こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。ブルックリンが呼んでるね。
ここまで、平方根の基礎の、
を勉強してきた。
もう、平方根の計算なんてちょれわー
って思ってるよね？？
だけどね、ちょっと待って欲しい。
ルートの計算のミスは忘れたころにやってくるんだ。
そこで今日は、
ルート・平方根の計算方法のコツ
をおさらいしよう。
ガンガン復習しておこうぜ。
ルート計算のコツはつぎの3つだ。
練習問題をといてみよう。
つぎのルートの計算をしてください。
√8 + √2分の5 – √3 × √5
まず、
ルートを簡単にできるかどうか
をみてみよう。
もし、ルートを簡単にできそうなら一番先にやっちまおう。
なぜなら、
整数と平方根にわけて計算できるようになるからね。
例題をみてみると、
いちばん左の「√8」を簡単にできそうだ。
なぜなら、中身の「8」には「2の2乗」がはいってるからね。
こいつを外にだせるわけだ。
ルートを簡単にすると、
√8 + √2分の5 – √3 × √5
= 2√2 + √2分の5 – √3 × √5
になるね。
☆ルートを簡単にする方法をわすれたら復習しよう☆
ルートの計算に分数がある？？
そういうときは、分母を有理化しちゃおう。
分母からルートを消せばいいのさ。
例の計算式では、
√2分の5
の分母に平方根がはいってるね。
この「√2」を分母から消したい。
そんなときは、分母・分子に√2をかければよかったね？？
すると、
2√2 + √2分の5 – √3 × √5
= 2√2 + 2分の5√2 – √3 × √5
になる。
分母の有理化をしておくと、
ルートの計算する余地があるのかどうか？？
がハッキリするんだ。
余地があるんなら、ルートの計算を続行すればいいし、
ないんなら計算をやめればいい。
めんどいけど、分母の有理化はやっておこう。
ルートの計算の最大の特徴。
それは、
足し算・引き算
と
掛け算・割り算
がまったく違うってことだ。
つぎの計算のルールを覚えてほしい。
例題ではいったん掛け算をしちゃおうか。
右の項の、
– √3 × √5
が計算できそうだ。
平方根の掛け算では「√の中身」を計算してもよかったよね？？
だから、
– √3 × √5
= – √15
になるね。
あとは左の足し算。
はルートの中身が2で一致してる。
整数部分を足し算してやると、
2√2 + √2分の5 – √3 × √5
= 2√2 + 2分の5√2 – √15
= 2分の9√2 – √15
になるね。
これでルートの計算は終了だ。
ルートの計算はどうだった？？
計算のコツは3つのみ。
ルートの計算問題をといて慣れていこう！
そんじゃねー
Ken
↓↓ルート計算のコツを動画にまとめてみたよ↓↓
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。映画がよんでるね。
この前勉強した平方根の求め方は基本的なヤツだ。
「√」をかぶせるだけだもんね。
今日は、もう少し進化した、
筆算をつかった平方根の求め方
を紹介していくよ。
よかったら参考にしてみて。
= もくじ =
筆算をつかった平方根の求め方を、
開平法
とよんでるよ。
中学数学では勉強しないんだけどね。
えっ。
どんなときに開平法をつかうかって！？
つぎの3つのときが多いよ。
今日はそのなかでも、
でかい数の平方根を求める問題
を解説しいこう。
例題をいっしょにといてみようぜ。
271441の平方根を求めなさい。
平方根を求めたい数を「√」でくくろう。
「√」をうえにのっければいいんだ。
例題では「271441」にルートをのせてみて。
ルート内の数字を右から2ケタずつ区切ろう。
「|」で区切ってみてくれ。
例題の271441はこうなるはずだ↓↓
27|14|41
1番左の2ケタの塊に注目してくれ。
2乗したらその塊になる数を考えればいいのさ。
例題でいうと、
の3つの塊ができてるよね？？
んで、いちばん左の塊は、
27
だ。
2乗して「27」に一番近くなる自然数は、
5
だ。
なぜなら、
5の2乗 = 25
だからね。
そいつを、
にかいてね。
2乗した数をかこう。
かく場所は、いちばん左の塊の下だ。
例題では5を2乗したらできる「25」を、
いちばん左の塊の「27」の下にかこう。
こうなるはずだ↓↓
左の塊から2乗の数をひこう。
例題でいうと、
27 – 25
ってわけだね。
こいつを計算すると、
2
になる。
隣の2ケタの塊を下におろそう。
例でいうと、「14」を2の右に召還するのさ。
左の数の一の位を、左の数自身にたそう。
例でいうと、左の数は「5」だね。
こいつの1の位は5だから、
5+ 5
= 10
になるわけだ。
ちょっと言葉にしずらい・・・
ここでは、「ある数」を推測してほしいんだ。
