【高校数学 I 】3分でわかる！因数分解の3乗公式の使い方

クマシロ

よう、消しゴムの妖精のくましろだ。階段で燃焼してる、わ

高校数学 I ではなんとな、

3乗の因数分解の公式

が登場するぜ。

因数分解の3乗公式の使い方

それはこいつだ。

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

それじゃあさっそく、この公式で因数分解してみようぜ。

トライする因数分解の問題は次のやつだ。

$x^{3} + 27$

それぞれの項に注目してみると、

$x^{3} は x を 3 乗したもの$
$27 は 3 を 3 乗したもの$

になってるな。

さっきの公式でいうと、

$a = x$
$b = 3$

になっているはずだ。

ということで、この $a$ と $b$ を因数分解の公式にぶち込んでやると、次のようになるな。

$x^{3} + 27$

$= (x + 3) (x^{2} - 3 \times x + 3^{2})$

$= (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$

うん、こんな感じで公式を使えば3乗の因数分解もいっぱつで終了。まったく、便利な時代だぜ。

マイナスの3乗の因数分解の公式は？

数学の教科書には、2種類の3乗の因数分解の公式のってるよな。

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$
$a^{3} - b^{3} = (a + b) (a^{2} + a b + b^{2})$

つまりマイナスバージョンの公式、

$a^{3} - b^{3} = (a + b) (a^{2} + a b + b^{2})$

も書いてあるんだ。

心配すんな、このマイナスの公式は覚えなくても大丈夫だ。

なぜなら、さっき紹介したプラスの公式「 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 」から簡単に導けるからだ。

ズバリ、プラスの公式の $b$ の代わりに $- b$ を入れれば出てくるからだ。

試しにやってみるぞ。

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

$a^{3} + (- b)^{3} = (a + (- b)) (a^{2} - a (- b) + (- b)^{2})$

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

ほら、出てきただろう？？

ってことで、脳の記憶容量を節約するためにも、マイナスの公式は全ツッパのガン無視でも問題ないなんだ。

3乗の因数分解の公式の覚え方は？

でもさ、プラスの公式だけでも覚えるの大変だよな。

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

どっからどう見ても、明らかに、覚えづらいぜ。

でもな、この3乗の因数分解の公式公式は覚えなくても大丈夫だ。

なぜなら、3乗の展開公式の $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ を逆にしただけ、だからな。

つまりは3乗の展開公式を覚えておけばよくて、3乗の因数分解の公式は覚えなくていいんだ。

tomo

2024.01.16

【高校数学 I】3乗の展開公式の使い方

https://text.tomo.school/cubic-expansion-formula

よう、消しゴムの妖精クマシロだ。俺のことは学級委員長には内緒な中学数学では山のように式を展開してきたよな。お世話になりまくった公式は次の3つだ。

(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

忘れちゃったやつは随時復習しといてや。でもな、残念ながら高校数学 I ではこいつらに加えて、3乗の展開公式が登場するぜ。つまり式を3乗するときに使える計算公式ってわけだ。 3乗の展開公式の2種類注目の公式は次の2つだ。 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 ...

クマシロ

3乗の展開公式の覚え方でねじ伏せるか、もしくは、3乗の展開公式の証明をできるようにしておけばいいな。

ってことで、3乗の因数分解の公式に熱中するのもいいが、それと同時にここまで勉強してきた3乗の展開公式も復習しておこうな。

それじゃあ！