どーも、ぺーたーだよ。
中点連結定理をつかった証明問題はたくさん、ある。
なかでもよくでてくるのは、
平行四辺形であることを証明する問題
だ。
たとえば、つぎみたいな証明問題ね。
このとき四角形EFGHが平行四辺形になることを証明しなさい。
みんなけっこう難しいって
思ってるんじゃないかな？
今回はどうやって、
中点連結定理で平行四辺形を証明するのか
を3ステップで証明していくよ。
さっそく証明問題をといていくよ。
四角形ABCDの4辺AB、BC、CD、DAのそれぞれの中点をE、F、G、Hとする。
このとき四角形EFGHが平行四辺形になることを証明しなさい。
証明を始める前に1つだけやることがあるんだ。
それは、
対角線を1本かいてあげること！
そうするとこうなるね ↓↓
今回は、対角線BDをひいたけど、ACでも同じだからね。
対角線を引いたら、いくつか三角形が見えてくるよね？
練習問題でいうと、
の4つだね。
平行四辺形を証明するために
2組の三角形に分けてみてみよう。
まずは△AEHと△ABDに注目してみて。
EとHはそれぞれ、
辺ABと辺ADの中点だよね？？
ってことは、中点連結定理をつかうと、
EH // BD・・・(1)
EH = 1/2 BD・・・(2)
がいえるんだ。
おなじことを△CGFと△CDBでもやってみよう。
FとGは、辺BGと辺DCの中点。
ってことで、中点連結定理がつかえるから、
FG // BD・・・(3)
FG = 1/2 BD・・・(4)
になるね。
最後は平行四辺形になる条件をつかうよ。
5つの条件を見なくても言えるかな？（。）
くわしくは平行四辺形になるための5つの条件をよんでみてね。
ちなみに、中点連結定理を使って平行四辺形を証明する問題は
1組の対辺が平行で長さが等しい
を使うのがほとんど。
今回もこの条件をつかうよ。
(1)と(3)から、
EH//BD//FGになるね。
つまり、
EH//FG・・・（5）
がいえるわけだね。
また、(2) と (4)から、
EH = FG = 1/2 BD・・・（6）
がいえるね。
EHとFGの両方がBDの半分になってるからさ。
んで、
(5)と(6)より、平行四辺形になる条件の、
1組の対辺が平行で長さが等しい
がつかえるわけだね。
だから、
四角形ABCDは平行四辺形
ってわけ。
おめでとう！
これで証明おしまい！
中点連結定理をつかった平行四辺形の証明はどうだった？？
この問題のポイントは、
対角線の補助線がひけるかどうか
だね。
平行四辺形を証明する問題は数をこなすのが一番！
おぼえるまで何回かといてみてね。
じゃあねー
ぺーたー
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。甘さを極めたね。
相似な図形で最後にでてくるのは、
相似の利用
っていうモンスターだ。
これはおもに、
相似を現実世界でもつかってみよう
というもの。
むちゃくちゃ実践的だから、
相似の証明より100倍ぐらいおもろいよ。
その相似の利用でよくでてくるのが、
縮図の問題
なんだ。
今日はこの問題を解説していくよ。
よかったら参考にしてみてね。
さっそく問題をといてみよう。
つぎの例題をみてみて。
映画「ザ・ウォーク」の主人公にまつわる問題なんだ。
練習問題
とある、むかし。
綱渡りで飯をくってる男が、いた。
野心が強すぎた彼は、ニューヨークの高層ビルに縄をかけて、
綱渡りしたいと思ってたのだ。
そこで、ビルとビルの間の距離を測らなきゃいけない。
縄をはらなきゃいけないからね。
ただ、いま彼がわかっているのは、
自分の現在地から2つのビルまでの距離
と、
角度
だけ。
だ。
彼は縮図をつかって、
ビルの距離をはかることを思いついたのだった。
彼よりもさきに縮図でビル間の距離を計測しなさい。
ただし、400分の1の縮図をつかうこと。
この手の問題は3ステップでとけちゃうよ。
まずは縮図をかこう。
現実世界よりも小さい図をかけってことだね。
練習問題では、400分の1の縮図をつかえっていわれているから、
400分の1にした図をかいてみようか。
まずは、ビルまでの距離の、
をcmの単位になおしてみよう。
1m = 100cmだから、
だよね？？
こいつを400分の1に小さくすると、
になる。
実際に縮図を作図してみよう。
まず男がいる地点を縮図上に点をうつ。
つぎに、適当な方向に13cmの線を、ひく。