その「ある数」とは、
「ある数」×「1の位をある数にした数」がさっきの「引き算の結果」にいちばん近いやつ
なんだ。
自分でも何いってるかわからないや。
ちょっと例題をみて。
14のうえの「ある数」を推測するわけだ。
わかりやすくするために、ここでは、
（ある数） = □
としようか。
一の位をある数にした数っていうのは、
10□
になるってわけだ。
だからさっきいってたのは、
□ × 10□ = 214
になるような□をみつければいいってことなのさ。
□に1から順番に代入して調べてみると、
どうやら、
□に2を入れたときに204になって一番214に近くなるみたい。
だから、ここでは□に2がはいるね。
「いちばん近くなった数」を「引き算の結果」の下にかいて。
練習問題でいうと、
214の下に204をかけばいいのさ。
「引き算の結果」から「掛け算の結果」をひこう。
流れは、Step5といっしょだ。
例題でも「引き算の結果」から「掛け算の結果」をひいてやると、
214 – 204
= 10
になるね。
「引き算の結果」の右に「最後の塊」をおろそう。
例題でいうと、41を10の右におとせばいいんだ。
つぎは左の数に注目してくれ。
こいつの1の位を自分自身にたせばいい。
例題でいうと、左の数は102。
こいつの1の位は2だから、
102 + 2
= 104
になるね。
いよいよ最後のステップ。
やり方はStep8とおなじだ。
例題でいうと、
最後の塊のうえにくる数を□とする。
んで、
□ × 104□
が
1041
になるような□をゲットすればいいのさ。
□に1から順番にいれてみると・・・・
おっ。
□に1いれたら1041に等しくなるやん！？
だから、さっきみたいに筆算を続けてやると、
最終的に引き算の答えが0になるね。
よって、これで筆算の平方根の求め方は終了だ。
271441
の平方根はそのうえの数字の「521」だよ。
やったね。
13ステップは長すぎるぜ。
平方根の求め方に筆算をつかうと、
で便利だったね？？
ただ、その求め方は阿修羅の道。
訳のわからないプロセスを延々と続けることになるw
もしもに備えて筆算もマスターしておこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは、この記事をかいてるKenだよ。ワッフルにもいろいろだね。
平方根の計算問題をたくさんといてきたね。
たぶんね、これからもルート計算をガシガシやっていくよ。
悲しいけどこれが現実だ。
んで、その計算問題のなかには、
展開公式をつかう問題
がでてくると思うんだ。
えっ。
展開の公式なんて忘れてたって？！？
ノンノン。
展開公式にはつぎの3つがあったよね。
こいつらは平方根の計算式につかってもOK。
むしろ、ガンガン使って欲しいね。
今日は、
3つの展開公式を使った平方根の計算問題をといていこう！
=もくじ=
展開公式をつかう問題はシンプル。
つぎの2ステップでとけちゃうよ。
ようするに、展開公式で簡単にして、いつも通り計算ってわけだ。
今日は展開公式を3つ使ってみよう。
まず展開公式1つめの、
(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab
をつかおう。
たとえば、つぎのような計算問題だ。
練習問題
つぎの平方根の計算をしなさい。
( √5 – √2 ) (√5 + √3 )
この計算式では、2つの（）のなかに、
√5
があるよね？？
で、そいつらに、
がそれぞれ足されてる。
ってことは、展開公式でいうと、
になってるわけさ。
(x+a)(x+b)の展開公式をつかうと、
( √5 – √2 ) (√5 + √3 )
= √5^2 +√5 (-√2 + √3) – √6
= 5 -√10 + √15 – √6
になるね。
さてと・・・ルートの足し算をっと・・・
っていいたいところだけどね、これ以上計算できないんだ。
なぜなら、
ルートの中身がぜんぶ違うからね。
これで計算終了だ！
おつぎは平方の公式の、
(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2
をつかってみよう。
つぎの例題をといてみて。
( √5 – √2 )^2
平方の公式で展開すると、
( √5 – √2 )^2
= ( √5 )^2 – 2×√5 × √2 + (√2 )^2
= 5 -2√5 +2
になる。
あとはルートの足し算・引き算するだけ。
数字同士でまとめると、
( √5 – √2 )^2
= ( √5 )^2 – 2×√5 × √2 + (√2 )^2
= 5 -2√5 +2
= 7 -2√5
になるね。
これで計算終了だ^-^
最後は、和と差の積の公式をつかってみよう。
(a+b)(a-b) = a^2 – b^2
つぎの計算問題をといてみよう。
練習問題3.
