こんにちは！この記事をかいているKenだよ。鼻呼吸は大事だね。
中学数学でよく、
歯車の問題
ってでてくるね。もっとぶっちゃけいうと、
比例・反比例の利用
の問題でよくねらわれるんだ。
なぜだかしらんけど、よく歯車が登場するよ。
たとえば、つぎのような問題だ。
歯数がそれぞれ72、26の歯車A、Bがかみ合っている。歯車Aがx回転する間に歯車Bはy回転する。
yをxの式であらわし、比例しているか、反比例しているか答えなさい。
今日はこんな歯車問題にとまどわないためにも、
数学の歯車問題の解き方を4ステップで解説していくよ。
よかったら参考にしてみてね。
つぎの4ステップでとけちゃうよ。
例題をいっしょにといてみよう！
歯数がそれぞれ72、26の歯車A、Bがかみ合っている。歯車Aがx回転する間に歯車Bはy回転する。
yをxの式であらわし、比例しているか、反比例しているか答えなさい。
まず歯車の、
動いた歯数
を計算してみよう！
動いた歯数は、
（歯車についてる歯数）×（回転数）
で計算できるよ。
例題の歯車A・Bをみてみよう。
歯車Aは、
だったね？？
ってことは、歯車Aの「動いた歯数」は、
動いた歯数（歯車A）
= （歯数）×（回転数）
= 72 x
になるね。
同じように、歯車Bの場合を考えてみて。
歯車Bは、
だ。よって、
動いた歯数（歯車B）
＝ 歯数×回転数
= 26y
になる。
これで第1ステップ終了さ！
つぎは方程式をつくってみよう！
かみ合っている歯車同士は、
動いた歯数が等しい
っていう性質があるんだ。この性質で方程式をつくってみよう。
例題をみてみると、
歯車A、Bがかみ合っている
ってあるね。
つまり、
歯車A・Bの動いた歯数が等しい
ってことなんだ。
※詳しくは「数学の歯車問題の基礎」を読んでみてね。
だから、
（歯車Aの動いた歯数）＝（歯車Bの動いた歯数）
っていう方程式がつくれるよ。
実際につくってみると、
26x = 72y
になるね。
これが第2ステップ！
方程式をyについて解いてみよう。
えっ。
「yについて解く」の意味がわからんだって？？！
そうだね。
yを左に持ってきて、xを右にどかして、yを裸にすればいいんだ。
例題でつくった方程式の、
72x = 26y
に注目してみよう。
yについて解いてみると、
72x = 26y
y = 72÷26 x
y = 13分の36x
になるね。
yをxの式であらわせたね。
あとすこし！
最後に、xの位置を確認しよう。
xが、
分子にあるか、
それとも、
分母にあるか
で比例か反比例かが決まってくるんだ。
っていう感じになるよ。
例題の式では、
xが分子の位置にあるよね？？
ってことは、
この方程式は「比例」ってことになる。
どう？？ 納得したかな？？
数学で歯車の問題がでちゃった？？？
むずそうだって？？
いや、そんなことない。
と
4ステップで攻略さ。
ガンガン歯車問題をといていこう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは、ホットミルクで目を覚ますKenだよ。
中1数学の「変化と対応」で最後に登場するのは、
比例・反比例の利用
というモンスターだね。ここでは、
比例や反比例を利用して日常生活の問題を解決していこう！！
っていう勉強をしていくんだ。いままでならってきた比例や反比例がちょっと身近に感じられるかもね。
でも、ちょっとむずかしくて苦戦することも多いから、
今日は、
比例・反比例の利用の文章問題をスマートにとく2つの方法
を紹介していくね。テスト前によかったら参考にしてみてね。
比例の利用、反比例の利用ってむちゃくちゃ難しくみえるよね。
でもよーくみてみると、じつはたった2つしか問題の種類がないことがわかる。
それは、
の2つさ。
これだけじゃ、ちょっとわからないから例題をみながら確認していこう！
この手の問題では、
yはxに比例する
だとか、
体重はモテる度合いに反比例する
だとか、
問題に登場する関数が比例するのか、反比例するのかあきらかにしているんだ。
たとえば、次のような問題があったとしよう。
風呂掃除をした時間をx分、もらえるお小遣いをy円とすると、yはxに比例する。このとき、80分働いたとき800円もらえたとすると、400分はたらくといくらお小遣いをゲットできるでしょうか。
この問題では「yはxに比例する」と問題の中でネタバレしてしまっているね。この手の問題はつぎの2つの手順でとくことができるんだ。
yとxの値がわかっているし、yとxの関係（比例か反比例か）もわかっている。
それじゃあ、比例定数aを求めてみよう！
さっきの例題だと、
という情報がわかっているので、
800 = 80a
という計算式がたてられるね。そんで、比例定数aを計算してやると、
a = 10
になる。
これで第一ステップが終了だ。
