ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
円周角の定理の逆の証明がかけなくて困っていました。
円周角の定理の逆を証明してみよう！
いきなり証明って言われても……
いったん分かると便利！
いろんな問題に使えるんだよな。
円周角の定理の逆って、
そんなに便利なの？
まあね。
円の性質の問題では欠かせないよ。
円周角の定理すら覚えてないのに……
そんなときのために！！
円周角の定理をサクッと復習しよう。
【円周角の定理】
1つの円で弧の長さが同じなら、円周角も等しい
∠ACB=∠APB
なるほど！
少し思い出せた！
【円周角の定理の逆】
2点P、 Qが線分ABを基準にして同じ側にあって、
∠APB = ∠AQB
のとき、
4点ABPQは同じ円周上にある。
ちょっとわかった気がする！
その調子で、
円周角の定理の逆の証明をしてみようか。
はい！！
さっそく、
円周角の定理の逆を証明していくよ。
どうやって？
証明するの？
つぎの3つのパターンで、
角度を比べるんだ。
つぎの円を思い浮かべてみて。
点Pが円の内側にあるとき、
∠ADBと∠APBはどっちが大きい？
そう！
点 Pが円の外にあるときは？
∠ADBの方が大きい！
そうだね！
今わかってることを書いてみよう！
点Pは円の内側になると、
∠ADB＜∠APB
になって、
点Pが円の外側になら、
∠ADB＞∠APB
おっ、いい感じだね！
点Pが円上のとき、
∠ADB＝∠APB
じゃん！
そういうこと！
点 Pが円の内側に入っちゃったり、
円の外側に出ちゃったりすると、
角度は等しくなくなっちゃうよね。
はい！
点 Pが円周上にあるときだけ、
2つの角度が等しくなるってわけ。
なるほど！
ってことは、これが証明なんだ。
そう。
円周角の定理の逆の証明はこれでok。
いつもの証明よりは楽だったかも。
円周角の定理の逆の証明はどうだったかな？
3つの円のパターンを比較すればよかったね。
図を見れば当たり前のことだったなあ
いうねえ
やってみると分かりやすかった！！
まずはあきらめず挑戦してみて！
うす！
どうも！ぺーたーだよ。
中3数学では、
三平方の定理（ピタゴラスの定理）
っていう単元を勉強するよ。
この章が終われば、中3年の数学はほぼ終わり。あともう少し頑張って勉強していこうね。
今回はこの三平方の定理を使った計算問題のうち、
よく出てくる問題の解き方
を3つ紹介するよ。
よかったら参考にしてみて。
=もくじ=
まず問題を解く前に、
三平方の定理（ピタゴラスの定理）を復習しておこう。
これがわからないと問題解けないからね。
三平方の定理（ピタゴラスの定理）とはズバリ、
直角三角形の各辺同士の関係を表した公式
だったよね？？
具体的にいうと、
直角三角形の直角を挟む2辺の長さをa、b、
斜辺の長さをcとおくと、
$$a² + b² = c²$$
になるってやつね。
三平方の定理は直角三角形のときに使える
っていうことがとっても大事だよ。
慣れてないと、ふつうの三角形でも使っちゃう人がいるからね。
早速、三平方の定理（ピタゴラスの定理）を使って問題を解いていこう。
今回紹介する問題は次の3つね。
まず三平方の定理（ピタゴラスの定理）を使って、
直角三角形の斜辺を計算する問題
を解いていくよ。
例えば、次のような問題ね。
練習問題1.
次の直角三角形ABCのxの長さを求めなさい。
この問題は直角三角形の斜めの辺、
つまり「斜辺の長さ」を求める問題だ。
三平方の定理はa² + b² = c²だったね。
今は斜辺がx、底辺と高さが3cm、1cmだから、
$$3² + 1² = x²$$
っていう式が成り立つんだ。
あとはこいつを計算してみよう。
$$3² + 1² = x²$$
$$9 + 1 = x²$$
$$x² = 10$$
$$x = ±\sqrt{10}$$
辺の長さがマイナスになることは絶対にないから、
$$x =\sqrt{10}$$
ってことね。
これが一番ベーシックな計算問題だ。
じゃあつぎ行ってみよう！
次は斜辺以外がわからないパターンだね。
例えば、つぎのような計算問題。
練習問題2.