つぎの平方根の計算をしなさい。
( √5 + √2 ) (√5 – √2 )
公式にあてはめると、
になるはずだ。
なぜなら、
2つの（）に√5があって、√2は符号違いだからね。
和と差の積の公式で計算すると、
( √5 + √2 ) (√5 – √2 )
= ( √5 )^2 – ( √2 )^2
= 5-2
になるね。
あとはルートの足し算・引き算だ。
この計算式だと、ルートもくそもない。
整数同士で計算してやると、
( √5 + √2 ) (√5 – √2 )
= ( √5 )^2 – ( √2 )^2
= 5-2
= 3
になるね！
これで計算終了だ。
平方根の式に展開公式つかえたかな？？
を使い分けよう。
あとは、問題演習あるのみ。
展開しまくっていこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。タコベルは欧米にかぎるね。
平方根の計算では、
をマスターしてきたね。
これでどんなルートの計算でもどんとこい・・・・・
・・・・
と思ったら大間違い。
まだまだ平方根・ルートの計算は奥が深い。
油断大敵ってやつよ。
今日は、ルート計算の応用として、
平方根の式を分配法則で計算する方法
を解説していくよ。
ここまでやっとけば大丈夫だ。
4ステップ踏むといいよ。
例題をといてみようか。
つぎの平方根の式を分配法則をつかって計算してくれ。
√2 (5 + √8) – √6 (√3 – 4)
分配法則で（）をはずそう。
分配法則って、
（）の前の数字を中の項に1つずつ掛けたものだったね。
⇒ 分配法則をわすれたときは復習してね。
例題でも分配法則が活躍だ。
（）をはずしてやると、
√2 (5 + √8) – √6 (√3 – 4)
= 5√2 + √16 -√18 + 4√6
になる。
ルートをはずそう。
中身が「なにかの2乗」なら外せるね。
練習問題では、
√16
のルートがはずれそう。
なぜなら、
中身が「4の2乗」になってるからね。
ルートをとると、
√2 (5 + √8) – √6 (√3 – 4)
= 5√2 + √16 -√18 + 4√6
= 5√2 + 4 -√18 + 4√6
になる！
ルートを簡単にしよう。
中身に「2乗の因数」があったら外にだせばいいんだ。
⇒くわしくはルートを簡単にする方法をよんでみて
練習問題では、
√18
を簡単にできそうだ。
なぜなら、
「3の2乗」をふくんでるからね。
計算式の「√18」を簡単にすると、
√2 (5 + √8) – √6 (√3 – 4)
= 5√2 + √16 –√18 + 4√6
= 5√2 + 4 –3√2 + 4√6
になるね。
最後は、ルートの足し算・引き算だ。
中身がおなじルート同士の整数を足し引きしよう。
⇒くわしくはルートの足し算・引き算をよんでみて
練習問題では、
の中身がいっしょだ。
整数部分を足し算・引き算してやると、
√2 (5 + √8) – √6 (√3 – 4)
= 5√2 + 4 -3√2 + 4√6
= 2√2 +4 + 4√6
になる。
おめでとう！
これで分配法則つかえちゃうね！
平方根の式にも分配法則はつかえる。
自分のペースでゆっくり（）をはずして、
計算問題をじわじわといていこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。健康はマジ大事だね。
ルートでやっかいなのは、
平方根の分数の計算だ。
なぜなら、
平方根を簡単にしたり、
分母を有理化したりで忙しいからね。
ルートの分数の計算なんて解きたくないぜ。
今日はそんなちょっとやっかいな、
ルート分数の割り算の計算方法
を4ステップで解説していくよ。
よかったら参考にしてみて。
ルート分数の割り算は4ステップだ。
例題をといてみよう。
例題
つぎのルート分数の割り算をしなさい。
5分の√20 ÷ √(15分の2)
まずは、割り算を掛け算になおそう。
ルート分数の割り算なのに、はやくも÷にバイバイ。
寂しいけどね、仕方ないんだ。
割り算を掛け算になおす方法は1つ。
それは、
「÷」を「×」にして分母と分子を入れ替えるのさ。
例題でもおなじ。
まず、「÷」を「×」にしちゃって、
「÷」のうしろの「√(15分の2)」の分子と分母をいれかえる。
すると、
5分の√20 ÷ √(15分の2)
= 5分の√20 × √(2分の15)
になるね。
つぎは約分だ。
分母と分子に公約数があったら約分しよう。
例題の計算式をよくみて。
