こんにちは！この記事をかいているKenだよ。自然とふれあいたいね。
文字式の計算問題にはいろんな種類がある。
なかでも質問が多いのは、
文字式の割り算
だ。
たとえば、つぎのような問題だね ↓↓
例題
つぎの文字式を簡単にしなさい。
12a^2b^3 ÷ 9abc^2
割り算は足し算・引き算よりもむずそう。。
だけどね。
じつは、簡単な解き方があるんだ。
文字式の割り算のコツは、
数字と文字をべつべつに計算する！
だ。
数字と文字をいっきに考えちゃダメだ。パンクしそうになる。
だったら、
数と文字をわけて計算すればいいんだよ。
ってことで、つぎの3ステップで割り算してみよう！
例題をといてみよう。
例題
つぎの文字式を簡単にしなさい。
12a^2b^3 ÷ 9abc^2
まず、
数字の割り算
を計算しよう。
例題でも、数字の割り算だけしてみると、
12÷9
になるよね。
数字の割り算ならいける！はず！
12÷9をふつうに計算してやると、
12÷9
= 3分の4
になるね。
これが第1ステップ！
おつぎは文字の割り算。
文字式の割り算では、
「割る数」の指数を「割られる数」の指数からひけばいいんだ。
たとえば、x^100÷x^30を考えてみて。
割る数の「30」の指数を「割られる数」の100からひけばいいんだ。
だから、
x^(100-30)
= x^70
が答えになるね。
こんな感じで、例題も指数の引き算をしてみよう。
例題から文字の計算だけとりだすと、
a^2 b^3 ÷ abc^2
になるね。
÷の後ろの文字の指数を引き算してやると、
a^2 b^3 ÷ abc^2
= a^(2-1)b^(3-1)c^(-2)
= a^(1) b^2 c^(-2)
になるね。
マイナスの指数は分数の分母にまわしてやればいいから、
a^2 b^3 ÷ abc^2
= a^(1) b^2 c^(-2)
= ab^2/c^2
になるね。
これが第2ステップ！
最後は、
2つの割り算の結果をくっつけよう！
のりもボンドもいらない。
ただ、くっつけるだけでいいんだ。
例題の数字と文字の割り算はそれぞれ、
だったよね？？
こいつらをこりっとつけてやると、
(4ab^2)
———-
3c ^2
になるね！
これで文字式の割り算もマスターだね。
文字式の割り算？？
おそれることはない。
いったん、
数
と
文字
にわけて計算すればいいんだ。
文字式の基本だからしっかりマスターしておこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。おしぼりは無敵だね。
文字式の利用で、
連続する3つの整数の和の問題
ってでてくるよね。
たとえば、つぎの問題 ↓↓
例題
連続する3つの整数の和が3の倍数になる訳を説明しなさい。ただし、整数は正の数とする。
日常生活では3つの整数の和なんて考えないよね？？
だって、必要ないもん。
でもね、中2数学の問題ではよくでてくる証明なんだ。
今日はこの問題を攻略してみよう！
4ステップで証明できちゃうよ。
さっきの例題をといていこう！
例題
連続する3つの整数の和が3の倍数になる訳を説明しなさい。ただし、整数は正の数とする
ある正の整数を「n」としてみて。
nは「正の整数」だから、
1にもなるし、2にもなるし、10にだってなるんだ。
えっ。なぜ「n」を使わなきゃいけないんだって？！
えっ？
zを使いたい？？
じつは、nは英語の「number (数字)」からきているんだ。
ぶっちゃけzとかqでもいいんだけどさ。
nをつかうとカッコいいじゃん？。
とりえあず正の整数を「n」とおこう！
連続する3つの整数をnであらわそう！
連続する3つの整数ってたとえば、
1, 2, 3
みたいに、1ずつ違う整数のことだ。
たとえば、
1, 4, 5
とかは連続してないね。
だって、1ずつ離れてないし。
nであらわすときは、
連続する3つの整数のうち、正の整数nを、
真ん中の整数
とおくといいよ。
そうすると、
をnで簡単にあらわせるからね。
連続する3つの整数は1ずつ離れてる。
よって、
になるはずだ！
つぎは、連続する3つの整数をたそう。
nであらわした、
をたせばいいんだ。
ぜんぶたしてみると、
(n-1)+n+(n+1)
= 3n
になるね！
最後に、和が「3の倍数」になる証拠をみつけよう。
証拠がみつかれば、
連続する3つの整数の和が「3の倍数」である
