中学数学ではたくさん「角度の問題」が出てくるよね？
中でもなぜかでてきやすいのが、この不思議な図解↓
ブーメランのように見えてくるし、矢じりのようにも見えてくるし、「く」にも見えてくる。
いや、紙飛行機のようにも見えなくは、ない。
角度によっては「人」に見えるときも、ある。
じつはこの四角形にはちゃんと名前がついていて、業界では
凹四角形（おうしかくけい）
と呼んでいるんだ。
これは、
1つの内角の大きさが180度を超える四角形のこと
だね。
この問題は難しそうに見えるけど、じつはめちゃくちゃ簡単だよ。
この四角形が出てきたら、次の法則を覚えておけば大丈夫。
ズバリ、
「3つの尖った内角」をたすと「溝の角度」になる
っていう裏技。
たとえば、「尖った部分の角度」がそれぞれ
だとしよう。
このとき、矢じりの裂け目、ブーメランが曲っている角度は、a・b・cをぜーんぶ足した角度になるんだ。
いやあ、こりゃ不思議だね。
これを応用してやると、次のような問題も一発でとけるようになるよ。
xの角度を求めなさい。
この場合、ぜーんぶの角度を足してやって、
45 + 24 + 25
= 94度
で、Xの角度は94度ってわけさ。
いやあ、ぜーんぶ足すだけなんて超楽。
それじゃあ、なぜブーメラン型の四角形の角度は求めやすいんだろうね？？
いろいろ求め方があるけど、一番しっくりきているのは三角形の外角の定理を使う方法かな。
念のために復習すると「三角形の外角の定理」とは、
2つの内角をたすと、残りの内角に接する外角になる
ってやつだったね。
まずは補助線を引いてみよう。
ブーメランの1辺から向かい側に向かって補助線を引っ張ってやる。
そして、三角形を2つ作る。
あとは2つの三角形で、三角形の外角の定理を2回使うだけ。
まず手前の「赤い三角形」で外角の性質を使ってみよう。
すると、外角の大きさはaとbを足したやつになるはず。
そして、緑の三角形でもう一回、外角の定理を使っていくよ。
この三角形に注目してみると、
という2つの内角になっているから、これらを足すと外角は
a+b+c
になるはずだ。
これで、ブーメランの尖ってる角度をたすと、曲っている角度になると証明できたね。
こんな感じで、ブーメラン型の四角形は解き方を知っていれば楽勝。
テストにでてきたらむしろガッツポーズしてもいい。
ただ、なぜそうなるかまで押さえておくと、応用問題まで対応できるようになるから勉強してみてね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いてるKenだよ。ナンは1つでいいね。
三角形の角の二等分線の定理・性質
っておぼえてるかな？？
念のために復習しておくと、
「三角形の二等分線と底辺の交点」と「各頂点の長さの比」が、他の辺の2辺と等しい
っていう定理だったよね？？
言葉じゃわかりづらいから図をみてみよっか。
たとえば、
の△ABCで、∠Aの二等分線との交点をDとすると、
AB : AC = BD : DC = a : b になってるんだ。
なぜ、三角形の角の二等分線の性質が使えるのかわからない？？
そういうときは、角の二等分線の定理の証明の記事を読んでみてね。
今日はこの定理を使った問題を解説していくよ。
つぎの問題を解いてみよっか。
つぎの△ABCにおいて、線分BDの長さを求めなさい。
このタイプの比の問題はつぎの3ステップで解けちゃうんだ。
まずは、三角形の2つの辺の比を求めてみよう。
練習問題でいうと、
の2辺だね。
こいつの辺の比を求めてみると、
AB : AC = 9 : 6 = 3 :2
になる！
これが第一ステップ。
いよいよ三角形の角の二等分線の定理の出番だ。
さっき求めた「三角形の2辺の比」と「二等分線と底辺の交点でできた線分の比」が等しいってことがいえるからね。
練習問題でいうと、
AB : AC = BD : DC
が言えるわけ。
ステップ1で、AB : AC = 3 : 2がわかったから、
BD : DC = 3 : 2
ってことがわかるね。
これが第二ステップ！
求めた辺の比を使って、辺の長さを計算しよう。
練習問題でいうと、
BD : DC = 3 : 2
っていう比をつかって、BDの長さを求めればいいね。
底辺BCの長さは10cmだったから、
BD = 10 × 5分の3 = 6 cm
になるんだ。
角の二等分線の性質の問題はどうだったかな？？
の3ステップでだいたい解けそうだったね。
最後につぎの応用問題を解いてみよう！
つぎの△ABCにおいて、AE : EDを求めなさい。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いてる Kenだよ。分子を振動させたね。
中2と中3数学の平面図形で、
三角形の「合同条件」と「相似条件」
を勉強してきたよね。
両方とも数学の証明のために必要なアイテムだから、テスト前には覚えなきゃいけないね。
念のためおさらいしておくと、
だったね。
でもさ、この2つの条件ってちょっと似てない？？
ごちゃ混ぜにしちゃうことあるよね。
そこで今日は、
三角形の合同条件と相似条件をごちゃ混ぜにしないために、整理して覚えてみよう！
合同条件と相似条件の似ているところと、違うところを中心に復習していくよ。