これは男からビルAまでの縮図上の距離だね。
つぎは分度器の出番。
分度器で男の点から50°をはかって、
適当に直線をひいてみよう。
そしたら、今度は男からビルBまでの縮図上の距離の、
19.5cm
をはかってあげる。
あとは、ビルとビルの間を線でむすぶだけ。
これで縮図の完成だ！
つぎは、縮図の長さをはかろう。
問題で求めたい長さ
をはかればいいんだ。
練習問題では、
ビルAとビルBの距離
だったよね？？
縮図上で、2つのビルの距離をはかってみると、
うわっ！
15 cm
になってるじゃん！！
最後はリアルな長さにもどしてあげよう。
つまり、
縮図の倍率をかければいいのさ。
今回の練習問題では、
400分の1の縮図だったね？？
だから、縮図を400倍してやると、リアルな大きさになるわけよ。
ビルとビルの間は縮図上は15 cm。
こいつを400倍すると、
リアルな世界のビルとビルの距離になるんだ。
ってことで、リアルな世界のビル間の距離は、
15 × 400
= 6000 cm
= 60m
ってわけだね。
縮図からビルとビルの距離を求められたね。
あとは、60m以上の縄を買って渡るだけだ。
ふぁいつ！
相似の利用の縮図はどうだったかな？？
ぶっちゃけ、相似の利用の縮図問題は、
作図の正確さ
が重要になるんだ。
分度器と定規で精密な作図をしてみてね。
それじゃあ！
Ken
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
相似と合同の違いがわからなくなってしまいました。
どっちも図形の問題だね。
いっとくけど、
相似と合同はべつものだよ。
えー！
でも、２つの図形を比べるとか、
ちょっと似てない？
どっちかわかんなくなる。
確かに、ちょっと紛らわしいかも。
違いを見つけていこう！
ういす！！
相似と合同の違いはつぎの3つかな。
3つもあるんだ！
たいへん！！
ゆっくりみていけば大丈夫。
それじゃあいくよー！
まずは言葉の意味から！
えっと・・・・
合同が「同じ」で、
相似が「似る」・・・・・？
うわ！ ぴったり重なった！！
すげえ！
じゃあ相似は？？
こんな感じで、形は一緒だけど、
大きさが違う！
なんか、拡大コピー見てるみたい。
そうだね！
小6で出てきた『拡大と縮小』を思い出せるといいね。
あー！あいつか！
対応している角度
と
辺の比
が等しくなっているんだ。
へー！
くわしくは、
相似な図形の性質を復習してみてね。
相似と合同では、
成立条件
に違いがあるよ。
せいりつじょうけん？？
へー！
合同条件と相似条件ってことかな？？
そうそう！
三角形の相似条件と合同条件をみてみよっか！
パッと見ただけじゃわからない…
じゃあ、
1つ目の条件を見比べてみよう！
1つ目？あっ！
相似は辺の「比」が等しいけど、
合同は辺の「長さ」が等しいとこかな！
そう！
図で表すとこんな感じ。
下の三角形は辺の比が1: 1: 1だから、
辺の比が等しい。
だから、相似っていえる！
なるほど！
一方、
辺の長さがぜーんぶ等しかったら、
合同っていえるわけ。
なるへ！
くわしくは、
「三角形の合同条件と相似条件の違い」
をよんでね。
記号の違いもある！
今回紹介する最後の違いだ！！
うす！！
相似と合同の記号のはつぎのやつだよ↓↓
めっちゃ違うじゃん！！
そうだね。
相似記号は、
アルファベットのSを横に倒したような記号。
合同記号は、
＝に一本書き足したような記号
になっているね。
書き間違えないようにしようっと！
どう？？
相似と合同の違いはわかったかな？？
えっと、
『合同』は全く同じ図形だから、辺の長さまで同じ。記号は『≡』。
『相似』は似ている図形だから、辺の長さの比が一緒になる。記号は『∽』。
完ぺきじゃん！
『似ているけど同じじゃない』
それが『相似』だ！
やったあーー！
やあ、ぺーたーだよ。
中3になると、相似を勉強するよね。
覚えること多くて大変。
相似の証明したり、相似比を求めたり…ほんといろいろ。
中でもよくでてくるのが、
相似比から面積比を求める問題。
むずかしそうにみえるけど、公式さえ分かってれば大丈夫。
面積比は絶対に求められる！
今日はこの面積比の公式を紹介していくよ〜
面積比にはつぎの公式があるよ。
「面積比」は「相似比の2乗」になる
ってやつだ。
たとえば、△ABCと△A’B’C’の相似比が「n:m」だとしよう。