次の直角三角形ABCのxの長さを求めなさい。
この問題では、斜辺の長さがすでにわかってるね。
まあ、こいつも三平方の定理（ピタゴラスの定理）で計算をすればよくて、
$$4² + x² = 6²$$
$$x² = 20$$
$$x = 2\sqrt{5}$$
になるね。
最後はちょっと難しい問題。
直角三角形の中に、直角三角形がいる？？
っていう問題なんだ。
練習問題3.
次の直角三角形ABCのxの長さを求めなさい。
この問題はいくつか段階を追って答えを出すんだ。
まず△ADCに注目。
こいつは直角三角形だよね？？
ってことは、三平方の定理で残りの辺の長さが求められるんだ。
斜辺が2√5㎝、高さが4㎝だから、
$$y² + 4² = (2\sqrt{5})²$$
$$y = 2$$
になるね。
図で表すとこうなる。
じゃ、次は大きい△ABCに注目。
BCの長さをzとすると、
ｘ㎝を求めるには、ｚ㎝からyの2㎝引けばいいよね？
だからｚの値が出れば答えまでもう少し！
直角三角形だから三平方の定理（ピタゴラスの定理）が使えるんだ。
斜辺が2√13cm、高さが4㎝だから、
$$z² + 4² = (2\sqrt{13})²$$
$$z = 6$$
になるね。
ってことは、xcmの長さは、そこからyの2cmを引いてやって、
$$x = 6 -2$$
$$= 4$$
答えは4cmだ！
お疲れ！
三平方の定理（ピタゴラスの定理）の計算問題はどうだったかな？？
今回マスターした計算問題の解き方は次の3つだったね。
三平方の定理の問題は解きまくってマスターしていこう。
またねー
ぺーたー
こんにちは！ぺーたーだよ。
今日は三平方の定理を使って、
座標上の2点の距離を計算する方法を勉強していこう！
関数が苦手な子は、
「えー、絶対やだ！」
とか思っちゃうかもしれないけど、
三平方の定理がしっかりわかっていれば、そんなに難しくないよ。
頑張ってやってみよう！
三平方の定理を使えば、2点間の距離は3ステップで計算できるよ。
次の例題を一緒に考えてみよう。
練習問題
2点A(-1,5), B(2,1)の間の距離を求めてください。
まずは座標と点を図にしてみて。
図がかかれてたらスキップしてもOKだけどね
練習問題でも図をかいてみようか。
まず、 座標軸をスラーっとかいてあげて、
2点の座標をポチッと打ってあげる。
だいたいこんな感じだよね。
直線ABを長さを求めるのが目標だ。
次は三平方の定理を使うために、
直角三角形を作ってみよう。
「求めたい2点の距離」を斜辺とする直角三角形を作ればいいのさ。
練習問題をみてみて。
ABを斜辺とする直角三角形を作るには、
2点から垂線を引いてやればいいね。
まず、Aからy軸と平行な垂線をひいてみて。
要はAから縦方向に線をひくんだ。
それがかけたら、Bからx軸に平行な垂線をひいてみて！
つまり、横方向の垂線ってことね。
そしたら、
2つの垂線の交点をCとしよう。
Cの座標はAのx座標、Bのy座標と同じだから、
(-1,1)
ってわけさ。
これで、 ABを斜辺とする直角三角形ABCがかけたね。
最後は三平方の定理で斜辺を求めるだけ！
練習問題では、
ACは2点のy座標の差、
BCはx座標の差だよね？？
つまり、
になるはず。
あとはABをxとおいて、三平方の定理で計算すればいいね。
4²+3²=x²
こいつを計算すると、
x = 5
になる。
つまり、
AB = 5ってこと。
だからこの座標上の2点の距離は、
5
になるってことね。
おめでとう！
座標の2点間の距離はゲットできたかな？？
最後に解き方を復習しておこう。
難しい作業もないから頑張ればできるはず。
グラフは書いた方がわかりやすいから忘れずに。
これでおしまい！
ぺーたー
どーもー！ぺーたーだよ。
立方体の対角線の長さの求め方には公式があるって知ってたかな？？
立方体の1辺の長さをaとすると、
√3 a
で対角線の長さが求められるんだ。
つまり、
立方体の辺の長さに「√3」をかけるだけでいいんだ。
たとえば、1辺の長さが4cmの立方体があったとしよう。
すると、この対角線の長さは、
4√3
になるってわけ。
ね？？すごい簡単な計算公式でしょ？？
でもさ、ちょっと待って。
立方体の対角線の公式が簡単ってのはわかったけどさ、
なんでこの公式が使えるんだろう！？？
って思わない？？
