よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今日はsin・cos・tanを文字の形で覚えていくぞ。
高校数学Iで、いきなり出てくる謎の3兄弟がいる。
sin・cos・tan
だ。
読み方は、
だな。
sinは召喚獣じゃねえし、tanは日焼けじゃねえぞ。こいつらは三角比だ。
三角比では、次の公式を覚えることになる。
$$\sin A = \frac{対辺}{斜辺}$$
$$\cos A = \frac{底辺}{斜辺}$$
$$\tan A = \frac{対辺}{底辺}$$
……いや、多いな。
いきなり3つの分数を渡されると、
「どれが対辺で、どれが斜辺で、どれが底辺だっけ？」
となりやすい。
そこで今回は、
sin・cos・tanを文字の形で覚える方法
を紹介するぞ。
アルファベットの形を、直角三角形の辺に重ねて考えるだけでいい。
まずはsinからいこう。
sinは、
$$\sin A = \frac{対辺}{斜辺}$$
だったな。
ここで、sinの頭文字である
S
に注目する。
このSを、右に90度倒してみる。
すると、倒れたSの形が、直角三角形の
に重なるように見える。
つまり、Sを倒すと、
sinAで使う「対辺」と「斜辺」が見える
というわけだ。
sinのSは、斜辺と対辺にからみつくSだ。Sを倒して、使う辺を思い出せ。
だから、sinAは、
$$\sin A = \frac{対辺}{斜辺}$$
になる。
ここで大事なのは、分数の上下だ。
sinAは、
だ。
つまり、
sinA = 対辺 ÷ 斜辺
と覚える。
次はcosだ。
cosは、
$$\cos A = \frac{底辺}{斜辺}$$
だったな。
ここで、cosの頭文字である
C
に注目する。
Cの形を、直角三角形に重ねて考える。
すると、Cの開いている形が、
に対応しているように見える。
cosで使うのは、
斜辺と底辺
だ。
対辺は使わない。
cosのCは、斜辺と底辺をつかみにいくCだ。対辺には手を出さねえ。
だから、cosAは、
$$\cos A = \frac{底辺}{斜辺}$$
になる。
ここでも、分数の上下を確認しておこう。
cosAは、
だ。
つまり、
cosA = 底辺 ÷ 斜辺
と覚える。
最後はtanだ。
tanは、
$$\tan A = \frac{対辺}{底辺}$$
だったな。
ここで、tanの頭文字である
t
に注目する。そして、今回は筆記体のtの登場だ。
この形を直角三角形に重ねると、
に対応して見える。
tanで使うのは、
対辺と底辺
だ。
sinやcosでは斜辺が出てきた。
でも、tanでは斜辺を使わない。
tanは斜辺を使わねえ。tの縦と横だけ見れば、対辺と底辺が出てくるぞ。
だから、tanAは、
$$\tan A = \frac{対辺}{底辺}$$
になる。
tanAは、
だ。
つまり、
tanA = 対辺 ÷ 底辺
と覚える。
ここまでをまとめるぞ。
| 三角比 | 文字のイメージ | 使う辺 | 式 |
|---|---|---|---|
| sin A | Sを右に90度倒す | 対辺・斜辺 | 対辺 ÷ 斜辺 |
| cos A | Cを三角形に重ねる | 底辺・斜辺 | 底辺 ÷ 斜辺 |
| tan A | 筆記体tを重ねる | 対辺・底辺 | 対辺 ÷ 底辺 |
式でまとめると、
$$\sin A = \frac{対辺}{斜辺}$$
$$\cos A = \frac{底辺}{斜辺}$$
$$\tan A = \frac{対辺}{底辺}$$
だ。
sinはS、cosはC、tanはt。文字の形を三角形に重ねれば、どの辺を使うかが見えてくる。
それじゃあな！
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今日はtanの名前の由来を見ていくぞ。
人間界の高校数学 I で、sin、cosに続いて出てくるやつがいる。
tan
だ。
読み方は「タンジェント」。
日本語では、
正接（せいせつ）
