax2
を勉強していくね。
この単元では文字通り、「y=ax2」っていう関数を学んでいくよ。
教科書では、
xの2乗に比例する関数
ってよんでるね。
だけど、この単元を勉強していて思うのは、
ちょっと単元名かっこわるくね？？
ってこと。
こんな名前にするんなら、二次関数っていう名前のほうがいいのにって思うはず。
実際、塾とか参考書とかでは、
「関数y=ax2」のことを「二次関数」とよんでるケースも多いね。
でも、中学数学の教科書のどこをさがしても、「二次関数」っていう単語がでてこないんだ。
こりゃ不思議！
どうして教科書が表記に気をつけているのかな・・・
そんな疑問を解消するために、
なんで中学教科書では「関数y=ax2」を二次関数と呼ばないの？
をかいてみたよ。
よかったら参考にしてみてね。
結論からいっちゃおう。
教科書で「関数y=ax2」を二次関数と呼ばないのは、
「関数y=ax2」は特殊な二次関数の1つにすぎないから
なんだ。
だから、関数y=ax2を二次関数って呼んじゃうと、他の大多数の二次関数たちが怒りだすわけさ。
宇宙にはかぞえきれないぐらいたくさん2次関数が存在していて、
その中の1つのある特殊な二次関数が、
関数y=ax2
ってわけ。
ちょっと変わった二次関数で周りから浮いてるんだけど、
二次関数っちゃ二次関数なんだ。
なぜなら、関数y=ax2の右辺は二次式だからね。
xの次数の2がいちばん大きな次数じゃん？？
だから、二次関数とよんでも間違いじゃないんだ。
関数y=ax2が二次関数の特殊なやつの1つで、
二次関数ぜんたいをあらわさないとしたら、
二次関数はどういう式であらわされるんだろう・・・
って思うよね。
これは高校数学の範囲になるんだけど、
二次関数はつぎの式であらわされるんだ。
y = ax2 + bx + c
二次式ってことは、最大の次数が2。
ってことは、それより小さい次数の1とか0の項もいるかもしれない。
だから、xが2乗されてるax2だけじゃなくて、
xが1乗されてるbxとか、
xがついてないc とかが足されてるのさ。
んで、中3数学で勉強する「関数y=ax2」は、この二次関数の式で、
のときの二次関数をいってるわけ。
2つの係数が0なんて変わってる二次関数でしょ？？
だから、こいつを二次関数と呼ばずに、「xの2乗に比例する関数」ってよんでるわけよ。
ごちゃごちゃいってきたけど、だいたい、その理由は、
中1数学で「比例」を「一次関数」とよばなかった理由とおなじだね。
「比例する関数」は、
y=ax
だったよね？？
こいつは一次関数の一種。
なぜなら、一次関数y=ax+bでbが0のときの場合にすぎないからね。
xの2乗に比例する関数のあつかいも、
比例と一次関数の関係に似ていると思っておこう。
関数y=ax2を二次関数とよんでしまうのは、
ルフィをワンピースと呼んでしまうのと似てるね。
ルフィってワンピースの主人公であっても、ワンピースっていう漫画自体じゃないじゃん？
また、ブラック缶コーヒーだけが好きな人を、缶コーヒー好きと呼んでしまうことにも似てるね。
ブラック缶コーヒーは、缶コーヒーの中の1種にすぎないのにだよ？
ってことで、関数y=ax2はたしかに二次関数なのだけれども、
二次関数っていう大きなカテゴリーじゃないってことをおさえておこう。
学校のテストでは、
って名前でよんであげてね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。ジンジャーは心にきくね。
中3数学では、
二次関数y=ax2を勉強していくよ。
ここではあろうことか、いろんな問題が出題される。
二次関数の比例定数を求める問題とか、
グラフをかく問題とか、
xとyの変域を求める問題とかね。
もう、ほんとたくさん。
そんな中でもとっつきやすいのが、
y=ax2のグラフから関数の式を読み取る問題
だ。
手頃でしれっと解けちゃうから、得点源になるはず。
この記事でしっかりマスターしておこう。
たとえばつぎのような問題だ。
つぎの曲線はy=ax2のグラフです。この関数の式を求めなさい。
この手の問題は3ステップでとけちゃうよ。
まず、
x・y座標が正確に読み取れる点
をさがしてみよう。
