よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は「三角形の辺と角の関係」をやるぞ。余弦定理を使って、角が鋭角・直角・鈍角のどれなのかを判定していく。
三角形ABCで、3つの辺の長さがわかっているとき、
「角Aは鋭角なのか、直角なのか、それとも鈍角なのか」
を調べたいことがあるよな。
このとき、角度そのものを求めなくても、
辺の長さを比べるだけで判定できる
のさ。
使うのは、余弦定理だ。
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
見るのは b²+c² と a² の大小関係だ。角度を直接計算しなくても、角の種類がわかるぞ。
この記事では、三角形の辺と角の関係と、その証明を余弦定理を使ってわかりやすく解説する。
三角形ABCを考える。
角A、角B、角Cの向かい側の辺を、それぞれ
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
とする。
つまり、
である。
このとき、角Aについて、次の関係が成り立つ。
$$
Aが鋭角
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^2+c^2>a^2
$$
$$
Aが直角
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^2+c^2=a^2
$$
$$
Aが鈍角
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^2+c^2<a^2
$$
これが、
三角形の辺と角の関係
だ。
ここから、なぜこの関係が成り立つのかを証明していこう。
余弦定理より、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
である。
この式を、
$$
\cos A
$$
について整理する。
まず、
$$
2bc\cos A=b^2+c^2-a^2
$$
となる。
したがって、
$$
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
$$
である。
ここで、
$$
b>0
$$
$$
c>0
$$
なので、
$$
2bc>0
$$
である。
つまり、分母
$$
2bc
$$
は必ず正になる。
したがって、
$$
\cos A
$$
の符号は、分子
$$
b^2+c^2-a^2
$$
の符号によって決まる。
角Aが鋭角なら、
$$
0^\circ<A<90^\circ $$ である。 このとき、 $$ \cos A>0
$$
となる。
また、
$$
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
$$
であり、分母
$$
2bc
$$
は正である。
したがって、分子も正でなければならない。
つまり、
$$
b^2+c^2-a^2>0
$$
である。
よって、
$$
b^2+c^2>a^2
$$
となる。
したがって、
$$
Aが鋭角
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^2+c^2>a^2
$$
である。
角Aが直角なら、
$$
A=90^\circ
$$
である。
このとき、
$$
\cos A=\cos90^\circ=0
$$
となる。
余弦定理を変形した式、
$$
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
$$
において、分母
$$
2bc
$$
は正である。
分数全体が0になるには、分子が0になればよい。
したがって、
$$
b^2+c^2-a^2=0
$$
である。
よって、
$$
b^2+c^2=a^2
$$
となる。
したがって、
$$
Aが直角
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^2+c^2=a^2
$$
である。
Aが90°ならcosAは0だ。すると余弦定理は、そのまま三平方の定理になる。
角Aが鈍角なら、
$$
90^\circ<A<180^\circ
$$
である。
このとき、
$$
\cos A<0
$$
となる。
また、
$$
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
$$
であり、分母
$$
2bc
$$
は正である。
したがって、分子は負でなければならない。
つまり、
$$
b^2+c^2-a^2<0
$$
である。
よって、
$$
b^2+c^2<a^2
$$
となる。
したがって、
$$
Aが鈍角
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^2+c^2<a^2
$$
である。
三角形ABCで、
$$
a=14
$$
$$
b=12
$$
$$
c=5
$$
のとき、角Aが鋭角・直角・鈍角のどれかを判定しよう。
角Aの向かい側の辺は、
$$
a
$$
である。
したがって、
$$
b^2+c^2
$$
と、
$$
a^2
$$
を比べる。
まず、
$$
b^2+c^2
=
12^2+5^2
$$
$$
b^2+c^2
=
144+25
$$
$$
b^2+c^2=169
$$
である。
一方、
$$
a^2=14^2
$$
$$
a^2=196
$$
である。
したがって、
$$
b^2+c^2<a^2
$$
となる。
よって、角Aは、
$$
鈍角
$$
である。
169と196を比べると、a²の方が大きい。だからAは鈍角だ。
三角形ABCで、
$$
a=4
$$
$$
b=3
$$
$$
c=2
$$
のとき、角Aを判定しよう。
まず、
$$
b^2+c^2
=
3^2+2^2
$$
$$
b^2+c^2
=
9+4
$$
$$
b^2+c^2=13
$$
である。
一方、
$$
a^2=4^2=16
$$
である。
したがって、
$$
b^2+c^2<a^2
$$
なので、角Aは鈍角である。
三角形ABCで、
$$
a=5
$$
$$
b=3
$$
$$
c=4
$$
のとき、角Aを判定しよう。
まず、
$$
b^2+c^2
=
3^2+4^2
$$
$$
b^2+c^2
=
9+16
$$
$$
b^2+c^2=25
$$
である。
一方、
$$
a^2=5^2=25
$$
である。
したがって、
$$
b^2+c^2=a^2
$$
なので、角Aは直角である。
今回は、三角形の辺と角の関係を確認したな。
三角形ABCで、角Aの向かい側の辺を
$$
a
$$
とすると、
$$
Aが鋭角
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^2+c^2>a^2
$$
$$
Aが直角
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^2+c^2=a^2
$$
$$
Aが鈍角
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^2+c^2<a^2
$$
だったな。
三角形の辺と角の関係は、余弦定理から生まれる。b²+c²とa²を比べれば、角Aの種類がわかるぞ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は余弦定理の証明をやるぞ。三平方の定理から、a²=b²+c²−2bc cosA を導いていく。
高校数学Iの三角比では、次の余弦定理が出てくる。
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
この公式を見ると、
「なぜこんな形になるの？」
と思うかもしれない。
特に、
$$
-2bc\cos A
$$
の部分が、少し不思議って感じだよな。
だがしかし、余弦定理は突然出てきた公式ではない。
実は、
三平方の定理から導くことができる公式
なんだ。
余弦定理は、三平方の定理の上位版だ。直角ではない三角形でも使えるように、cosで角の影響を調整しているんだ。
この記事では、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
がなぜ成り立つのかを、三平方の定理を使ってわかりやすく証明する。
三角形ABCを考える。
角A、角B、角Cの向かい側の辺を、それぞれ
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
とする。
つまり、
である。
今回、証明したいのは、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
である。
これは、辺
$$
a
$$
を、残りの2辺
$$
b
$$
$$
c
$$
と、その間の角
$$
A
$$
で表す公式だ。
まず、三角形ABCを考える。
辺の長さは、
$$
AB=c
$$
$$
AC=b
$$
$$
BC=a
$$
である。
ここで、点Cから辺ABに垂線を下ろす。
垂線の足を
$$
H
$$
とする。
つまり、
$$
CH\perp AB
$$
である。
すると、
$$
\triangle ACH
$$
と
$$
\triangle BCH
$$
という2つの直角三角形ができる。
直角三角形を作るために、垂線を下ろす。余弦定理の証明でも、結局は三平方の定理に戻すんだ。
まず、
$$
\triangle ACH
$$
に注目する。
この直角三角形で、角Aを見る。
斜辺は
$$
AC=b
$$
である。
また、角Aの隣辺は
$$
AH
$$
である。
したがって、三角比の定義より、
$$
\cos A=\frac{AH}{AC}
$$
である。
ここで、
$$
AC=b
$$
なので、
$$
\cos A=\frac{AH}{b}
$$
となる。
両辺に
$$
b
$$
をかけると、
$$
AH=b\cos A
$$
である。
次に、角Aの対辺は
$$
CH
$$
である。
三角比の定義より、
$$
\sin A=\frac{CH}{AC}
$$
である。