という。
tanはタンタンメンのことじゃねえぞ。数学界では、直角三角形の辺の比だ。
高校数学では、
$$\tan A = \frac{対辺}{底辺}$$
と習う。
つまり、角Aに注目したとき、
向かい側の辺を、となりの辺で割ったもの
がtanAだ。
でも、ここで気になることがある。
なぜtanは、
正接
というのか。
今回は、このtanと正接の名前の由来を見ていくぞ。
まず、対応を確認しておこう。
| 記号 | 読み方 | 日本語名 |
|---|---|---|
| sin | サイン | 正弦 |
| cos | コサイン | 余弦 |
| tan | タンジェント | 正接 |
つまり、
$$\tan A$$
は、日本語でいうと、
角Aの正接
という意味になる。
正接。名前だけ聞くと、正しく接する何か、って感じだな。実はその感覚、わりと近い。
まずは、
tanA = 対辺 ÷ 底辺
と考えればいい。
そのうえで、名前の由来を見ていこう。
tanのもとの言葉は、
tangent
だ。
tangentには、
接線
という意味がある。
接線とは、円にちょうど1点で触れる直線のことだ。
円にベタッと刺さる線じゃねえ。1点だけで、スッと触れる線。それが接線だ。
円と直線が、ある1点でちょうど触れている。
このとき、その直線を
接線
という。
tanの名前は、この接線と深く関係している。
ここで、半径1の円を考えてみよう。
半径1の円の中心をOとする。
そして、中心Oから角Aの方向に線を引く。
その線を、円の右側にある接線まで伸ばす。
すると、接線上にある高さが出てくる。
この高さが、実は
tanA
になる。
tanは直角三角形だけのやつに見えるが、昔の姿を見ると、円の接線の上に立ってるんだ。
なぜなら、その直角三角形では、
になるからだ。
だから、
$$\tan A = \frac{対辺}{底辺}$$
であり、底辺が1なら、
$$\tan A = 対辺$$
になる。
この対辺が、接線上にできる長さなんだ。
日本語名の
正接
にも、「接」という漢字が入っている。
これはもちろん、
接線
の「接」と関係している。
つまり、正接とは、
接線に関係する三角比
ということだ。
日本語では tangent = 接線 の意味を反映して「正接」になったんだな。
sinは「弦」と関係していた。
cosは「余角の弦」と関係していた。
そしてtanは、
接線
と関係している。
正弦の「弦」、余弦の「弦」、正接の「接」。名前にちゃんと図形の記憶が残ってるんだな。
最後にまとめるぞ。
tanは、もともと
tangent
から来ている。
tangentには、
接線
という意味がある。
そして、日本語ではtanを
正接
という。
高校数学では、
$$\tan A = \frac{対辺}{底辺}$$
と習う。
でも、名前の由来から見ると、tanは
円の接線と関係する三角比
だ。
半径1の円で考えると、tanAは
接線上に現れる長さ
として見ることができる。
tanはタンタンメンじゃねえ。接線の上に立つ三角比だ。それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。常連に、なっちまうな。
人間界の高校数学 I で、sinの次に出てくるやつがいる。
cos
だ。
読み方は「コサイン」。
日本語では、
余弦（よげん）
という。
ルパン三世に出てきそうな名前だな
高校数学では、
$$\cos A = \frac{底辺}{斜辺}$$
と習う。
つまり、角Aに注目したとき、
となりの辺を、斜辺で割ったもの
がcosAだ。
でも、ここで気になることがある。
なぜcosは、
余弦
というのか。
今回は、このcosと余弦の名前の由来を見ていくぞ。
まず、対応を確認しておこう。
| 記号 | 読み方 | 日本語名 |
|---|---|---|
| sin | サイン | 正弦 |
| cos | コサイン | 余弦 |
| tan | タンジェント | 正接 |
つまり、
$$\cos A$$
は、日本語でいうと、
