こんにちは！この記事をかいているKenだよ。トマトはヘルシーだね。
円錐の高さを求める問題
ってたまにでるね？？
こいつは中1数学でならった
と、
中3でマスターする「三平方の定理」でといていくんだ。
かなりくせ者だね。
今日はコイツを攻略するために、
円錐の高さの求め方がわかる3ステップ
を解説していくよ。
よかったら参考にしてみて。
3ステップで求められるよ。
例題をといてみよう！
例題
下の図は円錐の展開図です。円錐の側面が、半径12cm、中心角90°のとき、円錐の高さを求めなさい。
まずは円錐の側面の、
弧の長さ
を計算しよう。
えっ。
弧の長さの出し方がわからないって？？
円錐の側面は「おうぎ形」だったね。
だから、
をつかえばいいんだ。
扇形の弧の長さは、
直径×円周率×中心角÷360
で計算できたね。
例題の扇形は、
だ。
公式をつかってみると、
（扇形の弧の長さ）
= （直径）×（円周率）×（中心角）÷ 360
= 24 × π × 90 ÷ 360
= 6π
になる。
これが第1ステップ！！
つぎは円錐の底面に注目。
半径を計算するんだ。
半径の長さをrとして方程式をたてるよ。
円錐の展開図をくみたてると、
「底面の円」
と
「側面の弧」
がかさなるでしょ？？
だから、
（底面の円周の長さ）＝ （側面の扇形の弧の長さ）
っていう方程式がつくれるんだ。
（底面の円周の長さ）＝ （側面の扇形の弧の長さ）
（直径×円周率）＝ （直径×円周率×中心角÷360°）
2 × r × π ＝ 2 × 12 × π × 90° ÷ 360°
r = 3 [cm]
になるね！
底面の半径は「3 cm」ってことさ。
第2ステップ終了！
最後は三平方の定理をつかうよ。
円錐をナイフできってやると、
直角三角形がでてくるでしょ？？
三平方の定理をつかうと、
（円錐の高さ）
＝ √（斜辺の二乗）- （その他の1辺の二乗）
＝ √ （12）² – 3²
＝ √135
になるね。
おめでとう。
円錐の高さもゲットだね！
円錐の高さを求めるのはむずそう。
だけど、基本をおさえれば大丈夫。
の3ステップで、
じゃんじゃん求めていこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。卵は便利だね。
正方形の対角線の求め方には公式があるよ。
正方形の1辺をaとすると、対角線は、
√2 a
で計算できちゃうんだ。
つまり、
（正方形の対角線）＝ √2 × （正方形の1辺）
ってわけだ。
たとえば、1辺が4cmの正方形ABCDがあったとしよう。
こいつの対角線BDの長さは、
√2 × （正方形の1辺）
= 4√2 [cm]
になるんだ。
正方形の1辺に「√2 」をかけるだけ！簡単だね。
でもさ、
なんで公式がつかえるんだろう？？
便利すぎてこわいね。
そこで今日は、
正方形の対角線の長さの求め方を3ステップで解説していくよ。
よかったら参考にしてみてね。
例として、
正方形ABCDの対角線を求めていこう！
正方形に対角線をひいてみよう。
正方形ABCDでいうと、
対角線BDをすーーーーーっとひいてみて。
これが第1ステップだ。
つぎは、正方形の中から直角三角形をみつけよう。
虫眼鏡もルーペもいらない。
裸眼でも大丈夫。
正方形に対角線をひいたら、
直角三角形が2つできあがっているはずだ。
正方形ABCDでいうと、
の2つだね。
直角三角形がみつかれば第2ステップ終了さ。
あとは、三平方の定理をつかうだけ！
直角三角形の斜辺を計算するんだ。
正方形ABCDでいうと、
直角三角形ABDをえらんでみたよ。
この直角三角形で三平方の定理をつかって、
斜辺BDを計算しよう。
BD = √(AD^2 + AB ^2 )
= √(4^2 + 4^2)
= 4√2 [cm]
になるね！
おめでとう！
これで正方形の対角線の求め方をマスターしたね！
正方形の対角線の公式は、
「正方形の1辺」に「√2」をかけるだけ。
むちゃシンプルだね。
だからこそ、なぜ公式がつかえるのか？？
を知っておこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。スパゲッティゆでまくったね。
ひし形の対角線の問題ってたまにでるよね？？
たとえばつぎのようなやつ↓↓
例題
1辺の長さが10のひし形ABCDがある。2本の対角線のうち、一方は他方より4 cm長いとすると、対角線は何cmになりますか？？ ※対角線の交点をMとする
この問題はぱっと見、むずかしい。
だけど、
うまーく問題をといてあげれば、
3ステップで答えをだせちゃうんだ。
今日は、
ひし形の対角線の求め方の3つのステップ
をわかりやすく解説してみたよ。
よかったら参考にしてみて。
さっそく解説していくよ。
例題をといていこう！
例題
1辺の長さが10のひし形ABCDがある。2本の対角線のうち、BDはACより4 cm長いとすると、対角線ACは何cmになりますか？？ ※対角線の交点をMとする
