乱数さいの使い方がわからん！！こんにちは！この記事を書いているKenだよ。エンジンに着火したね。
標本調査では、母集団から標本を「ランダムに」取り出さなきゃいけないよね？？
ランダム、
つまり、
無作為にどうやって標本を選べばいいんだろうね？
じつは、母集団から標本を無作為に抽出する方法の1つに、
っていう特殊なサイコロを使う方法があるんだ。
今日はこの「乱数さい」っていうアイテムの使い方をわかりやすく解説してみたよ。
よかったら参考にしてみてね。
= もくじ=
まず、
乱数さいってどんなやつ？？
ってことからみていこうね。
乱数さいは、
0から9までの10つの数字が2つずつ書かれた特殊なサイコロ
のこと。
このサイコロは、出る目の確率を全部等しくするために、
正二十面体
になっているんだ。
普通のサイコロだと1~6までの6つの数字しか書いてないし、
0~9の数字を1面ずつに書いたサイコロだと、正多面体じゃないから出る目の確率を平等にするのは難しい。（実際にあるみたいだけどね）
だから、0~9までの10つの数字を2つずつ書いた正二十面体が採用されてることが多いんだ。
それじゃあ、
乱数さいってどう使うんだろうね？？
使い方はいたって簡単。
乱数さいをね、ふればいいんだ。
ころっとね。
たとえば、0~100までの数字をランダムに選びたいときは、
乱数さいを2回ふればいい。
すると、
っていう感じで0~9までの数字が2つゲットできるね。
もし、
だったら、ランダムに乱数さいを使ってランダムに選んだ数は、
92
になるってわけ。
乱数さいを使って、実際に母集団から標本を無作為に抽出してみよっか。
そうだなあ、シチュエーションとしては、
0~100までの出席番号の生徒からランダムに3人選ばなきゃいけない場面を想像してみて。
まず、乱数さいを1回振ってみると、
0
つぎは、
9
。
2つの数字を組み合わせると、
09
だね。
ってことで、「出席番号9番」の生徒を選べばいいわけ。
同じように乱数さいを2回ずつ振ってみると、
っていう4つの数字をゲットできた。
ってことは、今回ランダムに抽出できた生徒の出席番号は、
の3つだ。
この3つの出席番号に該当する生徒は、
の3人。
調査に協力してね！
乱数さいを使えば、母集団から標本を好きなだけ取り出せるね。
まあ、乱数さい振り続けるのは面倒だけどねw
乱数さいの他にも無作為に抽出する方法として、
なんて方法があるよ。
よかったら試してみてね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いてるKenだよ。キーボード強打したね。
標本調査の問題でよく出てくるのは、
標本のデータから母集団を推測する
っていうタイプね。
たとえば、つぎのような問題。
練習問題
Aさんが通う中学校では好きなテレビ番組のアンケート調査が行われました。
全校生徒1200人のうち、100人を無作為に抽出して行った調査では、
17人がアニメ「フニャッとモンスター」を視聴していました。
それでは、実際に全校生徒のうち何人が「フニャッとモンスター」をみたと推測できますか？
今日はこの標本問題の解き方をわかりやすく解説していくよ。
よかったら参考にしてみて。
標本問題の問題の解き方の基本は、
ある性質を持っている「もの」や「人」が含まれる比率が「母集団」と「標本」で等しい
っていう式を作ればいいんだ。
たとえば、さっきの練習問題でいうと、
無作為に抽出した100人の中で「フニャッとモンスター」を視聴した人が含まれる比率
と
全校生徒1200人の中で「フニャッとモンスター」をみた人の割合
が等しいっていう比例式を作るのさ。
えっ。全然ピンとこないだって？
それじゃあ、さっきの練習問題を一緒に解いていこうか。
練習問題
Aさんが通う中学校では好きなテレビ番組のアンケート調査が行われました。
全校生徒1200人のうち、100人を無作為に抽出して行った調査では、
17人がアニメ「フニャッとモンスター」を視聴していました。
それでは、実際に全校生徒のうち何人が「フニャッとモンスター」をみたと推測できますか？
つぎの3ステップで問題が解けちゃうよ。
問題で求めたいものをxとおいてみよう。
白玉の数を求めたかったら、白玉の数をx個、
腐ったミカンの数を知りたかったら、腐ったミカンをx個とすればいいわけね。
今回の練習問題では、
全校生徒の中で「フニャッとモンスター」をみた人数
を求めたかったよね？？
だから今回は、
全校生徒の中で「フニャッとモンスター」をみた人数 = x人
とおいてみたよ。
つぎは比例式をつくってみよう。
標本調査の問題でつくる比例式はだいたい、
（母集団での比率）＝（標本での比率）
ってすればいいよ。
今回の練習問題でいうと、
（全校生徒の中で番組をみた比率）＝（100人の中で番組をみた比率）
っていう式をたてるんだ。
全校生徒の中で「フニャッとモンスター」をみた人数 をx人としたから、
（全校生徒数）： （みた人数）＝ （無作為に選んだ100人）：（番組をみた17人）
1200 : x = 100 : 17
っていう比例式が完成するね。
あとは比例式をとくだけ。
えっ。
比例式の解き方がわからない？？
比例式の解き方の基本は、
内項と外項の積
だったね？？
ようは、「内側にあるもの」と「外側にあるもの」同士をかけて等式にすればいいんだ。
＞＞詳しくは「比例式の解き方」を読んでみてね。