公式忘れたら一発KOだよね。
そこで今日は、
公式を使わないで立方体の対角線の長さを出す方法
もみていくよ。
さっきの1辺が4cmの立方体の対角線の長さを出していこう。
だいたい直方体の対角線の長さの求め方と一緒なんだけどねw
まずは立方体の底面の対角線の長さを求めてみよう。
さっきの立方体でも底面に対角線を書き込んでみて。
△FGHに注目してみると、
この三角形は直角三角形ってことがわかるね。
ってことは三平方の定理が使えるはず。
△FGHを抜き出すとこんな感じだ。
この直角三角形で三平方の定理を使ってみよう。
斜辺をxとしておくと、式はこうなるね。
4²+4²=x²
こいつを計算すると、
x = 4√2
になるね。
三平方の定理を使って対角線を求めたけど、
別のやり方でも求めることができるんだ。
△FGHって直角二等辺三角形だよね。
直角二等辺三角形の比って覚えてるかな？
1：1：√2
ってやつだよ！
こいつをこの問題に当てはめると、
4㎝の辺と斜辺の比が「1:√2」だから、
4：x=1:√2
っていう比の式が立てられるんだ。
計算はこっちのほうがずっと楽だね！
次は立方体の対角線が計算できそうな直角三角形を見つけよう。
具体的にいうと、
を辺に持つ直角三角形だね。
さっきの立方体でいうと、
直角三角形AEGのこと。
なぜなら、
になってるからね。
次は立方体の対角線を求めていくよ。
さっき見つけた直角三角形で三平方の定理を使えばいいのさ。
奥行きがあってわかりにくいかもしれないから、
△ AEGの部分を抜き出してみるよ。
2辺の長さがわかってるから三平方の定理を使ってみよう。
AEは立方体の辺だから4㎝、AGを y cm とすると、
4²+(4√2)²=y²
になるね。
これをyについて解くと、
y = 4√3
になる。
ってことで、この立方体の対角線 AGの長さは「4√3 cm」になるのさ。
どう？？できたかな？？
立方体の対角線の長さの求め方は、
の3ステップだったね？？
最初にも言ったけど、立方体の対角線の求め方は、
直角三角形の対角線の求め方とだいたい一緒。
どっちかできれば空間図形の対角線は大丈夫だね。
今日はこれでおしまい！
またねー
ぺーたー
どーもー！ぺーたーだよ。
今日は、
「円」と「三平方の定理」を合体させた問題の説明をするよ。
その一つの例として、
円の弦の長さを求める問題
が出てくることがあるんだ。
たとえば、次のような問題だね。
練習問題
半径6cmの円Oで、中心Oからの距離が4cmである弦ABの長さを求めなさい。
弦っていうのは、弧の両端を結んでできる直線だったね。
ここでは直線ABが弦だよ。
この「弦の長さ」を求めてねっていう問題。
この問題を今日は一緒に解いてみよう。
自分のペースでついてきてね！
弦の長さを求める問題は次の3ステップで解けちゃうよ。
練習問題
半径6cmの円Oで、中心Oからの距離が4cmである弦ABの長さを求めなさい。
まずは、
「弦の端っこ」と「円の中心」を結んで、
直角三角形を作っちゃおう。
練習問題では、
AからOへ、BからOへ線を書き足したよ。
弦ABとOの交点をHとすると、
△AOHは直角三角形になるよね？
これで計算できるようになるんだ。
次は、直角三角形で「三平方の定理」を使ってみよう。
練習問題でいうと、
△AOHは直角三角形だから三平方の定理が使えそうだね。
三平方の定理を使って残りの「AHの長さ」を出してみようか。
こいつに三平方の定理に当てはめると、
4²＋x²=6²だから
16＋x²=36
x²=3²-16
x²=20
x＞0より
ｘ＝2√5
になるね。
だから、AH=2√5㎝になるってわけ。
あとは弦の長さを求めるだけだね。
弦の性質を使ってやればいいのさ。
弦の性質についておさらいしておこう。
円の中心から弦に垂線をひくと、弦との交点は弦の中点になる
って性質だったね。
「えっ、そんなの聞いたことないんだけど」
って人もいるかもしれないけど、意地でも思い出してほしいね。
∠AHO=90°ってことは、OHは垂線ってことだね。
だから、弦の性質を使うと、
Hは弦ABの中点なんだ！
ABの長さはAHの2倍ってことだから、
AB = 2AH
=2√5×2＝4√5
つまり、
弦ABの長さは 4√5 [cm] になるんだね。
おめでとう！
弦の長さの問題はどうだったかな？？
