こんにちは！この記事を書いてるKenだよ。ナンは1つでいいね。
三角形の角の二等分線の定理・性質
っておぼえてるかな？？
念のために復習しておくと、
「三角形の二等分線と底辺の交点」と「各頂点の長さの比」が、他の辺の2辺と等しい
っていう定理だったよね？？
言葉じゃわかりづらいから図をみてみよっか。
たとえば、
の△ABCで、∠Aの二等分線との交点をDとすると、
AB : AC = BD : DC = a : b になってるんだ。
なぜ、三角形の角の二等分線の性質が使えるのかわからない？？
そういうときは、角の二等分線の定理の証明の記事を読んでみてね。
今日はこの定理を使った問題を解説していくよ。
つぎの問題を解いてみよっか。
つぎの△ABCにおいて、線分BDの長さを求めなさい。
このタイプの比の問題はつぎの3ステップで解けちゃうんだ。
まずは、三角形の2つの辺の比を求めてみよう。
練習問題でいうと、
の2辺だね。
こいつの辺の比を求めてみると、
AB : AC = 9 : 6 = 3 :2
になる！
これが第一ステップ。
いよいよ三角形の角の二等分線の定理の出番だ。
さっき求めた「三角形の2辺の比」と「二等分線と底辺の交点でできた線分の比」が等しいってことがいえるからね。
練習問題でいうと、
AB : AC = BD : DC
が言えるわけ。
ステップ1で、AB : AC = 3 : 2がわかったから、
BD : DC = 3 : 2
ってことがわかるね。
これが第二ステップ！
求めた辺の比を使って、辺の長さを計算しよう。
練習問題でいうと、
BD : DC = 3 : 2
っていう比をつかって、BDの長さを求めればいいね。
底辺BCの長さは10cmだったから、
BD = 10 × 5分の3 = 6 cm
になるんだ。
角の二等分線の性質の問題はどうだったかな？？
の3ステップでだいたい解けそうだったね。
最後につぎの応用問題を解いてみよう！
つぎの△ABCにおいて、AE : EDを求めなさい。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いてる Kenだよ。分子を振動させたね。
中2と中3数学の平面図形で、
三角形の「合同条件」と「相似条件」
を勉強してきたよね。
両方とも数学の証明のために必要なアイテムだから、テスト前には覚えなきゃいけないね。
念のためおさらいしておくと、
だったね。
でもさ、この2つの条件ってちょっと似てない？？
ごちゃ混ぜにしちゃうことあるよね。
そこで今日は、
三角形の合同条件と相似条件をごちゃ混ぜにしないために、整理して覚えてみよう！
合同条件と相似条件の似ているところと、違うところを中心に復習していくよ。
三角形の合同条件と相似条件をうまく覚えるために、3つの種類に分類してみたよ。
| 3つの何かが等しい条件 | 2つの角が等しい条件 | 2辺を角で挟んだ条件 | |
|---|---|---|---|
| 合同条件 | 3つの辺がそれぞれ等しい | 両端の角とその間の辺が等しい | 2つ辺とその間の角が等しい |
| 相似条件 | 3つの辺の比がすべて等しい | 2つの角がそれぞれ等しい | 2つの辺の比とその間の角が等しい |
まず1つ目の条件の種類は、
3つの「何か」が等しいやつだ。
合同条件と相似条件をそれぞれ見ていこっか。
「3つの辺の長さ」がすべて等しいっていう条件は合同条件だ。
この条件を満たす三角形たちは合同である、ってことが言えるわけね。
たとえば、次の2つの△ABCと△DEFを想像してみて。
と、
この2つの三角形は合同って言えるんだ。
なぜなら、すべての3つの辺の長さがそれぞれ等しいからね。
「3つの辺の比」がすべて等しいとき、2つの三角形は相似って言えるんだ。
たとえば、2つの△ABCと△DEFを想像してみて。
と
だ。
この2つの三角形は相似になってるはず。
なぜなら、
になっていて、すべての辺の比が全部1:2で等しくなってるね。
つぎの条件は、2つの角が等しい条件だ。
2つの角が等しいことを使った条件が、なんと偶然にも合同条件と相似条件に1つずつ存在しているんだ。
まず三角形の合同条件には、
1つの辺とその両端の角がそれぞれ等しい
っていう条件があるよ。
つまり、
1つの辺が等しくて、それを挟んでいる2つの角が等しかったら合同が言えるってわけね。
たとえば、つぎの2つの△ABCと△DEFを想像してみて。
と、
この2つの三角形はへんのひとつの辺の長さが等しくて、その両端の額の大きさが等しいよね。
だから、この2つの三角形は合同であると言えるんだ。
ふたつめの相似条件は、2つの角がそれぞれ等しいっていうやつだね。
この相似条件は1番簡単で、でてきやすい相似条件なんだ。
たとえば、次の△ABCと△DEFを想像してみて。
この場合、2つの三角形は、「2つの角がそれぞれ等しい」っていう相似条件に当てはまるから、相似であるといえるんだ。
つぎは、2つの辺が角を挟んじゃってる条件だ。
合同条件と相似条件には2つあるよ。
最後の合同条件は、
2つの辺との間の角がそれぞれ等しい
ってヤツ。
等しい辺たちが等しい1つの角を挟んでいれば、2つの三角形は合同って言えるんだ。
たとえば、つぎの△ABCと△DEFを想像してみて。
と、
この2つの三角形は、2つの辺（BCと EF、 ABとDE）が等しくて、
なおかつ、その辺に挟まれた間の角（∠ABC と∠DEF）が等しいから合同って言えるんだ。
最後の相似条件は、
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