練習問題でできた比例式は、
1200 : x = 100 : 17
だったね？
こいつを内項の積・外項の積で解いてやると、
1200 : x = 100 : 17
100x = 1200×17
x = 204
ってなるね。
つまり、この標本調査から全校生徒1200人のうち、だいたい204人が「フニャッとモンスター」をみたんじゃないか？
って推測できるんだ。
全校生徒にアンケート取らずに、100人にアンケートしただけだから、かなり楽になってるね。
標本調査って早くて便利。あくまでも推測でしかないけどね。
標本調査の問題の解き方はどうだったかな？？
つぎの3つのステップで簡単に解けるってわかったね。
定期テスト前によーく復習しておこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。フォルダは怖いね。
中3数学の標本調査を勉強していると、
っていう2つの言葉が出てくるよね？？
母集団っていう漢字むずかしいし、
標本とか言われても昆虫の標本しか思い浮かばない・・・・
そこで今日は、
母集団と標本の意味をわかりやすく解説してみたよ。
よかったら参考にしてみて。
さっそく、母集団と標本の意味を解説していこう。
母集団と標本は「標本調査」っていう、ある集団・グループの性質を調べる方法で使われる言葉なんだ。
＞＞詳しくは「全数調査・標本調査の違い」をみてね
標本調査とは簡単に言ってしまうと、
グループの一部だけをランダムに選んで調べて、全体の性質を推測する
っていう方法だったよね？
たとえば、八百屋さんにおかれている大根の性質を調べたいとしようか。
このとき、八百屋さんにおいてある大根をすべて調べるんじゃなくて、
一部の大根だけを調べて、ぜんぶの大根の性質を推測するのが「標本調査」なんだ。
んで、母集団とは、
標本調査をしたときに調べたグループ全体
のことだよ。
さっきの例でいうと、八百屋さんの大根ぜんぶのことね。
一方、標本とは、
標本調査をしたときにグループから取り出した一部のこと
なんだ。
さっきの例でいうと、
八百屋さんの大根から選んだいくつかの大根のことね。
こんな感じで、
標本調査で調べるグループ全体のことを「母集団」、
調べるためにピックアップしたやつらを「標本」っていうんだ。
テストに出やすいから頭の片隅に置いておいてね。
もっと母集団と標本の理解を深めるために、3つの標本調査の例を見てみよっか。
テレビ番組の視聴率を調べる方法は、標本調査を使ってるよ。
テレビの視聴率はざっくりいうと、
「日本全国のテレビ視聴率」を調べるために、いくつかの世帯をランダムにピックアップして視聴状況を調べているんだ。
この標本調査の場合、母集団は、
日本に住んでいる人たち
で、
標本は、
視聴率計測に選ばれた世帯
ってことだね。
つまり、テレビの視聴率は日本の全部のテレビの視聴状況をぜーんぶ調べてるわけじゃないってことね。
全部調べるの大変そうだもんね。
つぎは、あんぱんの製造工場での品質検査。
工場で作っているあんぱんの数はおよそ数千。
ぜんぶのあんぱんを調べた方が安全だけど、一度調べたあんぱんは商品として扱われなくなっちゃうんだ。
なぜなら、検査するためには薬品を使ったり、パンを切り刻んだりするからね。
ぜんぶ調べてたらあんぱんを全然出荷できなくなっちゃうじゃんね。
そこで、あんぱんの品質検査では標本調査を使うよ。
つまり、
作ったぜんぶのあんぱんの品質を検査するために、一部のあんぱんをランダムに選んで調査する
ってわけ。
この標本調査の例でいうと、
「作ったぜんぶのあんぱん」が「母集団」、
検査のためにピックアップした一部のあんぱんを「標本」というんだ。
つぎは中学生の学習状況調査。
日本全国の中学生がどれくらい勉強しているのかを調べちゃうってわけね。
日本全国の中学生全員にアンケート取るのが一番正確だけど、
全員に聞きまくっていたら骨が折れまくるよね。
だから、
一部の中学生をランダムに選んで調査するんだ。
この標本調査では、
日本全国の中学生が「母集団」で、
調査のためにテストを受けてもらう中学生たちを「標本」というんだ。
母集団と標本の意味はピンときたかな？？
こいつらは標本調査で使う用語で、
のことね。
標本調査の具体例を実際に考えてみて、
母集団と標本はどれなのか？？
って考える癖をつけてみてね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いてるKenだよ。背骨をリセットしたいね。
あるグループや集団について調査したいとき、
君ならどうする？？
たとえば、
クラスで人気のYoutubeチャンネルを調べたいときとか、
ね。
たぶん、いろいろあると思うんだ。
じつは数学界ではグループを調べる方法は2つあるんだよ。
ざっくり言っちゃうと、
全数調査は「調べたいグループ内のすべての奴らをしらべる方法」で、標本調査は「グループの中からいくつかのやつを選んで調査する方法」なんだ。
この2つの調査方法を表にまとめてみたよ。
| 使うとき | メリット | デメリット | |
|---|---|---|---|
| 全数調査 |
|
調べた結果は真実 | めんどくさい。金と時間かかる |
| 標本調査 |
|
早くて安い調査方法 | あくまでも推測 |
今日はこの、
全数調査と標本調査の違いをくわしく勉強していこう。
