ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
二次関数の利用の文章題に逆ギレしていました。
あー、もうやだ！！
なんで二次関数y=ax2でも、
文章問題でてくんだよ！？
あー、なるほどね、
うわあっ！？
先生か、びっくりした……
せっかく二次関数y=ax2に慣れてきたのに……
式が立てられないから、
解けないのかな？
！？
なんでわかるの？
先生って超能力者？
そういう人、結構いるよ。
1年、2年でも関数の文章題出てきたけどね
わたし苦手だった！
そんな文章題アレルギーっ子への朗報！
へっ？何？？
えっ、そうなの？
そう！
基本のパターンを理解すれば……
じゃあ、二次関数の文章題を攻略しよう！
あれっ？
すごくやる気だね……
てへ！
二次関数の利用の文章問題には3パターンあるよ。
3つもあるんだ！
おもいやられるわ。
どれもわかりやすいから大丈夫！
順番にみていこう。
はい！！
1つめの文章題は、
xとyの表から式をよみとるだけ！
へ？
読み取るだけ？？
そう！
たとえば、つぎのような問題ね。
練習問題1.
ボールが天から落ちています。
落下し始めてからの時間をx秒、
その間に落下する距離をymとします。
xとyの関係は以下の表の通りです。
このとき、
xとyの関係を式であらわしなさい。
ｘが1増えると、yが5増えて、
ｘが2増えるとyが20増え……
比例と全然違う！！
実は、これも比例なんだけどね。
じゃあ、1倍、2倍って考えてみよう。
ｘが2倍になると、yは4倍で、
ｘが3倍になると、yは9倍で……
4，9，16って聞いて何か気付くことは？
あっ、何かの2乗になってる！！
こんな関係のときに使うのが、
y=ax²！
なるほど！
この表の関数の式はどうなるかな？
xとyを「y=ax2」に代入すればよかったよね？
お、いいんじゃない？
x=1、y=5を代入して……
5=aになるから、y=5x²！
そう！
これで一つ問題が解けるようになった！
にやり
2つめの文章問題は、
二次関数y=ax2に代入するやつ。
代入かああ・・・
そうそう！
むずくないから大丈夫！
たとえば、つぎのような文章題だよ。
練習問題2.
振り子があります。
周期がx秒の振り子の長さをymとすると、
y=x²っていう関係になります。
周期が1秒の振り子の長さは何mでしょう？
振り子ってなんだっけ？？
よく漫画ででてくるよ。
ワンピースでいうと、
ジャンゴ。
ポケモンでいうと、
スリーパーがもってるやつよ。
あ、あれか！
そこで、問題！
周期が1秒の振り子の長さは何mでしょう？
式に代入しちゃえばいいんだ！
周期はxだから、x=1を代入しよう。
y=x^2
= 1^2 = 1
になる！
そう！だから、
振り子の長さ は1 m
になるよ！
いぇーい
二次関数y=ax2の変化の割合
をもとめる問題。
なんか、難しそう。
そんなことないよ！
たとえば、こんな問題！
練習問題3.