三角形の合同条件と相似条件をうまく覚えるために、3つの種類に分類してみたよ。
| 3つの何かが等しい条件 | 2つの角が等しい条件 | 2辺を角で挟んだ条件 | |
|---|---|---|---|
| 合同条件 | 3つの辺がそれぞれ等しい | 両端の角とその間の辺が等しい | 2つ辺とその間の角が等しい |
| 相似条件 | 3つの辺の比がすべて等しい | 2つの角がそれぞれ等しい | 2つの辺の比とその間の角が等しい |
まず1つ目の条件の種類は、
3つの「何か」が等しいやつだ。
合同条件と相似条件をそれぞれ見ていこっか。
「3つの辺の長さ」がすべて等しいっていう条件は合同条件だ。
この条件を満たす三角形たちは合同である、ってことが言えるわけね。
たとえば、次の2つの△ABCと△DEFを想像してみて。
と、
この2つの三角形は合同って言えるんだ。
なぜなら、すべての3つの辺の長さがそれぞれ等しいからね。
「3つの辺の比」がすべて等しいとき、2つの三角形は相似って言えるんだ。
たとえば、2つの△ABCと△DEFを想像してみて。
と
だ。
この2つの三角形は相似になってるはず。
なぜなら、
になっていて、すべての辺の比が全部1:2で等しくなってるね。
つぎの条件は、2つの角が等しい条件だ。
2つの角が等しいことを使った条件が、なんと偶然にも合同条件と相似条件に1つずつ存在しているんだ。
まず三角形の合同条件には、
1つの辺とその両端の角がそれぞれ等しい
っていう条件があるよ。
つまり、
1つの辺が等しくて、それを挟んでいる2つの角が等しかったら合同が言えるってわけね。
たとえば、つぎの2つの△ABCと△DEFを想像してみて。
と、
この2つの三角形はへんのひとつの辺の長さが等しくて、その両端の額の大きさが等しいよね。
だから、この2つの三角形は合同であると言えるんだ。
ふたつめの相似条件は、2つの角がそれぞれ等しいっていうやつだね。
この相似条件は1番簡単で、でてきやすい相似条件なんだ。
たとえば、次の△ABCと△DEFを想像してみて。
この場合、2つの三角形は、「2つの角がそれぞれ等しい」っていう相似条件に当てはまるから、相似であるといえるんだ。
つぎは、2つの辺が角を挟んじゃってる条件だ。
合同条件と相似条件には2つあるよ。
最後の合同条件は、
2つの辺との間の角がそれぞれ等しい
ってヤツ。
等しい辺たちが等しい1つの角を挟んでいれば、2つの三角形は合同って言えるんだ。
たとえば、つぎの△ABCと△DEFを想像してみて。
と、
この2つの三角形は、2つの辺（BCと EF、 ABとDE）が等しくて、
なおかつ、その辺に挟まれた間の角（∠ABC と∠DEF）が等しいから合同って言えるんだ。
最後の相似条件は、
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
ってヤツね。
つぎの△ABCと△DEFを想像してみて。
と、
この2つの三角形は相似なんだ。
なぜなら、
で2組の辺の比が1:3で等しくなっていて、なおかつ、その2辺の間に挟まってる角の、∠ABCと∠DEF が等しくなってるからね。
三角形の合同条件と相似条件は思い出せたかな？？
最後にもう一回復習してみよう。
| 3つの何かが等しい条件 | 2つの角が等しい条件 | 2辺を角で挟んだ条件 | |
|---|---|---|---|
| 合同条件 | 3つの辺がそれぞれ等しい | 両端の角とその間の辺が等しい | 2つ辺とその間の角が等しい |
| 相似条件 | 3つの辺の比がすべて等しい | 2つの角がそれぞれ等しい | 2つの辺の比とその間の角が等しい |
どちらも証明問題に必要な条件だから、しっかりテスト前には覚えておこうね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いてる Kenだよ。ゆれた、ね。
中3数学で相似を勉強していると、
中点連結定理（ちゅうてんれんけつていり）
を習うよね？？
中点連結定理とはその名前の通り、
三角形の辺の中点を連結したときに使える定理のこと
をいうんだ。
三角形の2つの辺の中点を結んであげるとね、
なんと、その中点を結んでできた辺の長さは、底辺の長さの半分になっていて、
なおかつ、底辺と平行になっているんだ！
これが中点連結定理の正体。
つまり、中点連結定理の中身を開けてみると、おもに2つに分かれてるわけ。
三角形の中点を結ぶだけで底辺の半分の線が引けて、しかも、そいつは底辺に平行でもあるっていうんだ。
むちゃくちゃ楽チンな定理だね。
えっ。中点連結定理は役に立つのかって？？
今日はそんな疑ってるみんなのために、実際に中点連結定理を使ってみよっか。
つぎの△ABCを想像してみて。
こいつの、辺 ABとACの中点 Mと Nを結んでみたんだ。
∠ACB=48°のとき、
を求めてみよっか！
まずはMNの長さを求めてみよう。
MとNはそれぞれ三角形の辺の中点だから、さっき勉強した中点連結定理が使えるね。
中点連結定理では、三角形の辺の中点を結ぶと、
「結んだ線分の長さ」は「底辺の半分の長さ」になる
って習ったね？
だから、MNの長さは底辺BCの半分になるはずなんだ。