まず1つ目の調べ方は、
全数調査
ってヤツね。
これは、
あるグループに入ってる人や物をすべて調べる
っていう調査方法なんだ。
たとえば、 グループ1っていう集団の中に、
の5人がいたとしよう。
こいつらの何かを調べたいときに、
の5人ぜんぶ調べるのが全数調査なんだ。
でもさ、
いつもグループのぜんぶのデータを調べたら疲れちゃうよね？
だから、全数調査はつぎの2つのときに使うことが多いよ。
グループに属しているすべてのやつらを調べなきゃいけないとき。
こういうときは文句言わず、
全数調査
を採用しよう。
たとえば、
クラスの健康診断。
学校であるよね？？
体重や身長を測ったり、視力をチェックしたりするヤツ。
あれは全数調査で、クラス全員の健康状態を調べなきゃいけないんだ。
なぜなら、
クラス全員の健康状態をチェックする必要があるからね。
クラスのみんなのほとんどが健康っていうよりも、
クラスのみんなが一人漏らさず健康であることの方が重要なんだ。
こういう風に、グループ内のデータをすべて調べなきゃいけないときは、
全数調査を使うよ。
【その2. グループに入ってるやつの数が少ないとき】
グループの大きさがすごく小さいときにも全数調査を行うね。
たとえば、家族の3人が好きなテレビ番組を調査するときとかね。
この場合、
家族っていうグループが全部で3人しかいないから、全員調べるのは超楽勝。
こういうときは全数調査でグループを調べよう。
えっ。全数調査にいいところはあるのかって？？
そうだね。
じつは全数調査にはつぎの2つのメリットがあるんだ。
全数調査ではグループ内のすべてのものや人のデータを取るから、
データはすべて真実。
データの取り間違いとかはあるかもだけど、本当に全部調べちゃうから推測とかがまるでない。
100%真実なんだ。
全数調査は、グループの全員のデータを取るから、
むちゃくちゃ情報量が多いね。
ゲットできる情報が多くていろんなことを考えることができるんだ。
でも、全数調査にもよくないところがあるよ。
それは、
調べるのがむちゃくちゃ大変
ってこと。
グループのサイズが大きければ、すべてのデータを調べるのは至難の技。
金がかかるし、
時間もかかって、
調査自体が遅くなっちゃうんだ。
日本国勢調査って言って、日本に住んでる人のデータを全部調べる全数調査を行なっているんだけど、
この調査を終わらせるためには、
すごい時間がかかるよね？
日本には1億人以上住んでるからまじ骨が折れそうだ。
だけど、日本に住む全世帯のデータを調べなきゃいけないから、金と時間をかけてでも全数調査を行なっているわけだね。
こんな感じで、
全数調査にもデメリットがあるってことを頭に入れておいくれ。
つぎは、
標本調査。
標本調査とはズバリ、
グループの一部の奴らを無作為にピックアップして調べる
っていう方法なんだ。
たとえば、 グループの中に、
っていう5人がいたとしたら、そのうちの2人をランダムに選んで、
になったとしよう。
この二人のデータを調べて、グループ1の性質を推測するって方法が、
標本調査なんだ。
標本調査はつぎの2つのときに役に立つよ。
グループの中の全員調べたいけど、調べるのがめんどくさいとき。
こういうときは、
標本調査を使うよ。
たとえば、テレビの視聴率を調べるときかな。
テレビの視聴率を調べるためには、
見る人の性別や年齢、家族構成などのデータを集める必要があるよね？
あと、視聴率を計測する機械も取り付けなきゃいけない。
これを日本の全国民に対してやっていたら日が暮れちゃうわけだ。
そこで、こういう面倒なときは、
一部の人をランダムに選んで調べるんだ。
テレビの視聴率はランダムにピックアップした世帯がみている番組の視聴時間を調べているよ。
これによって、
その番組が日本でどれくらい見られているのか？
ってことを推測してるんだよ。
つぎは、
グループの中の奴らを全部調べてはいけないときね。
「えっ。そんなときある？？」
って思うかもしれないけど、結構あるんだ。
たとえば、牛乳の製造工場で給食の牛乳の品質を調べるとき。
こういうときは標本調査を使うよ。
なぜなら、
全部の牛乳を調べたら、学校のみんなが飲む牛乳がなくなっちゃうからね。
牛乳をチェックするときには薬を入れたり、
スプーンを入れたり、
温度計を入れたり、
加熱したりと、
牛乳をガンガンいじりまわすから、一度調査した牛乳はもう飲めなくなっちゃう。
だから、全部は調べちゃいけないってわけ。
こういうときは一部の牛乳だけを選んで調べて、全部の牛乳の品質をチェックするんだ。
標本調査のいいところってズバリ、
早くて安いところ。
グループ内の全部のデータを調べなくていいから、手間がかからないんだ。
グループの大きさがでかいときにこの調査方法は有効だ。
標本調査のよくないところは、
調査結果があくまでも推測でしかない
ってこと。
グループの中の全員について調べてるわけじゃないからね。
全員について調べた場合の全数調査と、
一部だけを調べて推測した標本調査では結果がちょっと異なるはずなんだ。
完全にぴったり一致してるデータは得られないってわけ。
テレビの視聴率もそうで、
あれも完璧に正確な視聴率ってわけじゃない。
あくまでも推測でしかないのが標本調査のデメリットだ。
全数調査と標本調査の違いはどうだったかな？？
最後に違いを表で復習しておこう。
| 使うとき | メリット | デメリット | |