ここで、
$$
AC=b
$$
なので、
$$
\sin A=\frac{CH}{b}
$$
となる。
両辺に
$$
b
$$
をかけると、
$$
CH=b\sin A
$$
である。
つまり、
$$
AH=b\cos A
$$
$$
CH=b\sin A
$$
と表せる。
次に、
$$
BH
$$
を考える。
辺
$$
AB
$$
の長さは、
$$
c
$$
である。
また、
$$
AH=b\cos A
$$
だった。
したがって、
$$
BH=AB-AH
$$
なので、
$$
BH=c-b\cos A
$$
となる。
ここまでで、
$$
CH=b\sin A
$$
$$
BH=c-b\cos A
$$
がわかった。
ここで、
$$
\triangle BCH
$$
に注目する。
この三角形は直角三角形である。
斜辺は
$$
BC
$$
であり、
$$
BC=a
$$
である。
また、ほかの2辺は、
$$
BH=c-b\cos A
$$
$$
CH=b\sin A
$$
である。
したがって、三平方の定理より、
$$
BC^2=BH^2+CH^2
$$
となる。
つまり、
$$
a^2=(c-b\cos A)^2+(b\sin A)^2
$$
である。
ここで三平方の定理が出てくる。余弦定理の証明は、作った直角三角形に三平方を使うだけなんだ。
ここから式を整理していこう。
$$
a^2=(c-b\cos A)^2+(b\sin A)^2
$$
まず、
$$
(c-b\cos A)^2
$$
を展開する。
$$
(c-b\cos A)^2
=
c^2-2bc\cos A+b^2\cos^2 A
$$
また、
$$
(b\sin A)^2
=
b^2\sin^2 A
$$
なので、
$$
a^2
=
c^2-2bc\cos A+b^2\cos^2 A+b^2\sin^2 A
$$
となる。
ここで、
$$
b^2\cos^2 A+b^2\sin^2 A
$$
をまとめる。
$$
b^2\cos^2 A+b^2\sin^2 A
=
b^2(\cos^2 A+\sin^2 A)
$$
三角比の相互関係より、
$$
\sin^2 A+\cos^2 A=1
$$
である。
したがって、
$$
\cos^2 A+\sin^2 A=1
$$
なので、
$$
b^2(\cos^2 A+\sin^2 A)=b^2
$$
となる。
よって、
$$
a^2
=
c^2-2bc\cos A+b^2
$$
順番を整理すると、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
となる。
これで、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
が証明できた。
余弦定理で特徴的なのは、
$$
-2bc\cos A
$$
の部分である。
これは、
$$
(c-b\cos A)^2
$$
を展開したときに出てくる。
実際に、
$$
(c-b\cos A)^2
=
c^2-2bc\cos A+b^2\cos^2 A
$$
である。
この中の
$$
-2bc\cos A
$$
が、余弦定理の補正部分になる。
つまり、余弦定理の
$$
-2bc\cos A
$$
は、
角Aの影響を表す調整項
と見ることができる。
-2bc cosA は、式を展開したら自然に出てくる。無理やり覚えるものじゃなくて、三平方の定理の中から出てくるんだ。
余弦定理は、三平方の定理の拡張だと考えることができる。
実際に、角Aが
$$
90^\circ
$$
の場合を考えてみよう。
このとき、
$$
\cos90^\circ=0
$$
である。
余弦定理
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
に、
$$
A=90^\circ
$$
を代入すると、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos90^\circ
$$
となる。
ここで、
$$
\cos90^\circ=0
$$
なので、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cdot0
$$
$$
a^2=b^2+c^2
$$
となる。
これは、三平方の定理そのものである。
つまり、余弦定理は、
直角三角形にも、直角ではない三角形にも使える三平方の定理
と考えることができる。
今回は、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
を証明した。
同じように考えると、
$$
b^2=c^2+a^2-2ca\cos B
$$
も成り立つ。
また、
$$
c^2=a^2+b^2-2ab\cos C
$$
も成り立つ。
したがって、余弦定理は、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
$$
b^2=c^2+a^2-2ca\cos B
$$
$$
c^2=a^2+b^2-2ab\cos C
$$
の3つの形で使うことができる。
aを求めるならA、bを求めるならB、cを求めるならC。どの式も同じ考え方で証明できるぞ。
今回は、余弦定理
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
の証明を確認した。
証明の流れは、次の通りである。
その結果、
$$
a^2=(c-b\cos A)^2+(b\sin A)^2
$$
となり、これを整理すると、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
が得られる。
つまり、余弦定理は、
三平方の定理から導ける公式
である。
余弦定理は、三平方の定理を一般の三角形に広げたものだ。垂線を下ろして直角三角形を作れば、公式の正体が見えてくるぞ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は余弦定理をやるぞ。正弦定理に続いて、三角形の辺と角をつなぐ大事な公式だ。
高校数学Iの三角比では、正弦定理のあとに、
余弦定理
という公式が出てくる。
余弦定理は、三角形の
$$
3つの辺
$$
と
$$
1つの角
$$
をつなぐ公式さ。
公式は次の通りだ。
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
$$
b^2=c^2+a^2-2ca\cos B
$$
$$
c^2=a^2+b^2-2ab\cos C
$$
公式が3つ並ぶと、ちょっと重そうに見えるな。でも基本は同じ形だ。求めたい辺の2乗を見るんだ。
この記事では、余弦定理の意味と使い方をわかりやすく解説するぞ。
余弦定理は、
三角形の1つの辺を、残り2つの辺とその間の角で表す公式
である。
たとえば、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
を見てみよう。
辺
$$
a
$$
は、角Aの向かい側の辺である。
そして、角Aをはさむ2つの辺が、
$$
b
$$
と
$$
c
$$
である。
つまり、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
は、
角Aをはさむ2辺b,cと角Aから、向かい側の辺aを求める公式
なのだ。
aを求めたいなら、角Aを見る。Aをはさむ辺はbとc。だから b²+c²−2bc cosA になるわけだ。
余弦定理は、三平方の定理と深くつながっている。
三平方の定理では、直角三角形で、
$$
a^2=b^2+c^2
$$
のような関係が成り立つ。
一方、余弦定理では、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
である。
ここで、もし角Aが
$$
90^\circ
$$
なら、
$$
\cos90^\circ=0
$$
である。
したがって、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos90^\circ
$$
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cdot0
$$
$$
a^2=b^2+c^2
$$
となる。
つまり、角Aが直角のとき、余弦定理は三平方の定理になる。
余弦定理は、三平方の定理のパワーアップ版だ。直角じゃない三角形にも使えるようにしたもの、と見るとわかりやすいぞ。
余弦定理は、主に次のような場面で使う。
特に大事なのは、
2辺とその間の角がわかっているとき
である。
たとえば、
$$
b
$$
$$
c
$$
$$
A
$$
がわかっているなら、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
を使って、
$$
a
$$
を求めることができる。
余弦定理を使うときは、まず「どの辺を求めたいか」を見る。
たとえば、
$$
a
$$
を求めたいなら、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
を使う。
$$
b
$$
を求めたいなら、
$$
b^2=c^2+a^2-2ca\cos B
$$
を使う。
$$
c
$$
を求めたいなら、
$$
c^2=a^2+b^2-2ab\cos C
$$
を使う。
つまり、
と考えるとよい。
求めたい辺の向かいの角を使う。aならA、bならB、cならC。この対応を外さなければ大丈夫だ。
三角形ABCで、
$$
b=5
$$
$$
c=7
$$
$$
A=60^\circ
$$
のとき、
$$
a
$$
を求めてみよう。
使う公式は、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
である。
ここに、
$$
b=5
$$
$$
c=7
$$
$$
A=60^\circ
$$
を代入する。
$$
a^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos60^\circ
$$
ここで、
$$