角Aの余弦
という意味になる。
ただし「角Aの余弦」と言われても、最初はピンとこねえよな。名前がちょっと古文っぽい。
まずは、
cosA = 底辺 ÷ 斜辺
と考えればいい。
そのうえで、名前の由来を見ていこう。
cosの由来を知るには、まず
co
に注目するといい。
cosは、もともと
cosine
の略だ。
そして cosine は、
complementary sine
つまり、
余角のsin
という意味から来ている。
cosはざっくり言うと「余角側のsin」なんだ。
余角とは、
足すと90度になる角
のことだ。
たとえば、
となる。
つまり、角Aの余角は、
$$90^\circ – A$$
だ。
そして、cosには次の関係がある。
$$\cos A = \sin(90^\circ – A)$$
これは、
角Aのcosは、角Aの余角のsinと同じ
という意味だ。
cosAは、Aのとなりにいる余角くんから見たsinでもあるわけだ。
直角三角形ABCで考えてみよう。
角Cが直角で、角Aに注目するとする。
このとき、
$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$
だ。
なぜなら、角Aから見た底辺がAC、斜辺がABだからだ。
では、もう一つの鋭角、角Bに注目してみよう。
直角三角形では、
$$A + B = 90^\circ$$
だから、
$$B = 90^\circ – A$$
になる。
つまり、角Bは角Aの余角だ。
ここで角Bのsinを考える。
角Bから見ると、ACは向かい側の辺、つまり対辺になる。
斜辺は同じくABだ。
だから、
$$\sin B = \frac{AC}{AB}$$
となる。
でも、
$$B = 90^\circ – A$$
だから、
$$\sin B = \sin(90^\circ – A)$$
だ。
つまり、
$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$
であり、
$$\sin(90^\circ – A) = \frac{AC}{AB}$$
なので、
$$\cos A = \sin(90^\circ – A)$$
になる。
同じACという辺が、角Aから見ると底辺、角Bから見ると対辺になる。見る角度が変わると、辺の肩書きも変わるんだな。
sinは日本語で
正弦
という。
そしてcosは、
余角の正弦
と考えられる。
だから、
余弦
という名前になっている。
ここでいう「余」は、
余った
というより、
余角
の「余」だ。
つまり、余弦とはざっくり言うと、
余角側の正弦
ということだ。
余弦は「余りものの弦」じゃねえ。「余角の弦」だ。ここ、消し残すなよ。
英語のcosineも、意味はかなり近い。
cosineは、ラテン語の
complementi sinus
つまり、
余角のsine
という表現が縮まってできた言葉とされる。
この考え方は、次の式そのものだ。
$$\cos A = \sin(90^\circ – A)$$
つまり、cosという名前には最初から、
sinと余角の関係
が入っている。
cosは、sinの相棒だ。しかも「90度から見たsin」という、なかなか渋い相棒だな。
最後にまとめるぞ。
cosは、日本語で
余弦
という。
高校数学では、
$$\cos A = \frac{底辺}{斜辺}$$
と習う。
しかし、名前の由来から見ると、cosは
余角のsin
だ。
つまり、
$$\cos A = \sin(90^\circ – A)$$
という関係がある。
だから、
となる。
cosは呪文じゃねえ。余角から見たsinだ。それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。メニューは、最後まで見ろよ
人間界の高校数学 I で、いきなり出てくる謎の記号がある。
sin
だ。
読み方は「サイン」。
おらsinのすけ、じゃねえぞ。こいつは、直角三角形の辺の比だ。
高校数学では、