5分の√20 × √(2分の15)
「5分の√20」の分子の「√20」、「√(2分の15)」の分母の「√2」に公約数があるね。
そう、√2だ。
ってことは、こいつらを√2でわれるから、
5分の√20 × √(2分の15)
= 5分の√10 × √(1分の15)
になる。
分母・分子どうしで掛け算しよう。
ルートの掛け算の仕方をつかってみてね。
例題でも、分母・分子それぞれ計算すると、
5分の√20 × √(2分の15)
= 5分の√10 × √(1分の15)
= 5分の√150
になる。
最後に、ルートを簡単にしてやろう。
いちばん最初にルートを簡単にしたほうがいいだろ？？
って思うかもしれない。
だけどね、分数の割り算の場合はそうじゃない。
なぜなら、
ルートの中身をガッツリ約分できる可能性あるからね。
簡単にするのは約分まで待ったほうがいいんだ。
例題では分子の「√150」を簡単にできそうだね。
なぜなら、
150のなかには「5の2乗」がふくまれてるからさ。
ってことは、5をルートの外にだせる。
すると、
5分の√150
= 5分の5√10
= √10
になるね。
おめでとう！
ルート分数の割り算もマスターだ。
平方根の分数の割り算はどうだったかな？？
ほかのルート計算とたいして変わらないね。
ちょっと違うのは、
ルートを簡単にするのをステイする
ってことだ。
ガッツリ約分してから簡単にしても遅くない。
じっくり分数の割り算をしていこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。どら焼きは脳にきくね。
ルートの計算には色々ある。
なかでも、いちばんむずいのは、
ルート（平方根）の分数の計算
だ。
ただでさえ、ルートの計算で精一杯。
なのに、そ、それを分数にしちゃうんだもん！？
クソやっかいだね。
今日は、ルート分数の計算をマスターするために、
平方根の分数の足し算・引き算の計算の仕方
を5ステップで解説していくよ。
さっそく計算方法を紹介していくよ。
5ステップで分数の足し算・引き算ができちゃうんだ。
例題をといてみよう。
つぎの平方根の分数の計算をしなさい。
3分の√12 + √27分の6
ルートを簡単にしよう。
ルートの中身から、2乗の因数をとりだせばいいのさ。
⇒ くわしくは「ルートを簡単にする方法」を読んでみてね。
例題の計算式では、
を簡単にできそう。
なぜなら、
ルートの中に2乗の因数がふくまれてるからね。
√12だったら、2の2乗、
√27だったら3の2乗が入ってる。
それぞれ簡単にすると、
3分の√12 + √27分の6
= 3分の2√3 + 3√3分の6
になるね。
これが第1ステップ！
つぎは、分母の有理化だ。
分母からルート（無理数）をなくせばいいんだ。
⇒ くわしくは「分母の有理化」をよんでみて。
例題をみると、
2つめの項の分母に「√3」があるね。
このルートをなくすために、
分母と分子に「√3」をかけるんだ。
すると、例題のルート計算式は、
3分の√12 + √27分の6
= 3分の2√3 + 3√3分の6
= 3分の2√3 + 9分の6√3
になる！
つぎは、通分しよう。
通分ってようは、
分数たちの分母をそろえる
ってことさ。
例題の分数たちはそれぞれ、
だったよね？？
これじゃあ分母が「3」と「9」でバラバラだ。
分母を最小公倍数の9にあわしてやると、
になるね！
つぎは分子を足し算・引き算しちゃおう。
例題でも分子を足し算してやると、
3分の√12 + √27分の6
= 9分の6√3 + 9分の6√3
= 9分の12√3
になるね。
最後は、ルートの分数を約分してみよう。
約分してすっきりしたほうがいいじゃん？
例題でも計算結果の、
9分の12√3
を約分しよう。
分母の「9」と分子の「12」の共通の約数に3がある。
ってことは、3で約分できるはずだから、
9分の12√3
= 3分の4√3
になるね。
これでルートの分数の計算は終了だ！
平方根の分数の足し算・引き算はどうだったかな？
5ステップもあってむずそうだけど、使っているのはどれも過去のワザ。
スムーズにとけるように踏ん張ってみよう。
最後に練習問題を用意したから、よかったら解いてみてね。
練習問題
つぎの平方根の計算をしなさい。
√3分の4 – √2分の1 + 6分の√2
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。時差に要注意だね。