ってヤツね。
つぎの△ABCと△DEFを想像してみて。
と、
この2つの三角形は相似なんだ。
なぜなら、
で2組の辺の比が1:3で等しくなっていて、なおかつ、その2辺の間に挟まってる角の、∠ABCと∠DEF が等しくなってるからね。
三角形の合同条件と相似条件は思い出せたかな？？
最後にもう一回復習してみよう。
| 3つの何かが等しい条件 | 2つの角が等しい条件 | 2辺を角で挟んだ条件 | |
|---|---|---|---|
| 合同条件 | 3つの辺がそれぞれ等しい | 両端の角とその間の辺が等しい | 2つ辺とその間の角が等しい |
| 相似条件 | 3つの辺の比がすべて等しい | 2つの角がそれぞれ等しい | 2つの辺の比とその間の角が等しい |
どちらも証明問題に必要な条件だから、しっかりテスト前には覚えておこうね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いてる Kenだよ。ゆれた、ね。
中3数学で相似を勉強していると、
中点連結定理（ちゅうてんれんけつていり）
を習うよね？？
中点連結定理とはその名前の通り、
三角形の辺の中点を連結したときに使える定理のこと
をいうんだ。
三角形の2つの辺の中点を結んであげるとね、
なんと、その中点を結んでできた辺の長さは、底辺の長さの半分になっていて、
なおかつ、底辺と平行になっているんだ！
これが中点連結定理の正体。
つまり、中点連結定理の中身を開けてみると、おもに2つに分かれてるわけ。
三角形の中点を結ぶだけで底辺の半分の線が引けて、しかも、そいつは底辺に平行でもあるっていうんだ。
むちゃくちゃ楽チンな定理だね。
えっ。中点連結定理は役に立つのかって？？
今日はそんな疑ってるみんなのために、実際に中点連結定理を使ってみよっか。
つぎの△ABCを想像してみて。
こいつの、辺 ABとACの中点 Mと Nを結んでみたんだ。
∠ACB=48°のとき、
を求めてみよっか！
まずはMNの長さを求めてみよう。
MとNはそれぞれ三角形の辺の中点だから、さっき勉強した中点連結定理が使えるね。
中点連結定理では、三角形の辺の中点を結ぶと、
「結んだ線分の長さ」は「底辺の半分の長さ」になる
って習ったね？
だから、MNの長さは底辺BCの半分になるはずなんだ。
よって、
MN = 1/2 BC = 12×1/2 = 6cm
になるよ。
中点連結定理を使ってやると、中点を結んだ線分の長さを1秒ぐらいで計算できちゃうんだ。
ね？便利でしょ？？
つぎは、∠ANMの大きさを求めてみよっか。
中点連結定理のもう1つの性質の、
三角形の辺の中点を結んだ線分は底辺に平行になる
を使うと求めることができるよ。
MとNは△ABCの辺のそれぞれ中点になってるよね？？
だから、中点連結定理を使うと、
MN//BC
ってことがわかる。
平行な線分同士の同位角は等しいから、同位角の位置にある、
は等しいはずなんだ。
問題によると、∠ACB = 48° だから、
∠ANM = ∠ACB = 48°
になるってわけ！
やったね！
これで中点連結定理の平行になる性質も使うことができた！
中点連結定理はどうだったかな？
最後にもう一回復習しておこっかー！
【中点連結定理】
三角形の2辺の中点を結ぶと、
結んでできた線分は、底辺の長さの半分になり、
しかも、底辺に平行である。
中点連結定理を使った証明問題はよく定期テストにも出てくるから、しっかりおさえておいてね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いてるKenだよ。ビタミンEが欲しいね。
図形の相似を勉強していると、
相似の中心
という言葉が出てくるよね？？
相似って言葉でもちょっと怪しいのに、それの中心？？
ちょっとね、正直わけがわからない。
そこで今日は、相似の中心を使って拡大図をかく方法をわかりやすく解説してみたよ。
よかったら参考にしてみてね。
つぎの5つのステップで拡大図がかけちゃうんだ。
試しに、つぎの△ABCの2倍の拡大図をかいてみようか。
まず相似の中心を決めよう。
問題ですでに相似の中心がかかれているときは飛ばしてもいいよ。
△ABCではまだ相似の中心がなかったよね？？
だから、適当にポチッと点を打ってあげてね。
これが第一ステップ。
つぎは、「図形の頂点」と「相似の中心」を直線で結んでみよう。
相似の中心をOとすると、
の線分を引けばいいってことね。
点を結ぶだけだから楽勝だぜ。
「相似の中心」と「頂点までの距離」を測ってみよう。
さっきかいた線分の長さを測るだけ！
定規でさっきの線分の長さを測ってみると、
になった！！
えっ。都合が良すぎるって？！
これはしょうがない。
定規で測ったらこうなったんだもん。
つぎは「倍率の分だけ」線分を伸ばしてみよう。
3倍の拡大図なら3倍、
100倍の拡大図なら100倍に伸ばしてみればいいんだ。
△ABCでは2倍の拡大図をかきたかったから、
をそれぞれ2倍に伸ばしてみよっか。
伸ばした線分の先っちょをそれぞれ、
とするよ。
最後に、新しくできた頂点を結んでみよう。
結んでできた図形が拡大図だよ。
△ABCの例でいうと、
を結んでやればいいね。
新しくできた△A’B’C’が△ ABCの2倍の拡大図だ！
こんな感じで、
「相似の中心」から「各頂点までの距離」の比が等しいとき、
2つの図形は、
相似の位置にある
っていうんだ。
んで、相似の位置にある図形たちは相似になっているよ。
今回の例でいうと、
△ABCと△ A’B’C’は相似の位置にある
って言えるわけね。