って証明できるからね。
例題でいうと、
連続する3つの整数の和は、
3n
になったね。
で、nは正の整数だったよね？？
ってことは、
3n
は3の倍数になるんだ！
だって、「n」には1とか2とか6とかがはいるわけだからね。
そいつらが3倍されたら、
3の倍数になるじゃん？？
だから、連続する3つの整数の和は3の倍数っていえるんだ！
この問題は、
の4ステップで証明できちゃう。どんどんチャレンジして行こう
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。公園をふらっとしたね。
中3数学ではたくさんの計算問題をとかされるよ。
その中の問題の1つに、
式の値の計算
ってやつがあるんだ。
これはぶっちゃけいうと、
文字式のなかの文字に数字を入れたらどうります？？
っていう問題だ。
たとえば、つぎのような問題だね。
例題
x = 10, y = 2のとき、つぎの式の値を求めなさい。
(2x+3y)(2x-3y) – (x-2y)(x-5y) + 10
今日はこのタイプの、
式の値の計算の問題
を3ステップで解説していくよ。
解き方がわからないときに参考にしてみてね。
さっきの例題をいっしょにといていこう。
例題
x = 10, y = 2のとき、つぎの式の値を求めなさい。
(2x+3y)(2x-3y) + (x-2y)(x-5y) + 10
この手の問題はつぎの3ステップでとけちゃうよ。
とりあえず、与えられた文字式を展開しちゃおう。
展開には乗法公式をつかってあげると便利だよ。てか計算がはやくなるね。
例題の文字式は、
(2x+3y)(2x-3y) – (x-2y)(x-5y) + 10
だったよね？？
この文字式にたいしては、
の2つがつかえそうだ。
さっそく乗法の公式で計算してみると、
(2x+3y)(2x-3y) + (x-2y)(x-5y) + 10
= 4x² – 9y² +(x² -7y +10y² ) +10
になるね！
これが第1ステップさ。
つぎは展開したやつらのなかで同類項をまとめてみよう。
つまり、
文字と次数がおなじ項同士の足し算引き算をしてあげるってことさ。
例題でも、同類項をまとめてやると、
(2x+3y)(2x-3y) + (x-2y)(x-5y) + 10
= 4x² – 9y² +(x² -7y +10y² ) +10
= 5x² + y² – 7xy + 10
になるね！
最後に数字を文字に代入してみよう。
xならxに、yならyに、値をぶちこんでやればいいんだ。
例題では、
だったね？？
こいつらを同類項をまとめたあとの式に代入してやると、
5x² + y² – 7xy + 10
= 5×(10)² + (2)² – 7×10×2 + 10
= 374
になるね。
おめでとう！
これで式の計算の値も求めることができたね！
式の計算の値の問題はシンプル。
というか、
展開の公式さえおぼえていればどうにかなるね。
だって、
展開してきれいにととのえて文字を代入するだけだからね。
問題をといて代入になれていこう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。チョキはすごいね。
等積変形の問題は大きく分けると、
の2つある。
どちらも等積変形をつかうのは同じ。
だけど、
びみょーに解き方がちがってくるんだ。
せっかく勉強するんなら、どちらの解き方もマスターしておきたいね。
そこで今日は、
等積変形の「三角形」の問題をいっしょにといてみよう！
等積変形の三角形の問題は、つぎのようなやつだね↓↓
三角形ABCのAC上にある点Pを通る直線のうち、三角形ABCの面積を二等分するものを作図しなさい。ただし、コンパスと定規しか使わないでね。
この手の問題の解き方はシンプル。
三角形を等積変形して、
そいつの面積を二等分する線をひけばいいんだ。
つぎの6ステップでとけるよ。
コンパスと定規で攻略していこう！！
三角形の底辺を延長しよう。
好きなだけ延長していいよ。とくべつにね。
できるかぎり左右にのばしてみて。
例題でいうと、底辺はBCだね。
こいつを横に延長してやると、こうなるね！
えっ。
かっこわるいって！？
そうだね。
でもここからが等積変形の面白いところなんだ。
「中点を通る点」と「対角」をむすんでやろう。
例題でいうと、点Pと点Bだね。