\cos60^\circ=\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
a^2=25+49-70\cdot\frac{1}{2}
$$
$$
a^2=74-35
$$
$$
a^2=39
$$
したがって、
$$
a=\sqrt{39}
$$
である。
つまり、
$$
a=\sqrt{39}
$$
となる。
2辺とその間の角がわかっているなら、余弦定理の出番だ。まずは求めたい辺の2乗を作ろう。
次に、3辺がわかっている場合を考える。
三角形ABCで、
$$
a=7
$$
$$
b=5
$$
$$
c=6
$$
のとき、
$$
\cos A
$$
を求めてみよう。
使う公式は、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
である。
ここに、
$$
a=7
$$
$$
b=5
$$
$$
c=6
$$
を代入する。
$$
7^2=5^2+6^2-2\cdot5\cdot6\cos A
$$
$$
49=25+36-60\cos A
$$
$$
49=61-60\cos A
$$
両辺を整理すると、
$$
60\cos A=12
$$
したがって、
$$
\cos A=\frac{12}{60}
$$
$$
\cos A=\frac{1}{5}
$$
となる。
つまり、
$$
\cos A=\frac{1}{5}
$$
である。
3辺から角を求めたいときは、余弦定理を変形して使うことも多い。
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
を
$$
\cos A
$$
について解くと、
$$
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
$$
となる。
同じように、
$$
\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}
$$
$$
\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
$$
である。
3辺がわかっていて角を求めたいときは、この形が便利だ。
3辺がわかっているときは、cosの形に変形すると使いやすい。角そのものより、まずcosの値を求めるんだ。
正弦定理と余弦定理は、どちらも三角形の辺と角をつなぐ公式である。
ただし、使いやすい場面が違う。
正弦定理は、
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
=
\frac{c}{\sin C}
=
2R
$$
である。
これは、
辺と向かいの角のペア
が見えているときに使いやすい。
一方、余弦定理は、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
である。
これは、
2辺とその間の角
がわかっているときに使いやすい。
つまり、
と考えるとよい。
今回は、余弦定理の意味と使い方を確認した。
三角形ABCで、角A、角B、角Cの向かい側の辺をそれぞれ
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
とすると、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
$$
b^2=c^2+a^2-2ca\cos B
$$
$$
c^2=a^2+b^2-2ab\cos C
$$
が成り立つ。
これが余弦定理である。
余弦定理は、
2辺とその間の角から残りの辺を求める公式
であり、
3辺から角のcosを求める公式
でもある。
特に、
に使う。
余弦定理は、三角形の辺と角を一気につなぐ強力な公式だ。2辺とその間の角、または3辺が見えたら、余弦定理を思い出そう。
次は、なぜ
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
が成り立つのかを証明していこう。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は正弦定理の証明をやるぞ。なぜ a/sinA = 2R になるのか、外接円を使って見ていこう。
高校数学Iの三角比では、正弦定理という公式が出てくる。
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
=
\frac{c}{\sin C}
=
2R
$$
この公式を見ると、
「なぜ辺をsinで割ると、外接円の直径になるの？」
と思うかもしれない。
今回は、その中でもまず、
$$
\frac{a}{\sin A}=2R
$$
を証明する。
これが示せれば、
$$
\frac{b}{\sin B}=2R
$$
$$
\frac{c}{\sin C}=2R
$$
も同じように示せる。
正弦定理は、外接円を見ると正体が見えてくる。ポイントは、半径Rではなく直径2Rが出てくることだ。
三角形ABCを考える。
角Aの向かい側の辺を
$$
a
$$
とする。
つまり、
$$
a=BC
$$
である。
また、三角形ABCの外接円の半径を
$$
R
$$
とする。
正弦定理で示したいのは、
$$
\frac{a}{\sin A}=2R
$$
である。
これは、両辺に
$$
\sin A
$$
をかけると、
$$
a=2R\sin A
$$
と同じ意味になる。
つまり、証明では、
$$
a=2R\sin A
$$
を示せばよいな。
a/sinA=2R を直接見ると少し重い。だから a=2RsinA に直して考えると見やすいぞ。
まず、角Aが鋭角の場合を考える。
三角形ABCの外接円をかく。
そして、点Cを通る直径を引き、その反対側の点を
$$
D
$$
とする。
つまり、
$$
CD
$$
は外接円の直径である。
外接円の半径は
$$
R
$$
なので、直径
$$
CD
$$
の長さは、
$$
2R
$$
である。
ここで、点B、点C、点Dを結んだ三角形
$$
\triangle BCD
$$
に注目する。
角Aは、
$$
\angle BAC
$$
である。
角Dは、
$$
\angle BDC
$$
である。
この2つの角は、どちらも同じ弧
$$
BC
$$
に対する円周角である。
したがって、円周角の定理より、
$$
\angle A=\angle D
$$
となる。
つまり、
$$
A=D
$$
と考えてよい。
次に、
$$
CD
$$
は外接円の直径である。
直径に対する円周角は直角になるので、
$$
\angle CBD=90^\circ
$$
である。
したがって、
$$
\triangle BCD
$$
は直角三角形になる。
この直角三角形で、角Dに注目する。
斜辺は直径
$$
CD
$$
なので、
$$
CD=2R
$$
である。
また、角Dの向かい側の辺は
$$
BC
$$
である。
つまり、
$$
BC=a
$$
である。
したがって、三角比の定義より、
$$
\sin D=\frac{a}{2R}
$$
となる。
これを変形すると、
$$
a=2R\sin D
$$
である。
ところが、
$$
D=A
$$
だったので、
$$
\sin D=\sin A
$$
である。
よって、
$$
a=2R\sin A
$$
が成り立つ。
したがって、
$$
\frac{a}{\sin A}=2R
$$
である。
直径を引くと直角三角形ができる。そこで sin を使うと、a=2RsinA が出てくるんだ。
次に、角Aが直角の場合を考える。
角Aが
$$
90^\circ
$$
のとき、辺
$$
BC
$$
は外接円の直径になる。
つまり、
$$
a=BC=2R
$$
である。
また、
$$
\sin90^\circ=1
$$
なので、
$$
2R\sin A
=
2R\sin90^\circ
=
2R
$$
となる。
したがって、
$$
a=2R
$$
であり、
$$
2R\sin A=2R
$$
なので、
$$
a=2R\sin A
$$
が成り立つ。
よって、
$$
\frac{a}{\sin A}=2R
$$
である。
Aが直角なら、向かい側の辺aはそのまま外接円の直径になる。だから a=2R だ。
最後に、角Aが鈍角の場合を考える。
この場合も、点Cを通る直径
$$
CD
$$
を引く。
すると、
$$
CD=2R
$$
である。
また、直径に対する円周角は直角なので、
$$
\angle CBD=90^\circ
$$
となる。
したがって、
$$
\triangle BCD
$$
は直角三角形である。
ここで、四角形
$$
ABDC
$$
に注目する。
4点A、B、D、Cは同じ円周上にあるので、
$$
ABDC
$$
は円に内接する四角形である。
円に内接する四角形では、向かい合う角の和が
$$
180^\circ
$$
になる。
したがって、
$$
\angle A+\angle D=180^\circ
$$
である。
つまり、
$$
\angle D=180^\circ-\angle A
$$
となる。
一方、直角三角形
$$
BCD
$$
で角Dに注目すると、
$$
\sin D=\frac{a}{2R}
$$
である。
したがって、
$$
a=2R\sin D
$$
となる。
ここで、
$$
\angle D=180^\circ-\angle A
$$
なので、
$$
a=2R\sin(180^\circ-A)
$$
となる。
さらに、三角比の公式
$$
\sin(180^\circ-A)=\sin A
$$
より、
$$
a=2R\sin A
$$
が成り立つ。
したがって、
$$
\frac{a}{\sin A}=2R
$$
である。
Aが鈍角のときは、Dが180°−Aになる。そこで sin(180°−A)=sinA を使うのがポイントだ。
今回は、正弦定理の証明を確認した。
証明のゴールは、
$$
\frac{a}{\sin A}=2R
$$
を示すことだった。
これは、
$$
a=2R\sin A
$$
を示すことと同じである。
角Aが鋭角、直角、鈍角のどの場合でも、
$$
a=2R\sin A
$$