なぜなら、
になっていて、相似の中心Oから各頂点までの距離の比が等しくなってるからね。
でもなぜ、相似の位置にある図形同士が相似なんだろうね？？
その理由は、
平行線と線分の比を使うとわかるよ。
さっきの例でいうと、△OA’B’と△OABに注目してみて。
OA: OA’ = OB : OB’ = 1 :2
になってるよね？？
しかも、
∠AOBは共通。
「2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」っていう相似条件が使えるから、
この2つの三角形は相似になってるわけだ。
対応する辺の比が等しいはずだから、
AB : A’B’ = 1 :2
になるね。
こんな感じで他の辺に対しても同じようにやってみると、
になってるんだ。
よって、△ ABCと△ A’B’C’の3組の辺の比が1:2でそれぞれ等しいから、
△ ABC∼△ A’B’C’
が言えるんだ。
どう？ちょっとスッキリしたかな？
相似の中心を使ってしまえば、拡大図のかきかたも簡単。
の5ステップでいいんだ。
相似の中心を使いまくるのもいいけど、
なぜ、相似の中心を使えば拡大図がかけるのか？
ってこともおさえておいてね。
そんじゃねー
Ken
やあ、 Dr. リードだよ！！
今日は平行線にはさまれた線分の比の定理を証明するよ。
つぎの2つの定理を証明していくんだ。
△ABCの辺AB・AC上の点をそれぞれP・Qとするとき、
ところで、今日はケーキを用意したぞ。
最近よく頑張ってるみたいだし。
ごほうびだ。
ちょっと注目して欲しいんだけど、
スポンジとクリームが見事な平行線をつくってるだろ。
「クリーム」と「スポンジの切り口」の長さは左側でも右側でも、
それぞれ一緒だろ？
よ～く目に焼き付けといてくれよ。
平行線と線分の比の定理を忘れそうになったときは、
カットしたケーキをイメージしてくれよな。
さっそく、2つの定理の証明をしていくぞ。
平行線と線分の比の証明の1つめ。
△ABCの辺AB・AC上の点をそれぞれP・Qとするとき、
PQ//BCならば、 AP:AB = AQ : AC = PQ : BC
こいつはズバリ、
で2つの三角形の相似を証明をしていけばいいのさ。
以下、証明な↓↓
△ＡＢＣと△ＡＰＱにおいて、
ＰＱ∥ＢＣなので、
∠ＡＢＣ ＝ ∠ＡＰＱ （平行線の同位角は等しい）①
∠ＡＣＢ ＝ ∠ＡＱＰ （平行線の同位角は等しい）②
①・②より、
２つの三角形の２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ ∽ △ＡＰＱ
よって、ＰＱ∥ＢＣならば、
AP：AB ＝ AQ：AC ＝ PQ：BC である。
2つの三角形の相似を証明するだけだから簡単だね。
つぎは2つ目の平行線と線分の比の証明だ。
△ABCの辺 AB、AC上の点をそれぞれ点をP・Qとするとき、
PQ // BCならば、
AP : PB = AQ : QC
を証明していけばいいんだね。
まず、補助線を引くぞ。
点Ｐを通り辺ＡＣに平行な直線ＰＲを引いてみるよ。
以下、証明な↓↓
△ＡＰＱと△ＰＢＲについて、
ＰＱ∥ＢＣなので、
∠ＡＰＱ＝∠ＰＢＲ（平行線の同位角は等しい）①
ＰＲ∥ＡＣなので、
∠ＡＰＱ＝∠ＰＢＲ（平行線の同位角は等しい）②
２つの三角形の２組の角がそれぞれ等しいので
△ＡＰＱ ∽ △ＰＢＲ
よって、ＡＰ：ＰＢ ＝ ＡＱ：ＰＲ・・・ ③
また，ＰＱ∥ＢＣ，ＰＲ∥ＡＣなので、
四角形ＰＲＣＱは平行四辺形で、
ＰＲ ＝ ＱC・・・④ （平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しい）
③と④より、
ＡＰ：ＰＢ ＝ ＡＱ：ＰＲ ＝ ＡＱ：ＱＣ
やった！
平行線と線分の比の証明もできるようになったね。
平行線と線分の比の証明はどうだったかな？
定理①はすぐ思い浮かぶけど、定理②は忘れちゃいがち。
2つの定理に共通してるのは、
同位角をつかって三角形の相似を証明する
ってこと。
しっかり覚えてくれよ。ケーキだよ。ケーキ。
今回はここまでね。
じゃ、お茶にしよう。
Dr.リード
やあ、がんばってるかい？ Dr.リードだよっ。
相似の勉強もそろそろ終盤戦だ。
年間スケジュール達成のため、学校でもさらーっと流すことが多い。
そのペースに流されることなく、じっくり取り組んでほしいぞ。
今日のトピックは、
相似な立体同士にみられる性質
だ。
さっそく、相似な立体同士の性質を3つ紹介していくよ。
まず1つ目の性質は、
相似な立体同士の線分の長さの比は等しい
ってヤツだ。
立体じゃなくて、平面図形の相似の性質があったよね？
それと同じさ。
たとえば、りんごジュースを買いにいったとしよう。
リードのジュースは君のより３倍でかい。
重いぞ。
飲みごたえたっぷりだ。
お得な3倍サイズって書いてあったんだよ。
ってことは、
は拡大縮小の関係になってるから、相似だよな。
で、対応する縦、横、高さの比を比べてみる。
まっ、当たり前だけど、平面図形と同じで、対応する辺の比は同じだったぞ。
どの辺の長さも3倍になってるね！
こんな感じで、
相似な立体同士は各辺の相似比が一緒なんだ。
次の相似な立体の性質は、
表面積の比は相似比の2乗になる
ってヤツだ。
たとえば、次の立方体が2つあったとしよう。
立体の相似比は1:2だから、表面積比はその2乗で、
1 : 4
になるってわけ。
本当かどうか確かめよう。
表面積だから、展開図も書いてたしかめてみるな。
1×1×1の立方体の1つの面の面積は1 cm²。
よって、表面積は、