この手の問題の場合、
xがある値をとったときのyの値
をきいてくることが多い。
さっきの例題でいうと、
x = 400のときのyの値だね。
よって、さっきの比例関数 y =10x にx = 400を代入してやると、
y = 4000
という値がゲットできるね。
つまり、この小僧は400分風呂そうじをして4000円稼ぐことができたってわけ。
以上が1つめの解き方だよ。どう？？納得した？？
2つ目の問題は「yとxの関係がかかれていない問題」だ。
つまり、yとxが比例するのか？ 反比例するのか？？ ということが文章問題の中でいっさい触れられていないということ。
この手の問題はつぎの2つの手順によってとけちゃうんだ。
さっきの問題よりむずかしくみえるけど、案外たいしたことないよ。
つぎの例題をみながら解き方を確認していこう。
50Lの水がはいる金魚鉢に毎秒xLのペースで水を補給していくとy秒でいっぱいになって金魚が逃げてしまう。このとき、yとxの関係を式であらわしてくれ。
というもの。
このタイプの問題はつぎの2ステップで解くことができるんだ。
この手の問題では、
とりあえずyとxの関係を等式であらわしてみる！
というチャレンジ精神が大切だ。比例になるか、反比例になるかわからなくても前に進んでみよう。
さきの例題では、「毎秒x L でy秒水をいれると50Lの鉢がいっぱいになる」ので、
xy = 50
という等式がたてられるはずだ！
これが第一ステップだね。
つぎは、その等式を、
y = ○○○○
というカタチに変形してあげよう。等式の左辺に「y」という文字をもってくればいいだけさ。ね？？カンタンそうでしょ。
さっきの例題の「xy = 50」でいえば、
両辺を文字「x」でわってみよう。すると、
y = 50/x
というカタチに変形できるはずだ。
これはなんという偶然なことか、反比例の式のカタチ
y = a/x
にそっくりだね。
ってことで、この問題では反比例の関数を利用していたことになるんだ。
比例・反比例の利用は上の2つの方法でとけば大丈夫。
中1数学の「変化と対応」ではちょっとむずかしいところだけれど、ゆっくりとけば答えがみつかるはず。
テストでも落ち着いていこう！
次回はいよいよ平面図形の勉強に入っていくね。
そんじゃねー!!
Ken
こんにちは、ラーメンライスが好きなKenだよ。
反比例グラフの書き方を前回勉強したね。お腹いっぱいかもしれないけれど、もうすこし反比例のグラフについて勉強していこう。
今日はもう少し踏み込んで、
反比例のグラフの特徴を3つにしぼって紹介するね。テスト前にちらっと確認してみてね。
反比例のグラフには3つの特徴があるよ。さっそくチラ見していこう。
反比例は「双曲線」とよばれるグラフなんだ。
双曲線とは、
双子のように同じグラフが2つ対になっている曲線
のことだ。たとえばこんな感じだね↓↓
だから、反比例のグラフを書くときは、
カタチが同じ曲線が2つあることを確認しよう。
2つ目におさえておきたいのは、
比例定数がプラスか、マイナスか、でグラフのカタチが変化するということ。
これを知っておくと、反比例の式からグラフのカタチを推測できるんだ。それに、自分で書いてみた反比例のグラフが正しいのかどうか、ということを確認できちゃう。
次のように座標のグラフの各エリアに番号をつけるとしよう。
そんで、
比例定数aがゼロより大きいとき（a > 0）、
上の図のように双曲線は「エリア1」と「エリア3」でグイグイうなっているんだ。
で、
逆に、比例定数aがゼロより小さいとき（a < 0）、
今度は双曲線が「エリア2」と「エリア4」でぶんぶんいっている。
この反比例のグラフの特徴をかるくおさえておこう！！
反比例グラフの3つの目の特徴は、
グラフがx軸とy軸に触れちゃいそうで触れない
ってことだ。
えっ。なんでこんなに見ていてカユい関数になってしまったのかって？！？
じつはこれは、
x = 0 、 y = 0
という座標が反比例には存在しないからなんだ。だって、xに仮に0をいれてしまったら、
分数の分母が0になってしまうでしょ？？！
これでは、
ゼロで数字を÷ことができない
という数学の大きなルールに反していることになる。
だから、反比例のグラフはx= 0の座標はゼッタイに通ることがないんだ。0よりちょっと大きい値をとることはあるけどね。
x軸とy軸に触れそうで触れないグラフになってしまうのはこのためなんだ。だって、x軸にふれるってことはxの値がゼロになっているってことだからね。
ここまでさらっと反比例グラフの特徴をみてきたけどどうだった？！？
比例のグラフとだいぶ違うし、ちょっとヤッカイだけど、これさえ押さえておけば問題ないよ。
これで長かった反比例グラフの勉強もおしまい。
次回は比例・反比例の利用について勉強していこう！
そんじゃねー!!
