ここまでで3乗の展開公式を勉強してきたな。
だけどさ、どうだ、
これ覚えられるか？
そんなの無理って感じだよな。
文字と数字だけの公式だし、これは難易度が高すぎるわい。
そんなお前のために、今日はとっておきの3乗の展開公式の覚え方を紹介するぞ。
まずはこの展開公式だな。
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
この公式で覚えづらいのは右側のこいつら、
$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
だよな。
こいつらさえ覚えちゃえば、この3乗の展開公式をいつでも思い出せそうだ。
ズバリいっちまうぞ、次の覚え方でどうだ。
映画館に参上した3年A組のジジイがビー系の服装で見えない美人にビーチサンダル献上
それぞれのキーワードが次のように対応してるぜ。
映（a）画館に参上（3乗）した3年A組のジジイ（3aの二乗）がビー系（b）の服装で見（3）えない美人（b二乗）にビーチサンダル献上（b三条）
せっかくだからビジュアル化してみるか。
まぁこんな感じで、ちょっとホラーだが、3乗展開公式の1つ目は覚えられたはずだ。
それでは次の展開公式に移ろう。
$(a+b)(a^2 – ab + b^2)=a^3+b^3$
この公式の右辺はともかく、今度は左側を覚えなきゃいけないな。
$(a+b)(a^2 – ab + b^2) $
この3乗展開公式の覚え方は次の通り。
えびでえらいジジイを釣ったら毎日油でビジョビジョ
それぞれの言葉は次のように対応してるぜ。
え（a）び（b）でえらいジジイ（a二乗）を釣ったら毎（マイナス）日油（ab）でビジョビジョ（b二乗）
せっかくだからこいつもビジュアル化してみるぞ。
うーん、たまによくあることだよな。
ここまで俺の渾身の3乗展開公式の覚え方を紹介してきたけど、これもこれで大変だな、正直。
数学の公式は手で使って覚えるのが1番だ。
人生全て慣れ。
数学の公式は使いまくって、身に染みて覚えるもんなんだ。
そして、手に染み込ませるのと同じくらい効力を発揮するのが、数学の公式を証明できるようにしておくことだ。
つまり、なぜその公式で使えるのかを理解しておくんだ。
そうすりゃ、数学の公式をテスト本番で忘れても大丈夫だぞ。
ってことで、次は3乗展開公式の証明にチャレンジしよう。
それじゃなぁ！
中学数学では山のように式を展開してきたよな。
お世話になりまくった公式は次の3つだ。
忘れちゃったやつは随時復習しといてや。
でもな、残念ながら高校数学 I ではこいつらに加えて、
3乗の展開公式
が登場するぜ。つまり式を3乗するときに使える計算公式ってわけだ。
注目の公式は次の2つだ。
2つの項が足し算でつながっている式を3乗するときに使える公式だ。
例えば次の式を展開してみようぜ。
$$(2x+3)^3$$
さっきの公式でいうと、
になってるな。こいつらを公式に代入してみると、
$$(2x+3)^3$$
$$= (2x)^3 + 3(2x)^2×3 + 3(2x)×3^2 + 3^3$$
$$= 8x^3 + 36x + 54x + 27$$
$$= 8x^3 + 90x + 27$$
はい、出たな。これで$(2x+3)^3$っつう3乗の展開が一発でできるようになったんだ。
この公式は少々トリッキー。
をかけた時に使える展開公式だ。
こいつは非常に限定的で、たまにしか使えないけど、まあ、練習しとくか。次の計算問題に挑戦してみよう。
$$(x-2)(x^2+2x+4)$$
さっきの公式でいうと、
になってるな。こいつらを公式に代入してみると、
$$(x-2)(x^2+2x+4)$$
$$=(x^3-8)$$
になる。
お察しの通り、偶然に偶然が重ならない限り使えない計算公式だ。
だけどな、のちのち勉強する「3乗の因数分解」で大活躍する・・・と予告しておこう。
その時まで多めに見て待っといてくれよな。
教科書をみると、4つの3乗の展開公式が並んでるな。
えっ、もしかして妖精が間違えてるんじゃ・・・・と思ったそこのお前！
俺はな、あえて余計な公式を省いてやったんだぞ。感謝しろよ。
そう、俺は「bがマイナスバージョンの公式」を紹介しなかったんだ。
そう、こいつらね。
この余分な2つの公式は、正直、
覚える価値すらない。
なぜなら、プラスの公式の$b$に$-b$を代入すれば出てくるからな。
ほれ、やってみるぞ。
まずは1つ目の公式で$b$に$-b$を代入するぞ。