ルートの計算で間違いやすいのは、
足し算・引き算
だ。
よくあるミスで、
ルートの中身を足し算・引き算しちゃう
ってやつがある。
たとえば、
√2 + √3
だったら、中身の2と3をたして、
√2 + √3
=√5
みたいな感じでね。
だけどね、この平方根の足し算の仕方は、
とんでもなく間違っているんだ。
ほんとうに。
とんでもなくね。
なにがっあってもダメ。
地球が反転しても、磁力がおかしくなっても、ダメ。
√の中身はゼッタイに足し算・引き算しちゃいけないんだ。
まじで、ムリ。
平方根の近似値で計算してみればきづくはずだ。
√2と√3の近似値はそれぞれ、
だったよね？？
計算すると、
√2 + √3
≒ 1.414 + 1.732
≒ 3.146
になるね！
3.146っていう数字はあきらかに√5の近似値じゃない。
だって、√5の近似値は、
2.2360679（富士山麓オームなく）
だったもんね？？
足し算・引き算では中身がおなじ平方根の整数だけ計算しよう。
たとえば、
√a +√a
= 2√a
みたいな感じでね。
計算の仕方は文字式の足し算・引き算に似てる。
文字式の計算でも、おなじ文字しか足し引きしちゃいけないよね？？
それと同じさ。
でもさ、
なんでルートの中身を足し算・引き算しちゃいけないのかな？？
雰囲気的にはいけそうな気がするもん。
今日はせっかくだから、
なぜ平方根の中身を足し算、引き算しちゃいけないのか
をみていこう。
まずは、
√a + √b
を2乗してみよう。とりあえずね。
展開の公式で計算すると、
( √a + √b )^2
= (√a)^2 + 2√ab + (√b)^2
= a + 2√ab + b
になるね！
さっき生み出した等式の、
( √a + √b )^2 = a + 2√ab + b
両辺に√をつけてみよう。
なぜ、ルートをつけるのかというと、
( √a + √b )^2
から2乗をとっぱらいたいからだ。
さっそく、左と右にルートをつけてやると、
√{( √a + √b )^2} = √(a + 2√ab + b)
になるね！
左辺の中身は（√a+√b）の2乗になってるから、
√と2乗をそのまま消せる。
すると、
√a + √b = √(a + 2√ab + b)
になるね。
このことからわかるのは、
√a + √b = √(a + b)
にならないってことだ。
余計な「2√ab」が入ってるのさ。
ルートの足し算・引き算で気をつけるべきこと。
それは、
ルートの中身をたしひきしちゃいけない
ってことだ。
文字式の足し算・引き算とおなじ計算方法
っておぼえておこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。出会いは突然だね。
ここまで、
を勉強してきたね。
こいつらはぶっちゃけ簡単。
ルートの中身を掛け算・割り算すればいいからね。
でもじつは、平方根の計算でめんどいのは、
ルートの足し算・引き算
なんだ。
足し算・引き算をマスターすれば大丈夫。
どんな平方根の計算もクリアできるはずさ。
今日はその、
平方根（ルート）の足し算・引き算の計算方法
を解説していくよ。
よかったら参考にしてみてね。
足し算・引き算は3ステップで計算できるよ。
例題をといてみよう。
例題
つぎの平方根の計算をしなさい。
√18 – √75 +√32
ルートを簡単にしよう。
簡単にすると計算しやすくなるからね。
⇒ ルートを簡単にする方法はこちら
例題では、
の3つの項を簡単にすると、
になる。
だから、例題の計算式は、
√18 – √75 +√32
= 3√2 – 5√3 + 4√2
になるね。
ルートの中身がおなじ項をさがしてみて。
たとえば、
みたいにね。
例題でもルートの中身を確認してみると、
の2つの平方根の中身がいっしょ！
ルートの中身が2だ。
中身がおなじ平方根の「整数部分」を足し算・引き算しよう。
ルートの中身は足し算・引き算しないでね。
例題で中身がおなじ平方根は、
の2つだね？？
整数部分を足し算・引き算すると、
√18 – √75 +√32
= 3√2 – 5√3 + 4√2
= 7√2 – 5√3
になる。
これでルートの足し算・引き算は終了！
中身がちがう「-5√3」は放置していいんだ。
ルートの足し算・引き算の仕方はどうだった？！？
計算のコツはただ1つ。
中身が同じ項の整数部分だけ計算すればいい
だ。
文字式の計算に似てるね。