Ken
こんにちは、飼い犬にかまれるKenだよ。
反比例は関数の1つの種類だったね。その反比例については、
で勉強してきた。もうそろそろお腹いっぱいだし、吐き気もしてきたけど、
反比例の勉強でいちばん大切なのは、
いかに反比例のグラフを上手に書くか、
ということなんだ。これさえできれば、期末でも中間テストでも何でもこいさ！
だから今日は、反比例のグラフの書き方をわかりやすくカンタンに説明していくね。
~もくじ~
反比例のグラフを書く前に、反比例のグラフの特徴をつかんでおこう。
反比例のグラフは、
双曲線（そうきょくせん）
とよばれるタイプのものなんだ。
文字通り、
双子のように似ている曲線が2つあるグラフ
のことだよ。
これは次の比例のグラフのような直線タイプとはぜんぜん違うタイプだね。
比例のグラフより反比例のグラフはちょっとメンドイんだ。
それじゃあ、反比例のグラフである「双曲線」を書くにはどうすればいんだろ？？
比例のグラフは直線。だから、
関数が通る座標を2点だけ知っていればよかったね？？
でも、反比例のグラフはそうはいかない。
だって、曲線タイプのグラフだからね。
じつは曲線タイプのグラフを書くためには、
グラフが通る座標が多ければ多いほどいいんだ。
関数を通る点が4個のときよりも、
点が7個のときのほうがずっと正確な曲線をかける。
なぜなら、ぼくたち人間は曲線をうまく書けないからね。
直線なら定規をつかって書けるけど、曲線はそうはいかないでしょ？？ 点と点のあいだはどうしても想像によって適当になっちゃうんだ。
だから、
反比例のグラフが通る点をできるだけ多くみつけたほうがいいってことになる。
それじゃあ、どうやってグラフが通る「点」をみつけるんだろう？？
じつはとっておきの方法が用意されている。
それは、
比例定数の約数をx座標とする点
なんだ。 ※ 約数とは「ある数を割り切れる数のこと」だよ。
ちょっとしっくりこないよね？？
ここで、y = 24/x という反比例の関数の例をみてみよう！！
この反比例の式の「比例定数」って「24」だよね？？
※ 反比例の比例定数を忘れてしまったときは「反比例の比例定数の求め方」っていう記事をみてくれ！
この比例定数「24」を割り切れる数（約数）をさがしてみると、
っていう8つがみつかるでしょ！？？ そんで、
これらの値がx座標になったときのy座標を計算してみると、
こうなる！！ これらが反比例のグラフが通る点たちなんだ。
つぎは求めた点を図に打ち込んでいこう！！
今回の座標平面には、x座標とy座標が12以上の点は打ち込めないよね？？ ちょっと小さいタイプなんだ。まあ、図の外に打ち込んでもいいけどね。
w.geocities.jp/emkodama0920/game/zahyou/zahyou.htmlより
だから、
の2点をのぞく、
上の6点を打っていこう！！
すると、こうなる↓↓
そんで、こいつらを曲線っぽく結んであげると、
こんな感じで曲線がかけるんだ！
これじゃあ曲線が1つしかないから「双曲線」じゃないよね？？
今度はさっきのx座標をマイナスにしたやつを入れてみよう！
すると、
となるはずだ。これらの座標をうちこんでやると、こうなって、
曲線を同じように書いてやると、
こうなる！！
これで反比例の双曲線グラフが書けたね！！
ふうー！！ おめでとー！！
ふう、ここまで反比例のグラフの書き方を解説してきたけどどうだった？？
比例のグラフより複雑になって疲れたかな？？
次回は反比例グラフの特徴について解説していくね！
そんじゃねー
Ken
こんにちは、カフェでコーヒーを頼まないKenだよ。
前回は「反比例とはなにか？？」ということを勉強してきたね。反比例は比例とおなじように、関数の中の1種類だよ。
むずかしそうに聞こえるけど、基本をおさえればカンタンになってくるんだ。
今日は、反比例の問題でよくでてくる、
反比例の比例定数の求め方
をわかりやすく解説していくね。
コツさえつかんじゃえば、2秒ぐらいで比例定数を計算できるはずだ！！
反比例の比例定数の求め方はチョーシンプル。
比例定数の求め方とはずばり、
xとyをかけるだけ
だよ。
ね？？ むちゃくちゃカンタンそうでしょ？？
反比例の問題では「x」と「y」の値があたえられているから、その2つをかけあわせるだけでいいんだ。
実際の反比例問題で比例定数を求めてみよう！
つぎの問題があったとしよう。