まず、対角線の長さを「x」とおこう。
例題では対角線ACをx cmとおいたよ。
対角線BDはACよりも4cm長いはずだから、
x + 4
になるね。
これが第1ステップ！！
つぎは、
ひし形の対角線の「半分」を求めよう！
ひし形の定義で、
ひし形は平行四辺形である
ってならったよね？？
ってことは、ひし形でも平行四辺形の性質の、
対角線は中点で交わる
ってやつが使えるんだ。
ひし形ABCDでいうと、対角線ACとBDは中点Mでまじわっているはず。
ってことは、
MはACの中点だね。
計算してやると、
AM = 1/2 x
になる。
おなじように、
MがBDの中点でもあるから、
BM = (x+4)/2
になるね。
これが第2ステップ！！
最後は、三平方の定理で方程式をつくろう。
対角線をひいてできた、
「小さな三角形」に注目するんだ。
ひし形ABCDでいうと、
三角形ABMだね。
垂直に交わる
があったね。
つまり、三角形ABMは角AMB= 90°の直角三角形なんだ。
こいつで三平方の定理をつかってやると、
10^2 = (1/2x)^2 + {(x+4)/2}^2
っていうxについての方程式ができるはずだ！
こいつを分数をふくむ方程式の解き方でといてやると、
x = 12
になるね。
つまり、
対角線ACは12[cm]ってことになる。
おめでとう！
ひし形の対角線の長さを求められたね！
ひし形の対角線の求め方はちょっと複雑。
でも基本をおさえてしまえば、
っていう3つで対角線をもとめられるね。
どんどん問題になれていこう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。ミッションインポッシブルだね。
長方形の対角線の求め方、しってる？？
じつは公式があるんだ。
長方形のヨコの長さをa、タテの長さをbとすると、
√(a^2 + b^2)
で計算できちゃうんだよ。
つまり、
√( タテ×タテ + ヨコ×ヨコ)
になるわけさ。
たとえば、ヨコの長さが4cm、
タテの長さが3cmの長方形がいたとする。
対角線の長さは、
√(4^2 + 3^2)
= √25
= 5 [cm]
になるんだ。
むちゃくちゃ便利な公式だね！
だがしかし、
なぜ公式で対角線の長さが計算できちゃうんだろう？？？
って疑問に思うよね。
その理由はずばり、
直角三角形で三平方の定理をつかっているから
なんだ。
長方形で対角線をひいたら、
2つの三角形にわかれるでしょ？？
そのうちの1つの直角三角形をえらぼう。
そいつで、
三平方の定理をつかって対角線の長さを求めるんだ！
対角線をひいて三平方の定理をつかうだけなんて簡単でしょ！？
長方形の対角線の長さは、
三平方の定理で1発さ。
長方形から直角三角形をみつけていこう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。毛布、ほしいね。
平行四辺形の対角線の長さの問題
ってむずい。
でも、
求め方を知っておけば大丈夫。
ドヤ顔で答えられるよ。
たとえばつぎの例題をみてみて。
例題
平行四辺形ABCDにおいて、AB = CD = 6cm、AD = BC = 10cmとする。
角A = 120°のとき、対角線ACの長さを求めよ。
今日はこの、
平行四辺形の対角線の長さを求める問題を3ステップで解説していくよ。
よかったら参考にしてみてね。
例題の、
例題
平行四辺形ABCDにおいて、AB = CD = 6cm、AD = BC = 10cmとする。
角A = 120°のとき、対角線ACの長さを求めよ。
をときながら解説していくよ。
つぎの4ステップでとけちゃうんだ。
平行四辺形の頂点から垂線をおろそう。
角度がわかっている頂点から垂線をひいてみて。
例題でいうと、角Aから垂線をひくよ。
だって、
角A = 120°
って角度がわかってるからね。
AからBCに垂線をおろすと、
だいたいこんな感じになる↓↓
垂線とBCの交点をHとしよう。
平行四辺形の角度を求めよう。
平行四辺形の性質の、
2組の向かいあう角は、それぞれ等しい
を使うよ。
2組の向かいあう角は、それぞれ等しい
から、
角A = 角C = 120°
ってわかる。
ってことは、
残りの角Bと角Dは、
角B = 角D = (360°- 240°)÷2 = 60°
になるはずだ。
平行四辺形の高さを求めてみよう。
例題でいうと、
線分AHの長さだね。
高さAHの長さを求めるために、
直角三角形ABHに注目してみよう。
この直角三角形は、
の角度をもっているね。
ってことは、この直角三角形の比は、
1: 2: √3
になるはずだ。
よって、
になるね。
いよいよ最後のステップ。
三平方の定理で「対角線の長さ」をもとめよう！
例題では、
直角三角形ACHに注目してくれ。
ここでは、
AHとCHで三平方の定理をつかって、