こいつらを定規ですーっと結んでやると、
こうなる！
頂角を通る平行な線をかいてみよう。
ここでも定規が活躍するよ。
例題でいうと、
点Aを通ってBPに平行な直線ってわけだ。
せっかくだから、
底辺との交点をDとしよう！
等積変形で「面積の等しい三角形」をつくっちゃうおう。
具体的にいうと、
新しくできた底辺との交点
と
二等分線が通る点
を結べばいいんだ。
例題でいうと、点DとPを結べばいいね。
えっ。どこが等積変形になってるのかッテ？！
じつは、これ、
△ABP = △DBP
になってるんだ。
なぜなら、
この2つの三角形は底辺BPを共有していて、
高さが同じだだからさ。
んで、もっといってやると、
△ABC=△DPC
になるんだ。
なぜなら、
でしかも、等積変形で、
△ABP = △DBP
ってわかってるからね。
だから、
△ABC = △PBC
になってるんだ。
等積変形についてもっと知りたいときは、
平行線と面積の記事をよんでみてね。
つぎは垂直二等分線をひいてみよう。
等積変形後でできた三角形の底辺で、垂直二等分線をかけばいいんだ。
えっ。
なぜ垂直二等分線をひくのかって？！
じつは、
三角形の底辺の中点を求めるのが目的なんだ。
例題でいうと、
△PDCの底辺DCの中点を求めるってことだね。
さっそく、垂直二等分線をかいてみよう。
コンパスの脚を適当にひらいて、
左の点Dに針をおく。
そして、半円を、かく。
つぎは、右端っこにある点Cに針をおいて、
こっちでも半円をかいてみよう。
んで、2つの半円の交点をむすんでやると、
ほれ！垂直二等分線のできあがりさ。
ついでだから、
垂直二等分線と底辺の交点をMとしよう。
この点Mは、辺DCの中点だね。
もし、点Pと点Mを結んでやると、
△PDCの面積を二等分していることになるんだ。
なぜなら、
△PMCの面積は△DPCの半分になっていて、しかも、
△DPC = △ABC
だからね。
つまり、△PMCは△ABCの面積の半分でもあるってわけだ。
どう？？すっきりしたかな！？？！
等積変形の三角形の問題！？
とりあえあず、コンパスと定規を準備。
そして、垂直二等分線をかいてやればいいのさ。
ガンガン等積変形していこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。砂糖、最高。
因数分解の解き方はわかった。
もう、怖いものなしだね！
あと、この基本にくわえておぼえておきたいのが、
因数分解の利用の解き方
だ。
因数分解の利用ってなに？？
って思うかもね。
ようは、
整数の計算でも因数分解や展開の公式をつかっちゃおう
っていう問題なんだ。
この解き方をマスターすると、
ムズい計算問題を簡単にとけちゃうんだよ。
この問題にはつぎの2種類あるよ。
それぞれ解き方をみていこう！
まず一つ目は、
因数分解の「和と差の公式」をつかう問題だ。
たとえば、つぎのような問題だね。
例題1
因数分解を利用して、つぎの計算をしてみてください。
39^2 – 31^2
3ステップでとけちゃうよ。
まずは、計算式を因数分解しよう。
因数分解の利用でつかう公式は、十中八九、
和と差の公式
だ。
a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)
ってやつだね。
※因数分解の公式はここから復習しよう！
例題でもこの公式をつかってみよう。
39^2 – 31^2
では、aにあたるのが「39」、bにあたるのが「31」だね。
よって、
39^2 – 31^2
= (39+31) (39-31)
になるはず！！
因数分解してみたね？？
今度は、（）の中を計算しちゃおう！！
例題の（）のなかには、
の2つの計算式がはいってるね。
こいつらを計算してやると、
になるね！
最後はかけ算しちゃおう。
最初の計算式よりもクソシンプルになったね。
例題でいうと、
39^2 – 31^2
= (39+31) (39-31)
=70×8
= 560
になるね！
これで因数分解の利用完了だ。
むちゃ簡単になったね！。
つぎは展開の公式をつかうパターンだ。
展開の公式を利用する問題では、
の2つをつかうのがほとんど。
※展開の公式を忘れちゃったら復習してみよう！
つぎの例題をいっしょにといていくよ。
例題2
展開を利用してつぎの計算をしなさい。
