相似の証明問題でマスターしておきたい3つのパターン

相似の証明ってどんな問題がでるの？？

こんにちは、Drリードだよ。

相似でいちばんやっかいなのは、

相似の証明の問題

だね。

これは文字通り、

ある図形が相似であること

を証明しなきゃいけない問題なんだ。

テストによくでてくるから完ぺきにしておこう。

前回の記事では「相似の証明問題の書き方」を勉強してきたよね？？

今日は、もう一歩踏み込んで、

相似の証明問題でよくでてくる3つのパターン

を勉強していくよ。

テスト前に参考にしてみて。

相似の証明問題でよくでてくる3つのパターン

相似の証明には基本の３パターンがあるよ。

それぞれの特徴と証明の進め方を確認していこう。

図形を見て、

「あっ，○○○タイプだっ」

てわかるようになれば一安心だね。

問題パターン1. 「リボン型の図形」

1つめによくでてくる証明問題のパターンは、

リボン型の図形

だ。

この問題の図形は、文字通り、

リボンの形

をしているよ。

たとえば、つぎのような問題だね。

証明問題1.

つぎの△AODと△COBが相似であることを証明しなさい。

 

この問題の場合、2つの辺の長さがわかっているね。

あとはどの相似条件にあてはまるかだ。

2つの辺がわかっているから、つぎの相似条件のどっちかにあてはまるはずだね。

• 3組の辺の比がそれぞれ等しい
• 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

1つめの相似条件にあてはまるためには、

ADとBCの長さ

が必要になってきちゃうね。

これはたぶん、おそらく、無理！

超能力ならいけそうだけどね。

ってことで、2つめの相似条件の、

2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

が使えそうだ。

これなら、長さがわかってる2つの辺にはさまれた、

• 角AOD
• 角COB

の大きさが等しいってわかるからね。

だって、対頂角だから等しいんだもん。

ってことで、

• AO : CO = 3 : 6 = 1 : 2
• DO : BO = 5 : 10 = 1 : 2
• 角AOD = 角COB

になるから、相似条件の、

2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

がつかえそう。

以上をふまえて、相似の証明の書き方通りにかいてやると、

になるね。

パターン2. 「ひねくれ回転型」

つぎの相似証明問題のパターンは、

ひねくれ回転型

だ。

これは文字通り、

図形が回転していて、相似がみえにくくなってる問題ね。

たとえば、相似なイラスト同士だったら回転していても、

どことどこが対応するかわかりやすいよね。

特徴があるんだもん。

でも図形だと、そうはいかない。

向きが変わるだけでわからなくなっちゃうんだ。

たとえば、つぎのような証明問題。

証明問題2.

つぎの図形のなかから相似な図形をさがして、

その相似を証明しなさい。

このタイプの証明問題では、

面倒でも別々に切り離して、

対応する辺や角度を確認してみるといいよ。

すると、

△ABCと△ACDが相似ってことがわかるね。

なぜなら、

• 角ABC = 角ACD
• 角BAC = 角CAD

になって、2組の角がそれぞれ等しいっていう相似条件がつかえるからね。

えっ。図形を回転させるのがむずかしいって！？？

そんなときは、

対応する辺や角を大きさ順に、

「大中小」とか「長中短」とか

っていう順序をつけるといいよ。

こんなかんじで、ひねくれて回転している図形をなんとかして、

対応する辺の順番にそろうように回転させてみてね。

実際に証明をかいてみると、こんな感じになるよ↓↓

パターン3. 直角三角形から垂線

最後の相似の証明のパターンは、

直角三角形で垂線がおろされてる問題

だ。

たとえば、つぎの相似の証明問題だね。

証明問題3.

つぎの図形のなかから相似な図形をさがして、

相似であることを証明しなさい。

このさっきの相似の証明問題とおなじ。

対応する辺・角が重なるように回転させればいいんだ。

わかりやすいように、△ABDを△ABCの外にとりだして回転させてみると、

あら！

△ABCと△DBAが相似っぽい！

なぜなら、

• 角BAC = 角BDA = 90°
• 角ABC = 角DBA （共通）

だからね。

2組の角がそれぞれ等しい

っていう相似条件が使えることになるんだ。

この証明をちゃんとかいてやると、こうなるよ↓↓

まとめ：相似の証明問題の基本は3パータン！

相似の証明問題はめんどくさそうにみえるけど、じつは、

どの問題もよく似ていて、

パターンがみえるんだ。

なれるまでたくさん相似の証明問題をといてみよう。

それじゃあ！

Drリード