$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$
$$(a-b)^3 = a^3 + 3a^2×(-b) + 3a×(-b)^2 + (-b)^3$$
$$(a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$$
うん、$b$の代わりに$-b$ですべて解決だ。
ほれ、2つ目の公式もやってみるぞ。$b$の代わりに$-b$だ。
$$(a+b)(a^2 – ab + b^2) =a^3+b^3$$
$$(a-b)(a^2 – a × (-b) + (-b)^2) =a^3+(-b)^3$$
$$(a-b)(a^2 + ab +b^2) =a^3-b^3$$
ってな感じで、マイナスの3乗展開公式はすぐに出てくるから大丈夫。
覚えなくてもいいのさ。
心配なやつはプラスの展開公式だけ覚えておこう。
んで、
次は今回紹介した3乗の展開公式の覚え方を伝授するぞ。
それじゃな！
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。摩擦熱、最高。
今日は
降べきの順
を勉強していくぜ。
読み方は
こうべきのじゅん
だ。「おりるべきじゅん」ではないことに注意してくれよな。
こいつは「整式を整理する1つの方法」だ。家を掃除する1つの方法みたいなもんだ。
そのやり方のルールは次の通り。
「次数が大きい項」から順番に「左」に並び替える
だ。
実にシンプルだろ？
次数とは、
1つの項にかけられている文字の数
だったな。こいつは中学数学で習ったやつだから忘れたら随時復習してくれ。
だから例えば次の整式があったとする。
$$x^3+x^2+x^4$$
こいつを降べきの順で整理してみるぞ。
それぞれの項の次数は3、2、4だから、大きい順に並べかえると、次のようになるな。
$$x^4+x^3+x^2$$
これが降べきの順の基本ルールだ。
それじゃあ実際の例題解いてみよう。
やり方は次の3ステップ。
まずは同類項を探すんだ。
こいつも中学数学で習ったやつだったな。念のために復習しておくと、
同じ文字が同じ数だけかけられている項
を指すんだったな。例題では次のセットが同類項だ。
後はこいつらをまとめるだけだ。
同類項のまとめ方は、
文字を無視して、文字の前についている数（係数）をだけを考えて計算するんだ。
同類項のまとめ方忘れちまったら復習しといてな。
例題なら次のようになるな。
$$x^3+2x+3x^2-x+4x^2-5x^3-12$$
$$=x^3-5x^3+2x-x+3x^2+4x^2-12$$
$$=-4x^3+x+7x^2-12$$
最後に、少しきれいになった整式をさらに清潔に保つべく、トドメをさすぞ。
降べきの順、つまり、次数が大き順番に左から並び替えてやるんだ。
それぞれの項の次数をみると、次のようになってるな。
こいつを次数が大きい順に並び替えて次のようになる。これで降べきの順は終了！
$$=-4x^3+7x^2+x-12$$
さっきは文字が1つの問題だったけど、よくテストに出るのが文字が2つのパターンだ。
例えば次の例題だ。
このパターンでは「着目する文字」に注意しよう。
着目する文字以外は、文字でなく、
ただの数字
と思えばいいんだ。
例題をみると、
xについて着目せよ
と言っているな。
ってことで、この整式に含まれる「y」という文字は無視！
文字ではなくただの数字、と思えばいいんだ。
xについてだけ考えて同類項を探すと次の項セットが同類項だ。
さっきと同じように同類項たちをまとめてみるぞ。
$$2x^2+y+x^2y-11-x^3-x^2-5x^3$$
$$= 2x^2+x^2y-x^2-x^3-5x^3+y-11$$
$$= (2+y-1)x^2+(-1-5)x^3+(y-11)$$
$$= (y+1)x^2-6x^3+(y-11)$$
最後に次数が大き順番に並びかえると次のようになるな。
$$ (y+1)x^2-6x^3+(y-11)$$
$$= -6x^3+(y+1)x^2+(y-11)$$
うん、やり方は1つの文字のときの降べきの順と同じだ。
ただ、
着目しない文字を文字じゃないと思うこと。
それと、同類項をかっこでくるる手間が発生することが違うだけ。
このタイプの問題のよくある質問が、
マイナスを（）の前につけるかどうか、と言うものだ。
これはぶっちゃけどっちでもいいな。
なぜなら、