(1) 29^2 (2) 99 × 101
こいつは3ステップでとけちゃうよ。
計算式をきりのよい数字であらわしてみよう。
えっ。
「きりのいい」とかよくわからないって？！？
たしかにね。
そうだな、たとえば、
99だったら100、 19だったら20ってかんじで、
1の位が0になるような数であらわせばいいんだ。
例題では、
っていう中途半端な数字がでてきてるね？？
こいつらの1の位が0の数字であらわすと、
になるはずだ。
これで計算式を書き直すと、
になるね！
つぎは展開公式をつかってみよう。
まず例題の1番に注目してみて。
こいつに平方の公式をつかってみよう。
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
展開の公式で、
29^2 = (30-1)^2
を展開してやると、
29^2
= (30-1)^2
= 30^2 -2×30 +(-1)^2
になるね。
おつぎは2番目をみてみよう。
こいつは和と差の公式で展開できそうだね。
さっそく展開してみると、
99 × 101
= (100-1) (100+1)
= 100^2 -1^2
になるはずだ。
最後は力技。
公式で簡単にした計算をしてみよう。
まず例題の1からだ。
Step2までで、
29^2
= (30-1)^2
= 30^2 -2×30 +(-1)^2
ってなってたね。
こいつを最後まで計算してやると、
29^2
= (30-1)^2
= 30^2 -2×30 +(-1)^2
= 900 – 60 +1
= 841
になるね！
暗算でも計算できちゃう。
つづいて例題の(2)だ。
こいつも最後まで計算すると、
99 × 101
= (100-1) (100+1)
= 100^2 -1^2
= 10000-1
= 9999
になるね！
この計算もクソ楽になってる。
展開の公式サイコーだぜ。
因数分解の利用とか、正直、だるい。
だけどね、
公式をつかうとすごく便利なんだ。
電卓やそろばんを使わなくてもいいからね。
慣れるまで大変だけど、どんどんチャレンジしていこう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。植物は癒しだね。
正の約数の個数を求めたい。
そんなとき・・あるよね。。
小さい数の約数なら簡単。
たとえば、
みたいなかんじで、がんばれば約数の個数はわかっちゃう。
だけどね。
むちゃでかい自然数の正の約数の個数を求めたいとき。
こいつはそう簡単にうまくいかない。
たとえば、360の約数の個数を求める問題。
1, 2, 3, ,,,4, ,5, ,,,, 6,,,,,,12,,,,,
って数えてたら日がくれちゃうね。気合だけじゃのりきれない。
そこで今日は、どんなに大きな数でも使える、
約数の個数の求め方の公式
を紹介するよ。
よかったら参考にしてみて。
正の約数の求め方には公式があるよ。
約数の個数を求めたい自然数をNとしよう。
んで、
N = a^p × b^q × c^r
って素因数分解できたとする。
すると、正の約数の個数は、
(p+1)(q+1)(r+1)
になるんだ。
つまり、
（素因数の指数+1）をかけあわせるだけでいいんだ。
たとえば、自然数20の約数の個数を求めてみよう。
こいつを素因数分解すると、
20 = 2^2 × 5
になるね。
正の約数の個数は、（指数＋1）をかけあわせればいいから、
(2+1)×(1+1)
= 6
になるってわけ。
今日はこの公式になれるため、20よりもう少し大きい、
360
の約数の個数をもとめてみよう！
つぎの3ステップで約数の個数を求めることができるよ。
自然数を素因数分解してみよう。
360を素因数分解してやると、
・・っおっと。
1がでてきたのでここでストップだね。
わった素数をあつめて因数にすると、
360 = 2^3 × 3^2 × 5
になるね！
つぎは、素因数の指数をかぞえよう。
自然数の360は、
360 = 2^3 × 3^2 × 5
になったね。
素因数の指数に注目してやると、
になってるね。
最後は、
指数に1をたしたもの
を掛け合わせてみよう。
360の素因数の指数はそれぞれ、
だったよね？？
だから、360の正の約数の個数は、
(2の約数の個数+1) × (3の約数の個数) × (5の約数の個数)
= (3+1) × (2+1) × (1+1)