の3ステップでじゃんじゃん弦の長さを計算していこう。
じゃあ今日はこれでおしまい！
またね！
ぺーたー
こんにちは！ぺーたーだよ。
三平方の定理を使うと、
直方体の対角線の長さの公式を導けるって知ってた？？
実は、対角線の長さには次の公式があるんだ。
直方体のそれぞれの長さを、
とすると、対角線の長さは、
√（a² + b² + c²）
になるよ。
たとえば、
の直方体があったとしよう。
こいつに直方体の対角線の公式を使ってやると、
対角線
= √（a² + b² + c²）
=√（3² + 4² + 5²）
= 5√2
になる。
どう？？
すぐに直方体の対角線の長さ求められたでしょ？？
でもね、公式を使うときには、
なぜその公式が使えるのか？？
を知っておくといいよ。
公式を忘れても大丈夫なようにね。
だから今日は最後に、
公式を使わずに直方体の対角線を求めてみよう。
さっそく、公式なしで直方体の対角線の長さを出してみようか。
この問題では、対角線ECを求めてみよう。
まず最初は、
底面の対角線を引いてみよう。
なんでそんなのひかなきゃいけないの？
って思うかもしれないけど、
その理由はあとでわかるからちょっとがまんしてね！
底面に対角線をひくとこうなるね。
対角線ECを求めるために、
底面の対角線はEG
を引くってことね。
次は、底面の対角線の長さを計算してみよう。
えっ。
どうやって出すのかって？？
こういうときは、
底面にできた三角形に注目してみて。
さっきの直方体でいうと、
△EFG
だね。
この三角形は上から見るとわかると思うけど、
直角三角形になってるよね。
てことは、
三平方の定理で「斜辺EGの長さ」を求めることができるんだ。
三平方の定理を使ってやると、
EG² = EF² + FG²
EG² = 3² + 4²
EG = 5 cm
になるね。
いよいよ本題の直方体の対角線の長さを求めるよ。
まず、求めたい直方体の対角線をさっきの図に書き込んでみよう。
対角線を書き込んだことで、また新しい三角形ができるよね？？
直方体の高さの辺と、底面の対角線でできる直角三角形ECGだ。
この三角形を取り出すと下みたいになるよ。
ここで、さっき求めた底面の対角線を使うんだ。
底面の対角線EGは5㎝だったね。
こいつを先に出しておかないと、うまく式が立てられず、計算できないんだ。
だから、底面の対角線を求めておくのはとっても大事ってわけ！
さっきと同じように三平方の定理を使うと、斜辺 ECの長さは、
EC² = CG² + FG²
EC² = 5² + 5²
EC = 5√2 cm
になるね。
つまり、
この直方体の対角線の長さは「5√2 cm」になるってわけ！
直方体の対角線の求め方はわかったかな？
の2ステップでオッケー。
都合のいい直角三角形を見つけて、三平方の定理を使えれば全く問題ないね。
じゃあ、今日はここまでにしようか。
またね！お疲れさま！
ペーター
やあ，Dr.リードだぞいっ！！
円周角の定理は頭に入ったよな！！
だよな！
円周角の定理はおぼえるだけじゃだめだ。
実際に、いろんな問題を解いてみることが大事なんだ。
円周角の問題を解くコツは、
でっかく自分で図をかいてみること。
問題集の円なんて、小さすぎて見にくいだろ？？
これだと考えにくいから、
ノートや別の紙にお皿くらいでっかく描いて考えてみるといいな。
そうそう。でっかくでっかく。
中華料理のターンテーブルみたいにさ、くるくる回しやすいだろ？
今日は、テストにでやすい円周角の求め方を3パターン紹介していくぞ。
円周角の求め方は意外とシンプルでわかりすいんだ。
まずは、円周角の定理を使った求め方だね。
円周角の定理は、
の2つだったよな？
忘れたら円周角の定理の記事で復習しような。
それじゃあ円周角の問題を解いていくぞ。
次の角xを求めなさい。
この問題では円周角の定理の、
1つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の半分である。
を使っていくぞ。
円周角は中心角の半分。
だから、xは35°だ。
次の角xを求めなさい。
この円周角の求め方もさっきと同じ。
同じ孤に対する円周角は中心角の半分。
この円は円の半分だから、中心角は180°。
よって、円周角のxは90°。
これも基本通り。