が成り立つことが言える。
したがって、
$$
\frac{a}{\sin A}=2R
$$
であるってわけだな。
外接円の直径を引く。直角三角形を作る。sinで辺aを表す。これが正弦定理の証明の流れだ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は正弦定理をやるぞ。三角形の辺と角、そして外接円をつなぐ大事な公式だ。
高校数学Iの三角比では、正弦定理という公式が出てくる。
正弦定理は、
三角形の「辺」と「角」の関係を表す公式だ。
さらに、三角形の外接円の半径ともつながっているぞ。
公式は次の通りだ。
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
=
\frac{c}{\sin C}
=
2R
$$
これが、
正弦定理
である。
見た目はちょっと重いな。でも正体はシンプルだ。辺と、その向かいの角のsinをセットで見る公式だぞ。
この記事では、正弦定理の意味と使い方をわかりやすく解説する。
三角形ABCを考える。
このとき、角A、角B、角Cの向かい側の辺を、それぞれ
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
とする。
つまり、
である。
また、三角形ABCの外接円の半径を
$$
R
$$
とする。
このとき、次の関係が成り立つ。
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
=
\frac{c}{\sin C}
=
2R
$$
これが正弦定理だ。
ここで出てくる$2R$は、外接円の直径さ。
なぜなら、$R$が外接円の半径なので、$2R$はその2倍、つまり直径だからな。
正弦定理は、
辺 ÷ 向かいの角のsin は、どれも同じ値になる
という公式だ。
具体的には、
$$
\frac{a}{\sin A}
$$
$$
\frac{b}{\sin B}
$$
$$
\frac{c}{\sin C}
$$
がすべて等しくなるってことよ。
さらに、その値は外接円の直径$2R$にも等しいってことったな。
つまり、正弦定理は、
をつなぐ公式なんだ。
大事なのは、辺と角の対応だ。aはAの向かい、bはBの向かい、cはCの向かい。このセットを崩さないことだ。
正弦定理で一番大事なのは、辺と角の対応である。
$$
a
$$
は、角Aの向かい側の辺。
$$
b
$$
は、角Bの向かい側の辺。
$$
c
$$
は、角Cの向かい側の辺である。
だから、正弦定理では、
$$
\frac{a}{\sin A}
$$
$$
\frac{b}{\sin B}
$$
$$
\frac{c}{\sin C}
$$
のように、向かい合う辺と角をセットにする。
たとえば、
$$
\frac{a}{\sin B}
$$
のようにしてはいけない。
辺aは角Aの向かい側なので、
$$
\frac{a}{\sin A}
$$
と対応させる必要がある。
正弦定理は、主に次のような場面で使う。
特に、三角形で
がわかっているときに使いやすい。
正弦定理は「向かい合う辺と角のペア」が見えているときに強い。ペアを見つけたら、公式を使うチャンスだ。
よし、じゃあ早速正弦定理使ってみよう。
三角形ABCで、
$$
A=30^\circ
$$
$$
B=45^\circ
$$
$$
a=6
$$
のとき、
$$
b
$$
を求めてみよう。
正弦定理より、
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
=
\frac{c}{\sin C}
=
2R
$$
である。
ここに、
$$
a=6
$$
$$
A=30^\circ
$$
$$
B=45^\circ
$$
を代入する。
$$
\frac{6}{\sin 30^\circ}
=
\frac{b}{\sin 45^\circ}
$$
ここで、
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
$$
\sin45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}
$$
である。
したがって、
$$
\frac{6}{\frac{1}{2}}
=
\frac{b}{\frac{1}{\sqrt{2}}}
$$
左辺を計算すると、
$$
\frac{6}{\frac{1}{2}}=12
$$
なので、
$$
12=\frac{b}{\frac{1}{\sqrt{2}}}
$$
となる。
よって、
$$
b=12\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}
$$
$$
b=\frac{12}{\sqrt{2}}
$$
分母を有理化すると、
$$
b=6\sqrt{2}
$$
である。
したがって、
$$
b=6\sqrt{2}
$$
となる。
辺を求めるときは、わかっているペアと求めたいペアを正弦定理でつなぐ。今回は aとA、bとB を使ったわけだ。
三角形ABCで、
$$
a=8
$$
$$
b=4
$$
$$
A=60^\circ
$$
のとき、
$$
\sin B
$$
を求めてみよう。
正弦定理より、
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
$$
である。
ここに、
$$
a=8
$$
$$
b=4
$$
$$
A=60^\circ
$$
を代入する。
$$
\frac{8}{\sin 60^\circ}
=
\frac{4}{\sin B}
$$
ここで、
$$
\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
なので、
$$
\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
=
\frac{4}{\sin B}
$$
左辺を計算すると、
$$
\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
=
\frac{16}{\sqrt{3}}
$$
である。
したがって、
$$
\frac{16}{\sqrt{3}}
=
\frac{4}{\sin B}
$$
両辺を整理すると、
$$
16\sin B = 4\sqrt{3}
$$
よって、
$$
\sin B=\frac{4\sqrt{3}}{16}
$$
$$
\sin B=\frac{\sqrt{3}}{4}
$$
となる。
三角形ABCで、
$$
a=10
$$
$$
A=30^\circ
$$
のとき、外接円の半径
$$
R
$$
を求めてみよう。
正弦定理より、
$$
\frac{a}{\sin A}=2R
$$
である。
ここに、
$$
a=10
$$
$$
A=30^\circ
$$
を代入する。
$$
\frac{10}{\sin30^\circ}=2R
$$
ここで、
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
\frac{10}{\frac{1}{2}}=2R
$$
左辺を計算すると、
$$
20=2R
$$
である。
したがって、
$$
R=10
$$
となる。
つまり、外接円の半径は、
$$
10
$$
である。
正弦定理には 2R も入っている。だから、辺と向かいの角がわかれば、外接円の半径も求められるんだ。
今回は、正弦定理の意味と使い方を確認した。
うまい感じにまとめると、正弦定理とは、
辺と、その向かいの角のsinをつなぐ公式
だ。
特に、
に使うぞ。
使うときは、
の対応を必ず確認しよう。
正弦定理は、三角形の辺・角・外接円をつなぐ公式だ。まずは「向かい合う辺と角をセットにする」と覚えよう。
次は、なぜ
$$
\frac{a}{\sin A}=2R
$$
が成り立つのかを、外接円を使って証明していこう。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は「直線の傾き」と「正接」、つまりtanの関係をやるぞ。実は、tanは直線の傾きを表しているんだ。
高校数学Iの三角比では、
$$
\tan\theta
$$
を学んできたよな。
これまで、tanは直角三角形で、
$$
\tan\theta=\frac{対辺}{隣辺}
$$
として考えてきた。
また、半円と座標を使うと、
$$
\tan\theta=\frac{y}{x}
$$
と表せることも学んだ。
ここからさらに、tanは直線の傾きともつながる。
結論からいうと、
直線 y=mx の傾き m は tanθ と等しい
ってことが言えるんだな。
つまり、
$$
m=\tan\theta
$$
が成り立つんだ。
tanはただの三角形の比じゃない。直線がどれくらい傾いているかも表しているんだ。
この記事では、直線の傾きと正接の関係、
$$
m=\tan\theta
$$
がなぜ成り立つのかを、わかりやすく解説する。
まず、直線
$$
y=mx
$$
を考える。
この式に出てくる
$$
m
$$
を、直線の傾きという。ここは中学数学の範囲だから復習しておこうな。
たとえば、
$$
y=2x
$$
なら、傾きは
$$
2
$$
である。
また、
$$
y=\frac{1}{\sqrt{3}}x
$$
なら、傾きは
$$
\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
である。
直線
$$
y=mx
$$
では、
になる。
mは直線の傾きだ。mが大きいほど急な右上がり、mが負なら右下がりになるぞ。
次に、直線
$$
y=mx
$$
が、x軸の正の向きとなす角を考える。
x軸の正の向きとは、右向きの方向のことだ。
この右向きの方向から、反時計回りに直線まで測った角を
$$
\theta
$$
とする。
このとき、
$$
\theta
$$
を、直線
$$
y=mx
$$
とx軸の正の向きとのなす角という。
ただし、
$$
m=0
$$
のとき、直線は
$$
y=0
$$
つまりx軸そのものになる。
この場合は、
