二次関数を平行移動させて重ねて一致させる問題の解き方

 

クマシロ
クマシロ
よう、消しゴムの妖精のくましろだ。認証、待ちだわ

 

二次関数y=ax2+bx+cってさ、 いろんな形してるよな。

こんなんだって、

二次関数 平行移動 一致

あんなのだってあるだろうし。

二次関数 平行移動 一致

じつは、この二次関数のグラフの形は、

aの大きさによって変化するんだ。

 

aが大きければを狭い開き具合になるし、

二次関数 平行移動 一致

逆に小さければ、緩やかな開き具合になるってことよ。

二次関数 平行移動 一致

ということは、aが同じ二次関数ならば、生えてる場所が同じだけで放物線の形は一緒。

ということは、ということは。

aが同じ二次関数ならば、片方の二次関数を平行移動させれば、もう1つの二次関数に重ねて一致させられるわけだ。

二次関数 平行移動 一致

どうだ?

やってみたくなっただろう?

 

この好奇心を先読みしてたんだろうな、きっと。

高校数学では、

二次関数を平行移動させて重ねる・一致させる問題がよく出てくるんだ。

たとえば、次の問題な。

 

 

今日はこの問題の解き方を勉強していこう。

 

二次関数を平行移動させて重ねて一致させる問題の解き方

この手の問題の解き方が次の3ステップだ。さっきの例題を一緒に解いていくぞ。

 

 

 

それぞれの二次関数を平方完成

まずはお馴染みとなった動作からだな。

2つの二次関数をそれぞれ平方完成させて頂点を求めよう

 

二次関数の軸・頂点を求める公式を覚えているやつは、このステップをスキップしてもいい。

 

公式を忘れた、もしくは、平方完成力に自信があるやつは、このステップからやっていこう。

さっきの例題で、2つの二次関数をそれぞれ平方完成させるぞ。

 

y=3x2+5x+7

y=3(x2+53x)+7

y=3{(x+56)25262}+7

y=3(x+56)22512+7

y=3(x+56)25912

 

y=3x211x

y=3x211x

y=3(x2113)x

y=3{(x116)211262}

y=3(x116)212112

 

頂点を求める

平方完成は無事に通過したな?

次はこの形から二次関数の頂点を求めていくぞ。

二次関数の基本形「y=a(xp)2+q」の頂点は、

(p,q)

だったよな。

 

だから、例題の2つの二次関数の頂点は次のようになる。

 

y=3x2+5x+7の頂点

平方完成すると、y=3(x+56)25912になるから、

(56,5912)

 

y=3x211x

平方完成すると、y=3(x116)212112になるから、

(116,12112)

 

頂点の求め方の公式を覚えていたやつは、公式にabcを代入して二次関数の頂点をそれぞれ求めておくれ。

頂点が求めれば公式を使うが何しようがオッケーだ。

 

頂点の差を求める

最後に、2つの頂点の差を見つけてゲット。

その頂点のズレを埋めてやるように、二次関数を平行移動させてやればグラフが一致するはずさ。

 

ここでのコツは、

座標平面に書き出す!

だ。実際に書いてみると見えてくるものもあるのさ。

 

さて。

1つ目の二次関数の頂点を、2つ目の二次関数の頂点に、一致させるためにはどうすればいい??

二次関数 平行移動 一致

そう、

(2つ目の二次関数の頂点 )と(1つ目の二次関数の頂点)の差の分だけ移動させりゃいいよな。

つまり、

(2つ目の二次関数の頂点 )-(1つ目の二次関数の頂点)

の分だけ、移動させりゃ、2つの二次関数は一致するはずだ。

 

例題の二次関数の頂点たちは、

  • 1つ目の頂点:(56,5912)
  • 2つ目の頂点:(116,12112)

だったよな?

(2つ目の二次関数の頂点 )-(1つ目の二次関数の頂点)

xy座標それぞれ計算してやろう。

 

x座標

116(56)

=166

=83

 

y座標

121125912

=18012

=15

 

ってことで、x83y15移動させれば2つの二次関数は重なるはずさ。

 

以上、二次関数を平行移動させて一致させる問題の解き方だ。

解けるようになったな?

 

クマシロ
クマシロ
次は3点を通る二次関数の求め方を勉強していこう。

 

そじゃぁなぁ!