yはxに反比例し、x=5のときy =6です。xとyの関係を式にあらわしなさい。
解き方：
問題の最初で「yはxに反比例する」っていってるね？？ だからこのxとyについての関数の比例定数は、
比例定数 a = xy
で求めることができる。
そんで、
問題文をよーく目をこらしてみてみると、
x = 5, y = 6
ってことがわかるね。だから、反比例の関数の比例定数は、
xとyをかけあわせて、
30
になるね！
ね？？ かけ算が得意だったら2秒で比例定数を求められたでしょ？？。
反比例の比例定数の求め方って、
a = xy
って超シンプルだったね。
じゃあ、なんでこんなカンタンなんだろう？？？
その答えは、
反比例の式をゆっくり変形すればわかるよ！
反比例の式である「y = a/x」の両辺にxをかけてみよう！！
すると、
分母の「x」があたらしくかけられた「x」と打ち消しあうっちゃうから、
この反比例の関数は、
a = xy
って変形できるね。
え？？ あまりピンとこない？？
そういうときは「等式の性質」をみなおしてみてくれ！ 等式の基本さえわかっていれば大丈夫。読みながらもう一度変形にチャレンジしてみてね。
ここまでみてきた反比例の比例定数の求め方はどうだった？？
xとyの値をかけるだけだから、気合いをいれれば2秒ぐらいで求められるはず！！
つぎは、
反比例のグラフの書き方について勉強していくね。
そんじゃねー！
Ken
こんにちは、この記事を書いているKenだよ。新宿のアルタ前に憧れるね。
反比例（はんぴれい）って聞いたことある？？
たぶん、中学校で数学の授業をうけないかぎり「反比例」なんて使わないはずだ。
ゼッタイに、
さてと、歯磨きの前に反比例するかああ。
なんて言わないよね。
そこで、今日は「反比例」ってやつをわかりやすく解説していくね。
反比例の正体が不明すぎるっていうときは参考にしてみてくれ。
~もくじ~
反比例ってからみづらそうだけど、じつはシンプル。
関数の種類のうちの1つのこと
なんだ。「関数とはなにか？？」という記事で、関数とは、
自動販売機である
ってたとえたね。
いってみれば、反比例は関数っていう「自動販売機」の1種なんだ。
自動販売機の中には、
お茶ばかり売っているものとか、タバコの専用のものとか、おでん専用のものとかいろいろあるでしょ？？ それと同じさ。
だから、
関数のグループ内では、「反比例」だってやつもいれば「比例」だってやつもいる。
中学校にもいろんなやつがいるけど、関数の世界も同じなんだってことを覚えておこう。
反比例は関数の一種、
ってことはわかったね？？ それじゃあ、いったいどんな関数のことを言うんだろうって疑問に思うでしょ？？
反比例はつぎのカタチをした関数のことを言うんだ。
y = a/x
ね？ ちょっとカッコいいでしょ。？？
そんで、
「x」と「y」は「変数」ってよばれてるんだ。なぜなら、「x」になにを入れるかによって「y」の値も変わる数だからね。
一方、xの上にのっている「a」は「定数」だ。だって、xやyに関係なく変わらずに定まっている数だからね。
とくに、反比例の式にふくまれる定数のことを「比例定数」っていうんだ。さらっとでもいいから覚えておこう！
ちなみに、xとyでこの反比例の式が成り立つとき、
yはxに反比例する
っていうんだ。クールな澄まし顔でいったらモテそうだね。
反比例とはなにか？？
ってことはわかったけど、まだイメージしづらいよね。
もっと反比例と仲良くなるために、反比例の例をさらっとみてみよう！！
比例定数aに2をいれてもいいし、
aに-420をぶちこんでみていもいい。
ただ、aが「小数」とか「分数」のときは注意してね。なぜなら、最後には分子を整数にしてやらなねばならんからさ。
だから、
たとえばaに0.2をいれたとすると、
y = 0.2/x
分子と分母を10倍してあげて、分数のカタチになおすと、
y = 1/5x
になるね！
反比例の分子に「小数や分数」をのこさないようにしよう！
ここまで反比例の式はどうだったかな？！？
つぎは反比例の比例定数aの求め方を解説していくよ。よかったら見てみてね。
そんじゃねー！
Ken
こんにちは、この記事を書いているKenだよー！豚角煮カレーおいしかったよ。
前回、「比例グラフの書き方」をみっちり勉強したね？！ 比例のグラフをかけるようになったら、あとはテストで点をとり放題・・・・・・
ってわけにはいかないんだ！。
じつは、比例グラフを自由自在にあやつるためには、
