中学生でもわかる三平方の定理（ピタゴラスの定理）の証明って？？
こんにちは！Dr.リードだぞいっ。
今回のテーマは三平方の定理（ピタゴラスの定理）だ。
聞いたことあるかな？
紀元前572年ごろのギリシア人のピタゴラスさんが発見したから「ピタゴラスの定理」っていうんだな。
今日はその三平方の定理（ピタゴラスの定理）の使い方じゃなくて、
なぜ、三辺平方の定理が使えるのか？を証明していくぞ。
中学生でもわかる！三平方の定理（ピタゴラスの定理）の4つの証明
三平方の定理の証明法は100以上、いやもっとそれ以上あるといわれている。
中でも、中学生にも分かりやすい4つの証明を紹介していくぞ。
- 小さな三角形を使う証明
- 小さな三角形と正方形を使う証明
- 正方形を2つ使う証明
- 直角三角形の相似を利用する証明
今回は姉上といっしょに三平方の定理（ピタゴラスの定理）の証明をみていこう。
その1. 「直角二等辺三角形を使った証明」
まず1つ目の証明は、
小さな直角三角形二等辺三角形
を使った証明だ。
直角三角形を4枚合わせると、
正方形になるよな？
んで、この正方形をもっとつなぎ合わせると、もっとでかい四角形ができるね。
この証明では、パッチワークみたいな感じで、小さい直角二等辺三角形を使っていくぞ。
まずは、中ほどにピンクの生地8枚使って、直角三角形を作ってくだされ。
ついでに３種類、イエロー、パープル、ミントグリーンも使って、ピンクの三角形の各辺がくっついた正方形を作ってくだされ。
それぞれの色にふくまれる直角二等辺三角形の数を数えてみよう。
- 黄色：32個
- パープル：16個
- ミントグリーン：16個
「黄色の枚数」と「パープル＋ミントグリーン」の枚数が一緒ってことに気づくかな？
黄色い正方形の1辺をb、
パープル・ミントグリーンの正方形の1辺をaとすると、
b² = a² + a²
になってるはずだね。
このことから、
赤の直角二等辺三角形の斜辺の2乗が、他の2辺の2乗の和になってる
って言えるね。
おお、これって三平方の定理じゃん！！
その2. 正方形と直角三角形を使った証明
つぎの三平方の定理（ピタゴラスの定理）証明は、
- 正方形
- 直角三角形
の2つを使っていくよ。
こんな感じのパッチワークを想像してくれ。
これの一番基本となるピースに注目。
今回は、この、
- 正方形1つ
- 直角三角形4つ
が合体して正方形になってる図形を使っていくんだ。
1つの直角三角形の辺の長さをそれぞれ、
- a
- b
- c
としてやろう。
まず、下のようにピンクの三角形を右下へ動かしてみる。
つぎは、水色の三角形を左下へ動かしてみる。
ここで、こいつを2つの正方形、
- 1辺がaの正方形
- 1辺がbの正方形
に分けてみると、
こいつの面積は、
a² + b²
になるよね？
んで、もともとは1辺がcの正方形だったはずだから、
c² = a² + b²
っていう式が成り立つね。
ここで、左上の基本のピンクの直角三角形に注目てしてみて。
cは斜辺、aとbはその他の2辺の長さになってるよね？
おお、みごと、三平方の定理の式になりました。
その3. 正方形を2つ使う証明
つぎの三平方の定理（ピタゴラスの定理）の証明は、
正方形を2つ使うパターン。
- 1辺が（a+b）
- 1辺がc
の2つの正方形をイメージしてみよう。
こいつをこんな風に重ねてみた。
それぞれの面積を出すと、
- 青色正方形の面積 = (a+b)²
- 黄色い正方形の面積 = c²
- 青い直角三角形の面積 = ½ × a × b × 4 = 2ab
真ん中の黄色い正方形は、青い正方形から4つの直角三角形を引いたものだから、
c² = (a+b)² -2ab
c² = a²+2ab +b² -2ab
c² = a²+b²
1つの直角三角形でみると、
cは斜辺でaとbはその他の辺だね。
おお、これも見事三平方の定理の式になったぞ。
その4. 直角三角形の相似を使う証明
相似の証明を使って、三平方の定理を証明することもできるんだよ。
つぎのような直角三角形△ABCがある。
Bから辺ACに垂線を下ろし、交点をDとするね。
AD = x 、DC = y としておく。
見やすいように図形をバラバラにすると、
相似な三角形が3個も隠れてるんだ。
△ABCと△ADBについて、
仮定より、
∠ABC = ∠ADB = 90°・・・①
また、
∠CAB = ∠BAD（共通）・・・②
①②より、
2組の角がそれぞれ等しいので、
△ABC∼△ADB
よって、対応する辺の比はそれぞれ、
c : a = a : x
a² = cx・・・③
になる。
また、
△ABCと△BDCについて、
仮定より、
∠ABC = ∠BDC = 90°・・・④
また、
∠CAB = ∠BAD（共通）・・・⑤
④⑤より、
2組の角がそれぞれ等しいので、
△ABC∼△BDC
よって、対応する辺の比はそれぞれ、
c : b = b : y
b² = cy・・・⑥
になる。
③+⑥を計算すると、
a² + b² = cx + cy
a² + b² = c (x + y)
a² + b² = c²
おお、これも見事三平方の定理の式になったぞ。
まとめ：三平方の定理（ピタゴラスの定理）の証明はまだまだあるぞ！
三平方の定理（ピタゴラスの定理）の証明はどうだっかな？
勉強したのは4つだったね。
- 小さな三角形を使う証明
- 小さな三角形と正方形を使う証明
- 正方形を2つ使う証明
- 直角三角形の相似を利用する証明
しっくりきたやつを覚えておこう。
ピタゴラスは数学者じゃなくて、ピタゴラス学派っていうギリシャの宗教教団のリーダーだったんだ。
数学者・哲学者・音楽家と様々な顔を持っていたらしいよ。
なかなかやるな、ピタゴラス。
それじゃあ！
Dr.リード