$$
\theta=0^\circ
$$
と考える。
ここからが本題だ。
直線
$$
y=mx
$$
と、原点Oを中心とする半径1の半円を考える。
この直線と半円の交点を、
$$
P(x_1,y_1)
$$
とする。
点Pは直線
$$
y=mx
$$
の上にある。
だから、点Pの座標は直線の式を満たす。
つまり、
$$
y_1=mx_1
$$
である。
この式を
$$
m
$$
について整理すると、
$$
m=\frac{y_1}{x_1}
$$
となる。
一方で、半円と座標を使った三角比の定義より、
$$
\tan\theta=\frac{y_1}{x_1}
$$
である。
したがって、
$$
m=\frac{y_1}{x_1}
$$
$$
\tan\theta=\frac{y_1}{x_1}
$$
なので、
$$
m=\tan\theta
$$
が成り立つ。
直線の傾きmも、tanθも、どちらも y₁/x₁ を表している。だから m=tanθ になるんだ。
では、実際に使ってみよう。
直線
$$
y=\frac{1}{\sqrt{3}}x
$$
と、x軸の正の向きとのなす角
$$
\theta
$$
を求める。
この直線の傾きは、
$$
m=\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
である。
直線の傾きと正接の関係より、
$$
m=\tan\theta
$$
なので、
$$
\tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
となる。
ここで、
$$
\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
だから、
$$
\theta=30^\circ
$$
である。
つまり、直線
$$
y=\frac{1}{\sqrt{3}}x
$$
とx軸の正の向きとのなす角は、
$$
30^\circ
$$
である。
傾きが 1/√3 なら、tanθ=1/√3。だから角度は30°になるわけだ。
次に、直線
$$
y=x
$$
を考える。
この直線の傾きは、
$$
m=1
$$
である。
したがって、
$$
\tan\theta=1
$$
となる。
ここで、
$$
\tan45^\circ=1
$$
なので、
$$
\theta=45^\circ
$$
である。
つまり、直線
$$
y=x
$$
とx軸の正の向きとのなす角は、
$$
45^\circ
$$
である。
次に、傾きが負の場合を考える。
たとえば、直線
$$
y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x
$$
を見てみよう。
この直線の傾きは、
$$
m=-\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
である。
直線の傾きと正接の関係より、
$$
m=\tan\theta
$$
なので、
$$
\tan\theta=-\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
となる。
ここで注意したいのは、角
$$
\theta
$$
の範囲だ。
直線とx軸の正の向きとのなす角は、
$$
0^\circ \leqq \theta < 180^\circ
$$
で考える。
$$
\tan\theta
$$
が負になるのは、この範囲では
$$
90^\circ<\theta<180^\circ
$$
のときである。
また、
$$
\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
なので、基準角は
$$
30^\circ
$$
である。
傾きが負なので、角は第2象限側にある。
したがって、
$$
\theta=180^\circ-30^\circ
$$
より、
$$
\theta=150^\circ
$$
となる。
つまり、直線
$$
y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x
$$
とx軸の正の向きとのなす角は、
$$
150^\circ
$$
である。
傾きが負のとき、角は30°じゃない。x軸の正の向きから反時計回りに測るから、150°になるぞ。
直線
$$
y=mx
$$
とx軸の正の向きとのなす角を
$$
\theta
$$
とすると、
$$
m=\tan\theta
$$
である。
そのため、傾きの符号と角度には次の関係がある。
| 傾きm | 直線の向き | 角θ |
|---|---|---|
| m>0 | 右上がり | 0°<θ<90° |
| m=0 | x軸と同じ | θ=0° |
| m<0 | 右下がり | 90°<θ<180° |
特に、傾きが負のときは、
$$
\theta
$$
が鈍角になることに注意しよう。
ここで、x軸に垂直な直線も考えておこう。
x軸に垂直な直線は、角度でいうと
$$
90^\circ
$$
である。
しかし、
$$
\tan90^\circ
$$
は定義されない。
また、x軸に垂直な直線は、傾きも定義されない。
つまり、
ということだ。
ここでも、tanと傾きがつながっていることがわかる。
90°ではtanが定義されない。同じように、垂直な直線の傾きも定義されない。ここも対応しているんだな。
今回は、直線の傾きと正接の関係を確認してきたな。
つまり単純に言っちまえば、
直線の傾きmとtanθは、どちらも縦÷横を表している
ってことだ。
tanは三角比であり、直線の傾きでもある。m=tanθ。この関係が見えると、三角比とグラフがつながるぞ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は「等式を満たす角θ」の求め方をやるぞ。三角比の値から、角度を逆に探していく回だ。
高校数学Iの三角比では、次のような問題が出てくる。
$$
0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ
$$のとき、
$$
\sin\theta=\frac{1}{2}
$$を満たす
$$
\theta
$$を求めよ。
これは、
三角比の値から角度を求める問題
だ。
巷では、
等式を満たす角θ
なんて異名もついてるぐらいさ。
今までは、
$$
\theta=150^\circ
$$
のように角度が与えられて、
$$
\sin150^\circ
$$
$$
\cos150^\circ
$$
$$
\tan150^\circ
$$
を求めてきた。
今回はその逆だ。
三角比の値が与えられていて、
「その値になる角度は何度か」
を探す。
三角比の値から角を探す問題だな。ポイントは「基準角」と「範囲」と「符号」だ。
この記事では、
$$
0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ
$$
の範囲で、等式を満たす角
$$
\theta
$$
の求め方をわかりやすく解説するぞ。
早速、次の問題を考えよう。
$$
0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ
$$のとき、
$$
\sin\theta=\frac{1}{2}
$$を満たす
$$
\theta
$$を求めよ。
sinは、
$$
\frac{y}{r}
$$
で決まる。
今回は、
$$
\sin\theta=\frac{1}{2}
$$
なので、半径
$$
r=1
$$
の半円で考えると、
$$
y=\frac{1}{2}
$$
となる点を探せばよい。
半円上で、
$$
y=\frac{1}{2}
$$
となる点は2つある。
1つは第1象限側の点。
もう1つは第2象限側の点である。
第1象限側では、
$$
\theta=30^\circ
$$
となる。
また、第2象限側では、
$$
\theta=150^\circ
$$
となる。
したがって、
$$
\sin\theta=\frac{1}{2}
$$
を満たす角は、
$$
\theta=30^\circ,\ 150^\circ
$$
である。
sinは高さを見る。高さが同じ点は、半円の左右に2つある。だから30°と150°が出てくるんだ。
以上が等式を満たす角θの求め方だ。
おさらいすると、三角比の値から角を求めるときは、次の順番で考えるといいんだ。
特に大事なのは、
範囲内の角をすべて答える
ということだ。
$$
0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ
$$
と書かれているなら、その範囲の中で条件を満たす角を全部探す必要がある。
三角比の値だけで飛びつくな。符号と範囲を見るんだ。特にsinは2つ出ることがあるぞ。
等式を満たす角を求めるときは、
この3つを意識しよう。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は「三角比 180-θ の公式」の証明をやるぞ。sinはそのまま、cosとtanはマイナスになる理由を見ていこう。
高校数学Iの三角比では、次の公式が出てくる。
$$
\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
$$
\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta
$$
$$
\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta
$$
この公式を見ると、
「なぜsinはそのままで、cosとtanにはマイナスがつくの？」
と思うかもしれない。
実は、
半円と座標を見ると理由がわかる
んだ。
180°−θ の公式は、座標の符号を見ると一気にわかる。ポイントは、左右対称な点だ。
座標平面上に、原点Oを中心とする半径
$$
r
$$
の半円を考える。
まず、角
$$
\theta
$$
に対応する点を考える。
その点を
$$
P(x,y)
$$
とする。
このとき、三角比の定義より、
$$