= 24
になる。
つまり、360の正の約数の個数は「24」になるってわけ！
でもさ、ちょっとあやしくない？？
約数の個数の求め方が、こんなに簡単だなんて・・・
じつは、
「 約数の個数」＝「それぞれの素因数をかけるパターン数」
なんだ。
たとえば、さっきの自然数Nが、
N = a^p × b^q × c^r
に素因数分解できるとしよう。
このとき、素因数aの掛け方の方法は、
の (p+1)通りあるはず。
おなじように、他の素因数も考えてやると、
になるはずだ。
1つの素因数あたりの指数のパターンは、
ある。
だから、自然数Nの約数の個数は、
(p+1)×(q+1)×(r+1)
になるんだ。
どう？？しっくりきたかな？？
約数の個数？？
そんなの簡単さ。
素因数分解して、指数に1をたして、かけあわせればいいんだ。
じゃんじゃん素因数分解していこう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。クロアチアに住みたいね。
たすき掛けの因数分解はむちゃ便利。
因数分解の公式が使えないときとか、
共通因数をくくりだせないときとかね。
ほんとうに重宝するぜ。
だがしかし、さ。
なぜ、たすき掛けで因数分解できちゃうんだろう？？
やり方が複雑すぎる。
ぶっちゃけ、怪しいんだよね。
信用できない。
そこで今日は、
なぜたすき掛けの因数分解が使えるのか？？
をわかりやすく解説してみたよ。
よかったら参考にしてみて。
さっそく、たすき掛けの因数分解を証明してみよう。
ax^2 + bx + c
を例として因数分解してみよう！
まずは、たすき掛け因数分解したい式を、
うまーく因数分解できちゃったことにしよう。
とりあえずね。
さっきの例でいうと、
ax^2 + bx + c
を、
(Ax + B)(Cx + D)
に因数分解できちゃったことにすればいいんだ。
でも、これは「とりあえず」だよ。
さっき据え置きした、
(Ax + B)(Cx + D)
を展開しちゃおう。分配法則ですーっと（）をはずせばいいんだ。
こいつを展開してやると、
(Ax + B)(Cx + D)
= ACx^2 + ACx + BCx + BD
= ACx^2 + (AD+BC)x + BD
になるね！
つぎは、
をくらべてみよう。
さっきの例でいうと、
の2つだね。
こいつらは「かりの姿」と「オリジナル」の式。
まるまる同じ式のはずだ。
だから、
は一致するはずなんだよ。ゼッタイ。
っていうことは、
になるはずだね。
あとは、仮に置いた文字の正体をあばくだけ。
になるようなA・B・C・Dの組み合わせをみつければいいんだ。
で、でも、どうやって？？
って思うよね。
そこで、だ。
たすき掛けマシーンの登場だね。
まっすぐな線をかいて、
xの二乗の係数、定数項、xの係数の順番にならべてやる。
ax^2 + bx + c
でいうと、
a、c、b
の順番だね。
「かけたらaになる2つの組み合わせ」をaの上に、
「かけたらcになる組み合わせ」をcの上におこう。
今回は、
だったから、
こんなかんじになりそうだ。
ただ、今回はもう1つ条件がある。
そう。
b = AD+BC
だったね。
こいつをみたすためには、
4つの数字をたすき掛けのかけ算をして、それぞれたしたらbになるか？？
ってことをたしかめればいいよね。
つまり、
AD + BC = b
になってればいいわけだ。
これならうまく、
をみたすA・B・C・Dを求められるね！
たすき掛けの因数分解では、
をイメージして、たすき掛けをしたらxの係数になればいいんだ。
どう？？すっきりしたかな？？
たすき掛けのやり方は複雑。
正直わからないし謎だ。
だけど、因数分解できちゃうと仮定すれば大丈夫。
腐らずたすきをかけていこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。紅茶は午後にかぎるね。
因数分解にはいろいろな問題があるよね。
ときどき、ぜんぜん解けなくて泣きたくなるときも、ある。
よくあるのが、
因数分解の公式が使えない
とか、
共通因数でくくれない
って問題だと思うんだ。
そんなときに助けてくれるのが、
たすき掛けの因数分解
だ。
たすき（襷）といえば、
駅伝とか、
宴会の余興をイメージしちゃうかもね。
だけど、因数分解にもじつは、
たすき掛けという解き方があるんだ。