対角線AC の長さを求めていくよ。
Step3より、
だね。
よって、
AC = √(AH^2+CH^2)
= √[(3√3)^2+ 7^2]
= 2√19
になる。
おめでとう！
平行四辺形の対角線の長さを計算できたね！
平行四辺形の対角線の求め方はムズい。
だけれども、
直角三角形をうまくつくれば大丈夫。
あとは三平方の定理を使うだけさ。
がんばって計算してみてね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。ビタミンC摂取したいね。
二等辺三角形の高さを求める問題
ってたまにでる。
たとえばつぎのような問題さ。
AB = AC = 5cm、BC = 8 cmの二等辺三角形ABCにおいて、
底辺をBCとしたときの高さを求めよ。
この手の問題は簡単そうだね？
だがしかし、意外にやっかいなんだ。
今日はこの問題をわかりやすく解説していくよ。
よかったら参考にしてみて。
例題をといてみよう。
AB = AC = 5cm、BC = 8 cmの二等辺三角形ABCにおいて、
底辺をBCとしたときの高さを求めよ。
つぎの3ステップで計算できるよ。
頂角の二等分線を底辺にひいてみよう。
例題でいうと、
頂角Aを二等分する線を、
底辺BCにむかってひいてあげる。
底辺との交点をHとしよう。
つぎは底辺の半分を計算するよ！
二等辺三角形の性質の中に、
二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分する
ってやつがあったはずだ。
こいつを使ってやると、
二等分線AHはBCの垂直二等分線になっているはず。
つまり、
ってことさ。
底辺BC = 8cmだから、
BH = CH = 4 cm
だね。
最後は三平方の定理をつかおう！
半分の三角形に注目してみて。
例題でいうと、
三角形ABHだね。
こいつは、
直角三角形2辺の長さがわかってるね。
ってことは、
高さAHは三平方の定理をつかえば求められる。
三平方の定理より、
AH = √5^2 – 4^2
= 3
になるね。
おめでとう！
これで二等辺三角形の高さを求められたね！
二等辺三角形の高さを求めたいときは、
の3ステップで終了さ。
あとは問題に慣れてみてね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは、この記事をかいているKenだよ。ペプシはダイエット一択だね。
三角錐の高さを求めなさい！
っていう問題はたまに出てくるね。たとえば次のように出題されることがあるよ。
例題
つぎの三角錐ABCDがある。底面を三角形ACDとしたときの高さを求めて！
つまり、
頂点Bから三角形ACDにおろした垂線の長さを求めろ！
ってことだね。
「三角錐の高さ」はつぎの4ステップで計算できるよ。
まずは三角錐の体積を求めてみよう。
どの「底面積」と「高さ」を使っても大丈夫。
例題でいうと、
とすれば三角錐ABCDの体積を求めることができるね。
求め方は「底面積×高さ×1/3」だから、
(6×6×0.5)×6×1/3
= 36 [cm^3]
になるね！
問題で指定されている「底面積」を求めよう！
例題では、
「三角形ACD」を底面とするときの高さ
っていう指定されているよね？？
だから、三角形ACDの面積を計算してやればいいんだ！
AC、AD、CDの長さを三平方の定理をつかって計算してみると、
ぜんぶ「6√2」になるよね。
ってことは、三角形ACDは1辺が6√2の正三角形ってことだ！
こいつの面積を求めてあげよう。
三平方の定理をつかって高さを求めて（3√6）、面積を計算すると、
6√2×3√6×0.5
= 18√3 [cm^2]
になるね！
三角錐の高さ（指定された底面からの）についての方程式をつくってみよう。
つまり、
「三角錐の高さ」を変数と置いた方程式ってことだね。
そいつを解けば、三角錐の高さが求められるってことになる。
例題をみてみよう。
頂点Bから三角形ACDに垂線をおろしたとき、三角形ACDと垂線の交点をHとする。
このとき、三角錐ABCDの高さはBHになるよね。
BHの長さを変数とおいて方程式とたててやると、
（△ACDを底面とした時の体積）＝（△ABCを底面とした時の体積）
1/3 ×18√3 × BH = 36
ってなるよ。
あとはStep3でたてた方程式をといてあげるだけ！
方程式の解き方の基本を思い出しながら慎重にといてみてくれ。
1/2 × 18√3 × BH = 36
っていう方程式を解くと、
BH = 2√3
っていう解がゲットできるね。
これが「底面を△ACDとしたときの三角錐の高さ」だね！
おめでとう。
三角錐の高さの求め方はどうだった？？
「体積」と「底面積」を計算して方程式をつくるだけさ。
慣れれば5分以内に高さをゲットできるようになるはずだ。
テスト前によーく復習しておこう！
そんじゃねー
Ken