比例のグラフにみられる特徴
を知っておいたほうが有利だ。
比例のグラフともっと仲良くなりたいよね？？
今日はもうちょっと深く、「比例のグラフ」について勉強していこう。グラフの特徴を4つ紹介するから勉強の参考にしてみてね。
中1数学で勉強する「比例のグラフ」の特徴は次の4つ。
比例のグラフのいちばん目立つ特徴は、
グラフが原点（0,0）を必ず通る
ってこと。
だから、比例のグラフを書くために原点にポチッと点を打つことが第一ステップなのさ。
それじゃあ、なぜ比例のグラフは原点を通るんだろう？？
その答えは比例グラフの式「y = ax」をよーく見てみればわかるよ。
この式のxにゼロをいれてみよう。
すると、yもゼロになるよね？！？ xが0のときyも0になる。
つまり、原点（0, 0)を通るってことなんだ。よーく覚えておこう！
比例のグラフの2つ目の特徴は、
比例定数aの値が大きくなればなるほどグラフの傾きが急になる
ってこと。たとえば、「y = 2x」と「y = 5x」が座標平面でなかよく暮らしていたとしよう。
この2つの比例の式を書いてみると↓↓
こうなるね！
よーく見てみると、
比例定数aが大きい「y = 5x」のほうが「y = 2x」より急に傾いていることがわかる。
だから、かりに、この2つの比例グラフのうえに「りんご」をのせたら、
こんな感じで、y=5xのりんごのほうがグルグル速く坂をくだっていくはず！。
比例定数が大きければグラフの傾きが急になる！
ってことを覚えておけば、グラフのカタチを予測できるようになるよ。
もう1つ比例定数に関して押さえておきたいのは、
比例定数aがプラスのときと、マイナスのときでカタチがすっごく違うってこと。
これを確認するために、
y = 2x と y = -2x の比例のグラフを書いてみよう！
aがゼロより大きいとき（プラス）、グラフが右肩あがりになる。
それに対し、
aがゼロより小さいとき（マイナス）、グラフは右肩下がりになってるね。
だから、
かりにりんごを2つの比例の式の上で転がしたら、
りんごが2つとも違う方向に転がりだすでしょ？？。
比例定数aがマイナスのグラフには注意しよう！
ときどき、比例のグラフの問題で「xの変域」が指定されたものが登場する。
たとえばこんな感じ↓↓
次のグラフを書きなさい。
y = 2x （-2 ≦ x ≦ 2）
このとき、
比例の式に金魚のふんみたいにくっついてる（-2 ≦ x ≦ 2）っていう「xの変域」に注意してくれ。
この変域がついていると、
いつも通りにグラフをばんばん書いちゃいけないんだ。こんな感じでね↓↓
なぜなら、この比例関数には「変域」があるから。
（-2 ≦ x ≦ 2）っていう変域の外にある座標は対応しきれないってことになってる。
だから、この比例の式は、（-2 ≦ x ≦ 2）という範囲だけ元気になるから、
こんな感じで比例の関数が短くなっちゃうんだ。
xの変域が指定されているときは十分に注意しよう！！
比例のグラフにたくさんの種類があるけれど、
これら4つの特徴をおさえておけばテストでも大丈夫。
比例グラフがちょっと得意になっているはず。
そんじゃねー。
Ken
こんにちは、この記事を書いているKenだよ。飴はかむ派だね。
これまで「比例」について勉強してきたね？？
えっ。もう疲れたから勘弁してくれよだって？！？
ここまで比例について勉強してきたけれど、
比例の大きなゴールって、
比例のグラフを書くこと
なんだ。
比例定数を求めたり、比例の意味を理解したりすることはグラフを書くための準備。グラフを書けるかどうかが勝負の分かれ目になるよ。
そこで今日はポイントとなる、
比例のグラフの書き方
をわかりやすく解説していくね。よかったら参考にしてみてね。
~もくじ~
比例のグラフを書く前に1つ押さえたいことがある。
それは、
比例グラフは直線である
ということだ。
比例のグラフは「うねうねした曲線」でもないし、
超クレイジーな関数でもない。
比例のグラフはじつにシンプルで直線。これは重要だから頭に入れておこう。
比例グラフは直線であるってことは、
直線の書き方を知っていればグラフを書けるはずだね。
じつは、
直線は2点を結ぶことで書けるんだ。
そう、2点だけでいい。
もちろん、3点とか、4点とかあったほうが直線を書きやすいけれど、別になくてもいいんだ。グラフが通る点を最低でも2点わかっていればOKだ。
ってことは、