\sin\theta=\frac{y}{r}
$$
$$
\cos\theta=\frac{x}{r}
$$
$$
\tan\theta=\frac{y}{x}
$$
である。
次に、
$$
180^\circ-\theta
$$
に対応する点を考える。
この点を
$$
Q
$$
とする。
点Qは、点Pをy軸について左右反対にした位置にある。
つまり、点Pが
$$
P(x,y)
$$
なら、点Qは
$$
Q(-x,y)
$$
となる。
θの点がP(x,y)なら、180°−θの点はQ(-x,y)になる。x座標だけ符号が変わって、y座標は同じだ。
まず、
$$
\sin(180^\circ-\theta)
$$
を考える。
点Qの座標は、
$$
Q(-x,y)
$$
だった。
sinは、
$$
\frac{y座標}{半径}
$$
で決まる。
点Qのy座標は
$$
y
$$
で、半径は
$$
r
$$
なので、
$$
\sin(180^\circ-\theta)=\frac{y}{r}
$$
となる。
一方で、点Pについて、
$$
\sin\theta=\frac{y}{r}
$$
だった。
つまり、
$$
\sin(180^\circ-\theta)=\frac{y}{r}
$$
$$
\sin\theta=\frac{y}{r}
$$
である。
どちらも同じ
$$
\frac{y}{r}
$$
を表しているので、
$$
\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
が成り立つ。
sinはy座標を見る。180°−θにしてもy座標は変わらない。だからsinはそのままなんだ。
次に、
$$
\cos(180^\circ-\theta)
$$
を考える。
点Qの座標は、
$$
Q(-x,y)
$$
だった。
cosは、
$$
\frac{x座標}{半径}
$$
で決まる。
点Qのx座標は
$$
-x
$$
で、半径は
$$
r
$$
なので、
$$
\cos(180^\circ-\theta)=\frac{-x}{r}
$$
となる。
これは、
$$
-\frac{x}{r}
$$
と同じである。
一方で、点Pについて、
$$
\cos\theta=\frac{x}{r}
$$
だった。
したがって、
$$
\cos(180^\circ-\theta)
=
-\frac{x}{r}
=
-\cos\theta
$$
となる。
よって、
$$
\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta
$$
が成り立つ。
cosはx座標を見る。180°−θにするとx座標が反対向きになる。だからマイナスがつくんだ。
最後に、
$$
\tan(180^\circ-\theta)
$$
を考える。
点Qの座標は、
$$
Q(-x,y)
$$
だった。
tanは、
$$
\frac{y座標}{x座標}
$$
で決まる。
点Qでは、
$$
x座標=-x
$$
$$
y座標=y
$$
なので、
$$
\tan(180^\circ-\theta)=\frac{y}{-x}
$$
となる。
これは、
$$
-\frac{y}{x}
$$
と同じである。
一方で、点Pについて、
$$
\tan\theta=\frac{y}{x}
$$
だった。
したがって、
$$
\tan(180^\circ-\theta)
=
-\frac{y}{x}
=
-\tan\theta
$$
となる。
よって、
$$
\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta
$$
が成り立つ。
tanはy÷xだ。180°−θではyは同じでも、xがマイナスになる。だからtanもマイナスになるぞ。
たとえば、
$$
150^\circ
$$
は、
$$
180^\circ-30^\circ
$$
と表せる。
だから、
$$
\sin150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)
$$
$$
\cos150^\circ=\cos(180^\circ-30^\circ)
$$
$$
\tan150^\circ=\tan(180^\circ-30^\circ)
$$
である。
180°-θ の公式より、
$$
\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ
$$
$$
\cos(180^\circ-30^\circ)=-\cos30^\circ
$$
$$
\tan(180^\circ-30^\circ)=-\tan30^\circ
$$
となる。
したがって、
$$
\sin150^\circ=\sin30^\circ
$$
$$
\cos150^\circ=-\cos30^\circ
$$
$$
\tan150^\circ=-\tan30^\circ
$$
である。
実際に、
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
$$
\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
なので、
$$
\sin150^\circ=\frac{1}{2}
$$
$$
\cos150^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
\tan150^\circ=-\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
となる。
150°は180°−30°だ。30°の三角比を使えば、鈍角の150°もすぐ求められるぞ。
ここまでをまとめよう。
ズバリ、180°-θ の公式の正体は、
左右対称な点では、x座標だけ符号が変わること
である。
角
$$
\theta
$$
に対応する点を
$$
P(x,y)
$$
とすると、
$$
180^\circ-\theta
$$
に対応する点は、
$$
Q(-x,y)
$$
になる。
つまり、
となる。
したがって、
$$
\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
$$
\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta
$$
$$
\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta
$$
が成り立つってわけだ。
180°−θ の公式は、符号の公式だ。左右対称にするとxだけマイナスになる。だからsinはそのまま、cosとtanはマイナス。これでいこう。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今日は「三角比 180-θ」の公式をやるぞ。鈍角の三角比を求めるときに便利なやつだ。
高校数学Iの三角比では、
$$
180^\circ-\theta
$$
という形の角が出てくることがある。
たとえば、
$$
\sin(180^\circ-\theta)
$$
$$
\cos(180^\circ-\theta)
$$
$$
\tan(180^\circ-\theta)
$$
のような形だ。
このとき、次の公式を使う。
$$
\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
$$
\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta
$$
$$
\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta
$$
これが、
三角比 180-θ の公式
である。
180°から引いた角が出てきたら、sinはそのまま。cosとtanはマイナスになる。まずはここを押さえよう。
この記事では、三角比の
$$
180^\circ-\theta
$$
の公式と、その使い方をわかりやすく解説する。
三角比の問題では、鈍角の三角比を求めたいことがある。
たとえば、
$$
\sin150^\circ
$$
を考えよう。
$$
150^\circ
$$
は鈍角なので、そのままだと少し扱いにくい。
しかし、
$$
150^\circ=180^\circ-30^\circ
$$
と表せる。
だから、
$$
\sin150^\circ
=
\sin(180^\circ-30^\circ)
$$
と考えられる。
ここで公式を使うと、
$$
\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ
$$
となる。
つまり、
$$
\sin150^\circ=\sin30^\circ
$$
である。
そして、
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
\sin150^\circ=\frac{1}{2}
$$
と求められる。
このように、
鈍角を 180°から引いた形に直して、鋭角の三角比で表す
のが、180-θ の公式の使い方だ。
まずは、
$$
\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
を見ていこう。
これは、
sin の 180°-θ はそのまま sin になる
という公式だ。
たとえば、
$$
\sin150^\circ
$$
を考える。
$$
150^\circ
$$
は、
$$
180^\circ-30^\circ
$$
と表せる。
だから、
$$
\sin150^\circ
=
\sin(180^\circ-30^\circ)
$$
となる。
公式より、
$$
\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ
$$
なので、
$$
\sin150^\circ=\sin30^\circ
$$
である。
そして、
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
