【高校数学 I 】3点を通る二次関数の放物線の式の求め方

クマシロ

よう、消しゴムの妖精のくましろだ。

中学数学では「2点を通る一次関数の求め方」、勉強してきたよな。

tomo

2015.08.18

【1次関数】2点を通る直線の式の求め方がわかる3ステップ

https://text.tomo.school/line-two-dots

2点を通る直線の式の求め方って？？こんにちは！この記事をかいているKenだよ。焼き肉のたれは便利だね。一次関数でよくでてくるのは、二点の直線の式を求める問題だ。たとえば、つぎのようなヤツ　↓↓ 例題つぎの一次関数の式を求めなさい。グラフが、2点（1, 3）、（-5, -9）を通る直線である。今日はこのタイプの問題を攻略するために、2点を通る直線の式の求め方を3ステップで解説していくよ。二点を通る直線の式の求め方がわかる3ステップ二点を通る直線の式を求める問題には、変化の...

なんと、高校ではな、こいつをステップアップさせて、

3点を通る二次関数の放物線の求め方

を勉強していくぞ。

例えば次のような問題だ。

3点 A（2,3）, B（5,-7）, C（-1,9）を通る放物線をグラフとする二次関数を求めてね

人間の世界は違い世知辛いな。だって、どんどん難しいことをやらせるんだからな。

今日はそんな世間の世知辛さに直面しているお前らのために、3点を通る二次関数の放物線の求め方を解説してやるぜ。

3点を通る二次関数の放物線の求め方

この問題の解き方は次の3ステップだ。

さっきの例題、解いていくぞ。

3点

A （ 2, 3 ）, B （ 5, - 7 ）, C （ - 1, 9 ）

を通る放物線をグラフとする二次関数を求めてね

3点を二次関数の式に代入する

問題文に3つの座標の点、書いてあるだろ？

そいつらをすべて、二次関数の基本形 $y = a x^{2} + b x + c$ に代入するんだ。

すると、3つの式が得られるはずだ。

例題でやってみるぞ。

3つの座標の点は、

$A （ 2, 3 ）$
$B （ 5, - 7 ）$
$C （ - 1, 9 ）$

だったよな？

こいつらをすべて $y = a x^{2} + b x + c$ に代入すると、次の3つの式が得られるはず。

$3 = 4 a + 2 b + c$
$- 7 = 25 a + 5 b + c$
$9 = a - b + c$

連立方程式を解く

さっき生み出した俺たちが生み出した3つの式を見てみろ。

3つの文字（ $a ・ b ・ c$ ）
3つの式

があるよな。

文字が3つ、3つの式。

そう、これは中学数学で倒したことがある連立方程式の3つのバージョンだ。

tomo

2015.07.12

【xyz】3つの式の連立方程式の解き方がわかる4ステップ

https://text.tomo.school/three-equations

連立方程式のなかに3つ式があるんだけど？？こんにちは！中学2年生の連立方程式では、 x yの2文字がでてきたね！でも、たまーに、ごくたまーに。 x y zの3文字がでてくる連立方程式もあるんだ。今日はそんな問題に対応できるよう、3つの式の連立方程式（xyz）の解き方を4ステップで解説していくよ。よかったら参考にしてみて。 3つの式の連立方程式の解き方がわかる4ステップ解き方のポイントは、「1つの式」をつかって「1つの文字」を消去するということさ。例題をときながらみていこう。つぎの連立方程...

業界用語で「3元一次方程式」と呼んでいたこともついでに思い出してくれ。

この3つの連立方程式の解き方、復習しておこうか。

まず1つの文字を消去して、それから2つの文字で連立方程式にして、いつも通り解く、

っていう手順だった。

忘れちまったやつは復習しといてくれや。

さて。例題に戻るぞ。

例題で出てきた3つの文字の連立方程式はこうだ。

${\begin{cases} \begin{aligned} 3 & = 4 a + 2 b + c & (1) \\ - 7 & = 25 a + 5 b + c & (2) \\ 9 & = a - b + c & (3) \end{aligned} \end{cases}$

これをさっき復習した解き方で解くぞ。

1つ目の式から3つ目の式を引いて $c$ を消去！

$- 6 = 3 a + 3 b$

$a + b = - 2$

ほいでふたたび、2つ目の式から3つ目の式を引いて $c$ を消去！

$- 16 = 24 a + 6 b$

$12 a + 3 b = - 8$

で、新しくできた2つの $a と b$ についての連立方程式を解くぞ！

${\begin{cases} \begin{aligned} a + b & = - 2 & (4) \\ 12 a + 3 b & = - 8 & (5) \end{aligned} \end{cases}$

式(4)を3倍して式(5)から引くと・・・・

$9 a = - 2$

$a = - \frac{2}{9}$

になる！

で、 $a = - \frac{2}{9}$ を式(4)の $a + b = - 2$ に代入して $b$ を求めるぞ。

$a + b = - 2$

$- \frac{2}{9} + b = - 2$

$b = - 2 + \frac{2}{9}$

$b = - \frac{16}{9}$

オッケー、あとは $c$ だな。ここまでゲットした $a と b$ を最初の式(3)の $9 = a - b + c$ に代入！

$9 = a - b + c$

$9 = - \frac{2}{9} - (- \frac{16}{9}) + c$

$c = 9 + \frac{2}{9} - \frac{16}{9}$

次のように $a b c$ の値が得られたはずだ。

$c = \frac{67}{9}$

3つの文字を二次関数の式に当てはめる

ここまでくりゃ、ゴールは目前さ。

あとは、ゲットした3つの文字（ $a ・ b ・ c$ ）を二次関数に代入するだけだ。

連立方程式との格闘で息切れしちまってるかもしれねえが、この $a b c$ は $y = a x^{2} + b x + c$ の $a b c$ 、だったもんな。

ってことで、3つの文字（ $a ・ b ・ c$ ）を二次関数 $y = a x^{2} + b x + c$ に代入すると、次のようになる。

$y = a x^{2} + b x + c$

$y = - \frac{2}{9} x^{2} - \frac{16}{9} x + \frac{67}{9}$

これが3点 $a b c$ を取る二次関数の放物線の式だ。

おつかれさん、ってやつだな。

こんな感じで、少々厄介だが、実際に使っていたのは中学数学で学んだことがある、3つの連立方程式の解き方だけだ。

これを機に、中学数学の復習をしておくのもアリだよな。

クマシロ

次は二次関数の平行移動の公式を勉強していこう。

それじゃあな！