1×6 =6 cm²
だ。
一方、相似比2倍の立方体はどうだろう？？
立方体の1つの面の面積は4 cm²。
よって、表面積は、
4×6 = 24 cm²
になるね。
よって、表面積の比は、
6: 24 = 1 : 4 = 1² : 2²
相似な立体同士の表面積の比は、相似比1:2の2乗になってるね。
えっ。
相似比が1:3の場合でも表面積の比は1:3なのかって？！
疑い深いならたしかめてみようか。
立方体の各辺が3倍になるとだな、
2つの立体の相似比は、
1 : 3
になるね？
1つの面の面積は、
3×3 ＝ 9 cm²
よって、表面積は、
9×6 ＝ 54 cm²
1辺の長さが1cmの立方体との表面積の比は、
6 : 54
= 1: 9 = 1² : 3²
になるね。
ねっ、今回も相似比の2乗になったぞ。
しかし、永遠に何倍何倍って確かめるわけにもいかんわな。
何倍かわからんがとりあえず、
「k倍」ってことにしてみるぞ。
1辺の長さが、
の直方体で考えてみよう。
これをk倍してみると、
じゃーん！！！
やっぱり相似比の２乗になったね。
ってことで、相似な立体同士の表面積の比は相似比の2乗になってるんだ。
最後の性質は、
相似な立体同士の相似比と体積比の関係だ。
おっ、なんかもうわかってる感じだな。
そう。
体積比は相似比の3乗になるんだ。
たとえば、さっきの3つの立方体をみてみよう。
相似比が1:2の立方体の体積比なら、
1³: 2³ = 1 : 8
相似比が1:3の立方体なら、
体積比 = 1³ : 3³ = 1 : 27
になるってわけ！
念のため、ｋ倍のも確認すると、
体積比
= abc : k³abc = 1 : k³
になるね。
ほいっ、確認完了だ。
相似な立体どうしの３つの性質を頭に入れとこう！
表現を変えると、
相似な立体の相似比が m : nならば、
表面積比は m² : n²、
体積比は m³ : n³、
ご存じ、ロシア土産の定番「マトリョーシカ人形」。
1900年のパリ万博には出品されていたらしいね。
マトリョーシカ人形は一説では日本の「入れ子」に起源をもつという説や、ロシアの木工品だとか、諸説あるでござる。
相似な立体のどうしの性質を面白おかしく記憶にとどめてもらうために、ご出演願ったよ。
それじゃあな！
Dr.リード
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
面積比の公式をにらんでいました。
だああー！
何で面積比が求まるの？
意味不明！！
おっ！
相似比から面積比もわかるってやつだね。
相似比が面積比に……？
もっとわけわかんない……
よし、じゃあ今回は、
相似比と面積比のつながり
を見つけていこう！
相似比から面積比がだせる理由は、
つぎの2ステップをふむとわかりやすいよ。
へー！
2ステップなら楽勝じゃん！
そうそう！
いけるいける！
まずは、
正方形の面積比を考えてみよう。
何で？
面積比の公式をみちびきやすいからかな！
たとえば、
2つの正方形A・Bに注目してみて。
1辺の長さが3cmと5cmの正方形ね。
まずは、2つの正方形の面積を求めてみようか。
正方形の面積の公式をつかってね。
正方形の面積の求め方は、
一辺を2乗するだけだよね？？
小さい正方形Aの面積は9㎠で、
大きい正方形Bは25㎠かな！
いいね。
次はそこから面積比を求めてみよう！
面積比は、
9:25
だ！
ここで、登場するのが相似比！
2つの正方形の相似比はいくつ？？
えっと・・・
相似比は1辺の長さの比をとればいいから、
3:5かな！
おっ。いいね。
相似比と面積比くらべると・・・？？
あっ。
ああああああー
相似比の2乗が面積比になってない？？
面積比はa²：b²になるんだ。
形は様々だけど、
どの図形も三角形に切り分けることが出来るんだ。
なるほど！
ってことは、
今度は三角形で考えろってこと？
鋭いね！
次は三角形で考えていくよ。
相似比がa：bの三角形。
それぞれの面積を求めよう。
いいね。
ここで、2つの図形の面積を比べると……？
あっ、
面積比を簡単にすると、
a²：b²になる！
で、他の図形も分けて考えれば三角形と同じだから、
相似比がa：bなら、面積比はa²：b²って関係が当てはまるんだ！
そういうことか！
合点！！
どう？
何で相似比が分かると、
面積比を求められるのかが分かったかな？
の2ステップでいいんだ。
計算するとそうなるっていうのはわかったけど、
公式は覚えるの嫌だしそもそも覚えられない。
確かに、最初は慣れないし、何度も使うしかないね。
なんか、いい方法ないかな……
正方形を思い出すって手もあるよ。
何がいいかは人それぞれだね。
自分にあった覚え方を見つけてみよう！
ういす！
こんにちは、Drリードだよ。
相似でいちばんやっかいなのは、
相似の証明の問題
だね。
これは文字通り、
ある図形が相似であること
を証明しなきゃいけない問題なんだ。
テストによくでてくるから完ぺきにしておこう。
前回の記事では「相似の証明問題の書き方」を勉強してきたよね？？
今日は、もう一歩踏み込んで、
相似の証明問題でよくでてくる3つのパターン
を勉強していくよ。
テスト前に参考にしてみて。
相似の証明には基本の３パターンがあるよ。
それぞれの特徴と証明の進め方を確認していこう。
図形を見て、
「あっ，○○○タイプだっ」
てわかるようになれば一安心だね。
1つめによくでてくる証明問題のパターンは、
リボン型の図形
だ。
この問題の図形は、文字通り、
リボンの形
をしているよ。
たとえば、つぎのような問題だね。
証明問題1.