もし、座標のメモリの単位が「1」だとしたら、
x・y座標がともに整数になってる点をさがせばいいのさ。
例題のメモリの単位も「1」だよね？？
ってことは、xとyの座標が整数の点をさがせばいい。
よーく目をこらしてみてみると、
・・・・・・・・・・・
はっ！
この放物線、
（2, -1）
とおってねえ？
こんなかんじで、xとyのメモリの交点を通っていて、
座標を読み取れる点をさがせばいいのさ。
さっき読み取ったx、y座標を二次関数y=ax2に代入しよう。
っていったかんじで代入してみて。
練習問題では、
になってたよね？？
この座標たちをy= ax2に代入してみると、
-1 = a × (2)^2
-1 = 4a
になる。
あとは一次方程式を解くだけ。
xとyの座標を二次関数y=ax2に代入すると、
aに関する1次方程式ができるはず。
こいつを方程式の解き方通りにといてやればいいのよ。
練習問題でのこった一次方程式は、
-1 = 4a
だね？？
こいつをaについて解いてやると、
a = -4分の1
になる。
よって、このグラフの二次関数y= ax2の式は、
y = -4分の1 x^2
になるね。
おめでとう！
これでy =ax2のグラフから式を読み取れたね。
二次関数y=ax2のグラフから式を読み取れるようになったかな？？
解き方の最大のコツは、
座標を正確に読み取ること。
これにつきる。
ここで間違えると、一次方程式も意味をなさなくなっちゃうからね。
遠視の人はめがねをかけてでもいいから、
正確に座標をゲットしてみよう。
そんじゃねー
Ken
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
放物線に出会いました。
二次関数y=ax2のグラフ。。。
放物線わけわかんない泣
ゆうき先生だ！
いろいろな名前
があるの知ってたかな？？
とか。
ちょうてん・・・・
じく・・・・・
漢字で覚えたほうがいいよ。
でも、聞き慣れない言葉だと、どうしても・・・・・・
じゃあ、『軸』はどう？
y軸とかx軸の仲間？？
今まで、グラフで見てきたよね！
『頂点』は初めましてかな？
『頂点』って、どんな点だろう？？
放物線の軸からみていこう。
放物線の対称軸のこと
なんだよ。
そのときの折り目を「対称軸」というの。
y軸
になってるね。
つぎは放物線の「頂点」。
放物線の頂点とは、
「放物線の軸」と「放物線」の交点のこと
をいうんだ。
よくわからんねーー
二次関数y=ax2だったら、
原点の(0, 0)
が頂点だね。
よくわからないときは、
山の頂上をイメージして。
「山の頂点みたいに盛り上がってるところ」が頂点
っておぼえればいいの。
y = ax2で「aが0より小さいとき」は、
ほんとうの山みたいになるよ。
「y=ax^2」の放物線
をくわしくみていこうか。
この放物線には、
頂点と軸がいつだって同じ！
っていう特徴があるんだ。
いつも頂点が（0，0）で、
軸はy軸ってこと？？
いろいろなグラフをイメージするといいよ。
たとえば、
比例定数aが正と負のときを考えてみよう。
こんなかんじで、
上下逆さまになるじゃん？
頂点も軸も一緒だ！
じゃあ、比例定数aを大きくしたり、
小さくしたりしてみてよ。
頂点と軸はいっしょだ！
そう！
二次関数y=ax2の頂点と軸はいつも同じなんだ。
頂点と軸に興味を持ってくれたから、
細かいこと話したいけど、
どう？
高校数学にどうつながってるんだろう・・・・・
高校でも変わらないよ♪
……
（納得いかない）
まだあるから！
高校に入ると、
色んなところに頂点や軸がある二次関数
が出てくる。
ちなみに、この二次関数の頂点と軸はわかるかな？
えっと、
頂点が（1，1）で、
軸がｘ＝１
ってこと？
そう！
それが分かれば十分！
興味があって、高校まで待てないなら、
詳しく調べてね♪
はろー、犬飼ふゆだよ。
解の公式は便利なアイテム。
因数分解できない2次方程式も解けるからね。
だけどね、解の公式には1つだけ欠点があるんだ。
それは、
むちゃくちゃ覚えいにくい
ってとこ。
ほら、みて？
x = {-b±√(b^2 – 4ac)}/2a
長いし複雑だし、かんべんしてほしいよね？？