よって、
MN = 1/2 BC = 12×1/2 = 6cm
になるよ。
中点連結定理を使ってやると、中点を結んだ線分の長さを1秒ぐらいで計算できちゃうんだ。
ね？便利でしょ？？
つぎは、∠ANMの大きさを求めてみよっか。
中点連結定理のもう1つの性質の、
三角形の辺の中点を結んだ線分は底辺に平行になる
を使うと求めることができるよ。
MとNは△ABCの辺のそれぞれ中点になってるよね？？
だから、中点連結定理を使うと、
MN//BC
ってことがわかる。
平行な線分同士の同位角は等しいから、同位角の位置にある、
は等しいはずなんだ。
問題によると、∠ACB = 48° だから、
∠ANM = ∠ACB = 48°
になるってわけ！
やったね！
これで中点連結定理の平行になる性質も使うことができた！
中点連結定理はどうだったかな？
最後にもう一回復習しておこっかー！
【中点連結定理】
三角形の2辺の中点を結ぶと、
結んでできた線分は、底辺の長さの半分になり、
しかも、底辺に平行である。
中点連結定理を使った証明問題はよく定期テストにも出てくるから、しっかりおさえておいてね。
そんじゃねー
Ken
やあ、 Dr. リードだよ！！
今日は平行線にはさまれた線分の比の定理を証明するよ。
つぎの2つの定理を証明していくんだ。
△ABCの辺AB・AC上の点をそれぞれP・Qとするとき、
ところで、今日はケーキを用意したぞ。
最近よく頑張ってるみたいだし。
ごほうびだ。
ちょっと注目して欲しいんだけど、
スポンジとクリームが見事な平行線をつくってるだろ。
「クリーム」と「スポンジの切り口」の長さは左側でも右側でも、
それぞれ一緒だろ？
よ～く目に焼き付けといてくれよ。
平行線と線分の比の定理を忘れそうになったときは、
カットしたケーキをイメージしてくれよな。
さっそく、2つの定理の証明をしていくぞ。
平行線と線分の比の証明の1つめ。
△ABCの辺AB・AC上の点をそれぞれP・Qとするとき、
PQ//BCならば、 AP:AB = AQ : AC = PQ : BC
こいつはズバリ、
で2つの三角形の相似を証明をしていけばいいのさ。
以下、証明な↓↓
△ＡＢＣと△ＡＰＱにおいて、
ＰＱ∥ＢＣなので、
∠ＡＢＣ ＝ ∠ＡＰＱ （平行線の同位角は等しい）①
∠ＡＣＢ ＝ ∠ＡＱＰ （平行線の同位角は等しい）②
①・②より、
２つの三角形の２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ ∽ △ＡＰＱ
よって、ＰＱ∥ＢＣならば、
AP：AB ＝ AQ：AC ＝ PQ：BC である。
2つの三角形の相似を証明するだけだから簡単だね。
つぎは2つ目の平行線と線分の比の証明だ。
△ABCの辺 AB、AC上の点をそれぞれ点をP・Qとするとき、
PQ // BCならば、
AP : PB = AQ : QC
を証明していけばいいんだね。
まず、補助線を引くぞ。
点Ｐを通り辺ＡＣに平行な直線ＰＲを引いてみるよ。
以下、証明な↓↓
△ＡＰＱと△ＰＢＲについて、
ＰＱ∥ＢＣなので、
∠ＡＰＱ＝∠ＰＢＲ（平行線の同位角は等しい）①
ＰＲ∥ＡＣなので、
∠ＡＰＱ＝∠ＰＢＲ（平行線の同位角は等しい）②
２つの三角形の２組の角がそれぞれ等しいので
△ＡＰＱ ∽ △ＰＢＲ
よって、ＡＰ：ＰＢ ＝ ＡＱ：ＰＲ・・・ ③
また，ＰＱ∥ＢＣ，ＰＲ∥ＡＣなので、
四角形ＰＲＣＱは平行四辺形で、
ＰＲ ＝ ＱC・・・④ （平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しい）
③と④より、
ＡＰ：ＰＢ ＝ ＡＱ：ＰＲ ＝ ＡＱ：ＱＣ
やった！
平行線と線分の比の証明もできるようになったね。
平行線と線分の比の証明はどうだったかな？
定理①はすぐ思い浮かぶけど、定理②は忘れちゃいがち。
2つの定理に共通してるのは、
同位角をつかって三角形の相似を証明する
ってこと。
しっかり覚えてくれよ。ケーキだよ。ケーキ。
今回はここまでね。
じゃ、お茶にしよう。
Dr.リード
Dr.リードだよっ。
円周角の定理の使い方にも慣れてきたかな？
今日はな、
円周角の定理の証明
を解説していくぞ。
つまり、
なぜ、円周角の定理が使えるのか？？
ってことを暴いていくわけだ。
別に知らなくてもいいけど、知っておいた方がスッキリするだろ？
今日は長い長い話になる。
ピザでも食べながら行ってみよう！
「円周角の定理」を証明していくぞ。
3点A・B・Pがある円Oを想像してくれよな。
円周角と中心角の位置関係はつぎの3通りある。
それぞれの場合を証明していけばいいんだ。
まずは点P がOBの延長上にきてる場合ね。
このパターンでは、
をうまく使っていくよ。
えっ。三角形の外角の定理なんて忘れた？！
三角形の1つの外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しい
っていう定理だったね。
こいつをうまく使って証明してみよう。
OP・OAはそれぞれ円Oの半径だから、
OP = OAよって、△OPAはOP = OAの二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいから、