このとき面積比は、
n² : m²
になってるんだ。
せっかくだから、この面積比の公式をつかってみよう。
つぎの2つの三角形をイメージしてみて。
△ABCと△A’B’C’の辺の長さがそれぞれ、
と、
になってるよ。
この2つの三角形の面積比をだしてみよう！
公式なら2ステップで面積比だせちゃうんだ。
まず相似比を出してやろう！
相似比の求め方は覚えてる？？
相似な図形同士の、
対応する辺の長さの比
を求めればよかったね？？
今回でいうと、辺ABに対応する辺は辺A’B’。
AB=3cm, A’B’=6cmだから、
相似比は、
AB : A’B’
= 3: 6
= 1 :2
になるね。
相似比が出ちゃえばあとは簡単。
相似比を2乗すれば面積比がでるってわけ。
△ABCと△A’B’C’の相似比は、
1: 2
だったね？？
面積比は2乗してやった比の、
1² : 2²
= 1 : 4
になるはず！
おめでとう！
相似比から面積比を計算できちゃったね。
面積比の公式でもう1つ問題を解いてみよう。
公式はつかっておぼえるのが一番！
つぎの図の△ABCにおいて、AD = 16cm、DB = 4cmで、
△ADEと△ABCは相似です。
まずは相似比を求めるよ。
この場合、対応する辺は分かるかな？
色で分けるとこうなるよ！
この問題では、ADの長さ（16 cm）が分かっているから、
赤色の辺を使って考えてみよう。
ABの長さはわかるかな？
そう、そうだね。
AB
= AD + DB
= 16 + 4 = 20
になってるはず。
AD=16cm、AB=20cmだから、
相似比は…
△ADE : △ABC
= 16 : 20
= 4:5
だ！
面積比はさっきの公式で一発！
面積比は相似比の2乗になる
だったよね？？
この公式をあてはめると、
面積比
= 4² : 5²
= 16 : 25
になるね。
ってことで、答えは16:25！
最後は△ADEの面積だ。
さっきの面積比で求めていくよ。
△ADEの面積がわからないから、ｘ[ cm²] とでもしておこう。
んで、
△ADEの面積：△ABCの面積 = 面積比
っていう比例式をつくってみようぜ。
だから、比例式は、
△ADEの面積：△ABCの面積 = 16 : 25
x : 50 = 16 : 25
になるね。
比例式の解き方でといてやると、
x : 50 = 16 : 25
25 x = 16×50
x = 32 [cm²]
になる。
つまり、
△ADEの面積は32 [cm²]ってわけ！
相似比で面積比もとめられた？？
相似比の2乗が面積比になる
っていう公式さえおぼえてれば怖くない。
面積比を求める問題はきっと大丈夫！
じゃ、またね！
ぺーたー
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
一次関数と二次関数のグラフをながめてました。
一次関数は久しぶりすぎて忘れかけてるし・・・・
二次関数はまだよくわからないところがある。
うわあっ！？
って、先生か。
びっくりした……
せっかくだから、
一次関数と二次関数グラフの違い
を見つけていこう！
復習もできるし一石二鳥？？
そう！
さっそくみていこうー！
いぇーい
一次関数と二次関数のグラフの違いは3つあるよ。
3つもあるんだ！
やべえー
どれもわかりやすいから大丈夫！
順番にみていこう。
はい！！
まずは、一次関数と二次関数の、
「式」
を見比べよう！
あっ。
一次関数の式わすれちゃった・・・・
覚えてないのは仕方がない。
教科書見てみよう。
んー、違いかー！
ｂがあるかないかはわかったよ
もう一つの違いが注目ポイント！
あっ。
見つけた！
え！？
二次関数は、ｘが二乗になっている！
よく気付けた！
この2が二次関数の2なんだ！！
やったー！
つまり、
次数が違うってわけ！
へー
一次関数は一次式の関数、
二次関数は二次式の関数、
って覚えておくといいよ。
ってことは、もし、
三次式なら・・・
三次関数！？
そうそう！！
にやり
相似記号の2つめの覚え方は、
グラフのかたち
だね。
かたち・・・
そうそう！
一次関数と二次関数のグラフをみてみて。
まっすぐと、
曲がってる感じかな？
そうだね。
一次関数が直線で、
二次関数が曲線！
これは、わかりやすい！
あー！そうそう！
一次関数は直線、
二次関数は放物線、
っておぼえておこうね。
うす！