ボールが72mの坂を転がり始めてからの時間をx秒、
その間に転がる距離をymとします。
なんと、xとyには、
y=2x²という関係がありました。
このとき、1秒後から3秒後までの平均の速さを求めなさい。
また、xの変域もだしてね。
うわぁ、なんか、
文章題っぽい文章題でイヤだ。
でも、見て！
2次関数の式が問題に書いてある！
あっ、y=2x²のことかな？
そう。
もう一つ注目してほしいのは、
【平均の速さ】
どう注目すればいいの？
平均の速さは、
【変化の割合】と同じ意味を持っている！
え！なんで？！
じつは、このボール。
瞬間ごとにどんどん速さが速くなってるのよ。
だから、どっからどこまでの速さ
っていう平均の速さとらないと、
速さを特定できないわけよ。
なるほど・・・
まあようは、
二次関数の変化の割合
を求めればいいってことね。
そう！
解き方もおなじ！
おしい！
答え8だと、○がつかない！！
速さだから、
秒速8ｍだ！！
あ、
あと変域がのこってた
文章題の大切なポイント！
【実際にあり得る範囲が変域になる】
この問題だと、坂が72mしかないから、
この2次関数はy=72までしかない。
じゃあ、yの最小値はどこだろう？
０が一番小さいって覚えておくといいよ！
たしかに。
－1mとか、－2mって想像できない
じゃあ、yの変域は、0≦y≦72になるね。
xの変域を求めてみよう！
代入しちゃえばいいやつだ！
y=0のとき、x=0。
y=72のとき、
72=2x²
36=x²
x= ±6
ってあれ？
マイナスも出てきた！
そう！
でも、マイナスはあり得ないよね？
だって、秒数だもんん。
だから、
y=72のとき、x=6ってこと。
0≦x≦6だ！
そう、正解！
二次関数の利用って簡単かも！！
って思ってもらうのが、
今回の目的！
中学の二次関数はy=ax²しか出てこない。
基本のパターンが少ないんだ！
うんうん
レッツチャレンジ！
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。シロップはやさしいね。
中学数学では二次関数y=ax2を勉強するよね？？
二次関数の問題にはたくさんあって、
放物線のグラフをかいたりしていくよ。
なかでも、テストにでやすいのは、
一次関数と二次関数の交点を求める問題
だ。
こんなふうに、
一次関数と二次関数y=ax2が交わっていて、
その交点を求めてね？
って問題なんだ。
今日はこの問題の解き方をわかりやすく解説していくよ。
よかったら参考にしてみて。
さっそく交点をもとめてみよう。
たとえば、つぎの練習問題だね。
—————————————————————————–
練習問題
二次関数 y=x^2 と一次関数 y=x+6 の交点を求めてください。
関数の交点を求めるには、
連立方程式をつくるのが一番。
一次関数のときにならった、
2直線の交点の求め方とやり方はおなじだね。
練習問題でも連立方程式をつくってみると、
こうなるね。
この2つの方程式から、xとyの値を求めていけばいいのさ。
さっそく連立方程式をといていこう。
連立方程式の解き方は、
の2つあったよね？？
関数の交点を求めるときは、
代入法をつかっていくよ。
なぜなら、
「y =○○」になっていてyが代入しやすいからね。
つぎは二次方程式をといていこう。
二次方程式の解き方はたくさんあるけど、
どれをつかっても大丈夫。
練習問題の、
x^2 = x + 6
も解き方はいっしょ。
左辺にぜんぶの項を移項してみると、
x^2 – x – 6 = 0
になるね。
こいつを因数分解すると、
x^2 – x – 6 = 0
(x – 3) (x +2) = 0
になる。
あとは、どっちかが0になっていれば式がなりたつから、
この一次方程式をといてやると、
になるね。
最後にxを関数に代入してみよう。
関数にxをいれるとy座標がわかるからね。
2つの交点のx座標が、
ってわかったよね？？
このx座標を、
「二次関数」か「一次関数」
のどっちかに代入するんだ。
今回は、そうだな、
簡単な一次関数「y=x+6」に代入してみよう。
すると、2つの交点のy座標は、
になる。
よって、2つの交点の座標は、
の2点になるね。
おめでとう！
これで一次関数と二次関数の交点が求められたね。
一次関数と二次関数の交点を求める問題はよくでてくるよ。
なぜなら、中学数学の総復習になるからね。
テスト前によーく復習しておこうね。
そんじゃねー
Ken
やあ、ぺーたーだよ。
二次関数のテストでよくでるのは、
三角形の面積を求める問題。
難しいからみんな嫌がるよね？？
図形と関数のコラボとかやめてほしいけど、
テストに出てきちゃう。
何とか解けるようにしたいね。
そこで、今日は、
二次関数の三角形の面積の求め方
を3ステップを紹介するよ！
つぎの問題をといてみよう！