$$\sin A = \frac{対辺}{斜辺}$$
と習う。
つまり、角Aに注目したとき、
向かい側の辺を、斜辺で割ったもの
がsinAだ。
だが、ここで気になることがある。
そもそも、
sinって何の名前なんだ？
という話だ。
さらに、日本語ではsinのことを
正弦（せいげん）
という。
正弦。まるで、翁の名前みたいだよな。
今回は、この「sin」と「正弦」という名前の由来を、できるだけわかりやすく見ていくぞ。
まず、基本から確認しておこう。
sinは、日本語では
正弦（せいげん）
という。
対応はこうだ。
| 記号 | 読み方 | 日本語名 |
|---|---|---|
| sin | サイン | 正弦 |
| cos | コサイン | 余弦 |
| tan | タンジェント | 正接 |
つまり、
$$\sin A$$
は、日本語でいうと
角Aの正弦
という意味になる。
ただし、最初から「角Aの正弦」と言われても、なかなかピンとこねえよな。
まずは、
角Aの正弦 = 対辺 ÷ 斜辺
と考えればいい。
名前の由来は、そのあとでゆっくり見れば大丈夫だ。
正弦の「弦」という漢字に注目してみよう。
弦とは、もともと
円周上の2点を結んだ線分
のことだ。
たとえば、円の中に2つの点をとって、その2点をまっすぐ結ぶ。
この線分が「弦」だ。
ギターの弦みたいに、円の中にピンと張った線をイメージするといいぞ。
昔の三角法は、今のように
$$\sin A = \frac{対辺}{斜辺}$$
という直角三角形の形だけで考えられていたわけではない。
もともとは、円の中にできる
弦
と深く関係していたんだ。
ここがいちばん大事だ。
sinの由来をたどると、
半弦
という考え方にたどりつく。
半弦とは、文字どおり
弦を半分にしたもの
だ。
では、なぜ弦を半分にするのか。
理由はシンプルだ。
弦を半分にすると、直角三角形が出てくるから
だ。
円の中心から、円周上の2点に向かって半径を引く。
そして、その2点を結ぶと、弦ができる。
この弦の真ん中に、円の中心から線を下ろす。
すると、弦は半分に分かれ、直角三角形ができる。
この直角三角形だけを見ると、
になる。
つまり、
$$\sin A = \frac{対辺}{斜辺}$$
という式は、昔の円の見方でいうと、
$$\sin A = \frac{半弦}{半径}$$
という形になるわけだ。
sinの先祖は、直角三角形というより、円の中にいたんだな。
さらに、半径が1の円を考えると、もっとわかりやすい。
半径が1なら、
$$\sin A = \frac{半弦}{1}$$
となる。
つまり、
$$\sin A = 半弦$$
になる。
これが、
sinの由来は半弦である
といわれる理由だ。
今の高校数学では、sinは直角三角形の
$$\frac{対辺}{斜辺}$$
として習う。
でも、歴史をたどると、sinはもともと
円の中の半弦を表す考え方
だったんだ。
sinは召喚獣じゃねえ。もとは円の中の半分の弦だ。
では、英語の
sine
や、その略である
sin
は、どこから来たのか。
ざっくり流れを書くと、こうだ。
半弦
↓
インド数学の言葉
↓
アラビア語
↓
ラテン語 sinus
↓
英語 sine
↓
省略して sin
昔のインド数学では、半弦を表す言葉が使われていた。
それがアラビア語に写され、さらにラテン語に訳される中で、
sinus
という言葉になった。
このsinusが、英語の
sine
につながる。
そして、sineを短く書いたものが
sin
だ。
sinの旅、長すぎるだろ。インドからアラビア、ラテン語を通って、ようやく高校数学に現れたわけだ。
次に、日本語の
正弦
という名前について見てみよう。
この名前は、日本でゼロから作られたというより、
中国語訳の数学用語が日本に入ってきたもの
と考えるとわかりやすい。
西洋の数学が中国に伝わったとき、sinにあたる言葉として
正弦
という漢字語が使われた。
その言葉が、日本にも入ってきたわけだ。