|---|---|---|---|
| 全数調査 |
|
調べた結果は真実 | めんどくさい。金と時間かかる |
| 標本調査 |
|
早くて安い調査方法 | あくまでも推測 |
標本調査の基本的なところだから、テスト前に復習しておいてね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いてるKenだよ。ビタミンEが欲しいね。
図形の相似を勉強していると、
相似の中心
という言葉が出てくるよね？？
相似って言葉でもちょっと怪しいのに、それの中心？？
ちょっとね、正直わけがわからない。
そこで今日は、相似の中心を使って拡大図をかく方法をわかりやすく解説してみたよ。
よかったら参考にしてみてね。
つぎの5つのステップで拡大図がかけちゃうんだ。
試しに、つぎの△ABCの2倍の拡大図をかいてみようか。
まず相似の中心を決めよう。
問題ですでに相似の中心がかかれているときは飛ばしてもいいよ。
△ABCではまだ相似の中心がなかったよね？？
だから、適当にポチッと点を打ってあげてね。
これが第一ステップ。
つぎは、「図形の頂点」と「相似の中心」を直線で結んでみよう。
相似の中心をOとすると、
の線分を引けばいいってことね。
点を結ぶだけだから楽勝だぜ。
「相似の中心」と「頂点までの距離」を測ってみよう。
さっきかいた線分の長さを測るだけ！
定規でさっきの線分の長さを測ってみると、
になった！！
えっ。都合が良すぎるって？！
これはしょうがない。
定規で測ったらこうなったんだもん。
つぎは「倍率の分だけ」線分を伸ばしてみよう。
3倍の拡大図なら3倍、
100倍の拡大図なら100倍に伸ばしてみればいいんだ。
△ABCでは2倍の拡大図をかきたかったから、
をそれぞれ2倍に伸ばしてみよっか。
伸ばした線分の先っちょをそれぞれ、
とするよ。
最後に、新しくできた頂点を結んでみよう。
結んでできた図形が拡大図だよ。
△ABCの例でいうと、
を結んでやればいいね。
新しくできた△A’B’C’が△ ABCの2倍の拡大図だ！
こんな感じで、
「相似の中心」から「各頂点までの距離」の比が等しいとき、
2つの図形は、
相似の位置にある
っていうんだ。
んで、相似の位置にある図形たちは相似になっているよ。
今回の例でいうと、
△ABCと△ A’B’C’は相似の位置にある
って言えるわけね。
なぜなら、
になっていて、相似の中心Oから各頂点までの距離の比が等しくなってるからね。
でもなぜ、相似の位置にある図形同士が相似なんだろうね？？
その理由は、
平行線と線分の比を使うとわかるよ。
さっきの例でいうと、△OA’B’と△OABに注目してみて。
OA: OA’ = OB : OB’ = 1 :2
になってるよね？？
しかも、
∠AOBは共通。
「2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」っていう相似条件が使えるから、
この2つの三角形は相似になってるわけだ。
対応する辺の比が等しいはずだから、
AB : A’B’ = 1 :2
になるね。
こんな感じで他の辺に対しても同じようにやってみると、
になってるんだ。
よって、△ ABCと△ A’B’C’の3組の辺の比が1:2でそれぞれ等しいから、
△ ABC∼△ A’B’C’
が言えるんだ。
どう？ちょっとスッキリしたかな？
相似の中心を使ってしまえば、拡大図のかきかたも簡単。
の5ステップでいいんだ。
相似の中心を使いまくるのもいいけど、
なぜ、相似の中心を使えば拡大図がかけるのか？
ってこともおさえておいてね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！Dr.リードだぞいっ。
今回のテーマは三平方の定理（ピタゴラスの定理）だ。
聞いたことあるかな？
紀元前572年ごろのギリシア人のピタゴラスさんが発見したから「ピタゴラスの定理」っていうんだな。
今日はその三平方の定理（ピタゴラスの定理）の使い方じゃなくて、
なぜ、三辺平方の定理が使えるのか？を証明していくぞ。
三平方の定理の証明法は100以上、いやもっとそれ以上あるといわれている。
中でも、中学生にも分かりやすい4つの証明を紹介していくぞ。
今回は姉上といっしょに三平方の定理（ピタゴラスの定理）の証明をみていこう。
まず1つ目の証明は、
小さな直角三角形二等辺三角形
を使った証明だ。
直角三角形を4枚合わせると、
正方形になるよな？
んで、この正方形をもっとつなぎ合わせると、もっとでかい四角形ができるね。
この証明では、パッチワークみたいな感じで、小さい直角二等辺三角形を使っていくぞ。
まずは、中ほどにピンクの生地8枚使って、直角三角形を作ってくだされ。
ついでに３種類、イエロー、パープル、ミントグリーンも使って、ピンクの三角形の各辺がくっついた正方形を作ってくだされ。
それぞれの色にふくまれる直角二等辺三角形の数を数えてみよう。
「黄色の枚数」と「パープル＋ミントグリーン」の枚数が一緒ってことに気づくかな？
黄色い正方形の1辺をb、
パープル・ミントグリーンの正方形の1辺をaとすると、
b² = a² + a²
になってるはずだね。
このことから、
赤の直角二等辺三角形の斜辺の2乗が、他の2辺の2乗の和になってる
って言えるね。
おお、これって三平方の定理じゃん！！