最後はyの値について！
なんか、難しそう。
そんなことないよ！
ヒントはグラフに隠れているから！
グラフ？
あっ、そうか！！
一次関数だとyはプラスにもマイナスにもなる！
おー
二次関数y=ax2だとどうなる？？
二次関数y=ax2だと、
yの値がプラスだけのときや、
yの値がマイナスだけのときがある！
そうそう！
なんでだとおもうー？
えっと。。。
ｘが負の数でも二乗すると、
正の数になるから・・・？
そうそう！
例えば、y=x²だと……
あっ、やっぱりそうじゃん！
うん、そうそう！
なんか、直線が魔法で曲げられたのかと思った
……！？冗談、だよね？
半分くらいは。
けど、二次関数のグラフが曲線になるか知れてよかった。
じゃあ、いつものまとめをしよう！
一次関数と二次関数のグラフの違いは、
だったね？？
一次関数のことも思い出せてきたかも。
よかった。
一次関数と二次関数が
一緒に出てくる問題もあるんだ。
えっ、どんな？？
2つの関数の交点を求める問題があるんだよ
なんか、難しそう。
やり方さえ知っておけば怖くない。
こんな問題が出てきたときに、
一緒に考えていこう！
うす！
やあ、ぺーたーだよ。
二次関数のテストでよくでるのは、
三角形の面積を求める問題。
難しいからみんな嫌がるよね？？
図形と関数のコラボとかやめてほしいけど、
テストに出てきちゃう。
何とか解けるようにしたいね。
そこで、今日は、
二次関数の三角形の面積の求め方
を3ステップを紹介するよ！
つぎの問題をといてみよう！
y = 1/2 x² のグラフ上に2点A, Bがあり、
それぞれのx座標は-4と2です。
直線ABとy軸の交点をCとするとき△AOBの面積を求めてください。
3ステップでとけちゃうよ。
まず座標を求めてみよう。
練習問題でいうと、
の3点の座標ね。
この問題では、それぞの点のx座標がわかってる。
だから、
二次関数にxを代入すればいいね。
y = 1/2 x²にそれぞれ代入すると、
になる。
ってことは、
になるはずだ。
あとは点C。
こいつは、直線ABの切片だね？？
直線ABの式がわかればCの座標もわかるってわけ。
直線ABの式は2点は、
だ。
y=ax+bに代入して連立方程式をつくると、
8 = -4a + b
2 = 2a + b
ってなる。
こいつをとくと、
になるね。
つまり、直線ABの式は、
y = -x + 4
になるんだ。
点CはABの切片だから、
C (0, 4 )になるね。
ちょっと長くなったけど、分かった座標を図に書き込むよ！
三角形の面積を2つにわけて考えてみよう。
練習問題では、
△AOBの面積
を求めたかったよね？？
だがしかし、
そんな三角形見当たらない。
だから自分で、
△AOBを書き込むんだ。
すると、こんな三角形ができあがるよ！
さあ、これで三角形の面積を求めよう！
…と言いたいところなんだけど、このままだと難しいんだ。
なぜなら、
底辺も高さもわかってないからね。
じゃあどうすればいいの！？
よーく見ると三角形が見えてこない？
そう！
△AOBで見るんじゃなくて、
三角形を2つに分けて考えるんだ！
どう分けるかというと…
△COAと、
△COBでわけるんだ。
三角形の面積を計算しよう。
わけた2つの三角形の面積をそれぞれ計算すればいいのよ。
まず△COAの面積。
COを底辺、Aのx座標を高さとしてみてね。
Oのｙ座標は0、Cのｙ座標は4だから
底辺＝4。
高さは「Aからｙ軸まで」の長さ。
つまり、Aのx座標のことだから、
高さ＝4だね。
三角形の面積の公式は「底辺×高さ÷2」だったよね？？
こいつで計算してやると、
△COA
= 底辺×高さ÷2
= 4×4÷2
= 8
になる。
次は△COB。
COを底辺、Bからy 軸までを高さと考えてみると、
△COB
= 底辺×高さ÷2
= 4×2 ÷2
= 4
になるね。
2つの三角形を足しちゃえば終わり！
練習問題でいうと、
△AOB = △COA + △COB
ってわけだね。
実際に計算してみると、
△AOB
= 8 + 4
= 12
になる。
だから答えは12なのさ。
大変だったね。お疲れさま！
二次関数で三角形の面積を求める問題は、
の2ステップで大丈夫。
難しいけど、慣れれば絶対に解けるようになるよ。
じゃ、今回はここまで。
じゃあねー
ぺーたー
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
