二重根号の外し方の公式〜2がない・分数になる解き方も対応〜

クマシロ

よう、消しゴムの妖精のくましろだ。たぶん、外気が呼んでる

中学数学ではいろんな根号を外してきたな。

高校数学では2ステップぐらい上がって、

二重根号

を外していくぜ。

二重根号とは文字通り根号が2重になっているやつだ。

根号の中に根号がある、つまりは、ルートの中にルートがあるんだ。聞いただけでやっかいだろ？

例えば次のやつが二重根号だ。

$\sqrt{7 + 2 \sqrt{6}}$

二重根号の外し方の公式

初めて見た時はビビるかもしれえねえが、安心しろ。

ありがたいことに、

二重根号を簡単に外せる公式があるんだ。それは次の2つだ。

$a > 0, b > 0 のとき,$

$\sqrt{a + b + 2 \sqrt{a b}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$

$a > b > 0 のとき,$

$\sqrt{a + b - 2 \sqrt{a b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$

$2 \sqrt{a b}$ の符号がプラスなのかマイナスなのかで2パターン公式があるんだ。

どっちの公式でも使い方は大体一緒だ。

要は、

たしたら $2 \sqrt{}$ の中身になる
かけたら $2 \sqrt{}$ の前の数字になる

という条件をみたす2つの数字のセットを見つけりゃいいのさ。

そして、そのセットにそれぞれルートをつけたやつを足すのか、それとも引くのかするわけだ。

それじゃあ具体的な例を解いていこう。

基本パターン

$\sqrt{7 + 2 \sqrt{6}}$

まずは最初に見たこいつな。

要は、

たしたら $7$ になる
かけたら $6$ になる

という条件をみたす2つの数字のセットを見つけりゃいいのさ。

そいつは・・・・そう、

のセットじゃあるまいか？

だって、こいつらたしたら「 $7$ 」だし、かけたら「 $6$ 」だもんな。

ってことで、二重根号の外し方の公式でいう $a$ と $b$ は、

$a = 6$
$b = 1$

となる。ゆえ、

$\sqrt{7 + 2 \sqrt{6}}$

$= \sqrt{6} + 1$

になるな。

2がない二重根号の外し方

たまに、二重根号の中に「2ルートがない」問題があるんだ。

例えば次のようなものがな。

$\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$

「2ルート」じゃなくて「4ルート」になっている・・・と。

こういう時はな、

2を強引に作って公式で突破していくぞ。

「4ルート」を「2ルート」にすればいいよな。ルートの中身に $2^{2}$ をかけりゃ、「4ルート」を「2ルート」にできる。

$\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$

$= \sqrt{7 - 2 \sqrt{3 \times 2^{2}}}$

$= \sqrt{7 - 2 \sqrt{12}}$

この変形が終わったら、あとは公式通り。

たしたら $7$ になる
かけたら $12$ になる

という条件をみたす2つの数字のセットを見つけりゃいいのさ。

そいつは・・・・そう、

のセットじゃあるまいか？

だって、こいつらたしたら「 $7$ 」だし、かけたら「 $12$ 」だもんな。

でも、この公式はマイナスバージョンであることに注意しようぜ。

マイナスバージョンの公式は

$a > b > 0$

という条件がある。つまり「 $a$ のほうがでかい」んだ。

ってことで、二重根号の外し方の公式でいう $a$ と $b$ は、

$a = 4$
$b = 3$

ゆえ、

$\sqrt{7 - 2 \sqrt{12}}$

$= \sqrt{4} - \sqrt{3}$

$= 2 - \sqrt{3}$

になるな。

分数になる問題

でもちょっと次の問題を見てほしい。

$\sqrt{5 + \sqrt{21}}$

こいつも「2がない二重根号の問題」だ。が、しかし、こいつはちょっと厄介。

ルートの前に何もついてないパターンだ。

この場合、さっきみたいに「2ルート」を強引に作ると、二重根号の中身が分数になっちゃうんだ。

$\sqrt{5 + \sqrt{21}}$

$= \sqrt{\frac{5 \times 2 + 2 \sqrt{21}}{2}}$

$= \sqrt{\frac{10 + 2 \sqrt{21}}{2}}$

でもな、安心しろ。

分数があろうがなかろうが、やる事は同じだ。

つまり、

無理矢理、二重根号の中身に「2ルート」の形を作って公式に当てはめるだけだ。

すると次のようになる。

$\sqrt{5 + \sqrt{21}}$

$= \sqrt{\frac{5 \times 2 + 2 \sqrt{21}}{2}}$

$= \sqrt{\frac{10 + 2 \sqrt{21}}{2}}$

$= \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{21}}}{\sqrt{2}}$

あとは公式を分子の $\sqrt{10 + 2 \sqrt{21}}$ で使えばいいな。

たしたら $10$ になる
かけたら $21$ になる

という条件をみたす2つの数字のセットを見つけりゃいい。

そいつは・・・・そう、

のセットじゃあるまいか？

ってことで、

$\sqrt{5 + \sqrt{21}}$

$= \sqrt{\frac{5 \times 2 + 2 \sqrt{21}}{2}}$

$= \sqrt{\frac{10 + 2 \sqrt{21}}{2}}$

$= \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{21}}}{\sqrt{2}}$

$= \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

最後に分母の有理化をして分配法則で（）を展開だ。

$= \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$= \frac{\sqrt{2} \times (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$

$= \frac{\sqrt{14} + \sqrt{6}}{2}$

オッケー、最後はちょっと厄介だったが、これでゲームクリアだ。

クマシロ

2がない時はあきらめず強引に2を作って突破だ！

次はこの二重根号の公式がなぜ使えるのか、っていう証明をやっていこう。

証明までマスターしておけば、公式を本番で忘れても大丈夫だからな。

それじゃな！