つぎの三平方の定理（ピタゴラスの定理）証明は、
の2つを使っていくよ。
こんな感じのパッチワークを想像してくれ。
これの一番基本となるピースに注目。
今回は、この、
が合体して正方形になってる図形を使っていくんだ。
1つの直角三角形の辺の長さをそれぞれ、
としてやろう。
まず、下のようにピンクの三角形を右下へ動かしてみる。
つぎは、水色の三角形を左下へ動かしてみる。
ここで、こいつを2つの正方形、
に分けてみると、
こいつの面積は、
a² + b²
になるよね？
んで、もともとは1辺がcの正方形だったはずだから、
c² = a² + b²
っていう式が成り立つね。
ここで、左上の基本のピンクの直角三角形に注目てしてみて。
cは斜辺、aとbはその他の2辺の長さになってるよね？
おお、みごと、三平方の定理の式になりました。
つぎの三平方の定理（ピタゴラスの定理）の証明は、
正方形を2つ使うパターン。
の2つの正方形をイメージしてみよう。
こいつをこんな風に重ねてみた。
それぞれの面積を出すと、
真ん中の黄色い正方形は、青い正方形から4つの直角三角形を引いたものだから、
c² = (a+b)² -2ab
c² = a²+2ab +b² -2ab
c² = a²+b²
1つの直角三角形でみると、
cは斜辺でaとbはその他の辺だね。
おお、これも見事三平方の定理の式になったぞ。
相似の証明を使って、三平方の定理を証明することもできるんだよ。
つぎのような直角三角形△ABCがある。
Bから辺ACに垂線を下ろし、交点をDとするね。
AD = x 、DC = y としておく。
見やすいように図形をバラバラにすると、
相似な三角形が3個も隠れてるんだ。
△ABCと△ADBについて、
仮定より、
∠ABC = ∠ADB = 90°・・・①
また、
∠CAB = ∠BAD（共通）・・・②
①②より、
2組の角がそれぞれ等しいので、
△ABC∼△ADB
よって、対応する辺の比はそれぞれ、
c : a = a : x
a² = cx・・・③
になる。
また、
△ABCと△BDCについて、
仮定より、
∠ABC = ∠BDC = 90°・・・④
また、
∠CAB = ∠BAD（共通）・・・⑤
④⑤より、
2組の角がそれぞれ等しいので、
△ABC∼△BDC
よって、対応する辺の比はそれぞれ、
c : b = b : y
b² = cy・・・⑥
になる。
③+⑥を計算すると、
a² + b² = cx + cy
a² + b² = c (x + y)
a² + b² = c²
おお、これも見事三平方の定理の式になったぞ。
三平方の定理（ピタゴラスの定理）の証明はどうだっかな？
勉強したのは4つだったね。
しっくりきたやつを覚えておこう。
ピタゴラスは数学者じゃなくて、ピタゴラス学派っていうギリシャの宗教教団のリーダーだったんだ。
数学者・哲学者・音楽家と様々な顔を持っていたらしいよ。
なかなかやるな、ピタゴラス。
それじゃあ！
Dr.リード
こんにちは！この記事をかいてるKenです。良薬は苦しだね。
直角三角形の辺の比の問題でよく出てくるパターンの1つに、
3: 4: 5の直角三角形
っていうのがあるんだ。
これは文字通り、
3つの辺の比が3:4:5になってる直角三角形のことね。
たとえば、辺の長さが、
になってる直角三角形。
辺の長さの比を取ってみると、
30000 : 40000 : 50000
= 3 : 4 :5
になってるでしょ？？
今日はこんな感じで、
3:4:5の直角三角形の辺の長さを求める問題
の解き方紹介していくよ。
よかったら参考にしてみてね。
3:4:5の直角三角形の辺の比の問題は3種類あるよ。
一つ目のパターンは、
斜辺以外の辺の比が3:4の問題だね。
直角三角形の辺の比を使えば、三平方の定理より早く解けちゃうんだ。
たとえば、つぎのような練習問題ね。
練習問題
直角三角形の辺の長さxを求めなさい。
直角三角形の斜辺以外の辺の比をみてみると、
9 : 12
= 3 : 4
になってるよね？？
ってことは、これは紛れもなく3:4:5の直角三角形。
この手の問題では、
「1番小さい辺の長さ」に3分の5をかければ斜辺の長さを計算できるんだ。
なぜなら、
（斜辺の長さ）：（1番小さい辺の長さ）= 5 : 3
になってるはずだからね。
ってことで、1番小さい辺の「9 cm」に3分の5をかけてやると、
9× 5/3
= 15 cm
に斜辺はなるね。
三平方の定理を使うより早くて簡単だ。
つぎは「斜辺」と「その他の辺」の比が5:4の問題ね。
練習問題
つぎの直角三角形の辺の長さxを求めなさい。
この問題では、「斜辺」と「もう1辺の長さ」の辺の比が、
100 : 80
= 5 : 4
になってるよね？？
ってことは、直角三角形の辺の比は3:4:5になるはずだから、
「斜辺の長さ」に5分の3をかければ残りの辺の長さを計算できちゃうね。
ってことで、残りの辺の長さxは、
x = 100×5分の3
= 60 cm
になるね。
最後は、「斜辺」と「その他の辺」の比が5:3になってる問題ね。
たとえば、つぎのようなやつ。
練習問題
つぎの直角三角形の辺の長さxを求めなさい。
直角三角形の「斜辺」と「その他の一辺の長さ」の比を出してみると、
35 : 21
= 5 : 3
になってるよね？
ってことはこの直角三角形も3:4:5のタイプ。
斜辺と残りの辺の長さの比は、