だから、
$$
\sin150^\circ=\frac{1}{2}
$$
となる。
sin150°は、180°-30°と見ればsin30°になる。sinは符号が変わらないのがポイントだ。
次に、
$$
\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta
$$
を見ていこう。
これは、
cos の 180°-θ はマイナスがつく
という公式だ。
たとえば、
$$
\cos150^\circ
$$
を考える。
$$
150^\circ
$$
は、
$$
180^\circ-30^\circ
$$
と表せる。
だから、
$$
\cos150^\circ
=
\cos(180^\circ-30^\circ)
$$
となる。
公式より、
$$
\cos(180^\circ-30^\circ)=-\cos30^\circ
$$
なので、
$$
\cos150^\circ=-\cos30^\circ
$$
である。
そして、
$$
\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
だから、
$$
\cos150^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
となる。
cos150°は、180°-30°と見れば -cos30° になる。鈍角ではx座標が負になるから、cosはマイナスになるんだ。
最後に、
$$
\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta
$$
を見ていこう。
これは、
tan の 180°-θ はマイナスがつく
という公式だ。
たとえば、
$$
\tan150^\circ
$$
を考える。
$$
150^\circ
$$
は、
$$
180^\circ-30^\circ
$$
と表せる。
だから、
$$
\tan150^\circ
=
\tan(180^\circ-30^\circ)
$$
となる。
公式より、
$$
\tan(180^\circ-30^\circ)=-\tan30^\circ
$$
なので、
$$
\tan150^\circ=-\tan30^\circ
$$
である。
そして、
$$
\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
だから、
$$
\tan150^\circ=-\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
となる。
tan150°は、180°-30°と見れば -tan30° になる。tanも鈍角ではマイナスになるぞ。
180-θ の公式は、次のように覚えるとよい。
$$
\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
これは、
sinはそのまま
と覚える。
一方で、
$$
\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta
$$
$$
\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta
$$
は、
cosとtanはマイナス
と覚える。
まとめると、
ということだ。
180°-θ の角は、半円で考えると左側にある。
つまり、点Pの
$$
x
$$
座標が負になる。
三角比の定義は、
$$
\sin\theta=\frac{y}{r}
$$
$$
\cos\theta=\frac{x}{r}
$$
$$
\tan\theta=\frac{y}{x}
$$
だった。
鈍角では、
$$
x<0 $$ $$ y>0
$$
$$
r>0
$$
である。
そのため、
$$
\sin\theta=\frac{y}{r}
$$
は正になる。
一方で、
$$
\cos\theta=\frac{x}{r}
$$
は、xが負なので負になる。
また、
$$
\tan\theta=\frac{y}{x}
$$
も、分母のxが負なので負になる。
だから、180°-θ の公式では、
$$
\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
$$
\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta
$$
$$
\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta
$$
となる。
符号は座標で決まる。鈍角ではxが負。だからcosとtanはマイナスになる。ここを押さえると、公式がかなり覚えやすいぞ。
次は、なぜ
$$
\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
や
$$
\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta
$$
が成り立つのかを、半円と座標で証明していこう。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は鈍角の三角比の求め方をやるぞ。半円と座標を使って、sin、cos、tanを実際に求めていく。
高校数学Iでは、三角比を
$$
0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ
$$
の範囲で考えるぞ。
つまり、
$$
120^\circ
$$
や
$$
150^\circ
$$
のような鈍角についても、
$$
\sin\theta
$$
$$
\cos\theta
$$
$$
\tan\theta
$$
を考えられるってことさ。
鈍角とは復習しておくと、
90°より大きく、180°より小さい角
のことだったよな。
たとえば、
$$
120^\circ
$$
$$
135^\circ
$$
$$
150^\circ
$$
などが鈍角だ。
鈍角の三角比は、直角三角形だけで考えると少し見えにくい。そこで半円と座標の出番だ。
鈍角の場合、角
$$
\theta
$$
は
$$
90^\circ
$$
より大きい。
そのため、半円上の点Pは、座標平面の左側にくる。
つまり、点Pの
$$
x
$$
座標は負になる。
一方で、点Pは半円の上側にあるので、
$$
y
$$
座標は正になる。
したがって、鈍角では基本的に、
となる。
ここが、鈍角の三角比でとても大事なポイントだ。
鈍角では、点Pが左側にある。だからxはマイナスになる。ここでcosとtanにマイナスが出てくるんだ。
では、実際に鈍角の三角比を求めてみよう。
今回は、
$$
\theta=150^\circ
$$
の場合を考える。
半径を
$$
r=2
$$
とする。
このとき、半円上の点Pの座標が、
$$
P(-\sqrt{3},1)
$$
だったとする。
すると、
$$
x=-\sqrt{3}
$$
$$
y=1
$$
$$
r=2
$$
である。
150°では点Pが左側にある。だからx座標が -√3 になっているな。
まず、
$$
\sin150^\circ
$$
を求める。
定義より、
$$
\sin\theta=\frac{y}{r}
$$
である。
ここで、
$$
y=1
$$
$$
r=2
$$
なので、
$$
\sin150^\circ=\frac{1}{2}
$$
となる。
つまり、
$$
\sin150^\circ=\frac{1}{2}
$$
である。
次に、
$$
\cos150^\circ
$$
を求める。
定義より、
$$
\cos\theta=\frac{x}{r}
$$
である。
ここで、
$$
x=-\sqrt{3}
$$
$$
r=2
$$
なので、
$$
\cos150^\circ=\frac{-\sqrt{3}}{2}
$$
となる。
つまり、
$$
\cos150^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
である。
最後に、
$$
\tan150^\circ
$$
を求める。
定義より、
$$
\tan\theta=\frac{y}{x}
$$
である。
ここで、
$$
y=1
$$
$$
x=-\sqrt{3}
$$
なので、
$$
\tan150^\circ=\frac{1}{-\sqrt{3}}
$$
となる。
したがって、
$$
\tan150^\circ=-\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
である。
最後にさらっとおさらいしておくぞ。
今回は、鈍角の三角比の求め方を確認した。
鈍角とは、
$$
90^\circ<\theta<180^\circ
$$
の角である。
鈍角では、半円上の点Pが左側にくる。
そのため、
$$
x<0 $$ $$ y>0
$$
となる。
三角比の定義は、
$$
\sin\theta=\frac{y}{r}
$$
$$
\cos\theta=\frac{x}{r}
$$
$$
\tan\theta=\frac{y}{x}
$$
である。
だから、鈍角では、
$$
\sin\theta
$$
は正、
$$
\cos\theta
$$
は負、
$$
\tan\theta
$$
は負になるんだな。
鈍角の三角比は、半円と座標で考える。sinはy/r、cosはx/r、tanはy/x。鈍角ではxが負になるから、cosとtanは負になる。これでいこう。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、三角比を0°から180°まで広げるぞ。半円と座標を使って、sin、cos、tanを定義していく。
これまでの三角比では、主に直角三角形を使って、
$$
\sin\theta
$$
$$
\cos\theta
$$
$$
\tan\theta
$$
を考えてきたよな。
直角三角形では、角
$$
\theta
$$
は鋭角。
つまり、
$$
0^\circ<\theta<90^\circ
$$
の範囲で考えることが多かった。