相似の記号に出会いました。
相似の記号って、
へにょへにょ。
わかりにくい！
合同の記号は、
＝に一本つけるだけでいいのに・・・
そう！それ！！
たしかにふにゃふにゃ。
わたしの彼氏みたい。
え！
先生恋人いたんですね？w
そりゃそうよ・・・・
ってとにかく。
今日はこの、
ふにゃっとした、
相似記号の覚え方を教えてあげる。
いぇーい
相似記号の覚え方は3つあるよ。
3つもあるんだ！
太っ腹！
うん。
私の腹は太くないけどね。
順番にみていこう。
相似記号の語源は、
「似ている」
っていう意味の英単語『similar』なんだ。
えー！
similarのsの字も混じってなくない？
いや。そんなことないよ。
相似記号の頭を右にかたむけると・・・・・・？
うわ！
Sが相似記号になった！！
無限大のマーク「∞」みたい。。
ほら、関ジャニ∞のやつ。
あ、ちょっと違うんだよね。
ポイントは2つのスキマ！
無限大『∞』
と
相似記号
を間違えないようにしよう！
はい！
相似記号の2つめの覚え方は、
かきまくる
だよ。
やっぱりそうなるんだ・・・
由来を知ったら、あとは書いて覚えるだけ！
でも、由来を覚えることはほんと重要！
なんで？
だって、
由来を意識しながら書けるからね。
覚えやすいんだ！
へー、そうなんだ。
漢字や英単語でも、同じことがいえる。
でも、相似記号のほうが1000%楽だね！
英単語覚えるよりは、簡単って思えてきた。
そう！その調子！
まず見ながら10回書いて、
今度は見ずに10回書こう！
うす！
最後の覚え方は、
つかいまくること。
慣れたら、
実際の問題に挑戦しよう！！
うす！！
じゃあたとえば、
したの2つの三角形が相似
って記号であらわしてみて。
えっと・・・・・
あ、書き方教えてなかったね！
ルール伝えるね！
えっ、ルールがあるの？
（相似記号さえおぼえればいいと思ってた）
心の声が漏れてる！・・・、
まあ、そんなややこしくなくてね。
相似な図形のあいだに記号をかくだけ。
・・・・・・って、あ！
何かに気づいたみたいだね？
合同のときと同じ！
なるほど！
相似な図形で、
記号をサンドイッチ
すればいいですね！
そういえば、さっきより、
相似記号書くの上手になってきたんじゃない？
たしかに！！
この調子なら、次のテストまでには…！！
いいね！
その調子で相似を学んでいこう！
うす！
みんな、元気にしてる？そらだよ☆彡
比例定数って何かおぼえてる？？
1年生のときにならった比例では、
y=ax
のaを「比例定数」といったね。
じつは、
3年生でならう二次関数y = ax2でもおなじ。
定数aを「比例定数」っていうんだ。
今日はy=ax2の比例定数aを求めてみよう。
たとえば、つぎみたいな問題だね。
yはxの2乗に比例し、x = 3、y=18のとき、比例定数を求めなさい。
比例定数の求め方は2ステップ。
例題をいっしょにといてみよう。
yはxの2乗に比例し、x = 3、y=18のとき比例定数を求めてこの関数の式をたてなさい。
xとyを、関数の式に代入してみよう。
y = ax^2
にxとyをぶちこんでやればいいのさ。
練習問題では、
があたえられてたよね？？
二次関数y=ax2に代入してみると、
y = ax^2
18 = a × 3 × 3
9a = 18
になるね。
一次方程式をといてあげよう。
y=ax2にx・yをいれたら、aが残ったでしょ？？
あとは、aの1次方程式をとけばいいの。
練習問題では、
9a = 18
がでてきたよね？？
両辺をaの係数の「9」でわってやると、
9a ÷ 9 = 18 ÷ 9
a = 2
になるね。
おめでとう！
二次関数y=ax2の比例定数が求められたね。
比例定数は「2」だ！
この問題のポイントは1つ。
それは、
関数y=ax2は1点の座標さえわかれば式を求められる
ってこと。
なぜなら、
xとy以外の未知数はaしかないからね。
xとyを代入しちまえば、aしか残らないってわけ。
解き方も簡単でうれしいね。
中学2年生でならった一次関数のときは、
が必要だったじゃん？？
一次関数の式は「y=ax +b」で未知数がaとbの2つあったからね。
それとくらべると、
二次関数y=ax2の比例定数は楽だね。
1つの方程式つくるだけでaがわかっちゃうからね。
問題をといてなれてみよう。
最後に練習問題を1つ紹介するね。