つぎの△AODと△COBが相似であることを証明しなさい。
この問題の場合、2つの辺の長さがわかっているね。
あとはどの相似条件にあてはまるかだ。
2つの辺がわかっているから、つぎの相似条件のどっちかにあてはまるはずだね。
1つめの相似条件にあてはまるためには、
ADとBCの長さ
が必要になってきちゃうね。
これはたぶん、おそらく、無理！
超能力ならいけそうだけどね。
ってことで、2つめの相似条件の、
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
が使えそうだ。
これなら、長さがわかってる2つの辺にはさまれた、
の大きさが等しいってわかるからね。
だって、対頂角だから等しいんだもん。
ってことで、
になるから、相似条件の、
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
がつかえそう。
以上をふまえて、相似の証明の書き方通りにかいてやると、
仮定から、
AO：CO ＝ 3 : 6 = 1 : 2 ・・・①
DO：BO = 5 : 10 = 1：2 ・・・ ②
対頂角は等しいので、
∠AOD = ∠COB・・・ ③
①②③より、
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、
△AOD ∽ △COD
になるね。
つぎの相似証明問題のパターンは、
ひねくれ回転型
だ。
これは文字通り、
図形が回転していて、相似がみえにくくなってる問題ね。
たとえば、相似なイラスト同士だったら回転していても、
どことどこが対応するかわかりやすいよね。
特徴があるんだもん。
でも図形だと、そうはいかない。
向きが変わるだけでわからなくなっちゃうんだ。
たとえば、つぎのような証明問題。
証明問題2.
つぎの図形のなかから相似な図形をさがして、
その相似を証明しなさい。
このタイプの証明問題では、
面倒でも別々に切り離して、
対応する辺や角度を確認してみるといいよ。
すると、
△ABCと△ACDが相似ってことがわかるね。
なぜなら、
になって、2組の角がそれぞれ等しいっていう相似条件がつかえるからね。
えっ。図形を回転させるのがむずかしいって！？？
そんなときは、
対応する辺や角を大きさ順に、
「大中小」とか「長中短」とか
っていう順序をつけるといいよ。
こんなかんじで、ひねくれて回転している図形をなんとかして、
対応する辺の順番にそろうように回転させてみてね。
実際に証明をかいてみると、こんな感じになるよ↓↓
△ＡＢＣと△ＡＣＤについて
仮定より
∠ＡＢＣ ＝ ∠ＡＣＤ ・・・ ①
共通の角なので、
∠ＢＡＣ ＝ ∠ＣＡＤ・・・②
①・②より、
2つの角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ ∽ △ＡＣD
最後の相似の証明のパターンは、
直角三角形で垂線がおろされてる問題
だ。
たとえば、つぎの相似の証明問題だね。
証明問題3.