∠OAP = ∠OPA ・・・ (1)三角形の外角の定理より、
∠AOB = ∠OAP + ∠OPA・・・(2)
(1)、(2)より、
∠APB = 1/2∠AOB
「二等辺三角形の性質」と「外角の定理」を知ってれば証明できるね！
さあ、サクサク行くぞ。
つぎは、
中心Ｏが円周角の内部におさまってる形だ。
補助線を緑で引いていくぞ。
点Ｐと中心Ｏを結び延長して、交点をQとしよう。
中心を通るから、ＰＱは円Ｏの直径ってことになるね。
上の図みたいに補助線を中心に2つの図形に分けてみて。
の順番で証明していくよ。
OP・OAはそれぞれ円Oの半径だから、
OP = OA
よって、△OPAはOP = OAの二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいから、
∠OAP = ∠OPA ・・・ (1)
三角形の外角の定理より、
∠AOQ = ∠OAP + ∠OPA・・・(2)
(1)、(2)より、
∠APQ = 1/2∠AOQ・・・(3)
OP・OBはそれぞれ円Oの半径だから、OP = OB
よって、△OPBはOP = OBの二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいから、
∠OBP = ∠OPB ・・・ (4)
三角形の外角の定理より、
∠BOQ = ∠OBP + ∠OPB・・・(5)
(4)、(5)より、
∠BPQ = 1/2∠BOQ・・・(6)
で，右半分の図と左半分の図を元通りに重ね合わせると，
(3)+(6)より、
∠APQ +∠BPQ= 1/2∠AOQ + 1/2∠BOQ
よって、
∠APB = 1/2∠ AOB
よって、
円周角∠APBは中心角∠AOBの半分である。
最後は、
中心Oが∠APBの外にあるパターンね。
またまた補助線引くよ。
OPを延長した線分と円周の交点をQとするぞ。
ややこしいから、目を皿のようにして見とけよ！
同じように図形を分解して、見やすくしてみるね。
重なりをバラバラにして、
左と右でそれぞれ分けて考えてみるよ。
OP・OAはそれぞれ円Oの半径だから、
OP = OA
よって、△OPAはOP = OAの二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいから、
∠OAP = ∠OPA ・・・ (1)
三角形の外角の定理より、
∠AOQ = ∠OAP + ∠OPA・・・(2)
(1)、(2)より、
∠APQ = 1/2∠AOQ・・・(3)
OP・OBはそれぞれ円Oの半径だから、
OP = OB
よって、△OPBはOP = OBの二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいから、
∠OBP = ∠OPB ・・・ (4)
三角形の外角の定理より、
∠BOQ = ∠OBP + ∠OPB・・・(5)
(4)、(5)より、
∠BPQ = 1/2∠BOQ・・・(6)
(3)・(6)より、
∠BPQ -∠APQ = 1/2∠BOQ – 1/2∠AOQ
よって、
∠APB = 1/2∠AOB
よって、
円周角∠APB は∠AOBの半分である。
円周角の定理の証明はどうだったかな？？
つぎの3パターンの証明ができればよかったよね？
３パターンとも証明しちゃったんだから使いホーダイ。
円周角の定理を心気なくガシガシ使っていこう。
じゃあな。
Dr.リード
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
円周角の定理の逆の証明がかけなくて困っていました。
円周角の定理の逆を証明してみよう！
いきなり証明って言われても……
いったん分かると便利！
いろんな問題に使えるんだよな。
円周角の定理の逆って、
そんなに便利なの？
まあね。
円の性質の問題では欠かせないよ。
円周角の定理すら覚えてないのに……
そんなときのために！！
円周角の定理をサクッと復習しよう。
【円周角の定理】
1つの円で弧の長さが同じなら、円周角も等しい
∠ACB=∠APB
なるほど！
少し思い出せた！
【円周角の定理の逆】
2点P、 Qが線分ABを基準にして同じ側にあって、
∠APB = ∠AQB
のとき、
4点ABPQは同じ円周上にある。
ちょっとわかった気がする！
その調子で、
円周角の定理の逆の証明をしてみようか。
はい！！
さっそく、
円周角の定理の逆を証明していくよ。
どうやって？
証明するの？
つぎの3つのパターンで、
角度を比べるんだ。
つぎの円を思い浮かべてみて。
点Pが円の内側にあるとき、
∠ADBと∠APBはどっちが大きい？
そう！
点 Pが円の外にあるときは？
∠ADBの方が大きい！
そうだね！
今わかってることを書いてみよう！
点Pは円の内側になると、
∠ADB＜∠APB
になって、
点Pが円の外側になら、
∠ADB＞∠APB
おっ、いい感じだね！
点Pが円上のとき、
∠ADB＝∠APB
じゃん！
そういうこと！
点 Pが円の内側に入っちゃったり、
円の外側に出ちゃったりすると、
角度は等しくなくなっちゃうよね。
はい！
点 Pが円周上にあるときだけ、