比例グラフを書くために2点の座標がわかっていればいいわけだね？？
そうすれば、座標平面に比例グラフをひょいっと書けるはず。
じゃあ比例グラフが通る2点っていったいどんなのがあるだろう？？
例題として、
y = 2/3x のグラフをかきなさい。
をときながら勉強していこう。
まず、1つめの点は「原点」と呼ばれるところさ。 
くわしくは座標の記事をみてほしいけど、
原点って、
x軸とy軸が交わっている点
のことだったよね？？ 座標でいえば（x, y) = (0, 0)だ。
だから、まずは比例グラフの1点として「原点」に点をうってみよう。こんな感じで↓↓
これが比例のグラフの書き方の第一ステップだ！！
比例のグラフをかくためにもう1点だけ必要だよね？？
その点とは、
x軸とy軸の両方が整数になる点
なんだ。
たとえばさっきの例題でいえば、
x が3のときyは2になるよね？？ つまり、xとyの両方の座標が整数になっているというわけさ。座標でいえば（3,2）だね。
したがって、
原点（0,0）と整数になる点（3, 2）の2点をむすんであげると、
こんな感じの比例グラフがかけるんだ。
ね？？ なんだか書けそうな気がしてきたでしょ？？
比例のグラフの書き方では、
2つめの「座標が整数になる点」をはやく探し出すかがカギとなっているんだ。
1つだけコツを紹介すると、
比例定数が分数のときは分母の数を「x座標」とするものをえらべ
ってことさ。
さっきの例題では比例定数の分母が「3」だったよね？？ だからx座標を「3」としてあげると、y座標は「2」になる。よって、2つ目の点は、
（3, 2）
となるわけ。
もし、比例定数が整数のときはx座標に1をいれた座標でもいいよ。
比例グラフの書き方はどうだったかな？？
グラフがとおる2つの点をいかにすばやく見つけられるか？？
これに比例グラフの運命がかかっているよ。ちょっと心配なときはテスト前にグラフを何個かかいてみよう。きっと納得するはずさ。
そんじゃねー！
Ken
こんにちは、この記事を書いているKenだよー！
比例の式を攻略するためには「比例定数の求め方」が必要だ。
比例定数を求めておくれ。
って直接きいてくる問題は少ないけれど、
xとyの関係を式に表しなさい
って間接的にきいてくる問題が多いんだ。この問題に「比例定数」って言葉はでてこないけど、じつは比例定数の求め方を知らないと解けない。
だから、
比例定数の求め方を知っておいたほうがテストで有利なんだ。
だから今日は、
比例式の「比例定数の求め方」をわかりやすく解説してみたよ。
数学の試験前に確認してみてね。
~もくじ~
いちばん手っ取り早い比例定数の求め方を紹介するね。
あっ、今回は反比例じゃなくて比例の式の場合だから注意してくれー！
比例の式
上のような比例の式の「比例定数の求め方」は、
yをxで割る（y/x）
ってだけさ。
ね？
ものすごくシンプルな求め方でしょ。
それじゃあ、この求め方で比例定数を計算してみよう！
比例の式で出題されやすいのは次のようなタイプだ。
yはxに比例し、x = 9のとき、y = 54です。xとyの関係を式に表しなさい。
これはちょっとインテリ問題にみえるけど、さっきの比例定数の求め方をつかっちゃえば一発さ。
yとxは比例しているから、
y の値をxでわるだけで比例定数 a が求められるんだ。
だから、
a = 54 ÷ 9
となって、
a = 6が正解だね。
ね？ 割り算が得意だったら5秒ぐらいで比例定数がわかるでしょ？？。
比例定数aが6ってでたから、xとyの関係は、
y = 6x
になるね。y = axに求めたaをいれちゃえばいいんだ！
yをxでわるだけ
なんてカンタンすぎるよね？？
じゃあなんで比例の式の「比例定数の求め方」がこんなにシンプルなんだろうか。
ゆっくりみていけばその理由がわかるよ。
ある関数yがxについて「比例する」ってことは、
y = ax
っていうカタチをした関数ってことだよね？？ これは前回の「比例とは？？」という記事で勉強したね。
この式をよーくみてみると、
等式であることに気づくよね。だって、左と右が等号（＝）でつながれているからね。
そこで、
等式の性質の1つの、
両辺を同じ数でわっても等式は成り立つ
っていうものを使ってみよう。 （忘れかけているときは等式の性質の記事をみてみてね。）
両辺をxで割ってあげるとこうなって↓↓
右の分子にのった「x」がきえるので、
こうなるね ↓↓
これはいちばん最初にみた、