今日は、この解き方を5ステップで解説していくよ。
よかったら参考にしてみてね。
さっきもいったけど、
たすき掛けはつぎのときに役立つよ。
たとえば、つぎの例題みたいにね。
つぎの式を因数分解しなさい。
3x² + 5x -2
なぜなら、
公式は使えなさそうだし、
共通の因数もぜんぜんみつからないからね。
まさに、たすき掛けの因数分解にはもってこいの問題だ。
今日はこの例題をいっしょにといてみよう！
まずは、まっすぐな線をかいてみて。
定規は使わなくて大丈夫。
フリーハンドでいいから、すーっと直線をかいてみてね。
これが第1ステップ！
つぎは、直線の下に係数をならべよう。
かりに、
ax² + bx +c
を因数分解するなら、
a、c、b
の順番に係数をならべてあげるんだ。
つまり、
ってかんじで左から順番にね。
例題の、
3x² + 5x -2
でもおなじさ。
直線の下に、左から、
の順番に係数をかけばいいんだ。
真ん中のxの係数がトリッキーな動きをするから、
順番を間違えないようにね。
つぎは、かけ算のパターンを考えてみよう。
左2つの係数の、
になる組み合わせをみつければいいんだ。
たとえば、
ax² + bx +c
だったら、
をさがせばいいんだよ。
例題でいうと、
の組み合わせだね。
かけて3になるのは、
の2つかな。
かけて-2になるのは、
の2パターンだね。
これで第2ステップ終了！
さっきの数字の組み合わせの中から、
たすき掛けの計算にはまるもの
をえらぼう！
えっ。たすき掛けの計算とか知らないって？？
たすき掛けの計算とはずばり、
斜めの数字同士をかけたやつらをたすと、右下の数になる
ってやつなんだ。
たとえば、
ax² + bx +c
だったら、
になるような、○・◎・△・▲の組み合わせをみつければいいんだ。
言葉では説明しずらいから例題をみてみよう。
これは力技だ。
当てはまりそうな数をいれて、たすき掛けを試してみよう。
かけたら3になる組み合わせとして、
の2つをぶちこんでみる。
つぎはかけたら-2になる組み合わせだ。
のペアーなんてどうだろう？？
この4つの数字でたすき掛けしてみると、
になる。こいつらをたすと、
-6 + 1 = -5
になるね。
こ、こいつはxの係数の5じゃない！
この組み合わせじゃダメだ！！
じゃあさ、
-2と1の符号を入れ替えたらどうよ？？
-1 と2って感じでさ。
そうすると・・・
になるね。
で、たしてみると、
6 -1 = 5
っておおお！
たすき掛け成立しちゃってんじゃん？？
これだ！この組み合わせだ！！
・・・・・・・・
・・・・・・・・
っていうかんじで、
因数を変更してみたり、
符号を変えたりするんだ。
たすき掛けの因数分解になるまでねばってみよう。
たすき掛けもいよいよ終盤。
たすきがけの組み合わせがわかったら、
因数分解っぽい形にしてみよう。
たすき掛けで書き出した数字のうち、
いちばん左のやつがxの係数、
真ん中のやつが定数（数字だけの項）になるんだ。
ax² + bx +c
の例だったら、
(○x+△)(◎x+▲)
になるんだ。
例題では、
の組み合わせだったね？？
よって、
xの係数は、
で、定数の項は、
になるんだ。
つまり、
3x² + 5x -2
= (x+2)(3x-1)
になるってわけさ。
おめでとう！
これでたすき掛けもマスターだね。
たすき掛けの因数分解はぶっちゃけむずい。
説明するのも苦しかったよ。うん。
だけど、解き方をおぼえちゃえばもうね、無敵。
必殺ワザをおぼえるものだと思って、
たすき掛けをマスターしちゃおう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。爪は大事だね。
因数分解の応用問題の1つに、
置き換え問題
ってやつがいる。
世界には数えきれないほど因数分解の問題があるから、
ぜんぜんピンときてないかもね。
置き換え問題はつぎのようなやつだよ↓↓
つぎの式を因数分解しなさい。
(2x + 3)² – 4(2x+3) + 4
こんなかんじで、
式のなかに「おなじ文字式」がちらほらしている問題。
えっ、この問題でいうと、
（2x+3）
がちらほらしてるじゃん？？
このタイプの解き方は一択。
チラホラしている文字式を「別の文字」で置き換えればいいんだ。
むちゃ解きやすくなる。
だから、
置き換えタイプの因数分解