2つの角度が等しくなるってわけ。
なるほど！
ってことは、これが証明なんだ。
そう。
円周角の定理の逆の証明はこれでok。
いつもの証明よりは楽だったかも。
円周角の定理の逆の証明はどうだったかな？
3つの円のパターンを比較すればよかったね。
図を見れば当たり前のことだったなあ
いうねえ
やってみると分かりやすかった！！
まずはあきらめず挑戦してみて！
うす！
こんにちは！ぺーたーだよ。
円周角の定理とか円周角の定理の逆とか
もう慣れてきたかな？
円周角の定理って角度を求めるときにも使うんだけど、
相似を証明するときにも使えるんだ。
たとえば、つぎみたいな証明問題ね。
練習問題
下の図のように、円周上に4点A,B,C,Dがあり、
ACとBDの交点をPとする。
このとき△ABP∽△DCPになることを証明せよ。
今日は、この問題を解説するよ。
証明に必要なことを復習しながら説明するから、
頑張ってついてきてね！
円周角の定理の証明問題はつぎの3ステップでとけちゃうよ。
さっきの練習問題をといていこう。
練習問題
下の図のように、円周上に4点A,B,C,Dがあり、
ACとBDの交点をPとする。
このとき△ABP∽△DCPになることを証明せよ。
証明問題に入る前に、
円周角の定理ってなんだったか、しっかり思い出しとこう！
円周角の定理は2つの性質があったね！
1つの弧に対する円周角の大きさは、
その弧に対する中心角の半分ってやつと、
同じ弧に対する円周角の大きさは等しいってやつだね。
くわしくは「円周角の定理」の記事を復習してみてね。
まず、さっき思い出した円周角の定理を使って、
等しい角がないか確かめてみよう。
弧BCの円周角がどこになるかわかるかな？
そう。
∠BACと∠BDCだね！
1つの弧に対する円周角は等しいんだから、
この2つの角は等しいってことになるね！
∠BAC=∠BDC…①
もう1つの角も円周角が使えるよ。
今度は弧ADで見てみようか。
さっきと同じように円周角を見つけてよう。
そうすると2つの円周角が見つかるね！
ってことは角の大きさは一緒だね！
∠ABD=∠ACD…②
つぎは相似条件で三角形の相似を証明しよう。
相似条件は、
だったね？？
円周角の定理の証明では、十中八九、
2組の角がそれぞれ等しい
をつかうかな。
なぜなら、円周角の定理では辺の比が等しいことは証明しにくいからね。
角度が等しいことなら得意分野なんだ。
だから、まずは、
2組の角が等しいことがいえるかどうかを疑ってみよう。
練習問題をみてみて。
Step1で円周角の定理をつかったら、
がわかったよね？？
ってことは、
△ABPと△DCPにおいて、
2組の角が等しいことがいえるね。
よって、これは相似条件をみたしてるから、
△ABP∽△DCP
がいえるってわけね。
これで証明のゴールにたどり着けたね！
証明のゴールまでの見通しができたら、
あとは証明をかくだけ。
相似の証明の書き方を参考にしてね。
Step2までのながれをかいてみるとこうなるね↓↓
△ABPと△DCPについて、
円周角の定理より、同じ弧に対する円周角は等しいので、
∠BAC=∠BDC…①
∠ABD=∠ACD…②
①、②より、
2組の角がそれぞれ等しいので、
△ABP∽△DCP
ってかんじかな！
円周角の定理をつかった証明問題はどうだった？？
基本的な解き方としては、
円周角の定理をつかって、
相似条件の「2組の角がそれぞれ等しい」の方向に持ち込む・・・
というのが基本かな。
今回紹介した証明問題は、基本的なものあったけど、
応用問題でも構造はいっしょ。
円周角については問題をたくさん解いて、
「こことここは円周角の定理で等しいな」
って見つけられるのが一番かな！
今日はこれでおしまい！
またね！
ぺーたー
やあ、ぺーたーだよ。
中3数学もいよいよ大詰め。
いよいよ、
円の性質っていう単元
を勉強していくよ。
今日は、この単元でいちばん大事な、
円周角の定理とはなにか？？
をまとめてみたんだ。
計算や証明で使ったりするから、しっかりおさえてあげてね。
= もくじ =
円周角の定理を理解するためにはまず、
の2つの意味を知らないとね。
まず円周角からだ。
円周角とはなんだろう？？
Wikipediaをみてみると、
ユークリッド幾何学においてある円周上の一点から、この点を含まない円周上の異なる二点へそれぞれ線分を引くとき、その二つの線分のなす角のことである。
ってかいてある。
これはちょっとむずかしいw
正直、ユークリッドとかわけわからんよね。
円周角をもうちょっと簡単にいってあげると、
「円周上の1点」と、
そいつと被らない円周上の2つの点を、
線分でむすんだときに、
できる角度のことを、
円周角（えんしゅうかく）
とよんでいるんだ。
たとえば、つぎの円Oがあったとしよう。
円周上の点をA・B・Pとするよ。
このとき、
∠APBを弧ABに対する円周角
っていうんだ。
こんなかんじで、円周角には、
弧○○の円周角
というかんじで、どこかの弧に属してるってわけ。
つぎは中心角。
中心角を数学用語集でしらべてみると、
弧の両端を通る2つの半径の作る角
らしいね。
これはわかりやすい。
「円の弧」の、
「両端を通る2つの半径」が、
つくる角を、