5: 4
になってるはずだから、斜辺に5分の4をかければ辺の長さが出てくる。
実際に計算してみると、
x = 35×4/5
= 28 cm
になるね。
辺の比が3:4:5の直角三角形の問題はどうだったかな？？
全部で、
の3パターンあったけど、やってることは全部一緒。
3:4:5の辺の比を使って分数の掛け算すればいいのさ。
コツは、
辺の比が3:4:5になってることをいかに早く見つけるか
だ。
問題をたくさんといて解き方に慣れていこう。
そんじゃねー
Ken
みんな元気？「そら」だよ(^_-)-☆
今日は中学3年生で勉強する、
「2乗に比例する関数」
にチャレンジしていくよ。
この単元ではいろいろな問題が出てきて大変なんだけど、
まずは、一番基礎の、
2乗に比例する関数とは何もの？？
を振り返っていこうか。
=もくじ=
中学3年生で勉強する関数は、
y = ax²
ってヤツだよ。
1年生で習った比例y=axの兄弟みたいなもんだね。
xが2乗されてる比例の式だ。
この関数にあるxを入れてやると、
2乗されて、それにaをかけたものがyとして出てくるんだ。
たとえば、aが6の場合の、
y = 6x²
を考えてみて。
このxに「3」を入れてみると、
「3」が2回かけられて、そいつにaの「6」がかかるとyになるよね？
だから、x = 3のときは、
y = 6×3×3 = 54
になるね。
こんな感じで、
関数がxの二次式になっている関数を、
2乗に比例する関数
って呼んでいるんだ。
2乗に比例する関数って形がすごいシンプル。
覚えなきゃいけない言葉も少ないんだ。
たった1つでいいよ。
それは、
っていう言葉。
これは中1で勉強した比例の「比例定数」と同じだよ。
2乗に比例する関数の中で、
xがいくら変化しても変わらない数を、
比例定数
って呼んでるんだ。
y=ax²
の関数の式だったら、
a
が比例定数に当たるよ。
y = 6x²
だったら、「6」が比例定数ってわけだね。
問題でよくでてくるから、
2乗に比例する関数の比例定数をいつでも出せるようにしておこう。
じゃ、2乗に比例する関数のグラフを描いてみよう！
y = ax²のa、x、 yを表にまとめてみよっか。
比例定数aの値が、
の4パターンの時のグラフをかいてみるね。
＞＞くわしくは二次関数のグラフのかき方の記事を読んでみてね。
まず、xとyが整数になる時の値を考えてみると、
こうなる。
これを元に二次関数のグラフをかいてやると、
こうなるよ。
なんか山みたいでしょ？
こういうグラフを「放物線」と読んでるんだ。
グラフの特徴としては、
っていうのがあるよ。
＞＞くわしくは放物線のグラフの特徴の記事を読んでみてね。
2乗に比例する関数はどうだったかな？
基本は1年生のときの比例と変わらないよね？
おさえておくべきことは、
の3つ。
基礎をしっかり復習しておこう。
そんじゃねー
そら
やあ、 Dr. リードだよ！！
今日は平行線にはさまれた線分の比の定理を証明するよ。
つぎの2つの定理を証明していくんだ。
△ABCの辺AB・AC上の点をそれぞれP・Qとするとき、
ところで、今日はケーキを用意したぞ。
最近よく頑張ってるみたいだし。
ごほうびだ。
ちょっと注目して欲しいんだけど、
スポンジとクリームが見事な平行線をつくってるだろ。
「クリーム」と「スポンジの切り口」の長さは左側でも右側でも、
それぞれ一緒だろ？
よ～く目に焼き付けといてくれよ。
平行線と線分の比の定理を忘れそうになったときは、
カットしたケーキをイメージしてくれよな。
さっそく、2つの定理の証明をしていくぞ。
平行線と線分の比の証明の1つめ。
△ABCの辺AB・AC上の点をそれぞれP・Qとするとき、
PQ//BCならば、 AP:AB = AQ : AC = PQ : BC
こいつはズバリ、
で2つの三角形の相似を証明をしていけばいいのさ。
以下、証明な↓↓
△ＡＢＣと△ＡＰＱにおいて、
ＰＱ∥ＢＣなので、
∠ＡＢＣ ＝ ∠ＡＰＱ （平行線の同位角は等しい）①
∠ＡＣＢ ＝ ∠ＡＱＰ （平行線の同位角は等しい）②
①・②より、
２つの三角形の２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ ∽ △ＡＰＱ
よって、ＰＱ∥ＢＣならば、
AP：AB ＝ AQ：AC ＝ PQ：BC である。
2つの三角形の相似を証明するだけだから簡単だね。
つぎは2つ目の平行線と線分の比の証明だ。
△ABCの辺 AB、AC上の点をそれぞれ点をP・Qとするとき、
PQ // BCならば、
AP : PB = AQ : QC
を証明していけばいいんだね。
まず、補助線を引くぞ。
点Ｐを通り辺ＡＣに平行な直線ＰＲを引いてみるよ。
以下、証明な↓↓
△ＡＰＱと△ＰＢＲについて、
ＰＱ∥ＢＣなので、
∠ＡＰＱ＝∠ＰＢＲ（平行線の同位角は等しい）①
ＰＲ∥ＡＣなので、
∠ＡＰＱ＝∠ＰＢＲ（平行線の同位角は等しい）②
２つの三角形の２組の角がそれぞれ等しいので
△ＡＰＱ ∽ △ＰＢＲ
よって、ＡＰ：ＰＢ ＝ ＡＱ：ＰＲ・・・ ③
また，ＰＱ∥ＢＣ，ＰＲ∥ＡＣなので、
四角形ＰＲＣＱは平行四辺形で、
ＰＲ ＝ ＱC・・・④ （平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しい）
③と④より、
ＡＰ：ＰＢ ＝ ＡＱ：ＰＲ ＝ ＡＱ：ＱＣ