直径に対する円周角は90° はよくでてくるぞ。
次の角xを求めなさい。
この問題も同じさ。
中心角が260度だから、円周角xはその半分で
130度。
円周角の頂点が中心角からずれてるパターン。
基本の求め方は同じだぞ。
円周角は中心角70°の半分だから35°だ。
リボンタイプの問題っておぼえておくといいよ。
中心角はかかれてない。
この問題では、
同じ弧の円周角はどこも同じってことを利用する。
角xは、
180－40－46＝94°
になるね。
げっ、円周角じゃないとこきかれてるじゃん。
でも中心角を頂角にする三角形が「二等辺三角形」ってことを利用すると・・・
つまり50°の半分、25°が円周角だね。
二等辺三角形の底角は等しいからxも25°。
次はちょっと難しい問題。
補助線を引かないと円周角が求められないやつだ。
さあ、補助線を引くぞ。
中心角を2つに分けられる補助線を引けばいいんだ。
補助線さえ引けたら，円周角の問題が２つドッキングしてるだけなんだよね。
青いほうが円周角の２倍だから60°。
ベージュのほうが円周角の２倍で36°。
合計でxは96°だ。
補助線引けないと手も足も出ないが、コツさえつかめばだいじょうぶ。
最後は、中心角・円周角出したその先がある問題。
もうひと踏ん張りのパターンだ。
円周角60°ってことは、中心角は2倍の120°。
水色の三角形は二等辺三角形だから底角は等しい。
よって、底角のxは、
（180－120）÷2＝30
になるぞ。
円周角115°だから、赤い中心角は2倍の230°。
紫のとこは、
360－230＝130°
だから、求めるｘは、
180－130＝50°
うんうん。
みるからに50°だ。
円周角の求め方はパズルみたいだね。
変に難しく考えなくて大丈夫。
あとは円の見方を変えたりするぐらいかな。
テストによく出てくるから復習しておこうぜ。
じゃ、おつかれさん。
一緒に中華料理でも食うかな！
Dr.リード
こんにちは！ぺーたーだよ。
円周角の定理とか円周角の定理の逆とか
もう慣れてきたかな？
円周角の定理って角度を求めるときにも使うんだけど、
相似を証明するときにも使えるんだ。
たとえば、つぎみたいな証明問題ね。
練習問題
下の図のように、円周上に4点A,B,C,Dがあり、
ACとBDの交点をPとする。
このとき△ABP∽△DCPになることを証明せよ。
今日は、この問題を解説するよ。
証明に必要なことを復習しながら説明するから、
頑張ってついてきてね！
円周角の定理の証明問題はつぎの3ステップでとけちゃうよ。
さっきの練習問題をといていこう。
練習問題
下の図のように、円周上に4点A,B,C,Dがあり、
ACとBDの交点をPとする。
このとき△ABP∽△DCPになることを証明せよ。
証明問題に入る前に、
円周角の定理ってなんだったか、しっかり思い出しとこう！
円周角の定理は2つの性質があったね！
1つの弧に対する円周角の大きさは、
その弧に対する中心角の半分ってやつと、
同じ弧に対する円周角の大きさは等しいってやつだね。
くわしくは「円周角の定理」の記事を復習してみてね。
まず、さっき思い出した円周角の定理を使って、
等しい角がないか確かめてみよう。
弧BCの円周角がどこになるかわかるかな？
そう。
∠BACと∠BDCだね！
1つの弧に対する円周角は等しいんだから、
この2つの角は等しいってことになるね！
∠BAC=∠BDC…①
もう1つの角も円周角が使えるよ。
今度は弧ADで見てみようか。
さっきと同じように円周角を見つけてよう。
そうすると2つの円周角が見つかるね！
ってことは角の大きさは一緒だね！
∠ABD=∠ACD…②
つぎは相似条件で三角形の相似を証明しよう。
相似条件は、
だったね？？
円周角の定理の証明では、十中八九、
2組の角がそれぞれ等しい
をつかうかな。
なぜなら、円周角の定理では辺の比が等しいことは証明しにくいからね。
角度が等しいことなら得意分野なんだ。
だから、まずは、
2組の角が等しいことがいえるかどうかを疑ってみよう。
練習問題をみてみて。
Step1で円周角の定理をつかったら、
がわかったよね？？
ってことは、
△ABPと△DCPにおいて、
2組の角が等しいことがいえるね。
よって、これは相似条件をみたしてるから、
△ABP∽△DCP
がいえるってわけね。
これで証明のゴールにたどり着けたね！