(-4, -8) を通る二次関数y=ax2の比例定数を求めなさい。
今日はここまで！
そんじゃねー
そら
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。肉摂取しすぎたね。
図形と相似の単元では、
相似の利用
を勉強していくよ。
相似を日常でもつかってみよう！
っていう単元。
なかでもよくでてくるのが、
校舎の高さを求める問題
だ。
今日は、この問題のパターンを2つ紹介するよ。
これならどんな校舎がきてもイチコロさ。
まずは、
影で校舎の高さを求める問題を解説していくよ。
つぎの練習問題をといていこう。
天気は晴れ。日中で太陽がでてきます。
身長160cmの人が立っていると0.8cmの影がでてきました。
いっぽう、校舎の影の長さは12.5 mでした。
この影をつかって校舎の高さを求めなさい。
この問題は3ステップでとけちゃうよ。
相似な図形をさがしてみよう。
影をつかう問題では、
の2つが相似になってるよ。
なぜなら、三角形の相似条件の、
2つの角がそれぞれ等しい
にあてはまるからね。
人と校舎は地面に対して垂直にたってるね。
だから、地面と接してる角度は90°。
ある時刻における、
地面と太陽の角度、
つまり、太陽高度はおなじだから、
の2つが等しいはずだね。
だから、
が相似なんだね。
つぎは相似比を計算してみよう。
2つの三角形の「影の辺の長さ」に注目してみよう。
それぞれ、
だったね？？
2つの三角形の相似比は、
（人の三角形）:（ 校舎の三角形） = 0.8 : 12.5
になるはず。
相似比から校舎の高さを計算してみよう。
校舎の高さをx m とすると、
1.6 : x = 0.8 : 12.5
0.8x = 1.6×12.5
x = 25
になるね。
おめでとう！
校舎の高さゲットできたね。
おつぎは、
縮図で校舎の高さを求める問題だよ。
これは作図しなきゃいけないから、
を用意してね。
つぎの練習問題をといてみよう。
身長1.6mの人間が校舎から20m離れたところから、校舎の頂点をみつめています。
ちょうど校舎のてっぺんが水平方向から42°のところにみえるとします。
このとき、400分の1の縮図で校舎の高さを計算しなさい。
この手の問題はつぎの3ステップでとけちゃうよ。
まずは、
「人の目」と「校舎」がつくる三角形
に注目しよう。
この三角形の縮図をかけばいいんだ。
問題文では、
400分の1の縮図をつかえ
っていう指示だったね。
「校舎までの距離20m」を400分の1にすると、
5cm。
角度が42°の直角三角形をかいて、その高さをだせばいいってことだね。
まず定規で5cmの直線をかいてあげて、
分度器で42°をはかって直線をひいてみる。
あとは、直角三角形の直角が必要だから垂線をかこう。
コンパスを持ち出す。
そして、5cmのところで半円をかく。
半円と辺の交点にコンパスの針をおき、チョビ円をかく。
逆側の交点にも針をおき、チョビ円をかく。
チョビ円どうしの交点とはじめの半円の中心をむすべば直角のできあがり！
⇒くわしくは垂線のかきかたをよんでね
こんなかんじで、
角度42°の直角三角形の縮図がかけたね。
おそるおそる、直角三角形の高さをはかってみると・・・・
ん！？
4. 5 cm
じゃないか！
直角三角形の高さは、
校舎の高さを400分の1に縮めたもの
だ。
400倍して校舎の高さにもどそうか。
実際の校舎の高さ
= 4.5 × 400
= 1800 [cm]
= 18 [m]
になるね。
・・・・おっとあぶねえ。
これは、
人の目線〜校舎のてっぺん
までの距離だ。
「地面」から「人の目線」までの距離
をたさないとね。。
ひとの目線の高さをたしてやると、
18 + 1.6
= 19.6 [m]
になる。
これが校舎の高さだ。
おめでとう！
これで縮図で校舎の高さを求められたね。
相似の利用の校舎の問題はどうだったかな？？
校舎の高さを2つの方法で計算できれば大丈夫。
テストに校舎の高さの問題がでても、相似を利用してやればどうにかなるのさ。
そんじゃねー
Ken
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
二次関数の変域の問題に出会いました。
関数y=x²について、xの変域が -2≦ｘ≦4 のとき、yの変域を求めなさい。
二次関数の変域・・・・？
変域って、