降べきの順は整式の整理の方法だから、細かいところは好みだからだ。
一種の掃除の方法であり、大事なのは、掃除の目的であるきれいにすること。
だから、細かい事は好みなんだな。
教室の左から乾拭きしようが、右から水拭きしようが「教室をきれいにする」という目的を果たせは変わりねぇよな。
それと同じで、降べきの順の重要なルールである「次数が大きい項を左から順番に並び変える」だけ守っていればいいのさ。
どうやって掃除しようが関係ないってことだ。
俺の好みで言うと、
（）の前はプラスで統一するといいな。
マイナスとか考えのめんどくさいし！
最後に昇べきの順（しょうべきのじゅん）も考えてみよう。
お察しの通り、これまでやってきた「降べきの順」の逆パターンだ。
つまり、
整式の項を次数が小さい順番に左から並び替えるんだ。
例えば、
$$x^3+x^2+x^4$$
なら次のようになるのが
$$x^2+x^3+x^4$$
そう、次数が小さい順番に項を左から並び替えってやればいいんだ。
OK、それじゃあね、とおさらばところだが、もう1つだけ気になることがある。
それは、
べき
という言葉。
なんだこいつは？
人気タレントの名前ではないだろうし、腹筋が割れる音でもないよな。数学教師の口癖でもなさそうだ。
その「べき」の正体はこのあやしい漢字だ。
冪
漢字辞典『漢辞海』によると次のように書いてあるな。
❶食物や食器をおおう布。ふきん。「蓋冪ガイベキ」
❷｛数｝同じ数どうしを何回か掛けた結果の数。「乗冪」
2つ目の意味の、
同じ数どうしを何回か掛けた結果の数
の意味が近そうだ。
つまり「べき」は、
指数のこと（数や文字のかけられている数）。
つまりつまり、文字や数の右上についているあの数字のことだ。
整式の1つの項に注目するなら、その項の次数だな。
だから、降べきの順は、
次数（べき）が降りるように、つまり、大きい方から小さいほうに並び替えること。
その逆の昇べきの順は、階段を上るように次数が小さい方から大きい順番に並び替えることを指すってこったな。
こんな感じで、この謎の「べき」という言葉に注目すれば、
をごっちゃにしないで済みそうだぜ。
降べきの順のやり方のついでに「べき」の意味もおぼえておこう
それじゃな！
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。消しカスは残してない、よな？
人間界の高校数学 I で最初に出てくるキーワードが
整式（せいしき）
だ。
響きですでにやばい感じするが、今日はこいつを学んでいくぞ。
ズバリいっちまうぞ。
整式とは簡単にいうと、
単項式と多項式のこと
だ。図で表すとこんな感じだ。
えっ、単項式と多項式がわからないだって？
こいつらは中学数学で習ったやつらだったな。
ぴんときてないやつのために復習しておくか。
単項式とは、
「かけ算のみ」で表される「文字」と「数」の式のこと
のこと。たとえば、
$$5a$$
とかが単項式だ。
そうそう、文字と数字の掛け算のみで表されているだろう？
一方、多項式とは、
「かけ算」と「足し算」でできた「文字と数字の式のこと」
のことだ。たとえば、
$$2a+7$$
だな。単項式では登場しなかった足し算が混じってるのが多項式だ。
したがって、今回勉強する「整式」ってやつは、単項式のように掛け算だけの文字と数字でもいい。
多項式のように掛け算と足し算の組み合わせでもいいわけだ。
だから、まあ、整式の定義をかんたんにいっちまうと、
掛け算や足し算で成り立つ文字や数の式
だな。これを人間の数学界用語でいうと、
単項式と多項式のこと
ってなるんだな、うんうん。
いや、しかし、鋭いやつはもう勘づいているだろうが、もっと細かくいうならこうなるかもしれない。
整式は多項式である
と。
なぜなら、単項式は1種の多項式、と考えられるからだ。項がたまたま1つしかなかった多項式は単項式だもんな。だからさっきの整式の定義をあらわした図はこうなるな。
犬に例えるなら、多項式がチワワで、単項式が白いチワワだ。
ほら、考えてみろ。
チワワ中には黒いやつもいるし、
ブラウンカラーもいるだろ？
その中の一種がたまたま白いチワワだったわけであり、白いチワワはブラウンチワワと同じようにチワワであることは変わらねえ。
そんで、もっというなら整式はChihuahuaだな。Chihuahuaとチワワは同じ生物を指しているが、呼び方が違うだけだろ？
ってまあこんな感じで最後にまとめると、
整式はChihuahua、多項式はチワワ
だ。それじゃあな。