証明のゴールまでの見通しができたら、
あとは証明をかくだけ。
相似の証明の書き方を参考にしてね。
Step2までのながれをかいてみるとこうなるね↓↓
△ABPと△DCPについて、
円周角の定理より、同じ弧に対する円周角は等しいので、
∠BAC=∠BDC…①
∠ABD=∠ACD…②
①、②より、
2組の角がそれぞれ等しいので、
△ABP∽△DCP
ってかんじかな！
円周角の定理をつかった証明問題はどうだった？？
基本的な解き方としては、
円周角の定理をつかって、
相似条件の「2組の角がそれぞれ等しい」の方向に持ち込む・・・
というのが基本かな。
今回紹介した証明問題は、基本的なものあったけど、
応用問題でも構造はいっしょ。
円周角については問題をたくさん解いて、
「こことここは円周角の定理で等しいな」
って見つけられるのが一番かな！
今日はこれでおしまい！
またね！
ぺーたー
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
面積比の公式をにらんでいました。
だああー！
何で面積比が求まるの？
意味不明！！
おっ！
相似比から面積比もわかるってやつだね。
相似比が面積比に……？
もっとわけわかんない……
よし、じゃあ今回は、
相似比と面積比のつながり
を見つけていこう！
相似比から面積比がだせる理由は、
つぎの2ステップをふむとわかりやすいよ。
へー！
2ステップなら楽勝じゃん！
そうそう！
いけるいける！
まずは、
正方形の面積比を考えてみよう。
何で？
面積比の公式をみちびきやすいからかな！
たとえば、
2つの正方形A・Bに注目してみて。
1辺の長さが3cmと5cmの正方形ね。
まずは、2つの正方形の面積を求めてみようか。
正方形の面積の公式をつかってね。
正方形の面積の求め方は、
一辺を2乗するだけだよね？？
小さい正方形Aの面積は9㎠で、
大きい正方形Bは25㎠かな！
いいね。
次はそこから面積比を求めてみよう！
面積比は、
9:25
だ！
ここで、登場するのが相似比！
2つの正方形の相似比はいくつ？？
えっと・・・
相似比は1辺の長さの比をとればいいから、
3:5かな！
おっ。いいね。
相似比と面積比くらべると・・・？？
あっ。
ああああああー
相似比の2乗が面積比になってない？？
面積比はa²：b²になるんだ。
形は様々だけど、
どの図形も三角形に切り分けることが出来るんだ。
なるほど！
ってことは、
今度は三角形で考えろってこと？
鋭いね！
次は三角形で考えていくよ。
相似比がa：bの三角形。
それぞれの面積を求めよう。
いいね。
ここで、2つの図形の面積を比べると……？
あっ、
面積比を簡単にすると、
a²：b²になる！
で、他の図形も分けて考えれば三角形と同じだから、
相似比がa：bなら、面積比はa²：b²って関係が当てはまるんだ！
そういうことか！
合点！！
どう？
何で相似比が分かると、
面積比を求められるのかが分かったかな？
の2ステップでいいんだ。
計算するとそうなるっていうのはわかったけど、
公式は覚えるの嫌だしそもそも覚えられない。
確かに、最初は慣れないし、何度も使うしかないね。
なんか、いい方法ないかな……
正方形を思い出すって手もあるよ。
何がいいかは人それぞれだね。
自分にあった覚え方を見つけてみよう！
ういす！
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
星がかけなくて困っていました。
だああー！
星かけねえええええ
おっ、苦戦してるね！
定規で一筆書きするといいよ。
へー！
やってみよっかなあー
わ！かけた！
でしょでしょ？？
じつはね、
数学の問題には、
星形の角度を求める問題
があるんだ。
たとえば、こんな感じ↓↓
つぎの星形の角度のxを求めなさい。
ひょえー！
雰囲気むずそーー
いや！
基本おさえちゃえば大丈夫。
いっしょにといていこう！
はい！！
星形の角度の求め方はつぎの3ステップだよ。
へー！
3ステップならできそう！
いけるいける！
それじゃあ、
さっきの星形の問題をといていこう。
つぎの星形の角度のxを求めなさい。
星形を、
「3つの三角形」
にわけて考えてみよう。
えっと・・・・
3つ？？
そうそう。
星形の中に、
色んな図形が見えてこない？？
三角形と….