とよんでるよ。
今日はこいつの解き方を5ステップで解説していくね。
置き換え問題は4ステップでとけちゃうよ。
それじゃあ、さっきの例題をといていこう。
例題
つぎの式を因数分解しなさい。
(2x + 3)² – 4(2x+3) + 4
まず、式の中にふくまれている、
2回以上登場する文字式
をみつけてみよう！
これが探せないと始まらないね。
例題をみてみると、あきらかに、
2x+3
が何回もでてきてるよね？？
まあ、、2回だけどねw
こいつみたいに、怪しい文字式をみつけてみよう！
つぎは、2回以上でてきた文字式を「A」とおこう。
そう、
アルファベットのAだ。
他の文字と区別するために大文字にしてね。
すると、例題ではこんな感じで置き換えられるよ↓↓
A² – 4A + 4
これが第2ステップ。
つぎはふつーに因数分解してみよう。
置き換えた式を因数分解の解き方で計算すればいいのさ。
例題の式は、
A² – 4A + 4
に生まれ変わったよね？？
こいつを公式で因数分解してやろう。
因数分解したい文字式の項を数えてみると、
「3つ」あるね。
3つの項を因数分解する公式は、
(x+a)(x+b) = x² +(a+b) +ab
だったよね？？
これはパズル型の公式。
かけて右に、たして真ん中になる数の組み合わせを考えればいいんだ。
例題の、
A² – 4A + 4
でいうと、
になる組み合わせを考えればいいんだ。
まず、かけて「4」になる組み合わせは、
の4通りだ。
このうち、たしたら「-4」になるのは2番目の、
だね。
こいつらを公式のaとbに代入してやると、
A² – 4A + 4
= (A-2)(A-2)
= (A-2)²
になるね。
最後はAに文字式を代入しなおそう。
つまり、
Aをもとの文字式にもどすってことだね。
例題では、
A = 2x + 3
っておいてたよね？？
こいつをさっき因数分解した、
(A-2)²
に代入してみよう。
さっそく代入してみると、
(A-2)²
= (2x +3 -2)²
= (2x +1)²
になるね！
おめでとう！
これで置き換えの因数分解もマスターだ。
因数分解の置き換えの問題？？
びびることはない。
おなじ文字式をいったんAとおいて、因数分解する。
最後にAをもとにもどせばいいんだ。
ガンガン置き換えていこう！
そんじゃねー
Ken
因数分解の攻略記事
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。コーヒーはSに限るね。
因数分解とは何か？？ってとこまで勉強してきたね。
だけど、解き方・やり方はピンときてないと思うんだ。
そこで今日は、
中学数学でならう因数分解の解き方・やり方を簡単に解説してみたよ。
よかったら参考にしてみて。
因数分解のやり方は3ステップさ。
っていわれてもわからんよね？？
今日はいっしょに例題をといてみよう。
つぎの多項式を因数分解してください。
5a³ x² + 25a³x -30a³
まず共通因数をくくりだすよ。
各項にかかっている同じ因数をくくりだせばいいんだ
⇒くわしい共通因数のくくり方はこちら
例題での共通因数は「5a³」だね。
なぜなら、
すべての項に「5a³」がふくまれているからさ。
共通因数をとりだして（）でくくってやると、
5a³ (x² + 5x -6)
になるね！
つぎは因数分解の公式をえらぼう！
中学数学でならう因数分解の公式には、
があったよね？？
因数分解する「項の数」で公式をえらぶんだ。
ってかんじ。
例題で因数分解したいのは（）の中の、
x² + 5x -6
だ。
こいつの項の数は「3」。
だから、パズル型の公式をえらんでみよう！
公式で因数分解してみよう。
例題では共通因数をだしたあとの、
x² + 5x -6
をパズル型で因数分解するよ。
パズル型では、数・文字のペアーを探すんだったね。
この場合だと、
になるペアーをさがせばいいよ。
まず、かけ算が-6になるパターンを思い浮かべてみると、
の4パターンある。
そのうち、たしたら5になる組み合わせは、
「-1」と「6」
の1パターンしかないね。
だから、x² + 5x -6 を因数分解すると、
(x-1) (x+6)
になるはずだ。
んで、
くくりだした共通因数をくっつけると、
5a³ (x-1) (x+6)
になる。
おめでとう！
これで因数分解の解き方もマスターだね！