でも、、便利な公式だからおぼえたい・・・！！
そこで今日は、二次方程式の解の公式の覚え方を3つ紹介するよ。
よかったら参考にしてみてね。
解の公式の覚え方を解説していくよ。
今日紹介する覚え方はつぎの3つ。
一番簡単なのが、
語呂合わせをつかった解の公式の覚え方
だね。
語呂を忘れなければ解の公式がおぼえられるってわけ。
その語呂とはずばり、
煮え！ 文にひく「ビ〜」プラマイルート 美人ひく 酔えし
だよ。
これなら、
煮え（2a）！ 文（分）にひく（-）「ビ〜（b）」プラマイルート（±√） 美人（b2乗）ひく（-） 酔えし（4ac）
ってかんじで、解の公式がおぼえられるんだ。
状況としては、男性がなにかを煮ているシーンを想像してくれ。
だけど、なかなか鍋が煮え切れらない。
しびれをきらした男性が文に「ビ〜」っと線をひきはじめたんだ。
プラスマイナスルート（±）
っていう文だったんだけどね、それは。
でも、近くにいた美人がね、その様子にひいちゃったんだよ。
んで、±√に線をびーってひいちゃった男性がね、こう思ったんだ。
酔えよ
ってね。
お酒にようと判断力がにぶくなるからね。
最後にもう一度、解の公式の覚え方を確認してみよう。
煮え（2a）！ 文（分）にひく（-）「ビ〜（b）」プラマイルート（±√） 美人（b2乗）ひく（-） 酔えし（4ac）
どう？？
かなりむちゃなシチュエーションだけど、耳に残りやすいね。
つぎは歌って覚える方法。
好きな歌は知らないうちに覚えちゃうじゃん？？
解の公式もおなじ。
メロディーをつけて、歌にしてみればいいのさ。
音楽好きの人にオススメだよ。
歌詞は、
2a(にーえー)分の-b(まいなすびー)±（プラスマイナス）√（ルート）b^2（びーじじょう）-4ac
になるね。
簡単なメロディーをつけたから歌ってみてね。
男子はオクターブを下げてもいいよ。
声変わり中だったらテノールで歌おう。
▼ソプラノ
▼テノール
なにかを覚えるときの王道。
それは、
書きまくる
だね。
解の公式だっておなじさ。かいてかいてかきまくればいいんだ。
ノートの裏に書いてみるとか、
トイレットペーパーにかくとか、
原稿用紙にかいてみるとか、なんでもいい。
紙に書いて貼っておくのもいいんじゃないかな。
ＰＣが使える人は、あえてマウスで書いてみるのもありだね。
キーボードじゃなくってマウスで書く。
書きづらいから絶対に覚えるはず。
ここまで解の公式の覚え方を解説してきたね。
でもね、公式を覚えられても、「実際に使う」っていうのはまた別。
上の3つの方法はあくまで「暗記する」ための覚え方。
解の公式を使えるようにするためには、
二次方程式を解の公式で解きまくる。
これが一番だ。
ではでは！ テスト頑張ってね！
犬飼ふゆ
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。服、ほしいね。
二次関数y=ax2の変化の割合の求め方には公式があるよ。
xの値がmからnまで増加するとき、変化の割合は、
a (m+n)
になるんだ。
つまり、
（比例定数）×（xの小さい値 + xの大きい値）
っていう計算。簡単だ！
さっそく、この公式で変化の割合を求めてみよう。
たとえば、
y=1/2x^2 でxが2から8まで増加するときの変化の割合を計算してみて。
この二次関数では、
になってるね？？
こいつをさっきの公式に代入してやると、
1/2 (2 + 8)
= 5
になるね。
つまり、
y=1/2x^2 でxが2から8まで増加するときの変化の割合は「5」になるわけ。
どう？？簡単に計算できたよね？？
二次関数の変化の割合の公式は便利。
どんな変化の割合の問題でもとけそうだ。
でもさ、
なんで変化の割合の公式がつかえちゃうんだろうね？？
ちょっと便利すぎて怖い。
不安になってきたから、なぜ公式がつかえるのかを振り返ってみよう。
二次関数y=ax2がmからnまで変化するときを想定してみて。
このときの変化の割合を、二次関数の変化の割合の求め方で計算すればいいんだ。
まずyの値を計算してみよう。
のときに、yの座標がいくつになるのか？？
を求めればいいのさ。
それぞれのx座標をy = ax2に代入すればいいね。