a = y/xと同じだよね。
だから、比例の式では、
yをxでわっただけで比例定数aがゲットできるんだ。
どう？？ シンプルでしょ？？
yをxでわるだけ！
比例する関数のときは比例定数の求め方はカンタン！
テストでガンガン比例定数を求めていこうね。
そんじゃねー！
Ken
こんにちは、馬よりも像が好きなKenだよ。
中学数学の「比例の式」で勉強するのは、
比例（ひれい）
だね。ふつうの人は「ひれい」ってきくと、魚の「かれい」と間違いそう。 それくらい、数学の勉強にしか登場しない用語なんだ。
今日は、この新しい言葉である「比例」をわかりやすく説明していくね。
記事を読み終わるころには、
yはxに比例する
という言葉の意味がわかるようになっているはずだ！
比例する関数ってなんだろうか？？ ちょっとむずかしそうにだね。
超カンタンにいってしまうと、
「比例の式」って1つの関数のタイプのこと
なんだ。
関数を自動販売機に例えると、比例がもっとわかりやすくなるよ。
この前、「比例とはなにか」という記事で、
関数は「自動販売機」、ってたとえたよね？？
その自動販売機にもいろんな種類がある。
たとえば、ちょっと青い自動販売機だったり、
タバコしか売ってないマシーンだったり、
http://kohtguchi.at.webry.info/200702/article_4.htmlより
コーラしか売ってない自動販売機だってこの世にはある。
http://www.qzs.jp/events/201411g-expo/demo141114.htmlより
お金をもらったら商品を出す
っていう仕事はしているけど、出すものが違ったり、お金の種類が違ったりするよね？？
こんなふうに、自動販売機の種類は世の中にもたくさんある。
それと同じで、
比例する関数
というのも、世の中にある多くの関数の中の1つの種類、ということなんだ。
だから、比例する関数がすべてじゃないってことは頭に入れておこう。
じゃあ、比例する関数ってどんな奴かって話になるよね？？
比例の式は関数の中で、
y = a x
というカタチをとっている奴のことなんだ。
どう？？ ちょっとカッコいいでしょ。？
yとxは、xに入れる数によって変化する数だから「変数」というものだったね。
じゃあ、残りの「a」はなにかっていうと、
定数
というやつなんだ。
定数とは言葉通り、
定まっている数
のことだよ。つまり、どんなに頑張っても変われないでじっとしている数ということさ。
だから、xに1をいれても、10をいれても、1億をいれても、
aの値は変わらないってこと。
そんで、
とくに「比例の式に入っている定数」のことを「比例定数」って呼ぶんだ。
テストに出やすいから覚えておこう！
こんな感じで「y = ax」というカタチをとっているとき、
yはxに比例する
というんだ。ね？スッキリしたでしょ？？
えっ。比例の式の具体例がみたいだって？？
比例定数が分数であれ小数であれ、負の数であれ、
y = ax
のカタチになっている関数は比例するって言われるんだ。
だから、
っていう関数たちはみな「比例する関数」なんだ。だって、y = ax のカタチになっているからね。
比例もカンタンだったでしょ？？
y = ax
という関数のカタチを覚えてしまえば大丈夫。
次回はもうちょっと踏み込んで「比例定数の求め方」を解説していくね。
そんじゃねー。
Ken
こんにちは、この記事を書いているKenだよ。まんじゅうを食べたい。
関数を勉強するって大変だよね？？
「関数の意味」とか「変数」とかの用語をおぼえなきゃいけないからさ。
※ 関数の意味がわからないときは「関数とは？？」という記事を参考にしてくれ。
その「関数」の用語の中でもヤッカイなのが
「変域（へんいき）」
という言葉だ。変域ってまちがいなく日常生活ででてこない単語だし、ちょっと怪しいよね？？。
そこで今日は、
関数の変域とはなにか？？
ということを説明していくね。
関数の変域ってなんだろうか。とりあえず教科書をみてみると、
変数のとる値の範囲
のことを「変域」っていうらしい。
ん？？
これじゃあイマイチぴんと来ないから、具体的な関数の例をみてみよう。たとえば、
「y = 2x」 という関数があったとする。
この関数での「変数」って「x」と「y」だったよね？？
だって、xを変えるとyの値も変わるからね。たとえば、xに「2」をいれたときと、
「3」をいれたときじゃyの値は変わってくるでしょ？？