問題をガンガンといてみよう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。湿度はほどほどね。
ルートの計算にはいろいろある。
足し算、引き算、掛け算・・・って感じでさ。
もうね、ありすぎて疲れちまうよ。
今日はルート計算をマスターするために、
ルート（平方根）の割り算の仕方
を勉強していこう。
= もくじ =
ルートの割り算には基本ルールがある。
それは、
分子・分母のルートをいっしょにしてもいい
ってやつだ。
たとえば、√a、√bがあったとすると、
√b 分の √a = √(b分のa)
になる。
えっ。これが割り算と関係があるのかッテ？？！
そうだね。
割り算は分数であらわせたよね。
a÷b
なら
b分のa
って感じで。
÷のうしろの数を分母に、それ以外を分子にもってきてるわけ。
これをルートの割り算でもつかうと、
√a÷√b = √b分の√a
になるんだ。
んで、これにさっきのルールでつかうと、
√a÷√b = √b分の√a = √(b分のa)
になる。
そして、途中の真ん中をはぶくと、
√a÷√b =√(b分のa)
になるね。
つまり、
√をいっしょにして、÷の後ろを分母にしてもいいんだ。
これがルート割り算の基本ルールだ。
ルートの割り算は5ステップでいけるよ。
例題をいっしょにといてみよう。
例題
つぎのルートの割り算を計算してください。
√24 ÷ √10
ルートを簡単にしよう。
ルートの中身から2乗の因数を外にだせばいいんだ。
⇒ ルートを簡単にする方法はコチラ
例題では、
ルート24
が簡単にできそうだね？？
なぜなら、素因数分解すると、
24 = 2の3乗 × 3
になるからね。
ルートの外に「2の2乗」をとりだせそうだ。
√24を簡単にすると、
√24 ÷√10
= 2√6 ÷ √10
になるね！
割り算を分数にしよう。
やり方は簡単。
「÷の後ろの数」を分母にもってくればいいのさ。
√a÷√bなら、
√b分の√a
ってかんじにできる。
例題の割り算では、
√10
が÷の後ろにきてるね？？
だから、こいつを分母にもってくると、
√24 ÷ √10
= 2√6 ÷ √10
=√10分の2√6
になるよ。
分数を1つにまとめよう。
√b 分の √a = √(b分のa)
っていう基本ルールをつかえばいいのさ。
例題でもおなじ。
√10分の√6
のルートをいっしょにしてあげると、
√24 ÷ √10
=√10分の2√6
= 2×√(10分の6)
になるね！
ルートの中身を約分しよう！
スッキリしていいじゃん！？
例題のルート内の分数は、
10分の6
だね？？
こいつを約分すると、
5分の3
になる。
だから、さっきの計算式は、
√24 ÷ √10
= 2×√(10分の6)
= 2×√(5分の3)
になるんだ。
最後に、分母を有理化しよう。
分母の平方根を分子と分母にかければいいのさ。
⇒くわしくは「分母の有理化のやり方」を読んでみてね。
例題の分母は√5。
だから、分子と分母に√5をかけると、
√24 ÷ √10
= 2×√(5分の3)
= 5分の2√15
になるね。
おめでとう！
これでルートの割り算マスターだ。
平方根の割り算の仕方はどう？？
5ステップあるからなげえかもしれない。
だけど、どのステップも基本的なこと。
ルートの割り算に必要なものをしっかり
とおさえてこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。腹は八分だね。
平方根の計算でたまに、
ルートの分数
がでてくる。
分子や分母にルートがまじってるわけだ。
なかでもヤッカイなのは、
分母に平方根（ルート）がまじってる問題
だ。
なぜなら、
分数の分母の有理化
っていう作業が必要だからさ。ふつうより手間かかるんだ。
今日はそんな計算をクリアするために、
分数の分母の有理化のやり方
をわかりやすく解説していくよ。
よかったら参考にしてみて。
= もくじ =
分母の有理化とは、
分母のルート（無理数）を有理数にしちゃう
ってことなんだ。
もっといえば、
分母のルートをとっぱらうこと
だ。
いかなる手をつかってもいい。
分母の無理数を有理数に変えられればokだ。
分母の有理化は簡単。たったの3ステップだよ。
練習問題をといていこう！
例題
つぎの分数の分母を有理化しなさい。
√24 分の3
ルートを簡単にするとこからはじめよう。
ルートを簡単にするって、
ルートの中身から2乗の因数を取り出す
だったよね？？
⇒くわしくは「ルートを簡単にする方法」をみてね。