y = 1/2 x² のグラフ上に2点A, Bがあり、
それぞれのx座標は-4と2です。
直線ABとy軸の交点をCとするとき△AOBの面積を求めてください。
3ステップでとけちゃうよ。
まず座標を求めてみよう。
練習問題でいうと、
の3点の座標ね。
この問題では、それぞの点のx座標がわかってる。
だから、
二次関数にxを代入すればいいね。
y = 1/2 x²にそれぞれ代入すると、
になる。
ってことは、
になるはずだ。
あとは点C。
こいつは、直線ABの切片だね？？
直線ABの式がわかればCの座標もわかるってわけ。
直線ABの式は2点は、
だ。
y=ax+bに代入して連立方程式をつくると、
8 = -4a + b
2 = 2a + b
ってなる。
こいつをとくと、
になるね。
つまり、直線ABの式は、
y = -x + 4
になるんだ。
点CはABの切片だから、
C (0, 4 )になるね。
ちょっと長くなったけど、分かった座標を図に書き込むよ！
三角形の面積を2つにわけて考えてみよう。
練習問題では、
△AOBの面積
を求めたかったよね？？
だがしかし、
そんな三角形見当たらない。
だから自分で、
△AOBを書き込むんだ。
すると、こんな三角形ができあがるよ！
さあ、これで三角形の面積を求めよう！
…と言いたいところなんだけど、このままだと難しいんだ。
なぜなら、
底辺も高さもわかってないからね。
じゃあどうすればいいの！？
よーく見ると三角形が見えてこない？
そう！
△AOBで見るんじゃなくて、
三角形を2つに分けて考えるんだ！
どう分けるかというと…
△COAと、
△COBでわけるんだ。
三角形の面積を計算しよう。
わけた2つの三角形の面積をそれぞれ計算すればいいのよ。
まず△COAの面積。
COを底辺、Aのx座標を高さとしてみてね。
Oのｙ座標は0、Cのｙ座標は4だから
底辺＝4。
高さは「Aからｙ軸まで」の長さ。
つまり、Aのx座標のことだから、
高さ＝4だね。
三角形の面積の公式は「底辺×高さ÷2」だったよね？？
こいつで計算してやると、
△COA
= 底辺×高さ÷2
= 4×4÷2
= 8
になる。
次は△COB。
COを底辺、Bからy 軸までを高さと考えてみると、
△COB
= 底辺×高さ÷2
= 4×2 ÷2
= 4
になるね。
2つの三角形を足しちゃえば終わり！
練習問題でいうと、
△AOB = △COA + △COB
ってわけだね。
実際に計算してみると、
△AOB
= 8 + 4
= 12
になる。
だから答えは12なのさ。
大変だったね。お疲れさま！
二次関数で三角形の面積を求める問題は、
の2ステップで大丈夫。
難しいけど、慣れれば絶対に解けるようになるよ。
じゃ、今回はここまで。
じゃあねー
ぺーたー
みんな、元気にしてる？そらだよ☆彡
比例定数って何かおぼえてる？？
1年生のときにならった比例では、
y=ax
のaを「比例定数」といったね。
じつは、
3年生でならう二次関数y = ax2でもおなじ。
定数aを「比例定数」っていうんだ。
今日はy=ax2の比例定数aを求めてみよう。
たとえば、つぎみたいな問題だね。
yはxの2乗に比例し、x = 3、y=18のとき、比例定数を求めなさい。
比例定数の求め方は2ステップ。
例題をいっしょにといてみよう。
yはxの2乗に比例し、x = 3、y=18のとき比例定数を求めてこの関数の式をたてなさい。
xとyを、関数の式に代入してみよう。
y = ax^2
にxとyをぶちこんでやればいいのさ。
練習問題では、
があたえられてたよね？？
二次関数y=ax2に代入してみると、
y = ax^2
18 = a × 3 × 3
9a = 18
になるね。
一次方程式をといてあげよう。
y=ax2にx・yをいれたら、aが残ったでしょ？？
あとは、aの1次方程式をとけばいいの。
練習問題では、
9a = 18
がでてきたよね？？
両辺をaの係数の「9」でわってやると、
9a ÷ 9 = 18 ÷ 9
a = 2
になるね。
おめでとう！
二次関数y=ax2の比例定数が求められたね。
比例定数は「2」だ！
この問題のポイントは1つ。
それは、
関数y=ax2は1点の座標さえわかれば式を求められる
ってこと。
なぜなら、
xとy以外の未知数はaしかないからね。
xとyを代入しちまえば、aしか残らないってわけ。
解き方も簡単でうれしいね。
中学2年生でならった一次関数のときは、
が必要だったじゃん？？
一次関数の式は「y=ax +b」で未知数がaとbの2つあったからね。
それとくらべると、
二次関数y=ax2の比例定数は楽だね。
1つの方程式つくるだけでaがわかっちゃうからね。
問題をといてなれてみよう。
最後に練習問題を1つ紹介するね。
(-4, -8) を通る二次関数y=ax2の比例定数を求めなさい。
今日はここまで！
そんじゃねー
そら