こういう、色んな数を入れたりできる数や、それによって異なる数字がでてくる文字を「変数」って呼んでいたね。
xとyのような変数がとれる「値の範囲」のことを「変域」っていうんだ。
たとえば、
「y=2x」という関数の調子がわるいとしよう。故障中のため、xに入れることができるのは、
0以上2以下の数
っていうことになった。
これが「xの変域」だ。数式であらわすと、
0 ≦ x ≦ 2
となるね。
このxの変域が「y = 2x」で適用されるとき、
xに2を入れることはできても、
xに3を入れることはできないんだ。
だって、xは「2以下」じゃなきゃダメよ。
っていう変域が設定されているからね。
中1数学で「変域」といえば、
「変数xの範囲のこと」を指す場合が多いよ。
変域がxかyのかで迷ったら「xの変域」ってことにしちゃえばいい。
関数とはなにか？？という記事で、
関数は自動販売機みたいなもんだよ。
って説明したね？？
変域の意味を理解するときも「自動販売機のたとえ」をつかってあげると分かりやすいんだ。
たとえばここに、自動販売機があったとする。ちょっと古い。
で、じつは、
500円玉を認識できなくて、しかも一回に1枚のコインしか入らない
という故障をかかえていたとしよう。
このとき、この自動販売機にいれるお金をxとしたら、xの変域ってなんだと思う？？
そう。
0 ≦ x ≦ 100
さ。えっ、なぜなら、
お金を何もいれない状態（x=0）がいちばん小さくて、
100円玉を1枚いれる状態（x=100）がいちばん大きいからさ。500円玉（x=500）は
0 ≦ x ≦ 100（0以上100以下）
という変域の外にでてしまってるね？？
だから、500円玉は入れられないんだ。どう？？ちょっと変域が身近になったでしょ？？
関数の変域がちょっとわかったような気がした？？
次回はいよいよ「比例」について勉強していくねー！
そんじゃねー。
Ken
比例式っていったい何のことだっけ？？ 比例式とは下のような
2つの比が等しいですよ、
a :b = c : d
ということを表した等式のことだったよね。
それで、どういうときに2つの比が等しいっていえるかっていうと、
比の値が等しいとき
なんだ。
前回の「比の値」の記事で勉強した通り、左辺の「a:b」の比の値は「a/b」、右辺の「c : d」比の値は「c/d」になるよね？？
そんで、 「a: b = c:d」となるときは2つの比の値が等しいことを意味するんだ。
今日は、比例式の解き方を「比例式の性質」を使って勉強してみよう！！
比例式の解き方に役に立つのは「比例式の性質」だよ。
教科書には、
a: b = c:d ならば ad = bc
ってことが比例式の性質って書いてあるでしょ？？
えっ。なんで急に「比例式の性質」が成り立つなんて言えるのかって？！？
じつはこれは比例式の意味を使っているだけなんだ。
という比例式が成り立つとき、
ということが言えたよね？ これは一番はじめに説明したね。
じゃあ、気分転換にこの等式から分数をなくしてみよう！ よくわからなかったら、「分数をふくむ方程式の解き方」を参考にしてみてね。
分母をはらうために両辺に「bd」をかけてやると、
分母が消えて、
さっき紹介した「比例式の性質」の右側の等式の、
ad = cd
になるね。だから比例式の性質、
が成り立つんだね。
そして、
比例式の性質はあたかも「比の外側同士」「比の内側同士」の項をかけてるようにみえるよね？？
だから、ちまたでは「比例式の性質」のことを、
外項の積・内項の積
って呼ぶことがあるんだ。しっかりとこの言葉も押さえておこう！！
比例式の解き方はわかったね？？ それじゃあ実際の例題で解き方を確認してみよう。
たとえば次のような比例式があったとする。
a: 3 = 15:2
比例式にふくまれる文字の正体をあばくこと。
これが「比例式を解く」ってことなんだ。
だから、この例の場合はaを求めることが「比例式を解く」ってことになる。
さっき勉強した「比例式の性質」を使うと、
外側同士の項、内側同士の項をかけたものが等しくなるんだから、
2a = 45になるね。
これをaについて解いてあげれば、
a = 22.5 (または45/2）になる。
どう？？ 比例式の解き方も意外とシンプルでしょ？？
次回はいよいよ、1次方程式の文章題のコツを解説していくねー！
次のドリル動画で問題をガンガンといてみよう。
そんじゃねー！