聞いたことあるな。。
でてきたもんね。
でも、
今回は2次関数。。
なんか違う気が・・・
おっ、
いいところに気づいた！
二次関数の変域のナゾ
を解き明かしていこう！
一次関数の変域って覚えてる？
わ、わすれた！！
二次関数の変域は違うの？
そう！
yの最大・最小値が
xの変域の端にならないことがある！！
へっ！？
なんで？？
それは、
グラフの形に秘密がある。
たとえば、
この二次関数のグラフ
y軸に左右対称だ！
1次関数のグラフとの違い
分かったかな？
はい！
このグラフだと、
ｙが0より小さくなること
はないですよね！
そう！
じゃあ、
比例定数の正負が
グラフにどう影響あたえる？？
一次関数だと、
比例定数の正負によって、
右上がり、
右下がりだった！
うん。
じゃあ、二次関数はというと、
↓を見比べてみて！！
ｙの変域が特殊。
0で一番小さいときと、
0が一番大きいときがある！！
よく気が付いた！
こっから本番！
練習問題をといてみよう。
関数y=x²について、xの変域が -2≦ｘ≦4 のときのyの変域を求めなさい。
ｙ＝ｘ²
の定数aは正負どっち？
aは1！
ってことは、
「正」だ！
そう！
簡単でも確認は大事
xの変域に、
0が入るかどうか
を確認すること。
これ、大事！！
なんでかって、グラフを見て！
ｘの変域に0が入るとやばい。
ｙの変域の最小が0になる！
そう！
さっきの問題の変域、
「-2≦ｘ≦4」
には0はいってる？？
入ってる！
絶対値が大きいほう
だよ。
念のため確認。
-2と4、
絶対値が大きいのは？
どっちだっけ・・・・・・
絶対値は、
正負関係なく、数字が大きいほど大きい
よ！
ってことは、
4だ！
xの変域に0がふくまれるときは、
絶対値が大きいxを代入する
って覚えよう！
はい！！
さっそく代入してみます。
絶対値が大きいxは4。
y=x²に代入すると、
4×4=16になる。
yの変域は、
0≦ｙ≦16かな！
二次関数の変域とけてるじゃん！
やっっったーあーーー！
二次関数の変域のポイントは、
グラフをかくこと。
これにつきるね。
グラフだと
わかりやすかった！！
でしょ？？
ここまでをまとめるよ。
【定数aの正負】→【xの変域に０が入るか】→【代入は絶対値が大きいほう】
変域が求められるといいね！
が、がんばります！
練習問題つくったよ！
解いてみよう！
【１】ｙ＝2ｘ²において、
【２】ｙ＝-ｘ²で、
ありがとうございます！
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
放物線に出会いました。
二次関数y=ax2のグラフ。。。
放物線？
ほーぶつせん
ほーぶつせん
ほーぶつせん
・・・・・
2次関数で
『ほーぶつせん』
が出てきたんだけど、
よくわからなくて。
なるほど！
『放物線』のことだね。
ひらがなだとわかりづらい。
漢字を見てみよう。
放る、物、線？
そうそう！
『放った物の線』
何か、物を放るの？？
そう！
例えば、
ボールを斜めに投げるとどう？
上がってから、降りてくる！
放ったボールみたいな曲線を
放物線
っていうんだよ。
身近でわかりやすい放物線っていうと、
『噴水』かな
あっ、先生！
あそこの噴水、
放物線に似てる！
放物線は身近にたくさんある！
放物線の特徴を見つけていこう！！
はい！！
曲線になってるとこ
だよ。
反比例のように分かれてもない！
二次関数の放物線は曲線になってるの！
じゃあ反比例と二次関数は一緒？
なるほど！
名前ついてるんだ！
2種類ある！
2種類しかないんだね
二次関数y=ax2の放物線は、
の2種類なんだよ。
なにがちがうんですかー？
ポイントは、
aの部分！
二次関数の比例定数だね。
aが0より小さいと噴水みたいになって、
噴水をひっくり返したみたいになるわけ。
じゃあ、次の特徴！
あっ、先生！
わたし、見つけた！！
ぬ！？
ｙ軸を折り目にして折ってみると、
ほら……！
ピッタリ！
いいとこに気づいた！
y=ax²の式は、
ｙ軸に対称になってるよ♪
他に放物線に特徴あるかな？？
yが0以上しかならないときと、
0以下しか出てこない時がある！！
そう！
a>0だとｙは0以上、
a<0だと0以下なんだ！
二次関数y=ax2の比例定数aをいじってみて。
いじる？？
大きくしたり小さくしてみてよ。
符号かえずにね。
あっ、放物線が閉じたり開いたりしてる・・・！？