あっ、
五角形もある！！
そう！
今回は、その中の3つの三角形に注目しよう。
練習問題でいうと、
の3つだね。
ひー
なんでその3つなんだろう？
それはね……
ひ、み、つ
えっ！
外角の定理ってなんだっけ？？
っていう人もいると思って、
ちゃんと用意しといたよ！
さ、さすがすぎる！！
簡単にいうと、
三角形の内角を2つ足すと、
接してない外角になる
ってやつ。
下の図でいうと、
○と×をたしたら、
外角は「○+×」になるってわけ。
ああああああー
思い出してきたようなきがする！
これを星形の中の、
3つの三角形で考えてみよう！
外角になりそうなところ……
あっ、あった！
△AEHの外角は∠JHIだ！
いいね。
△CGJでも同じように考えると……
あっ！
△CGJでいうと、∠HJIが外角になってる！
三角形の外角の定理で、
角を移動させるとどうなる？？
えっと・・・・、
あっ。
小さい三角形に集まってない！？？
そう！
ぜんぶあわせて三角形の内角になってるね。
ということは？？
三角形の内角の和は180度だから、
星の角度の和が180度になるってことだ！！
いいね！
じゃあ、角xはいくつ？？
えっと・・・、
三角形の外角の定理をつかうと、
になる。
うんうん
だから、△HIJの内角は全部で180度だから、
(46+x) + 60 + 44 = 180
x = 30°
だ！
xは30°！
星形の角度の求め方はどうだったかな？
の3ステップだったね。
これなら、
他の問題も解けそうかも！！
いいね、このことを利用した問題は、
まだまだたくさんあるんだ。
最初はよく分かんなかったけど、
特徴さえわかっちゃえば、分かりやすいね！！
そう！
どんな問題でも、
初めては分かりづらい。
けど、一度理解すれば大丈夫。
色んな問題が解けるようになるよ！
はい！
ありがとうございました！
こんにちは！ぺーたーだよ。
中3数学の「円の性質」では、
を勉強してきたね。
今日はこいつらを使って、
円周角で角度を求める問題
にチャンレジしていこう。
円周角の定理をむちゃくちゃ使うから、
「まだよくわかんない…」っていう人は、
円周角の定理を復習してみてね。
さっそく、円周角で角度を求める問題をといていこう。
テストで役立つ3つの問題をいっしょにといてみよう。
つぎの円Oにおいて角度xを求めなさい。
ただし、
孤BC = 孤CDとします。
この問題では、円周角の性質の、
1つの円で等しい弧に対する円周角の大きさは等しい
をつかっていくよ。
孤BC = 孤CDだから、
孤BCと孤CDがつくる円周角は等しいはずだね。
ってことは答えはもう簡単！
弧BCの円周角BACが32°だから、
弧CDの円周角も32°ってことだね！
でも、問題で求めたい角xは、
孤CDの円周角じゃなくて中心角だ。
円周角の定理より、
同じ孤の円周角を2倍すると中心角になるんだったね？？
ってことは、角xは円周角32°を2倍した、
∠x = 64°
になるはず。
つぎの円Oにおいて角xを求めなさい。
この問題では、
をフルフルにつかっていくよ。
まず、円周角の性質の、
半円の孤に対する円周角は90°
ってやつをつかってみよう。
円周角BADは半円に対する円周角だから、
∠BAD = 90°
になるね。
んで、ここで△ABDに注目してみよう。
三角形の内角の和は180°だったよね？？
△ABDの内角のうちの2つの、
がわかってるよね？？
ってことは、残りの内角の∠ABDは、
∠ABD
= （三角形の内角の和）- （∠BAD + ∠ADB )
= 180 – (90+60)
= 30°
になるね！
つぎは、円周角の定理をつかうね。
同じ弧に対する円周角は等しい
っていう定理をつかうと、
∠ABD = ∠ACD = 30°
になるね。
なぜなら、
両方とも孤ADに対する円周角だからね。
ってことで、
xは30°ね！
つぎの円Oにおいて∠xを求めなさい。
次はちょっと手ごわそうだねー。
こいつはこのままだと答えまで出すのは
難しいかもしれないね。
だから、自分で線を1本足してあげよう。
どこに付け足すかわかるかな?