つまり、sinの考え方はインドや西洋を旅してきた。正弦という名前は、中国語訳経由で日本に来た。ややこしいが、そこが面白いところだな。
では、正弦の「正」は何なのか。
これは、単に「正しい弦」という意味ではない。
三角法では、sinにあたるものを「正弦」、cosにあたるものを「余弦」と呼ぶ。
ここでの「余」は、
余角
と関係している。
余角とは、足して90度になる角のことだ。
たとえば、30度の余角は60度。
40度の余角は50度。
cosは、もともと
余角のsin
として考えられる。
つまり、
$$\cos A = \sin(90^\circ – A)$$
という関係がある。
だから、
という名前になっている。
正弦が本家の弦、余弦が「余角側の弦」ってイメージだな。
最後にまとめるぞ。
sinは、日本語で
正弦
という。
そして、sinの由来をたどると、
円の中の弦を半分にしたもの
つまり
半弦
にたどりつく。
弦を半分にすると、直角三角形ができる。
その直角三角形では、
になる。
だから、
$$\sin A = \frac{対辺}{斜辺}$$
は、昔の見方では
$$\sin A = \frac{半弦}{半径}$$
だったわけだ。
そして、半径が1なら、
$$\sin A = 半弦$$
になる。
sinは呪文じゃねえ。召喚獣でもねえ。円の中の「半分の弦」から生まれた名前だ。
これで、sinと正弦の名前の由来は終わりだ。
次にsinを見かけたら、ただの謎記号じゃなくて、
円の中の半弦から来たやつ
だと思い出してくれ。
それじゃあな。消しカスは、円の外に捨てとけよ。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今日は角度の世界に足を踏み入れるぞ。
人間界の高校数学 I で、急に現れるやつがいる。
三角比
だ。
しかも、こいつは登場するなり、
$$\sin A$$
$$\cos A$$
$$\tan A$$
みたいな、謎の記号をぶち込んでくる。
いきなり英語っぽい記号を出されると、数学の森で遭難した気分になるよな。
だが安心しろ。
三角比は、見た目ほどこわくない。
ズバリいっちまうと、三角比とは、
直角三角形の辺の長さの比
のことだ。
三角比とは、直角三角形において、
ある角に注目したときの、辺どうしの長さの比
のことだ。
たとえば、こんな直角三角形を考えてみよう。
角Aに注目すると、三角形の辺は次の3つに分けられる。
斜辺とは、直角の向かい側にある一番長い辺のこと。
対辺とは、注目している角の向かい側にある辺のこと。
底辺とは、注目している角にくっついている辺のうち、斜辺ではない辺のことだ。
三角比では「どの角を見るか」が大事だ。今回は角Aに注目しているぞ。
ここで、ちょっと不思議なことがある。
直角三角形の大きさが変わっても、角Aの大きさが同じなら、辺の比は変わらないんだ。
たとえば、小さい直角三角形と、大きい直角三角形があったとする。
大きさは違う。
でも、角Aが同じなら、その2つの直角三角形は相似になる。
相似な図形では、対応する辺の比が等しくなる。
つまり、
三角形を大きくしても小さくしても、辺どうしの比は同じ
ということだ。
拡大コピーしても、形そのものは変わらないってことだな。
だから、三角比は三角形の大きさではなく、
角の大きさだけで決まる
わけだ。
まずは、
sin
からいくぞ。
sinはFFの召喚獣の名前じゃねえぞ。こいつは、直角三角形の辺の比だ。
sinは「サイン」と読む。日本語では「正弦（せいげん）」と呼ぶぞ。
sinは、角Aに注目したときの、
対辺 ÷ 斜辺
のことだ。
式で書くとこうなる。
$$\sin A = \frac{対辺}{斜辺}$$
たとえば、直角三角形ABCで、角Aに注目しているとする。
このとき、角Aの向かい側にある辺が対辺。
直角の向かい側にある一番長い辺が斜辺だ。
だから、
$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
となる。
sinは「向かい側の辺を、斜辺で割る」と覚えておけばいいぞ。
次は、