y = ax2にmとnを代入してyを求めてやると、
になる。
つぎは変化の割合の求め方で計算してみよう。
（yの増加量）÷（xの増加量）
だったよね？？
ようは、
xが1変化するごとにyはいくつ変化するのか？？
ってことを調べるわけだ。
この計算式をつかうと、
変化の割合
= （yの増加量）÷（xの増加量）
= （an^2 – am^2）÷（n – m）
になるね。
さっきの変化の割合を因数分解してみよう。
分子の、
an^2 – am^2
がむちゃくちゃ因数分解できそうだ。
まず共通因数aでくくってやると、
a(n^2 – m^2)
になるね。
んで、さらに、（）のなかの、
n^2 – m^2
を因数分解の公式で計算すると、
n^2 – m^2
= (n+m) (n-m)
になるじゃんね。
最後に約分してあげよう。
変化の割合の分子と分母に共通の、
n – m
っていう因数があるよね？？
そこで、
（n – m）で分子・分母を割ってやると、
a（n+m) (n-m) ÷ (n-m)
= a (n+m)
になるんだ。
xが増加する（または減少する）ときの話をしているから、
n と mが一緒であることはありえないはず。
つまり、
n≠m
だから、n-m≠0。
よって、n-mでわってもいいから大丈夫だ。
あ。
こ、これはいちばん最初に紹介した、
変化の割合 = a (m+n)
っていう公式になってるね。
こんなかんじで、変化の割合の求め方で計算すれば公式が導けるのさ。
やったね。
二次関数y=ax2の変化の割合は公式なら簡単。
すぐに変化の割合をだせるね。
便利な公式をおぼえるのも大事だけど、
なぜ、公式がつかえるのか？
ってこともおなじぐらい重要。
公式がつかえる理由をわかってから公式をつかおうね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。スペース最高。
二次方程式の解き方をたくさんならってきたね。
ざっと数えるだけ、6つもある。
解き方がたくさんあって便利なんだけど、
どの解き方つかえばいいかわからないんだよね。
せめて、
二次方程式の解き方を見分けるコツ
とかあれば助かる・・・・
そこで今日は、特別に、
二次方程式の解き方の見分け方
を紹介するよ。
よかったら参考にしてみてね。
二次方程式の解き方を見分けるコツは1つ。
それは、
消去法で解き方を選ぶ
だ。
っていう6つの解き方がつかえるか、上から確認していくのさ。
全部の解き方で解けなかったら諦めよう。
それぞれの解き方を確認してみようね。
平方根を使えるか確認してみて。
見分け方のコツは1つ。
それは、二次方程式のかたちが
（xをふくむ式）の2乗 = A
になっているか、もしくはソレに変型できるか確認すればいいのさ。
たとえば、
(x-4)² -11 = 0
っていう二次方程式があったとしよう。
こいつはみたかんじ、
（xをふくむ式）² = A
の形にもっていけそうだ。
だって、11を右辺に移項すればいいだけだからね。
このタイプの2次方程式なら、
の3ステップでとけちゃうよ。
くわしくは、平方根をつかった二次方程式の解き方を復習してみて。
実際に右辺に11を移項して解くと、
(x-4)² -11 = 0
(x-4)² = 11
x – 4 = ± √11
x = 4±√11
になるね。
平方根をつかう解き方がいちばん簡単。
こいつで二次方程式が解けるか、まず確認してみて。
共通因数でくくれるか確認しよう。
項が2つの二次方程式のとき、つかうことが多いね。
たとえば、つぎの二次方程式とか↓↓
3x² = 7x
この二次方程式の解き方なら、3ステップでとけちゃう。
⇒くわしくは「因数分解の公式をつかわない二次方程式の解き方」をよんでね。
実際にといてみると、
3x² = 7x
3x² – 7x = 0
x(3x – 7) = 0
x = 0, 3分の7
になるね。
平方根でも解けないし、共通因数でもくくれない・・・・
そんなときは、
因数分解の公式をつかった二次方程式の解き方
だ。
この解き方では、
因数分解の公式で二次式を因数分解して、一次方程式をつくっていくよ。
たとえば、つぎのような問題ね。
x² + 6x = -8