つぎの図形のなかから相似な図形をさがして、
相似であることを証明しなさい。
このさっきの相似の証明問題とおなじ。
対応する辺・角が重なるように回転させればいいんだ。
わかりやすいように、△ABDを△ABCの外にとりだして回転させてみると、
あら！
△ABCと△DBAが相似っぽい！
なぜなら、
だからね。
2組の角がそれぞれ等しい
っていう相似条件が使えることになるんだ。
この証明をちゃんとかいてやると、こうなるよ↓↓
△ABCと△DBAについて
仮定から、
∠BAC ＝ ∠BDA ＝ ９０°・・・①
共通なので、
∠ABD ＝ ∠DBA・・・②
①②より、
2組の角がそれぞれ等しいので
△ABC ∽ △DBA
相似の証明問題はめんどくさそうにみえるけど、じつは、
どの問題もよく似ていて、
パターンがみえるんだ。
なれるまでたくさん相似の証明問題をといてみよう。
それじゃあ！
Drリード
どうも、Drリードだよ。
中3数学の図形では、
図形と相似
を勉強してくよね。
この単元のなかでもやっかいなのが、
相似の証明問題
だ。
まず、証明とか苦手なのに、
図形の相似を証明しなきゃいけないときてる。
正直、きちいね。
でもね、じつは、
相似の証明問題には書き方のルールがあるんだ。
これならどんな相似の証明問題もイチコロさ。
相似証明問題の書き方を紹介していく前に、
2つのことをやっておこう。
つぎの相似の証明問題で練習してみようね。
つぎの2つの三角形が相似であることを証明しなさい。
ただし、
とします。
まずは、
問題でわかってる条件（仮定）
を図にかきこんでみよう。
練習問題では、
がわかってたよね？？
さっそく書き込んでやると、こうなる↓↓
んで、
同じ角度・辺の長さ同士に、「同じ印と色」をつけてやると、
こうなるね↓↓
つぎは、相似な三角形をさがそう。
三角形の相似条件にあてはまる2つの三角形をさがせばいいのさ。
念のため、三角形の相似条件を確認しておくと、
だったよね？？
ってことで、練習問題をみてみると、
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
がつかえそうってことに気づかない？？
だって、三角形の2組の辺の比が、
で両方1:2で等しいし、
その間にはさまってる角の、
が両方30°になってるからね。
えっ。簡単すぎるって？？！
本番の証明問題はもっと複雑でみつけにくいよ。
まだまだ油断大敵。
それじゃあ、相似の証明を実際にかいてみよう。
書き方はつぎの3ステップ。
まずは、どの図形で相似を証明するのかを宣言しよう。
相似の証明問題では、おもに、
準備でみつけた「相似になりそうな三角形」を宣言することが多いね。
練習問題では、
△ABC と△DEFが相似疑惑だったよね？？
だから、証明のいちばん最初に、
△ABCと△DEFについて、
って宣言すればいいんだ。
つぎは、
図形が相似になる根拠をかいていこう。
図や問題文からわかってることをかけばいいよ。
相似条件にあてはまる根拠をかいていけばいいのさ。
まずは、仮定からわかることを書いていこう。
問題文の中に書かれていることを数式にしてみよう。
練習問題では仮定として、
がわかってたよね？？
この仮定だけで相似条件でつかえそうだから、
証明の根拠はこれだけでいいんだ。
相似の証明の最後では、
なぜ、相似がいえるのか？？
という相似条件と、
宣言した図形が相似であること
を記号であらわしてみよう。
練習問題で言うと、
△ABCと△DEFが相似になってたね？？
つかった相似条件は、準備でもみてきたように、
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
だ。
これにより、
△ABC ∽ △DEF
がいえるってかけばいい。
これで相似の証明はおわり！
それじゃあ、この書き方で相似の証明をかいてみよう。
こんなかんじになるよ↓
△ＡＢＣと△ＤＥＦについて
仮定より、
ＡＢ：ＤＥ ＝ ５：１０ ＝ １：２ ・・・①
ＢＣ：ＥＦ ＝ ６：１２ ＝ １：２ ・・・②
∠ＡＢＣ ＝ ∠ＤＥＦ ・・・③
①②③より、
２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ ∽ △ＤＥＦ
最後にもう一度復習しておこう。
相似の証明問題を書く前の準備は、
だったね。
んで、相似証明問題の書き方は、
の3ステップ。
これで何とか道は開けるよ。
何がわかっていて、あと何がわかれば、
相似の条件がそろうのか考えてみよう。
証明を書き始める前にしっかり用意してね。
次は「相似の証明問題でマスターしておきたい３つのパターン」について話す予定だよ。
相似の証明を極めたいやつは読んでみてくれ。
それじゃあ
Drリード
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
平行線と線分の比の証明問題に出会いました。
証明問題.
下の図形において、DE//BCです。
つぎの2つのことを証明しなさい。
平行線と線分の比の証明？？
あー、もうやだ！！
平行って、
わたしと数学みたい！
決して交わることのない者同士……って、
少しは歩み寄ろ？ね？
うわあっ！？
先生か、びっくりした……
だって、
今日の授業もわかんなかった。
平行だと線分の比が……
みたいな。
いきなり、
平行線と線分を語られても困るよね。
今日は、
平行線と線分の比について考えていこう！
うす！
平行線と線分の比の証明は、
2つあったよね？？
まず1つめの、
AB : AD = AC : AE = BC : DE
を証明していこうか。
色分けしてあると、
わかりやすい！
うん、
自分でも描いてみると覚えやすいよ。