中心角（ちゅうしんかく）
というんだ。
たとえば、下の円Oだったら、
∠AOBが弧ABに対する「中心角」
ってわけね。
中心角も円周角とおなじように、
弧○○っていうかんじでどこかの弧に属しているよ。
円周角と中心角の違いはOKかな？
この2つの違いはしっかり理解しておいてね！
円周角の定理は、
円周角の決まりみたいなもんだ。
大切だからきっちり覚えてね！
円周角の定理は2つの性質があるよ。
つまり、
の2つの円周角の定理があるんだ。
どっちも、
「同じ弧に対する」
っていう条件が含まれてることに注意ね。
まずは、円周角と中心角の性質からだね。
1つの弧に対する円周角の大きさは、
その弧に対する中心角の半分である
っていう定理なんだ。
たとえば、つぎのような円Oがあったとしよう。
このとき、円周角APBは中心角AOBの半分になるんだ。
式であらわしてやると、
角APB = ½ 角AOB
になるね。
これが、円周角の定理のうち、
同じ弧に対する円周角と中心角の関係ってやつね。
だから、もし、円周角APBが「50°」だとしたら、
中心角AOBは「100°」になるってわけだね。
つぎは、円周角の性質だね。
なんと、同じ弧の円周角ならすべて等しいんだ。
この定理でも、
“同じ弧に対する”
っていう点に注意してね。
たとえば、下の円Oをみてみて。
もし、弧ABに対する円周角APBが「50°」だとしたら、
∠AQB = 50°
になるはずなんだ。
なぜなら、
両方とも弧 ABの円周角だからね。
円周角の定理がどんなものかわかったかな？
最後に円周角の定理を使った例題を解いてみよう。
次の図の∠ｘの大きさを求めてみて。
こいつはそんなに難しくないかもね！
1つの弧に対する円周角の大きさは等しいから、
∠APB = ∠AQB
になるんだ。
だから∠ｘ=36°だね！
この問題は解けそうかな？
弧ABの円周角がｘ、∠AOBが弧ABの中心角
っていうことを見抜けると答えが出るよ。
そうすると円周角の定理の、
1つの弧に対する円周角の大きさは
その弧に対する中心角の半分である
をあてはめてやって、
∠ｘ=104÷2
=52
ってことで、
答えは52°だね！
どうだったかな？
円周角の定理がどんなものか
理解できたかな？
どこが円周角で、どこが中心角なのか
ぱっぱと頭の中で分かるようになるのがカギだね。
円周角の定理を使った問題をくりかえしやってみてね。
最初にも言ったけど、証明問題でも活躍するから覚えといてね！
じゃあ、お疲れ！またね！
ぺーたー
こんにちは、Drリードだよ。
相似でいちばんやっかいなのは、
相似の証明の問題
だね。
これは文字通り、
ある図形が相似であること
を証明しなきゃいけない問題なんだ。
テストによくでてくるから完ぺきにしておこう。
前回の記事では「相似の証明問題の書き方」を勉強してきたよね？？
今日は、もう一歩踏み込んで、
相似の証明問題でよくでてくる3つのパターン
を勉強していくよ。
テスト前に参考にしてみて。
相似の証明には基本の３パターンがあるよ。
それぞれの特徴と証明の進め方を確認していこう。
図形を見て、
「あっ，○○○タイプだっ」
てわかるようになれば一安心だね。
1つめによくでてくる証明問題のパターンは、
リボン型の図形
だ。
この問題の図形は、文字通り、
リボンの形
をしているよ。
たとえば、つぎのような問題だね。
証明問題1.
つぎの△AODと△COBが相似であることを証明しなさい。
この問題の場合、2つの辺の長さがわかっているね。
あとはどの相似条件にあてはまるかだ。
2つの辺がわかっているから、つぎの相似条件のどっちかにあてはまるはずだね。
1つめの相似条件にあてはまるためには、
ADとBCの長さ
が必要になってきちゃうね。
これはたぶん、おそらく、無理！
超能力ならいけそうだけどね。
ってことで、2つめの相似条件の、
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
が使えそうだ。
これなら、長さがわかってる2つの辺にはさまれた、
の大きさが等しいってわかるからね。
だって、対頂角だから等しいんだもん。
ってことで、
になるから、相似条件の、
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
がつかえそう。
以上をふまえて、相似の証明の書き方通りにかいてやると、
仮定から、
AO：CO ＝ 3 : 6 = 1 : 2 ・・・①
DO：BO = 5 : 10 = 1：2 ・・・ ②
対頂角は等しいので、
∠AOD = ∠COB・・・ ③
①②③より、
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、
△AOD ∽ △COD
になるね。
つぎの相似証明問題のパターンは、
ひねくれ回転型
だ。
これは文字通り、
図形が回転していて、相似がみえにくくなってる問題ね。
たとえば、相似なイラスト同士だったら回転していても、
どことどこが対応するかわかりやすいよね。
特徴があるんだもん。
でも図形だと、そうはいかない。
向きが変わるだけでわからなくなっちゃうんだ。
たとえば、つぎのような証明問題。
証明問題2.