このタイプの二次方程式は3ステップでとけちゃう。
⇒くわしくは「因数分解をつかった解き方」をよんでみて。
実際に、さっきの二次方程式の、
x² + 6x = -8
を因数分解の公式をつかってといてみると、
x² + 6x = -8
x² + 6x + 8 = 0
(x +2) (x+4) = 0
x = -2, -4
になるね。
因数分解の公式をよーく復習しとておいてね。
因数分解の公式つかえねえええー
そんなときは、
たすきがけの因数分解がつかえるか粘ってみよう。
たとえば、つぎの二次方程式で活躍するね。
5x² – 11x + 6 = 0
因数分解の公式を使おうとしても・・・・・
ぐっっっっ
使えない！！
ってなるはず。
そういうときは「たすきがけの因数分解」をつかえばいい。
2次方程式の係数を、
の順番にヨコにかく。
んで、
かけたら「xの2乗の係数」、「定数項」になる数字をたすきがけで考えると、
1 -1 -5
5 -6 -6
———–
5 6 -11
になる。
よって、二次方程式は、
5x² – 11x + 6 = 0
(x-1)(5x-6) = 0
になるね。
今まで通り、一次方程式をといてやると、
x = 1, 5分の6
になるね。
因数分解の公式も、たすきがけも無理。
そんなときは最終兵器、
解の公式
をつかおう。
解の公式はどんな二次方程式でもとける公式だったね？？
覚えにくいけど、むちゃ便利なんだ。
たとえば、つぎの二次方程式とかね。
x² – 2x -6 = 0
この二次方程式はどうがんばっても、因数分解の公式はつかえない。
たすきがけ因数分解でもかすりもしない。
・・・・・こまった・・・・・・
そんなときは、解の公式の出番だ。
3ステップでとけちゃうよ。
二次方程式の係数を公式に代入すると、
x² – 2x -6 = 0
x = 2±√(2² -4×1×-6)/2
= 2±√(4 +24)/2
= 2±√28/2
= 2±2√7/2
= 1±√7
になるね！
これでどんな二次方程式もとけちゃう！
安心だ〜〜
もしも、だよ。
もしも、解の公式を忘れたらどうしたいいんだろう？？
因数分解の公式もつかえないし、共通因数でもくくれない。
そんなやばいときに役にたつのが、
平方完成による因数分解の解き方
だ。
平方完成は、解の公式を証明するときにつかった解き方だよ。
だから、解の公式を忘れても、解の公式っぽく二次方程式がとけちゃうのさ。
たとえば、さっきの2次方程式、
x² – 2x -6 = 0
を平方完成でといてみようか。
平方完成の解き方は4ステップだよ。
この解き方で二次方程式をといてみると、
x² -2x – 6 = 0
x² -2x = 6
x² -2x +1 -1 = 6
(x-1)² = 7
x-1 = ±√7
x = 1 ±√7
になる。
これは解の公式でだした解とおなじ。
解の公式を忘れたときに大活躍だ。
二次方程式の解き方はありすぎる。
どれを使ったらいいかわからないね。
心がけてほしいコツは、
消去法で解き方を選んでいく
ということ。
がつかえるか順番に確認していってね。
きっと、どれかしらで解けるはずだよ。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。布団、押し込んだね。
二次方程式の利用ではいろいろ文章問題をとくよね。
整数の問題とか、長方形の面積を求める問題とか、まじありすぎる。
そんな中、テストにでてくるとヤッカイなのが、
動点の文章問題
だ。
動点の問題とは、
「ある点」が時間がたつにつれて辺上を動く問題のことね。
ずっと前に「一次関数の利用の問題」でやった問題といっしょ。
あれがもっかい中3数学で登場するわけ。
テストにでやすいから苦手をつぶしておこう。
動点の文章題の解き方を紹介しよう。
つぎの練習問題をといてみようね。
練習問題
AB = 10cm、BC = 30cmの直角三角形ABCがあります。点Pは辺AB上をAからスタートして1秒間に1cmの速さでBまで動きます。また、点QはBC上をBからスタートして1秒間に2cmの速さでCまで動きます。
PとQが同時に動きはじめるとき、△PBQの面積が16cm^2になるのは何秒後になりますか？？
