中学生でもわかる!三平方の定理(ピタゴラスの定理)の公式の4つの証明

中学生でもわかる三平方の定理(ピタゴラスの定理)の証明って??

こんにちは!Dr.リードだぞいっ。

 

今回のテーマは三平方の定理(ピタゴラスの定理)だ。

聞いたことあるかな?

 

紀元前572年ごろのギリシア人のピタゴラスさんが発見したから「ピタゴラスの定理」っていうんだな。

今日はその三平方の定理(ピタゴラスの定理)の使い方じゃなくて、

なぜ、三辺平方の定理が使えるのか?を証明していくぞ。

 

 

中学生でもわかる!三平方の定理(ピタゴラスの定理)の4つの証明

三平方の定理の証明法は100以上、いやもっとそれ以上あるといわれている。

中でも、中学生にも分かりやすい4つの証明を紹介していくぞ。

  1. 小さな三角形を使う証明
  2. 小さな三角形と正方形を使う証明
  3. 正方形を2つ使う証明
  4. 直角三角形の相似を利用する証明

今回は姉上といっしょに三平方の定理(ピタゴラスの定理)の証明をみていこう。

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

その1. 「直角二等辺三角形を使った証明」

まず1つ目の証明は、

小さな直角三角形二等辺三角形

を使った証明だ。

 

 

直角三角形を4枚合わせると、

正方形になるよな?

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

んで、この正方形をもっとつなぎ合わせると、もっとでかい四角形ができるね。

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

この証明では、パッチワークみたいな感じで、小さい直角二等辺三角形を使っていくぞ。

 

まずは、中ほどにピンクの生地8枚使って、直角三角形を作ってくだされ。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明 三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

ついでに3種類、イエロー、パープル、ミントグリーンも使って、ピンクの三角形の各辺がくっついた正方形を作ってくだされ。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

それぞれの色にふくまれる直角二等辺三角形の数を数えてみよう。

  • 黄色:32個
  • パープル:16個
  • ミントグリーン:16個

「黄色の枚数」と「パープル+ミントグリーン」の枚数が一緒ってことに気づくかな?

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

黄色い正方形の1辺をb、

パープル・ミントグリーンの正方形の1辺をaとすると、

b² = a² + a²

になってるはずだね。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

このことから、

赤の直角二等辺三角形の斜辺の2乗が、他の2辺の2乗の和になってる

って言えるね。

おお、これって三平方の定理じゃん!!

 

 

その2. 正方形と直角三角形を使った証明

つぎの三平方の定理(ピタゴラスの定理)証明は、

  • 正方形
  • 直角三角形

の2つを使っていくよ。

こんな感じのパッチワークを想像してくれ。

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

これの一番基本となるピースに注目。

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

今回は、この、

  • 正方形1つ
  • 直角三角形4つ

が合体して正方形になってる図形を使っていくんだ。

1つの直角三角形の辺の長さをそれぞれ、

  • a
  • b
  • c

としてやろう。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

まず、下のようにピンクの三角形を右下へ動かしてみる。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

つぎは、水色の三角形を左下へ動かしてみる。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

ここで、こいつを2つの正方形、

  • 1辺がaの正方形
  • 1辺がbの正方形

に分けてみると、

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

こいつの面積は、

a² + b²

になるよね?

 

んで、もともとは1辺がcの正方形だったはずだから、

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

c² = a² + b²

っていう式が成り立つね。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

 

ここで、左上の基本のピンクの直角三角形に注目てしてみて。

cは斜辺、aとbはその他の2辺の長さになってるよね?

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

おお、みごと、三平方の定理の式になりました。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

 

その3. 正方形を2つ使う証明

つぎの三平方の定理(ピタゴラスの定理)の証明は、

正方形を2つ使うパターン。

  • 1辺が(a+b)
  • 1辺がc

の2つの正方形をイメージしてみよう。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

こいつをこんな風に重ねてみた。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

それぞれの面積を出すと、

  • 青色正方形の面積 = (a+b)²
  • 黄色い正方形の面積 = c²
  • 青い直角三角形の面積 = ½ × a × b × 4 = 2ab

 

真ん中の黄色い正方形は、青い正方形から4つの直角三角形を引いたものだから、

c² = (a+b)² -2ab

c² = a²+2ab +b² -2ab

c² = a²+b²

 

1つの直角三角形でみると、

cは斜辺でaとbはその他の辺だね。

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

おお、これも見事三平方の定理の式になったぞ。

 

 

その4. 直角三角形の相似を使う証明

相似の証明を使って、三平方の定理を証明することもできるんだよ。

 

つぎのような直角三角形△ABCがある。

Bから辺ACに垂線を下ろし、交点をDとするね。

AD = x 、DC = y  としておく。

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

見やすいように図形をバラバラにすると、

相似な三角形が3個も隠れてるんだ。

 

△ABCと△ADBについて、

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

仮定より、

∠ABC = ∠ADB = 90°・・・①

また、

∠CAB = ∠BAD(共通)・・・②

①②より、

2組の角がそれぞれ等しいので、

△ABC∼△ADB

よって、対応する辺の比はそれぞれ、

c : a = a : x

a² = cx・・・③

になる。

 

また、

△ABCと△BDCについて、

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

仮定より、

∠ABC = ∠BDC = 90°・・・④

また、

∠CAB = ∠BAD(共通)・・・⑤

④⑤より、

2組の角がそれぞれ等しいので、

△ABC∼△BDC

よって、対応する辺の比はそれぞれ、

c : b = b : y

b² = cy・・・⑥

になる。

 

③+⑥を計算すると、

a² + b² = cx + cy

a² + b² = c (x + y)

a² + b² = c²

おお、これも見事三平方の定理の式になったぞ。

 

 

まとめ:三平方の定理(ピタゴラスの定理)の証明はまだまだあるぞ!

三平方の定理(ピタゴラスの定理)の証明はどうだっかな?

勉強したのは4つだったね。

  1. 小さな三角形を使う証明
  2. 小さな三角形と正方形を使う証明
  3. 正方形を2つ使う証明
  4. 直角三角形の相似を利用する証明

しっくりきたやつを覚えておこう。

 

ピタゴラスは数学者じゃなくて、ピタゴラス学派っていうギリシャの宗教教団のリーダーだったんだ。

数学者・哲学者・音楽家と様々な顔を持っていたらしいよ。

なかなかやるな、ピタゴラス。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

それじゃあ!

Dr.リード