そう！よく気付けた！
aの絶対値が大きいほど閉じたグラフになる。
小さいほど、開いたグラフになるんだ。
あっ、ほんとだ！
これで、5つ見つけられたね。
じゃあ、まとめておこう！
ありがとうございます！
これだけじゃない！探せば他にもきっとある！
目指せ、二次関数マスター！！
その歩みが今始まったのだ！！
がんばります！
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。徒歩はこころにいいね。
中学数学で二次関数をたくさん勉強してきた。
グラフの書き方とか、
比例定数の求め方とか、
変域の問題とか、
ほんといろいろ。
今日は最後のとりでの、
二次関数の利用を勉強していこう。
とくにテストにでやすい、
図形を移動させる文章問題
をいっしょにといていこうね。
さっそく問題をといてみよう。
練習問題
1辺の長さが5cm、10cmの直角三角形ABCがあります。
こいつと合同な直角三角形DEFがちょっと先においてあります。
△ABCを毎秒1cmの速さで△DEFにむかって動かします。
点BがDからEまで動くとプログラムされてます。
点Bが点Dにきてからx秒後の三角形が重なった部分の面積をy[cm^2]とするとき、
yをxの式であらわしてください。
あと、グラフとxの変域とかも答えてくれ。
つぎの3ステップで解けちゃうよ。
三角形が重なる部分をイメージしよう。
この面積がyになるはず。
想像できないと関数の式つくれないよね？
実際にイメージしてみるために、
2つの三角形をぐいっと近づけてみよう。
すると、2つの三角形が重なる黄色い部分ができるじゃん？？
イメージできれば第1ステップ終了。
三角形の面積は、
底辺×高さ÷2
だったよね？？
ってことは、重なった三角形の面積をだすには、
の2つが必要になるわけ。
ってことで、まずは底辺。
練習問題の辺DBの長さを求めればいいんだね。
BがDにきてからx秒後のね。
点BがDにきたときのDBの長さは0だ。
ここから、1秒間に1cmの速さで三角形は右に動いていくから、
x秒後には、
DB = x cm
になってるはず。
つぎは三角形の高さをだしてみよう。
BCとDFの交点をGとすると、2つの三角形が重なってできる三角形の高さは、
DG
だよね？？
この辺の長さは、
△ABCと△DBGが相似ってことをつかえば求められる。
なぜ、こいつらが相似な関係にあるのかというと、
っていうかんじで、
2つの角がそれぞれ等しい
っていう相似条件をみたしてるからなんだ。
AB:AC = 2:1でなおかつ、
△ABCと△DBGは相似だね。
よって、
AB:AC
= DB: DG = 2: 1
x : DG = 2:1
DG = 1/2 x
になるね。
三角形の「底辺」と「高さ」が求められたね。
あとは、
三角形の面積を計算するだけ。
重なった部分の三角形、つまり、
△DBGの面積は、
底辺×高さ÷2
= DB ×DG÷2
= x × 1/2 x ÷2
= 1/4 x^2
になるね。
重なった三角形の面積がyだったから、
y = 1/4 x^2
になるわけね。
重なった部分の面積ゲットーーー！おわたーーーー！
ってなるのははやい。
まだ、1つだけやることが残ってるんだ。
それは、
グラフをかくこと
だ。
まずは、
xの変域を求めてみよう。
今回の問題では、BがDに重なってからの秒数をxとしてたね？？
ってことは、
xは負の数はありえない。
つまり、
x ≧ 0
だよね？？
んで、BはEまでしか進めないことになってるから、
x ≦ 10
なはず。
よって、xの変域は、
0≦x≦10
になるね。
xの変域をもとにグラフかいてみようか。
x・y座標が整数になる点
をうてばいいね。
二次関数のグラフの書き方がわからんときは復習してね。
二次関数のグラフのかきかたの基本は、
座標をうちまくって雰囲気で放物線をかく
だったね？？？
1メモリが1の座標に点をうちこんでやるんなら、
の4点でいい。
この点をうって、それっぽい放物線をかいてやると、
こうなるはず↓↓
xが0より小さい場合は点をうったり線をかいたりしちゃダメだよ。
これで文章問題の問いにすべて答えることができたね。
おめでとう！
二次関数の利用の図形の問題はどうだったかな？？
図形の公式通りに等式をたてればいいんだ。
あとはxの変域を間違えないようにね。
そんじゃねー
Ken