因数分解の解き方はシンプル。
共通因数をくくりだしてすっきりさせる。
そったら、公式をつかえばいいんだ。
問題をといて慣れていこう！
公式を使った因数分解ができるようになったら、次は置き換えの因数分解の問題にチャレンジしてみよう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。豆乳にはハチミツだね。
因数分解の基本ワザに、
共通因数でくくる
があるよ。
これは基本中の基本。
柔道でいうと背負い投げ。
空手でいうとかわら割りかもしれない。
今日はそんな因数分解の基本の、
共通因数のくくり方を4ステップで解説してみたよ。
よかったら参考にしてみて。
＝もくじ＝
共通因数とは、
2つ以上の項に含まれるおなじ因数のこと
なんだ。
たとえば、
6 + 8
っていう多項式があったとしよう。
この、
の項に注目してほしい。
こいつらの共通因数は「2」だ。
なぜなら、2つの自然数を素因数分解してみると、
になってて、共通する因数は「2」だからね。
どう？？
しっくりきたかな？？
共通因数のくくり方は4ステップでいけちゃうよ。
例として、
9a²b³ – 21b²
から共通因数をとりだしてみよう！
まず、各項をかるく因数分解してみよう。
係数は素因数分解して、
文字は指数をばらせばいいんだ。
例題でもかるーく因数分解してみると、
になるね。
これが第1ステップ。
つぎは、因数から共通のものをみつけよう。
例題では、
3×b×b
が共通因数っぽいね！
だって、2つの項に共通してふくまれてるし。
もれなく数や文字をカウントしよう！
共通因数を項からとり出してみよう。
ただ取り出すだけじゃない。
ついでに（）でくくらなきゃいけないね。
共通因数「3×b×b」をとり出して（）でくくると、
3×b×b ( 3×a×a×b – 7)
になるね。
最後はかけ算を元にもどすだけ。
例題でかけ算をなくしてやると、
3×b×b ( 3×a×a×b – 7)
= 3b²(3a² b-7)
になるはずだ。
おめでとう！
無事に共通因数でくくれたね。
共通因数のくくり方はどうだったかな？？
項をかるーく因数分解して、共通の因数をみつければいいんだ。
くくりだして問題になれていこう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。シチリアに行きたいね。
素因数分解の問題はたーくさんあるよ。
ほとんどの問題はただ素因数分解するだけ。
でもたまーに、
素因数分解の応用問題がでてくるよ。
たとえば、つぎのようなやつね↓↓
今日はこの応用問題を3ステップで解説していくよ。
よかったら参考にしてみてね。
例題をいっしょにといてみよう。
3ステップでとけちゃうよ。
まず素因数分解してみよう。
素因数分解のやり方で分解すればいいんだ。
例題では、60を素因数分解してみよう。
素因数分解の解き方の鉄則は、
小さい素数から順番にわっていく
だったよね？？
だから、いちばん小さい素数の2から割りはじめよう。
割り算の答えが「1」になるまで素数で割り続けてみてね。
すると、
になるはず。
あとはわった素数をあつめて「×」で結んでみて。
すると、
60 = 2^2 × 3 × 5
になるね！
つぎは、素因数のなかから、
指数が奇数になってるやつ
をさがそう。
60の素因数のうち、
の指数は奇数だね。
これが第2ステップ！
最後は、
指数が奇数の素因数を1つずつかけてみよう！
それが答えになるよ。
なぜなら、すべての素因数の指数を偶数にすれば、
「○○の二乗」になるからね。
例題をみてみよう。
60を素因数分解すると、
60 = 2^2 × 3 × 5
になったよね？？
指数が奇数になってるのは、
の素因数。
よって、ぜんぶの指数を偶数にするためには、
「60」に「3」と「5」をかければいいね。
そうすると、
2^2 × 3^2 × 5^2
になる。
こいつを2乗でくくってやると、
(2×3×5)^2
になるね！
つまり、
60に自然数15をかけてやると、900になって、
そいつは30の二乗になってるんだ。
今回の例題では、
できるだけ小さい数をかける
って条件があったね。だから、
3×5、つまり、15が答えになるよ。
応用問題の解き方はわかったね。
っていう3ステップさ。
慎重にといてみよう！
そんじゃねー
Ken
