二次関数の利用の図形の問題の解き方がわからん！

こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。徒歩はこころにいいね。

 

中学数学で二次関数をたくさん勉強してきた。

グラフの書き方とか、

比例定数の求め方とか、

変域の問題とか、

ほんといろいろ。

 

今日は最後のとりでの、

二次関数の利用を勉強していこう。

 

とくにテストにでやすい、

図形を移動させる文章問題

をいっしょにといていこうね。

 

 

二次関数の利用の図形の文章問題がわかる3ステップ

さっそく問題をといてみよう。

 

---

練習問題

1辺の長さが5cm、10cmの直角三角形ABCがあります。

こいつと合同な直角三角形DEFがちょっと先においてあります。

△ABCを毎秒1cmの速さで△DEFにむかって動かします。

点BがDからEまで動くとプログラムされてます。

 

 

点Bが点Dにきてからx秒後の三角形が重なった部分の面積をy[cm^2]とするとき、

yをxの式であらわしてください。

あと、グラフとxの変域とかも答えてくれ。

---

 

つぎの3ステップで解けちゃうよ。

 

 

Step1. 重なる部分をイメージする

三角形が重なる部分をイメージしよう。

この面積がyになるはず。

想像できないと関数の式つくれないよね？

 

実際にイメージしてみるために、

2つの三角形をぐいっと近づけてみよう。

 

すると、2つの三角形が重なる黄色い部分ができるじゃん？？

 

 

イメージできれば第1ステップ終了。

 

 

Step2. 底辺をだす

三角形の面積は、

底辺×高さ÷2

だったよね？？

ってことは、重なった三角形の面積をだすには、

• 底辺
• 高さ

の2つが必要になるわけ。

 

ってことで、まずは底辺。

練習問題の辺DBの長さを求めればいいんだね。

BがDにきてからx秒後のね。

点BがDにきたときのDBの長さは0だ。

 

ここから、1秒間に1cmの速さで三角形は右に動いていくから、

x秒後には、

DB = x cm

になってるはず。

 

 

Step2. 高さをだす

つぎは三角形の高さをだしてみよう。

 

BCとDFの交点をGとすると、2つの三角形が重なってできる三角形の高さは、

DG

だよね？？

 

 

この辺の長さは、

△ABCと△DBGが相似ってことをつかえば求められる。

 

 

なぜ、こいつらが相似な関係にあるのかというと、

• 角ABC = 角DBG
• 角CAB = 角GDB = 90

っていうかんじで、

2つの角がそれぞれ等しい

っていう相似条件をみたしてるからなんだ。

 

 

AB:AC = 2:1でなおかつ、

△ABCと△DBGは相似だね。

 

よって、

AB:AC

= DB: DG = 2: 1

x : DG = 2:1

DG = 1/2 x

になるね。

 

 

 

Step3. 三角形の面積を計算する

三角形の「底辺」と「高さ」が求められたね。

あとは、

三角形の面積を計算するだけ。

 

重なった部分の三角形、つまり、

△DBGの面積は、

底辺×高さ÷2

= DB ×DG÷2

= x × 1/2 x ÷2

= 1/4 x^2

になるね。

 

 

重なった三角形の面積がyだったから、

y = 1/4 x^2

になるわけね。

 

 

せっかくだからグラフと変域も求めようか。

重なった部分の面積ゲットーーー！おわたーーーー！

ってなるのははやい。

まだ、1つだけやることが残ってるんだ。

それは、

グラフをかくこと

だ。

 

 

xの変域を求めてみる

まずは、

xの変域を求めてみよう。

今回の問題では、BがDに重なってからの秒数をxとしてたね？？

 

ってことは、

xは負の数はありえない。

つまり、

x ≧ 0

だよね？？

 

んで、BはEまでしか進めないことになってるから、

x ≦ 10

なはず。

よって、xの変域は、

0≦x≦10

になるね。

 

 

二次関数のグラフをかいてみる

xの変域をもとにグラフかいてみようか。

x・y座標が整数になる点

をうてばいいね。

二次関数のグラフの書き方がわからんときは復習してね。

 

二次関数のグラフのかきかたの基本は、

座標をうちまくって雰囲気で放物線をかく

だったね？？？

 

1メモリが1の座標に点をうちこんでやるんなら、

• （6, 9）
• （4, 4）
• （2, 1）
• （0, 0）

の4点でいい。

この点をうって、それっぽい放物線をかいてやると、

こうなるはず↓↓

 

 

xが0より小さい場合は点をうったり線をかいたりしちゃダメだよ。

 

これで文章問題の問いにすべて答えることができたね。

おめでとう！

 

 

まとめ：二次関数の利用の図形の文章問題は変域が大事

二次関数の利用の図形の問題はどうだったかな？？

図形の公式通りに等式をたてればいいんだ。

あとはxの変域を間違えないようにね。

そんじゃねー

Ken