例題の「√24 分の3」の「√24」に注目してほしい。
この平方根は簡単にできる。
なぜなら、
24には因数「2の2乗」がはいってるからね。
えっ。疑わしいって？？
24を素因数分解すると、
24 = 2の3乗×3
になるよね？？
このなかに「2の2乗」っていう因数がふくまれるぜ。
こいつを根号の外にだすと、
ルート24分の3
= 2ルート6分の3
になるんだ。
これが第1ステップ！！
分母の平方根を分子と分母にかけよう。
これによって、
分母の平方根が2乗されてルートがとれるんだ。
たとえば、「√a分のb」って分数がいたとしよう。
分母・分子に√aをかければいいのさ。
すると、
√a分のb
= （√a×√a）分の（b×√a）
= a分の（b√a）
になるね！
例題の分数の分母は、
2√6
だったよね？？
分母の「ルート6」を分母と分子にかければいいんだ。
すると、
ルート24分の3
= 2ルート6分の3
= 12 分の3√6
になるね！
最後に約分しよう。
約分しなくても間違いじゃないけど念のためね。
例題でも約分してみよう。
12分の3√6
分子と分母を3でわると、
4分の√6
になるね！
おめでとう！
これで分母の有理化もマスターだ。
分数の分母にルートがある？？
そんなときは、分母を有理化してやろう。
平方根を簡単にして、
分母のルートを分子と分母にかければいいのさ。
ゆっくり有理化になれていこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。海につかりたいね。
平方根の計算にはいろいろある。
それこそ、
足し算、引き算、割り算、、、、、とか、もう、数えきれない。
そんななかに、
ルートの掛け算の計算
がある。
ルートの中身を掛け算するだけ
だったよね？？
そんなむずくなさそう。
だけどね、実際の計算問題だとそうはいかない。
そんなに世間は甘くないんだ。
そこで今日は、平方根の掛け算の計算方法を紹介していくよ。
平方根の掛け算は5ステップで計算できるよ。
えっ。5ステップもあるからダルいって！？？
ノンノン。
複雑にみえるけど、一瞬で計算できる。
安心してくれ。
例題をといていこう。
例題
つぎの平方根の計算をしてください。
(1) √12 × √32 (2) √7 × √21 (3) √48 × √27
平方根を簡単にしてみよう。
「ルートを簡単にする」ってようは、
2乗になってる因数を取り出す
ってことだ。
⇒ くわしくは「平方根を簡単にする方法」をよんでみて
例として、(1)をみてみよう。
(1) √12 × √32
√12と√32をそれぞれ簡単にしてやると、
になる。
つぎは(2)の掛け算だ。
(2) √7 × √21
この平方根たちは簡単にできないね。
なぜなら、中身に2乗の因数がないからさ。
(3)も簡単にしてやると、
(3) √48 × √27
= 4√3 × 3√3
になるね！
つぎは、整数の掛け算をしよう。
ルートはいったん無視していいや。
例題の(1)の計算でいうと、
(1) √12 × √32
= 2√3 × 4√2
だったよね？？
だから、整数の掛け算は、
2×4
= 8
になるね。
おなじように、(3)でも計算すると、
4×3
= 12
になるね！
ちなみに、(2)は整数がないからステイね。
つぎは、平方根の掛け算をするよ。
ルートを1つにして中身だけ計算しちゃう
だったよね？？
例題でもおなじさ。
(1) √12 × √32
= 2√3 × 4√2
の平方根部分の掛け算は、
√3 × √2
= √6
になるね！
例の(2)もおなじ。
平方根の掛け算の基本をつかって計算すると、
√7×√21
= √147
になるね！
例題の(3)の、
√48 × √27
= 4√3 × 3√3
でもおなじさ。
平方根の掛け算をしてやると、
√3×√3
= 3
になるね。
さっき計算した、
をくっつけてやろう。
ピタっとくっつけるだけでいいんだ。
例題の(1)だったら、
(1) √12 × √32
= 2√3 × 4√2
= 8√6
になるね。
(2)は平方根だけの掛け算だからステイ。
(3)の平方根の計算は、
√48 × √27
= 4√3 × 3√3
= 12×3
= 36
になるね！
最後に、ルートをもっと簡単にできるか挑戦。
ルートの中身はいちばん簡単にすべきだからね。
例題の計算をみてみると・・・
・・・ん！？
(2)のルートはもっと簡単にできそうじゃないか？？
中身の147を素因数分解すると、