やった！
平行線と線分の比の証明もできるようになったね。
平行線と線分の比の証明はどうだったかな？
定理①はすぐ思い浮かぶけど、定理②は忘れちゃいがち。
2つの定理に共通してるのは、
同位角をつかって三角形の相似を証明する
ってこと。
しっかり覚えてくれよ。ケーキだよ。ケーキ。
今回はここまでね。
じゃ、お茶にしよう。
Dr.リード
やあ、がんばってるかい？ Dr.リードだよっ。
相似の勉強もそろそろ終盤戦だ。
年間スケジュール達成のため、学校でもさらーっと流すことが多い。
そのペースに流されることなく、じっくり取り組んでほしいぞ。
今日のトピックは、
相似な立体同士にみられる性質
だ。
さっそく、相似な立体同士の性質を3つ紹介していくよ。
まず1つ目の性質は、
相似な立体同士の線分の長さの比は等しい
ってヤツだ。
立体じゃなくて、平面図形の相似の性質があったよね？
それと同じさ。
たとえば、りんごジュースを買いにいったとしよう。
リードのジュースは君のより３倍でかい。
重いぞ。
飲みごたえたっぷりだ。
お得な3倍サイズって書いてあったんだよ。
ってことは、
は拡大縮小の関係になってるから、相似だよな。
で、対応する縦、横、高さの比を比べてみる。
まっ、当たり前だけど、平面図形と同じで、対応する辺の比は同じだったぞ。
どの辺の長さも3倍になってるね！
こんな感じで、
相似な立体同士は各辺の相似比が一緒なんだ。
次の相似な立体の性質は、
表面積の比は相似比の2乗になる
ってヤツだ。
たとえば、次の立方体が2つあったとしよう。
立体の相似比は1:2だから、表面積比はその2乗で、
1 : 4
になるってわけ。
本当かどうか確かめよう。
表面積だから、展開図も書いてたしかめてみるな。
1×1×1の立方体の1つの面の面積は1 cm²。
よって、表面積は、
1×6 =6 cm²
だ。
一方、相似比2倍の立方体はどうだろう？？
立方体の1つの面の面積は4 cm²。
よって、表面積は、
4×6 = 24 cm²
になるね。
よって、表面積の比は、
6: 24 = 1 : 4 = 1² : 2²
相似な立体同士の表面積の比は、相似比1:2の2乗になってるね。
えっ。
相似比が1:3の場合でも表面積の比は1:3なのかって？！
疑い深いならたしかめてみようか。
立方体の各辺が3倍になるとだな、
2つの立体の相似比は、
1 : 3
になるね？
1つの面の面積は、
3×3 ＝ 9 cm²
よって、表面積は、
9×6 ＝ 54 cm²
1辺の長さが1cmの立方体との表面積の比は、
6 : 54
= 1: 9 = 1² : 3²
になるね。
ねっ、今回も相似比の2乗になったぞ。
しかし、永遠に何倍何倍って確かめるわけにもいかんわな。
何倍かわからんがとりあえず、
「k倍」ってことにしてみるぞ。
1辺の長さが、
の直方体で考えてみよう。
これをk倍してみると、
じゃーん！！！
やっぱり相似比の２乗になったね。
ってことで、相似な立体同士の表面積の比は相似比の2乗になってるんだ。
最後の性質は、
相似な立体同士の相似比と体積比の関係だ。
おっ、なんかもうわかってる感じだな。
そう。
体積比は相似比の3乗になるんだ。
たとえば、さっきの3つの立方体をみてみよう。
相似比が1:2の立方体の体積比なら、
1³: 2³ = 1 : 8
相似比が1:3の立方体なら、
体積比 = 1³ : 3³ = 1 : 27
になるってわけ！
念のため、ｋ倍のも確認すると、
体積比
= abc : k³abc = 1 : k³
になるね。
ほいっ、確認完了だ。
相似な立体どうしの３つの性質を頭に入れとこう！
表現を変えると、
相似な立体の相似比が m : nならば、
表面積比は m² : n²、
体積比は m³ : n³、
ご存じ、ロシア土産の定番「マトリョーシカ人形」。
1900年のパリ万博には出品されていたらしいね。
マトリョーシカ人形は一説では日本の「入れ子」に起源をもつという説や、ロシアの木工品だとか、諸説あるでござる。
相似な立体のどうしの性質を面白おかしく記憶にとどめてもらうために、ご出演願ったよ。
それじゃあな！
Dr.リード
Dr.リードだよっ。
円周角の定理の使い方にも慣れてきたかな？
今日はな、
円周角の定理の証明
を解説していくぞ。
つまり、
なぜ、円周角の定理が使えるのか？？
ってことを暴いていくわけだ。
別に知らなくてもいいけど、知っておいた方がスッキリするだろ？
今日は長い長い話になる。
ピザでも食べながら行ってみよう！
「円周角の定理」を証明していくぞ。
3点A・B・Pがある円Oを想像してくれよな。
円周角と中心角の位置関係はつぎの3通りある。
それぞれの場合を証明していけばいいんだ。
まずは点P がOBの延長上にきてる場合ね。
このパターンでは、
をうまく使っていくよ。
えっ。三角形の外角の定理なんて忘れた？！
三角形の1つの外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しい
っていう定理だったね。
こいつをうまく使って証明してみよう。
OP・OAはそれぞれ円Oの半径だから、
OP = OAよって、△OPAはOP = OAの二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいから、
∠OAP = ∠OPA ・・・ (1)三角形の外角の定理より、