この証明のゴールはなんだっけ？？
DEとBCが平行だと、
AD：AB
＝AE：AC
＝DE：BC
ってこと？
そう！
辺の比を証明したいってことね。
こういうときは、
相似を使おう！
相似ってことは、
二つの図形を比べるの？
そう。
この場合なら、
△ABCと△ADEだね！
うーん、
DEとBCが平行
が仮定かな？
「DE//BC」
って問題にかいてあるから！
おっ、いいね！
その仮定をつかって、
△ABCと△ADEの相似
を証明できるかな？？
うーん、あ！
おっ！
なにか降りてきたかな？
相似条件はなにをつかう？？
2組の角がそれぞれ等しいかな！
同位角で対応する2つの角が等しいし
お、
今日はキレっキレっだねー
その通り！
わーい
実際に証明をかいてみよう。
証明のネタを集めたし
うす！
でもちょっと怖い……
うす！
うーん、
こんな感じかな・・・？
【証明】
仮定より、
BC//DE … ①
△ABCと△ADEで、
①より同位角が等しいので、
∠ABC＝∠ADE…②
∠ACB＝∠AED…③
②・③より、
対応する２つの角が等しいので、
△ABC∽△ADE
相似な図形では、対応する辺の比がそれぞれ等しいので、
BC：DE＝AB：AD＝AC：AE
お、やるねー！
やった！
おっと。
これでおわりじゃないよ！
平行線と線分の比は、
もう1つあったよね？？
AD : DB = AE : EC
ってやつか！！
そうそう！
うーん・・・・・
わ、わからない！
どうしたら証明できるの！？
図形は困ったら、
補助線を引くことが大切なんだ。
補助線？
そう！
Eから、ABと平行な直線を引いてみて。
平行線とBCの交点をFとするんだ。
ひ、ひけた！
どう？？
相似な図形がみえてこない？？
あああ！
△ADEと△EFC！！
なんで？？
AB//EFだから、
同位角が等しいことがつかえる！！
だ。
お、いいねー！
相似条件の、
2組の角がそれぞれ等しい
を使うわけね。
じゃあ証明かいてみてー
ういす！
【証明】
EからABに平行に引いた直線と、
BCとの交点をFとする。
仮定より、
BC//DE …①
AB//EF …②
△ADEと△EFCで、
①より同位角が等しいので、
∠ACB＝∠AED…③
同様に、AB//EFより同位角が等しいので
∠ABC＝∠ADE…④
また、BD//EFより、
∠ABC＝∠EFC…⑤
④・⑤より、
∠EFC＝∠ADE…⑥
対応する２つの角が等しいので、
△ADE∽△EFC
相似な図形では、
対応する辺の比がそれぞれ等しいので、
AE：EC＝AD：EF…⑦
また、四角形DBFEは、
①、②より平行四辺形で
向かい合う辺の長さが同じなのでBD＝EF…⑧
⑦・⑧より、
AE：EC＝AD：DB
できたぜ！姉御！
おっ。
やるじゃああん
平行線と線分の比の証明も楽勝！
って思ってもらうのが、
今回の目的！！
証明のいいところは、
多少言葉の言い回しが違っても、
正解になるところ！
筋が通っていればいいのよ。
うんうん
証明は、
とにかく書いてみよう。
おかしくてもなんとかなる。
はい！
七転び八起きですね！
ということで、
今回のポイントをまとめよう。
証明はなれれば大丈夫。
解けば解くほど上達するよ。
おまけの問題を作ってみたよ〜
【おまけ】
BC：DE＝AB：AD＝AC：AE なら、BC//DEとなる証明をしてみよう！
といてみます！
こんにちは！ぺーたーだよ。
相似の単元では、
相似条件とか、
相似の証明とか、いろいろ勉強してきたね。
今日は ちょっと新しい、
平行線と線分の比のから辺の長さを求める問題
について解説していくよ。
たとえば、つぎのような問題ね↓
平行線とか線分がたくさんあって、ちょっと難しそうだね。
だけど、慣れちゃえば簡単。
「これはできるぜ！」っていうレベルになっておこう。
次の段階に分けて説明してくね。
目次
問題をとく前に、
平行線と線分の比の性質を思い出そう。
3つの平行な直線（l・m・n）
と
2つの直線が交わる場面をイメージしてね。
このとき、
AP:PB=CQ:QD
が成り立つんだ。
つまり、
平行線にはさまれた、
向かいあう線分の長さの比が等しい
ってわけね。
これさえおさえておけば大丈夫。
平行線と線分の比の問題もイチコロさ！
さっそく、平行線と線分の比の問題を解いてみようか。
この手の問題は3ステップでとけちゃうよ。
平行線と線分の比がつかえる線分を見極めよう！
平行線にはさまれた線分のセット
をさがせばいいってわけね。
練習問題でいうと、
で平行線と線分の比がつかえそうだ。
なぜなら、こいつらは、
3本の平行線（l・m・n）にはされまれてるからさ。
あきらかに3本の平行線に囲まれてる。
平行線と線分の比の性質で比例式をつくってみよう。
平行線と線分の比の性質は、
2つの直線が、3つの平行な直線と交わるときAP:PB=CQ:QD
だったね？？
だから、練習問題でいうと、
AP : PB = CQ : DQ
2 : 4 = x : 6
っていう比例式ができるはず！
つぎは、比例式をといてみよう。
練習問題でつくった比例式は、
2 : 4 = x : 6
だったよね？？
比例式の解き方の「内項の積・外項の積」で解いてやると、
2 : 4 = x : 6
4x = 2×6
4x = 12
x = 3
になるね。
つまり、
求めたかったCQの長さは「3 cm」ってこと。
やったね！
平行線と線分の比の性質もだいたいわかったね。
あとは練習問題でなれてみよう。
今日はテストにでやすい問題を2つ用意したよ。
平行線と線分の比の問題になれてみようぜ。
l//m// nのとき、xの大きさを求めなさい。
この手の問題は、
AB : BC = AD : DE
という平行線と線分の比をつかえば一発さ。
