因数分解の利用の問題ってどんなやつ？？
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。砂糖、最高。
因数分解の解き方はわかった。
もう、怖いものなしだね！
あと、この基本にくわえておぼえておきたいのが、
因数分解の利用の解き方
だ。
因数分解の利用ってなに？？
って思うかもね。
ようは、
整数の計算でも因数分解や展開の公式をつかっちゃおう
っていう問題なんだ。
この解き方をマスターすると、
ムズい計算問題を簡単にとけちゃうんだよ。
この問題にはつぎの2種類あるよ。
- 和と差の公式で因数分解する問題
- 展開の公式で計算を簡単にする問題
それぞれ解き方をみていこう！
因数分解の利用1. 「和と差の公式」をつかう問題
まず一つ目は、
因数分解の「和と差の公式」をつかう問題だ。
たとえば、つぎのような問題だね。
例題1
因数分解を利用して、つぎの計算をしてみてください。
39^2 – 31^2
3ステップでとけちゃうよ。
- 因数分解する
- 足し算・引き算をする
- かけ算する
Step1. 因数分解する
まずは、計算式を因数分解しよう。
因数分解の利用でつかう公式は、十中八九、
和と差の公式
だ。
a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)
ってやつだね。
※因数分解の公式はここから復習しよう！
例題でもこの公式をつかってみよう。
39^2 – 31^2
では、aにあたるのが「39」、bにあたるのが「31」だね。
よって、
39^2 – 31^2
= (39+31) (39-31)
になるはず！！
Step2. 足し算・引き算をする
因数分解してみたね？？
今度は、（）の中を計算しちゃおう！！
例題の（）のなかには、
- 39 + 31
- 39 – 31
の2つの計算式がはいってるね。
こいつらを計算してやると、
- 39 + 31 = 70
- 39 – 31 = 8
になるね！
Step3. かけ算する！
最後はかけ算しちゃおう。
最初の計算式よりもクソシンプルになったね。
例題でいうと、
39^2 – 31^2
= (39+31) (39-31)
=70×8
= 560
になるね！
これで因数分解の利用完了だ。
むちゃ簡単になったね！。
因数分解の利用2. 「展開の公式」を利用する問題
つぎは展開の公式をつかうパターンだ。
展開の公式を利用する問題では、
- (a+b)(a-b) = a^2 – b^2
- (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
の2つをつかうのがほとんど。
※展開の公式を忘れちゃったら復習してみよう！
つぎの例題をいっしょにといていくよ。
例題2
展開を利用してつぎの計算をしなさい。
(1) 29^2 (2) 99 × 101
こいつは3ステップでとけちゃうよ。
Step1. きりのいい数字で表す
計算式をきりのよい数字であらわしてみよう。
えっ。
「きりのいい」とかよくわからないって？！？
たしかにね。
そうだな、たとえば、
99だったら100、 19だったら20ってかんじで、
1の位が0になるような数であらわせばいいんだ。
例題では、
- 29
- 99
- 101
っていう中途半端な数字がでてきてるね？？
こいつらの1の位が0の数字であらわすと、
- 29 → (30-1)
- 99 → (100-1)
- 101 → (100+1)
になるはずだ。
これで計算式を書き直すと、
- 29^2 = (30-1)^2
- 99×101 = (100-1)(100+1)
になるね！
Step2. 公式で展開する！
つぎは展開公式をつかってみよう。
まず例題の1番に注目してみて。
こいつに平方の公式をつかってみよう。
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
展開の公式で、
29^2 = (30-1)^2
を展開してやると、
29^2
= (30-1)^2
= 30^2 -2×30 +(-1)^2
になるね。
おつぎは2番目をみてみよう。
こいつは和と差の公式で展開できそうだね。
さっそく展開してみると、
99 × 101
= (100-1) (100+1)
= 100^2 -1^2
になるはずだ。
Step3. 計算がんばる
最後は力技。
公式で簡単にした計算をしてみよう。
まず例題の1からだ。
Step2までで、
29^2
= (30-1)^2
= 30^2 -2×30 +(-1)^2
ってなってたね。
こいつを最後まで計算してやると、
29^2
= (30-1)^2
= 30^2 -2×30 +(-1)^2
= 900 – 60 +1
= 841
になるね！
暗算でも計算できちゃう。
つづいて例題の(2)だ。
こいつも最後まで計算すると、
99 × 101
= (100-1) (100+1)
= 100^2 -1^2
= 10000-1
= 9999
になるね！
この計算もクソ楽になってる。
展開の公式サイコーだぜ。
まとめ：因数分解の利用でひねくれた計算が楽になる！
因数分解の利用とか、正直、だるい。
だけどね、
公式をつかうとすごく便利なんだ。
電卓やそろばんを使わなくてもいいからね。
慣れるまで大変だけど、どんどんチャレンジしていこう！
そんじゃねー
Ken