つぎの図形のなかから相似な図形をさがして、
その相似を証明しなさい。
このタイプの証明問題では、
面倒でも別々に切り離して、
対応する辺や角度を確認してみるといいよ。
すると、
△ABCと△ACDが相似ってことがわかるね。
なぜなら、
になって、2組の角がそれぞれ等しいっていう相似条件がつかえるからね。
えっ。図形を回転させるのがむずかしいって！？？
そんなときは、
対応する辺や角を大きさ順に、
「大中小」とか「長中短」とか
っていう順序をつけるといいよ。
こんなかんじで、ひねくれて回転している図形をなんとかして、
対応する辺の順番にそろうように回転させてみてね。
実際に証明をかいてみると、こんな感じになるよ↓↓
△ＡＢＣと△ＡＣＤについて
仮定より
∠ＡＢＣ ＝ ∠ＡＣＤ ・・・ ①
共通の角なので、
∠ＢＡＣ ＝ ∠ＣＡＤ・・・②
①・②より、
2つの角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ ∽ △ＡＣD
最後の相似の証明のパターンは、
直角三角形で垂線がおろされてる問題
だ。
たとえば、つぎの相似の証明問題だね。
証明問題3.
つぎの図形のなかから相似な図形をさがして、
相似であることを証明しなさい。
このさっきの相似の証明問題とおなじ。
対応する辺・角が重なるように回転させればいいんだ。
わかりやすいように、△ABDを△ABCの外にとりだして回転させてみると、
あら！
△ABCと△DBAが相似っぽい！
なぜなら、
だからね。
2組の角がそれぞれ等しい
っていう相似条件が使えることになるんだ。
この証明をちゃんとかいてやると、こうなるよ↓↓
△ABCと△DBAについて
仮定から、
∠BAC ＝ ∠BDA ＝ ９０°・・・①
共通なので、
∠ABD ＝ ∠DBA・・・②
①②より、
2組の角がそれぞれ等しいので
△ABC ∽ △DBA
相似の証明問題はめんどくさそうにみえるけど、じつは、
どの問題もよく似ていて、
パターンがみえるんだ。
なれるまでたくさん相似の証明問題をといてみよう。
それじゃあ！
Drリード
どうも、Drリードだよ。
中3数学の図形では、
図形と相似
を勉強してくよね。
この単元のなかでもやっかいなのが、
相似の証明問題
だ。
まず、証明とか苦手なのに、
図形の相似を証明しなきゃいけないときてる。
正直、きちいね。
でもね、じつは、
相似の証明問題には書き方のルールがあるんだ。
これならどんな相似の証明問題もイチコロさ。
相似証明問題の書き方を紹介していく前に、
2つのことをやっておこう。
つぎの相似の証明問題で練習してみようね。
つぎの2つの三角形が相似であることを証明しなさい。
ただし、
とします。
まずは、
問題でわかってる条件（仮定）
を図にかきこんでみよう。
練習問題では、
がわかってたよね？？
さっそく書き込んでやると、こうなる↓↓
んで、
同じ角度・辺の長さ同士に、「同じ印と色」をつけてやると、
こうなるね↓↓
つぎは、相似な三角形をさがそう。
三角形の相似条件にあてはまる2つの三角形をさがせばいいのさ。
念のため、三角形の相似条件を確認しておくと、
だったよね？？
ってことで、練習問題をみてみると、
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
がつかえそうってことに気づかない？？
だって、三角形の2組の辺の比が、
で両方1:2で等しいし、
その間にはさまってる角の、
が両方30°になってるからね。
えっ。簡単すぎるって？？！
本番の証明問題はもっと複雑でみつけにくいよ。
まだまだ油断大敵。
それじゃあ、相似の証明を実際にかいてみよう。
書き方はつぎの3ステップ。
まずは、どの図形で相似を証明するのかを宣言しよう。
相似の証明問題では、おもに、
準備でみつけた「相似になりそうな三角形」を宣言することが多いね。
練習問題では、
△ABC と△DEFが相似疑惑だったよね？？
だから、証明のいちばん最初に、
△ABCと△DEFについて、
って宣言すればいいんだ。
つぎは、
図形が相似になる根拠をかいていこう。
図や問題文からわかってることをかけばいいよ。
相似条件にあてはまる根拠をかいていけばいいのさ。
まずは、仮定からわかることを書いていこう。
問題文の中に書かれていることを数式にしてみよう。
練習問題では仮定として、
がわかってたよね？？
この仮定だけで相似条件でつかえそうだから、
証明の根拠はこれだけでいいんだ。
相似の証明の最後では、
なぜ、相似がいえるのか？？
という相似条件と、
宣言した図形が相似であること
を記号であらわしてみよう。
練習問題で言うと、
△ABCと△DEFが相似になってたね？？
つかった相似条件は、準備でもみてきたように、
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
だ。
これにより、
△ABC ∽ △DEF
がいえるってかけばいい。
これで相似の証明はおわり！
それじゃあ、この書き方で相似の証明をかいてみよう。
こんなかんじになるよ↓
△ＡＢＣと△ＤＥＦについて
仮定より、
ＡＢ：ＤＥ ＝ ５：１０ ＝ １：２ ・・・①
ＢＣ：ＥＦ ＝ ６：１２ ＝ １：２ ・・・②
∠ＡＢＣ ＝ ∠ＤＥＦ ・・・③
①②③より、
２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ ∽ △ＤＥＦ
最後にもう一度復習しておこう。
相似の証明問題を書く前の準備は、
だったね。
んで、相似証明問題の書き方は、
の3ステップ。
これで何とか道は開けるよ。
何がわかっていて、あと何がわかれば、
相似の条件がそろうのか考えてみよう。
証明を書き始める前にしっかり用意してね。
次は「相似の証明問題でマスターしておきたい３つのパターン」について話す予定だよ。
相似の証明を極めたいやつは読んでみてくれ。
それじゃあ
Drリード
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
平行線と線分の比の証明問題に出会いました。
証明問題.