これは、△ABDと△ACEが相似だから、
対応する辺の比が等しいことをつかってるね。
えっ。
なんで相似なのかって？？
それは、同位角が等しいから、
がいえるからなんだ。
三角形の相似条件の、
2組の角がそれぞれ等しい
がつかえるし。
さっそく、この比例式をといてやると、
AB : BC = AD : DE
x : 15 = 4 : 6
x = 10
になるね。
ってことは、ABの長さは、
10cm
になるってこと！
l//m// nのとき、xの大きさを求めなさい。
今度は直線がクロスしている問題だ。
対応する部分に色を付けるとこうなるよ。
なぜなら、これもさっきと同じで、
△ABDと△EBCの相似をつかってるから使えるんだ。
l・m・nがぜーんぶ平行だから、
錯角が等しいことがつかえるね。
だから、
2組の角がそれぞれ等しい
っていう三角形の相似条件がつかえる。
比例式をといてやると、
AB : BE = DB : BC
10 : 4 = x : 2
4x = 20
x = 5
になるね。
平行線と線分の比の問題は、
対応する辺の比をいかにみつけるか
がポイント。
最後の最後に練習問題を1つ！
練習問題
l//m// nのとき、xの大きさを求めなさい。
どう？とけたかな？？
解答はここをみてみてね。
それじゃあ、また。
ぺーたー
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
三角形の角の二等分線の定理の証明
に出会いました。
AB：AC = BD：DC であることを証明しなさい。
証明なんか、嫌いだ！
何で？
文章書くのむずい。。
確かに。
でも、数学の証明もやっぱり数学なんだ。
へっ？
どこが？
うーん、
スタートとゴールが明確なとこかな。
例えば計算問題だと？
問題を解くと、
答えにたどり着くってこと？
そう、証明も同じ。
証明すること
を見つけるのがスタートで、
証明できたらゴール！
ってこと。
道のり長そう……
ま、ってわけで。
二等分線の定理の証明のついでに、
証明にもなれちゃうおう。
この定理は知っておくと後々便利だよ。
……って言われても。。
三角形の二等分線の定理の証明は、
の5ステップだよ。
へー！
5つでいいんだね。
そうそう！
あっというまだよ！
それじゃあいくよー！
以下の図で∠BAD＝∠CADのとき、
AB：AC = BD：DC であることを証明しなさい。
証明のために補助線をひこう！
証明の種をみつけるんだ。
えっと・・・・
補助線ってなに？？
問題を解くのを
助けてくれる線だよ！
誰かが引いてくれるわけじゃないのかな……
そう！
残念ながら、
自分でひかなきゃいけないんだよね。。
ひー
今回ひく補助線は2本！
まず、ADをのばしまくる。
ほい！
もう一本は、
ABと平行で、
Cを通る直線をひくんだ。
この直線
と
ADの延長線との交点
をEとしよう。
かけた！
書いた前後の変化を考えてみよう！
んー……、
あっ！三角形が増えてる！
そうだね。
いいところに気づいた！
増えた三角形
と
元の三角形
を見比べると……？
んー……、あっ！
相似な図形をみつけてみて！
△ABDと△ECDかな？？
いいね！
覚えた相似条件と照らし合わせてみよう！
そ、相似条件…（遠い目）
ってなる人のために、
ちゃんと用意しといたよ！
さすがは先生！
生徒のこと分かってる！！
できれば3秒で覚えてほしいけど、
慣れるまで書いておぼえてね。
えっと、この場合は……
注目ポイントは、
平行線！
あっ！
錯角だ！！
そうだね。
錯角が等しいから、
だね。
ってことは、
相似条件の3つめの、
2組の角がそれぞれ等しい
を使えばいいんだ！
そう！その調子！
△ABDと△ECDが相似
ってわかったから……
AB : CE = BD : DC・・・(1)
だ！！
そうそう！
つぎは、
二等辺三角形をさがしてみて！
にとうへんさんかくけい？？
二等辺三角形になるための条件はおぼえてるー？
あ、
底角が等しくなる
じゃなかったっけ！？
お、それもあるね！
じゃあその条件つかおう。
二等辺三角形みつけられるかな？？
あ！
∠CAE＝∠CEAだから、
△ACEは二等辺三角形だ！！
ってことは、
AC = CE ・・・ (2)
になる。
お、いいねー！
(1)と(2)から何が言える？？
AB : EC = BD : DC・・・(1)
AC = CE ・・・ (2)
だから、、
あ。
AB : AC = BD : DC
ってことか！
そう！
これで証明したいことが見つけられたね！
やったー！
これで……
終わらないよ。
これから証明書くからね！
ひょええええええええ
つぎは証明をかくよ。
いよいよね。
ういっす……
手順は簡単！
って感じだよ！
書けそうなとこからで大丈夫！
CからABに平行に引いた直線と、
ADとの交点をEとします。
△ABDと△ECDにおいて、
錯角が等しいので、
∠ABD＝∠ECD…①
∠BAD＝∠CED…②
①，②より、
対応する2つの角が等しいので、
△ABD∽△ECD
また、相似な図形では、
対応する辺の比が等しいので、
BD：DC＝AB：CE
△ACEは二等辺三角形なので、
AC=CE
よって、
BD：DC＝AB：AC
できた！！
どう？？
おー！
やるじゃーーん
今までのことを書いた
って感じかも！！
いいね。
自分で見つけたことを証明に書けばいいの。
証明は準備ができれば、
難しいってわけではないんだ。
証明マスターになった気がする
そう、その調子！！
挑戦してるうちに慣れてくるよ。
おつかれさま！
三角形の角の二等分線の定理の証明は、
の5ステップだったね？？
難しいけど、
何度も挑戦してみようかな。
そう！その意気だよ！
うっす！