∠AOB = ∠OAP + ∠OPA・・・(2)
(1)、(2)より、
∠APB = 1/2∠AOB
「二等辺三角形の性質」と「外角の定理」を知ってれば証明できるね！
さあ、サクサク行くぞ。
つぎは、
中心Ｏが円周角の内部におさまってる形だ。
補助線を緑で引いていくぞ。
点Ｐと中心Ｏを結び延長して、交点をQとしよう。
中心を通るから、ＰＱは円Ｏの直径ってことになるね。
上の図みたいに補助線を中心に2つの図形に分けてみて。
の順番で証明していくよ。
OP・OAはそれぞれ円Oの半径だから、
OP = OA
よって、△OPAはOP = OAの二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいから、
∠OAP = ∠OPA ・・・ (1)
三角形の外角の定理より、
∠AOQ = ∠OAP + ∠OPA・・・(2)
(1)、(2)より、
∠APQ = 1/2∠AOQ・・・(3)
OP・OBはそれぞれ円Oの半径だから、OP = OB
よって、△OPBはOP = OBの二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいから、
∠OBP = ∠OPB ・・・ (4)
三角形の外角の定理より、
∠BOQ = ∠OBP + ∠OPB・・・(5)
(4)、(5)より、
∠BPQ = 1/2∠BOQ・・・(6)
で，右半分の図と左半分の図を元通りに重ね合わせると，
(3)+(6)より、
∠APQ +∠BPQ= 1/2∠AOQ + 1/2∠BOQ
よって、
∠APB = 1/2∠ AOB
よって、
円周角∠APBは中心角∠AOBの半分である。
最後は、
中心Oが∠APBの外にあるパターンね。
またまた補助線引くよ。
OPを延長した線分と円周の交点をQとするぞ。
ややこしいから、目を皿のようにして見とけよ！
同じように図形を分解して、見やすくしてみるね。
重なりをバラバラにして、
左と右でそれぞれ分けて考えてみるよ。
OP・OAはそれぞれ円Oの半径だから、
OP = OA
よって、△OPAはOP = OAの二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいから、
∠OAP = ∠OPA ・・・ (1)
三角形の外角の定理より、
∠AOQ = ∠OAP + ∠OPA・・・(2)
(1)、(2)より、
∠APQ = 1/2∠AOQ・・・(3)
OP・OBはそれぞれ円Oの半径だから、
OP = OB
よって、△OPBはOP = OBの二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいから、
∠OBP = ∠OPB ・・・ (4)
三角形の外角の定理より、
∠BOQ = ∠OBP + ∠OPB・・・(5)
(4)、(5)より、
∠BPQ = 1/2∠BOQ・・・(6)
(3)・(6)より、
∠BPQ -∠APQ = 1/2∠BOQ – 1/2∠AOQ
よって、
∠APB = 1/2∠AOB
よって、
円周角∠APB は∠AOBの半分である。
円周角の定理の証明はどうだったかな？？
つぎの3パターンの証明ができればよかったよね？
３パターンとも証明しちゃったんだから使いホーダイ。
円周角の定理を心気なくガシガシ使っていこう。
じゃあな。
Dr.リード
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
円周角の定理の逆をつかった問題が解けなくて困っていました。
練習問題
四角形ABCDで、∠x、∠yの大きさを求めなさい。
どうしよう……
どうしたの？
困ってそうだね。
やらないと友だちと遊びに行けない……
なるほど。
それは困ったね
でしょ？
この問題、角度いっぱいわかるのにムズイ！
えーっと、ふむふむ。。
おっ、これはっ……！？
これは……？
円周角の定理の逆を使えば一発さ！
え？
練習問題
四角形ABCDで、∠x、∠yの大きさを求めなさい。
この問題では、
円周角の定理の逆をつかえばいいんだ。
えっと。。。
円周角の定理の逆ってなんだっけ？
そんなときのために用意しておいたよ
☆円周角の定理の逆☆
２点C・Pが直線ABについて同じ側にあるとき、
∠APB=∠ACBならば４点A、B、C、Pは同じ円周上にある。
この前習ったやつだ！
だよね。
「円周角の定理の逆」を使えば2ステップで解けちゃうんだ。
図形の点が同じ円周上にあるか確認しよう！
円周角の定理の逆を使ってね。
すぐに見つける方法ないの？
同じ大きさの角を見つけることかな！
同じ50度の角が2つある！！
そう！
記号で書いてみると？
∠BAC＝∠BDCでしょ？
おっ、いい感じ！
円周角の定理の逆を使ってやると、
4点A・B・ C・Dは同じ円上にあることがわかるね〜
同じ弧の円周角をみつけよう！
同じ弧ADの円周角みっけ！
だから、
∠ABD = ∠ACD
x = 40度
になるね。
あとは、
∠ADCと∠ACB！
いい感じだね。
∠ADC=∠ACB
y = 45度
だ！
やったー！
円周角の定理の逆なら2ステップで解けちゃうね。
すぐ解けちゃうかも！！
でしょ？
1回使いこなせれば簡単！
たしかに！！
よしっ、解こう……！
あっ、友だちとの約束！！
時間をうまく使って問題を解いてみよう！！
うす！