解き方は他の二次方程式の文章題といっしょ。
4ステップでいけるんだ。
方程式の文章題の解き方はどれもおなじ。
そう。
「文章題で求めたいもの」を文字でおけばいいんだったね？？
xでもyでもzでも好きな文字でおいてくれ。
例の文章問題では、
△PBQの面積が16 cm^2になるときは何秒後になるか？？
を求めたかったね。
だから、2点P、Qがスタートしてからの時間をx秒としてみようか。
これが第1ステップ。
文章問題をもとに二次方程式をつくってみよう。
文章題のなかの、
○○が△△に等しいとき
っていう文をみつけて、それをもとに、
○○ = △△
っていう方程式をつくればいいのさ。
さっきの練習問題をみてみて。
△PBQの面積が16 cm^2になるとき
っていう文がみつけられたかな？？
つまり、この二次方程式の動点の問題では、
△PBQの面積 = 16cm^2
っていう2次方程式をつくればいいわけだ。
それじゃあ、x秒後の△PBQの面積を計算してみよう。
底辺×高さ÷2
だ。
ってことは、△PBQの面積を求めるには、
の2つがわかってればいいね。
点P、Qはそれぞれ、
動く。
ってことは、x秒後は、それぞれ、スタート地点から、
すすんでるはずだね。
だから、直角三角形PBQの底辺と高さの辺たちは、
になってる。
ってことは、スタートからx秒後の△PBQの面積は、
（底辺）×（高さ）÷ 2
= BQ × PB ÷ 2
= 2x (10-x)÷2
= x (10-x)
になるね。
この文章題では△PBQの面積が「16cm^2」になればいいんだったね？？
ってことは、
△PBQの面積 = 16
x (10-x) = 16
っていう二次方程式ができるはずだ。
さっきの二次方程式を解いてみよう。
因数分解をつかってもいいし、解の公式をつかってもいい。
とりあえず、2次方程式の解を求めてね。
練習問題の二次方程式は、
x (10-x) = 16
だ。
左辺の（）を分配法則で展開してやると、
x (10-x) = 16
10x – x^2 = 16
になるね。
移項して整理してやると、
x^2 – 10x + 16 = 0
になるんだ。
左辺の、
x^2 – 10x + 16
はどうやら因数分解の公式がつかえそうだ。
になる2つの数を考えてみると・・・・
は！
ならこの条件にあいそう！
ってことで、因数分解の公式の、
x^2 +(a+b) x + ab = (x + a) (x +b)
で因数分解してやると、
x^2 – 10x + 16
= x^2 (-8-2)x + (-8)×(-2)
= (x -8) (x-2)
になるね。
だから、練習問題の二次方程式は、
x^2 – 10x + 16 = 0
(x -8) (x-2) = 0
になる。
( x – 8) (x – 2)が0になってるってことは、どっちかが0なはず。
よって、
のどちらかが成り立つはずだね？？
ってことで、2つの一次方程式をといてやると、
っていう解が2つでてくるね。
やった！これで二次方程式解けたー！おわたーー
ってなるのはちょっとはやい。
じつは、二次方程式の文章問題では最後に、
解の吟味
をしなきゃいけないんだ。
吟味ってつまり、解が文章題にそってるか確認することだ。
これをしないと、わけのわからん答えをかいちゃうからね。
練習問題でも解を確認しよう。
二次方程式の解は、
だったね。
つまり、PとQがスタートしてから「2秒後」と「8秒後」に面積が16cm^2になるらしい。
この2つのxはきちんとxの変域内におさまってるから問題なさそうだ。
だって、点PはBまでしか動けないからxの変域は、
0 ≦ x ≦ 10
だもんね。
点Pは1秒間に1cmすすむから、10秒で10cmすすむ。
つまり、終点のBに到着しちゃうのさ。
だから、xが10より大きくならないってわけ。
今回の2つの解は10以下におさまってるね。問題ない！
よって、まとめると、
△PBQの面積が16cm^2になるときはスタートしてから2秒後と8秒後だね。
二次方程式の利用の動点も大丈夫だ。
落ち着いて、
の4ステップで解けばいいよ。
ただ、
解が変域内におさまってるか？？
は必ず確認してね。
そんじゃねー
Ken