そう。そうだよ。
AとDをむすんでみて！
この1本の補助線が答えまで案内してくれるよ！
同じ弧の円周角は等しいんだったよね？
ってことは、
∠CED = ∠CAD = 18°
になるね。
そうすると今度は、
∠BAD = 48°
になるね。
∠BADは求めたい∠BODの円周角。
ってことは、
円周角の定理の、
1つの弧に対する円周角の大きさは、
その弧に対する中心角の半分
ってやつをつかえばいいね。
すると、
x= ∠BAD×2
= 48°×2 = 96°
になるね！
円周角の角度の問題はどうだった？？
最初は慣れないかもしれないけど、
とけると面白いはず。
円周角を求める問題が出てきたら、
解いてみるといいね！
じゃあ、今日はここまで！
ぺーたー
こんにちは！ぺーたーだよ。
この前は、円周角の定理とはなにか？？
ってことを勉強してきたよね。
今日はもう一歩ふみこんで、
円周角の性質
をまなんでいこう。
中学数学で勉強する円周角の性質は、
ぜんぶで3つ。
3つ覚えておけばいろんなとこで活躍するよ。
「できれば覚えておいてほしい」というよりは、
「絶対言えるようになってね！」っていう内容だね。
どんな性質なのか見ていこう！
中学数学で役に立つ「円周角の性質」はつぎの3つだよ。
それぞれ順番にみていこうか。
これは円周角の定理の復習。
円周角の定理に、
同じ弧を共有してる円周角はどれも等しい
っていうやつがあったよね。
これはね、円周角の問題を解く時によくでてくるから、
絶対におさえておきたい性質だね。
たとえば、つぎの円Oがいたとしよう
このとき、
角APBと角AQBは、
弧ABの円周角だよね？？
さっきでてきた円周角の定理をつかうと、
角APB = 角AQB
ってことがいえるんだ。
たとえば、角APBが50°だとすると、
角AQBもおなじ50°になるわけ。
これは円周角の問題では絶対に知っておきたい性質だね。
2つ目の円周角の性質は、
等しい弧の円周角は等しいよ
ってやつね。
円周角の問題でむちゃくちゃよく使うよ。
たとえば、つぎの下の円をイメージしてみて。
円周上に弧ABと弧CDがあるよね。
それぞれ円周角∠APB、∠CQDがあるけど、
2つの弧の長さが等しいとき（弧AB=CD弧）、
円周角も同じ大きさになるっていう性質だよ。
つまり、
∠APB＝∠CQD
がいえるんだ。
だから、
∠APB＝30°だとしたら、
∠CQDも30°になるってわけ。
この円周角の円周角の性質はちらっとでてくることがあるよ。
よく復習しておこう。
いよいよ最後の円周角の性質。
もし、弧が半円のやつだったら、そいつの円周角は、
90°になる
っていう性質だね。
「えっ、そうなの！？」
ってびっくりする人もいるかもしれない。
これも、知っているのと知らないのとでは
問題を考えるときに大きな違いが出てくるから
ぜひ覚えておきたいところだね！
図で表すとこんな感じだ。
たとえば、下の円Oを想像してみて。
直線ABは中心Oを通ってるから、
円の直径になってるよね。
直径ABで円を切ると半円になるから、
弧ABは半円の弧になってることがわかる。
よって、
半円の弧に対する円周角の角APBは90°になってるわけ。
えっ。なんで半円の弧に対する円周角が90°になるのかって？？
って人のために、
なぜ、半円の孤に対する円周角は90°になるのか
を説明しておこう。
って言っても、これ自体はめちゃ簡単。
円周角の定理をつかえば説明できちゃうんだ。
半円の弧に対する中心角
に注目してみて。
さっきの弧ABに対する中心角をみてみると、
直線ABがつくる180°
であることがわかるね。
で、あとは円周角と中心角の関係を思い出そう。
1つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の半分である
だったから、
中心角の半分の大きさが円周角になるんだ！
で、中心角の∠AOBって180°だよね？
その半分が円周角なんだから、
円周角の∠APB=90°になるんだ！
これで説明終わりだよ。
意外と簡単だったでしょ？（。）
円周角の性質はどうだったかな？？
ここで出てきた性質は問題を解く上では必須。
絶対忘れないようにしてね！
この円周角の性質と同じぐらい大事なのは、
だね。こっちも忘れかけてたら復習してみてね。
じゃあ、今日はこのへんで。
またね！
ぺーたー