下の図形において、DE//BCです。
つぎの2つのことを証明しなさい。
平行線と線分の比の証明？？
あー、もうやだ！！
平行って、
わたしと数学みたい！
決して交わることのない者同士……って、
少しは歩み寄ろ？ね？
うわあっ！？
先生か、びっくりした……
だって、
今日の授業もわかんなかった。
平行だと線分の比が……
みたいな。
いきなり、
平行線と線分を語られても困るよね。
今日は、
平行線と線分の比について考えていこう！
うす！
平行線と線分の比の証明は、
2つあったよね？？
まず1つめの、
AB : AD = AC : AE = BC : DE
を証明していこうか。
色分けしてあると、
わかりやすい！
うん、
自分でも描いてみると覚えやすいよ。
この証明のゴールはなんだっけ？？
DEとBCが平行だと、
AD：AB
＝AE：AC
＝DE：BC
ってこと？
そう！
辺の比を証明したいってことね。
こういうときは、
相似を使おう！
相似ってことは、
二つの図形を比べるの？
そう。
この場合なら、
△ABCと△ADEだね！
うーん、
DEとBCが平行
が仮定かな？
「DE//BC」
って問題にかいてあるから！
おっ、いいね！
その仮定をつかって、
△ABCと△ADEの相似
を証明できるかな？？
うーん、あ！
おっ！
なにか降りてきたかな？
相似条件はなにをつかう？？
2組の角がそれぞれ等しいかな！
同位角で対応する2つの角が等しいし
お、
今日はキレっキレっだねー
その通り！
わーい
実際に証明をかいてみよう。
証明のネタを集めたし
うす！
でもちょっと怖い……
うす！
うーん、
こんな感じかな・・・？
【証明】
仮定より、
BC//DE … ①
△ABCと△ADEで、
①より同位角が等しいので、
∠ABC＝∠ADE…②
∠ACB＝∠AED…③
②・③より、
対応する２つの角が等しいので、
△ABC∽△ADE
相似な図形では、対応する辺の比がそれぞれ等しいので、
BC：DE＝AB：AD＝AC：AE
お、やるねー！
やった！
おっと。
これでおわりじゃないよ！
平行線と線分の比は、
もう1つあったよね？？
AD : DB = AE : EC
ってやつか！！
そうそう！
うーん・・・・・
わ、わからない！
どうしたら証明できるの！？
図形は困ったら、
補助線を引くことが大切なんだ。
補助線？
そう！
Eから、ABと平行な直線を引いてみて。
平行線とBCの交点をFとするんだ。
ひ、ひけた！
どう？？
相似な図形がみえてこない？？
あああ！
△ADEと△EFC！！
なんで？？
AB//EFだから、
同位角が等しいことがつかえる！！
だ。
お、いいねー！
相似条件の、
2組の角がそれぞれ等しい
を使うわけね。
じゃあ証明かいてみてー
ういす！
【証明】
EからABに平行に引いた直線と、
BCとの交点をFとする。
仮定より、
BC//DE …①
AB//EF …②
△ADEと△EFCで、
①より同位角が等しいので、
∠ACB＝∠AED…③
同様に、AB//EFより同位角が等しいので
∠ABC＝∠ADE…④
また、BD//EFより、
∠ABC＝∠EFC…⑤
④・⑤より、
∠EFC＝∠ADE…⑥
対応する２つの角が等しいので、
△ADE∽△EFC
相似な図形では、
対応する辺の比がそれぞれ等しいので、
AE：EC＝AD：EF…⑦
また、四角形DBFEは、
①、②より平行四辺形で
向かい合う辺の長さが同じなのでBD＝EF…⑧
⑦・⑧より、
AE：EC＝AD：DB
できたぜ！姉御！
おっ。
やるじゃああん
平行線と線分の比の証明も楽勝！
って思ってもらうのが、
今回の目的！！
証明のいいところは、
多少言葉の言い回しが違っても、
正解になるところ！
筋が通っていればいいのよ。
うんうん
証明は、
とにかく書いてみよう。
おかしくてもなんとかなる。
はい！
七転び八起きですね！
ということで、
今回のポイントをまとめよう。
証明はなれれば大丈夫。
解けば解くほど上達するよ。
おまけの問題を作ってみたよ〜
【おまけ】
BC：DE＝AB：AD＝AC：AE なら、BC//DEとなる証明をしてみよう！
といてみます！