147 = 3×7の2乗
になってる。
因数の7が2乗になってるじゃん？？
最終的に、(2)の計算問題は、
√7×√21
= √147
= 7√3
になるね。
こんなかんじで、
ルートをもう一度簡単にできるか
チェックしてみよう！
平方根の掛け算のコツは、
ルートを簡単にして、整数と平方根をわけるってこと。
そのほうが計算が楽。
じゃんじゃんルートの掛け算していこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいてるKenです。ハットかぶりたいね。
平方根の計算のなかでいちばんとっつきやすいのは、
掛け算
だ。
なぜなら、
平方根の計算の中でいちばんルールが簡単だからさ。
そのルールとは、
ルート同士の掛け算では中身を掛け算して一緒のルートの中にいれる
ってやつなんだ。
だから、たとえば、
（ルートa）×（ルートb）
っていう平方根の掛け算があったとしたら、
ルートab
になるってわけだ。
この計算の基本ルールを使えばルートの掛け算は簡単だ。
とりあえず、
ルートの中身をかけちゃえばいいからね。
たとえば、
（ルート2）×（ルート3）
っていう掛け算の計算があったとしよう。
さっき勉強した掛け算の基本ルールを使うと、
（ルート2）×（ルート3）
= ルート(2×3)
= ルート6
になるね！
ルートの中身をかけあわせて、ルートを1つにするだけだから、
むちゃくちゃ簡単だね。
平方根の掛け算バンザイ！
でもさ、
なんで平方根の掛け算ってこんなに簡単なのかな？？
もうちょっと複雑でもいいなあー
って不満があるかもしれない。
せっかくだから、
なぜ、ルートの掛け算の基本ルールは使えるのか？？
ってことを勉強してみよう。
具体的には、掛け算の基本ルールの、
（ルートa）×（ルートb）= ルートab
を証明してみるよ。
つぎの4ステップを踏めば大丈夫！
まずは、
（ルートa）×（ルートb）
を2乗してみよう。とりあえずね。
こいつらを2乗してみると、
{（ルートa）×（ルートb）}^2
= （ルートa）×（ルートb）×（ルートa）×（ルートb）
になるね！
つぎは、
交換法則で掛け算の順番をチェンジしよう。
交換法則って簡単にいうと、
掛け算や足し算の順番を変えてもいいよ
っていう法則だったね。
⇒くわしくは交換法則の記事をよんでみてね
さっき2乗してできた式に注目してくれ。
{（ルートa）×（ルートb）}^2
= （ルートa）×（ルートb）×（ルートa）×（ルートb）
じつは、この掛け算の式で交換法則をつかうと、
この2行めの掛け算の順番をかえてもいい
っていうことになるんだ。
だから、ルートが消えるように都合よく掛け算の順番をかえてやると、
{（ルートa）×（ルートb）}^2
= （ルートa）×（ルートb）×（ルートa）×（ルートb）
= （ルートa）×（ルートa）×（ルートb）×（ルートb）
になるね！
つぎは、順番を入れ替えた状態でルートの掛け算してみよう。
ここでのポイントは、
ルートの中身が同じ平方根を2回かけるとルートがはずれる
ってことだ。
つまり、
になるってことさ。
こいつらを使ってさっきの計算をすすめてやると、
{（ルートa）×（ルートb）}^2
= （ルートa）×（ルートb）×（ルートa）×（ルートb）
= （ルートa）×（ルートa）×（ルートb）×（ルートb）
= a×b
になるね！
最後に、
最初にとりあえず2乗した「2乗」をとりのぞこう！
いったん、もとにもどしてやればいいんだ。
さっきの計算式では、
{（ルートa）×（ルートb）}^2 = a×b
になっていたわけだ。
こいつの左辺の、
{（ルートa）×（ルートb）}^2
の2乗をとっぱらえばいいんだよ。
2乗の取り方は簡単！
左と右の両方にルートをかぶせちまえばいいんだ。
こんな感じでね↓↓
左のルートは中身が2乗になってるね？？
こういうときは、2乗とルートがともにきえてなくなるから、
ルート{（ルートa ）×（ルートb）}^2
= （ルートa ）×（ルートb）
になるんだ。
よって、
（ルートa ）×（ルートb）= ルート(a×b)
になるね！
おめでとう。
これでルート掛け算の基本法則を証明できたね。
ルートの掛け算？？
びびることはない。
ルートとルートを1つにしちゃって、
中身をかけあわせればいいんだ。
平方根の計算は簡単だから、
なぜ、平方根の掛け算が計算できちゃうのか？？
っていうことまでおさえておこう。
そんじゃねー
Ken