でもな、高校数学Iでは、三角比をさらに広げて、
$$
0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ
$$
の範囲で考える。なんて欲張りなんだろうな。
たとえば、
$$
120^\circ
$$
や
$$
150^\circ
$$
のような鈍角の三角比も扱うってことだ。
直角三角形だけだと、90°より大きい角は扱いにくい。そこで登場するのが、半円と座標さ。
この記事では、
0°≤θ≤180° の三角比
を、半円と座標を使ってわかりやすく解説する。
座標平面上に、原点Oを中心とする半径
$$
r
$$
の半円を考える。
点Aを、x軸上の点
$$
A(r,0)
$$
とする。
そして、半円上に点Pをとる。
点Pの座標を、
$$
P(x,y)
$$
とする。
このとき、角
$$
\theta
$$
を、
$$
\angle AOP=\theta
$$
となるように考える。
つまり、x軸の正の向きから、点Pの方向までの角を
$$
\theta
$$
とするのさ。
点Pを半円上に動かすことで、θを0°から180°まで考えられる。ここが直角三角形との大きな違いだ。
半円上の点Pを
$$
P(x,y)
$$
とする。
また、半径を
$$
r
$$
とする。
このとき、0°から180°までの角
$$
\theta
$$
の三角比を、次のように定義する。
$$
\sin\theta=\frac{y}{r}
$$
$$
\cos\theta=\frac{x}{r}
$$
$$
\tan\theta=\frac{y}{x}
$$
これが、
半円と座標を用いた三角比の定義
だ。
sinはy座標を見る。cosはx座標を見る。tanはyをxで割る。まずはこの対応を押さえよう。
ここで大事なのは、半円と座標を使った定義が、これまでの直角三角形の定義とつながっていることだ。
たとえば、
$$
0^\circ<\theta<90^\circ
$$
のとき、点Pは第1象限にある。
このとき、原点O、点P、x軸に下ろした点を使うと、直角三角形ができる。
その直角三角形で見ると、
となる。
だから、
$$
\sin\theta=\frac{y}{r}
$$
$$
\cos\theta=\frac{x}{r}
$$
$$
\tan\theta=\frac{y}{x}
$$
は、直角三角形での定義と同じになる。
新しい定義に見えるが、鋭角のときは今までの三角比と同じだ。座標を使って、考えられる角の範囲を広げただけなんだ。
たとえば、
$$
\theta=30^\circ
$$
のときを考える。
半径を
$$
r=2
$$
とする。
このとき、半円上の点Pの座標が、
$$
P(\sqrt{3},1)
$$
だったとする。
すると、
$$
x=\sqrt{3}
$$
$$
y=1
$$
$$
r=2
$$
である。
したがって、
$$
\sin30^\circ=\frac{y}{r}=\frac{1}{2}
$$
$$
\cos30^\circ=\frac{x}{r}=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
\tan30^\circ=\frac{y}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
となる。
これは、直角三角形で求めた三角比と一致するよな。
半円と座標を使うと、90°より大きい角も扱えるのが便利なところさ。
たとえば、
$$
\theta=150^\circ
$$
のときを考える。
半径を
$$
r=2
$$
とする。
このとき、半円上の点Pの座標が、
$$
P(-\sqrt{3},1)
$$
だったとする。
すると、
$$
x=-\sqrt{3}
$$
$$
y=1
$$
$$
r=2
$$
である。
したがって、
$$
\sin150^\circ=\frac{y}{r}=\frac{1}{2}
$$
$$
\cos150^\circ=\frac{x}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}
$$
$$
\tan150^\circ=\frac{y}{x}=\frac{1}{-\sqrt{3}}
$$
つまり、
$$
\tan150^\circ=-\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
である。
ここで注目したいのは、符号だ。
$$
150^\circ
$$
では、点Pが左側にあるので、
$$
x
$$
が負になる。
そのため、
$$
\cos150^\circ
$$
と
$$
\tan150^\circ
$$
は負になる。
一方で、点Pはx軸より上にあるので、
$$
y
$$
は正である。
そのため、
$$
\sin150^\circ
$$
は正になる。
鈍角では、x座標が負になることがある。だからcosやtanにマイナスが出てくるんだ。
今回は、
$$
0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ
$$
の範囲での三角比を、半円と座標を使って定義した。
半円上の点Pを
$$
P(x,y)
$$
半径を
$$
r
$$
とすると、
$$
\sin\theta=\frac{y}{r}
$$
$$
\cos\theta=\frac{x}{r}
$$
$$
\tan\theta=\frac{y}{x}
$$
ってことだったな。
この定義を使うことで、
$$
120^\circ
$$
や
$$
150^\circ
$$
のような鈍角の三角比も考えられるようになるんだ。
直角三角形から、半円と座標へ。ここで三角比の世界が一気に広がる。sinはy、cosはx、tanはy/x。まずはこれを押さえよう。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は「三角比 90-θ の公式」の証明をやるぞ。最後は tan(90°−θ)=1/tanθ だ。
高校数学Iの三角比では、次の公式が出てくる。
$$
\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}
$$
この公式を見ると、
「なぜ tan は逆数になるの？」
と思うかもしれない。
sin と cos のときは、入れ替わるだけだった。
しかし、tan の場合は、
$$
\frac{1}{\tan\theta}
$$
という形になる。
でも、これも丸暗記だけで終わらせる必要はない。
実は、
直角三角形の見る角を変えただけ
なのだ。
tan が逆数になる理由も、直角三角形を見ればわかる。ポイントは、対辺と隣辺が入れ替わることだ。
この記事では、
$$
\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}
$$
がなぜ成り立つのかを、直角三角形を使ってわかりやすく解説する。
直角三角形ABCを考える。
角Cを直角とする。
そして、角Aを
$$
\theta
$$
とする。
このとき、直角三角形の3つの角の和は、
$$
180^\circ
$$
である。
角Cは直角なので、
$$
90^\circ
$$
だ。
したがって、角Aと角Bの和は、
$$
90^\circ
$$
になる。
つまり、
$$
∠ A+∠ B=90^\circ
$$
である。
角Aが
$$
\theta
$$
なので、角Bは、
$$
90^\circ-\theta
$$
となる。
直角三角形では、直角以外の2つの角を足すと90°になる。片方がθなら、もう片方は90°−θだ。
ここからが核心だ。
角Bは、
$$
90^\circ-\theta
$$
だった。
だから、
$$
\tan(90^\circ-\theta)
$$
とは、角Bを基準にしたtanを考えるということだ。
tanは、
$$
\frac{対辺}{隣辺}
$$
である。
角Bから見ると、辺ACは対辺になる。
また、辺BCは隣辺になる。
したがって、
$$
\tan(90^\circ-\theta)=\frac{AC}{BC}
$$
である。
角Bから見ると、ACが対辺、BCが隣辺になる。だから tan(90°−θ) は AC/BC だ。
一方で、角Aは
$$
\theta
$$
だった。
角Aを基準にすると、辺BCは対辺になる。
また、辺ACは隣辺になる。
tanは、
$$
\frac{対辺}{隣辺}
$$
なので、
$$
\tan\theta=\frac{BC}{AC}
$$
である。
ここで、
$$
\tan\theta=\frac{BC}{AC}
$$
なので、その逆数は、
$$
\frac{1}{\tan\theta}
=
\frac{1}{\frac{BC}{AC}}
$$
となる。
分数の逆数を考えると、
$$
\frac{1}{\frac{BC}{AC}}
=
\frac{AC}{BC}
$$
だから、
$$
\frac{1}{\tan\theta}=\frac{AC}{BC}
$$
である。
tan(90°-θ) と 1/tanθ は同じ AC/BC になる
ここまでをまとめよう。
角Bから見ると、
$$
\tan(90^\circ-\theta)=\frac{AC}{BC}
$$
だった。
一方で、角Aから見ると、
$$
\tan\theta=\frac{BC}{AC}
$$
である。
だから、
$$
\frac{1}{\tan\theta}=\frac{AC}{BC}
$$
となる。
つまり、
$$
\tan(90^\circ-\theta)=\frac{AC}{BC}
$$
$$
\frac{1}{\tan\theta}=\frac{AC}{BC}
$$
となる。
どちらも同じ
$$
\frac{AC}{BC}
$$
を表しているので、
$$
\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}
$$
が成り立つってわけだ。
これが正体だ。角Bから見たtanと、角Aから見たtanの逆数は、どちらも辺ACと辺BCの比を見ているんだ。
それじゃあな。