cos
だ。
cosはコスメじゃねえし、コスギのあだ名でもねえ。こいつは「底辺 ÷ 斜辺」だ。唱えても敵は倒れないが、問題は倒せる。
cosは「コサイン」と読む。日本語では「余弦（よげん）」だ。
cosは、角Aに注目したときの、
底辺 ÷ 斜辺
のことだ。
式で書くとこうなる。
$$\cos A = \frac{底辺}{斜辺}$$
直角三角形ABCで、角Aに注目しているなら、
底辺はAC。
斜辺はAB。
だから、
$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$
となる。
cosは「角Aのとなりにある辺を、斜辺で割る」感じだな。
最後は、
tan
だ。
tanはタンタンメンの略じゃねえぞ。数学界では「対辺 ÷ 底辺」だ。
tanは「タンジェント」と読む。日本語では「正接（せいせつ）」だぞ。
tanは、角Aに注目したときの、
対辺 ÷ 底辺
のことだ。
式で書くとこうなる。
$$\tan A = \frac{対辺}{底辺}$$
直角三角形ABCで、角Aに注目しているなら、
対辺はBC。
底辺はAC。
だから、
$$\tan A = \frac{BC}{AC}$$
となる。
tanだけは斜辺を使わない。対辺を底辺で割るんだ。
ここまでの内容をまとめるぞ。
| 三角比 | 読み方 | 意味 |
|---|---|---|
| sin A | サインA | 対辺 ÷ 斜辺 |
| cos A | コサインA | 底辺 ÷ 斜辺 |
| tan A | タンジェントA | 対辺 ÷ 底辺 |
つまり、
$$\sin A = \frac{対辺}{斜辺}$$
$$\cos A = \frac{底辺}{斜辺}$$
$$\tan A = \frac{対辺}{底辺}$$
だ。
三角比は、ただ公式を丸暗記するだけだとすぐに混乱する。
大事なのは、
角Aから見て、どの辺が対辺で、どの辺が底辺で、どの辺が斜辺なのか
を見分けることだ。
斜辺はいつも直角の向かい側。
これは変わらない。
でも、対辺と底辺は、どの角に注目するかで変わる。
三角比は「角から見た辺の名前」が命だ。ここを雑にすると一気に迷子になるぞ。
三角比とは、直角三角形の辺の長さの比のことだ。
そして、角Aに注目したとき、
となる。
三角形の大きさが変わっても、角度が同じなら辺の比は変わらない。
だから三角比は、
角度によって決まる値
なんだ。
sin、cos、tanは呪文じゃない。直角三角形の辺の比だ。それじゃあな。
高校数学では二次関数を平行移動してきたな。
だが、しかし。
高校数学は二次関数を平行移動するだけじゃおさまらねぇ。
なんと、
二次関数を対称移動させてくんだ。
対称移動とは復習すると、
ある直線を軸として折り返して移動させること
だったよな。
例えば、このこのような放物線があったとしよう。
x軸に対して対称移動させたら、こうなって、
$y$軸に関して対称移動させらこのようになる。
原点に対してだったら、次のようになる。
つまり、対称となる直線を折り目として座標平面をおった時に重なる放物線が、対称移動した結果できる放物線ってわけよ。
ここではその二次関数の対称移動のうち、基本の公式を紹介するぞ。
基本の公式は次の3パターンだ。
この3パターンマスターするため、ここでは
$y= 2x^2+5x+1$
という二次関数をそれぞれのパターンで対称移動させていこうな。
まず$x$軸だな。
$x$軸に関して放物線を対称移動させる、ってことは次のようになるんだ。
この図からわかる通り、
$y$の値の符号が逆転しているな？
一方で、$x$の値は対称移動させても同じ、ってこともわかるはずだ。
ということで、放物線 $y= 2x^2+5x+1$をx軸に関して対称移動させてやった場合、
$y$の値の代わりに$-y$を代入してやればいいわけだ。
さっきの二次関数$y= 2x^2+5x+1$でいうと、x軸に関して対称移動させると次のようになるな。
$y= 2x^2+5x+1$
$-y= 2x^2+5x+1$
$y= -2x^2-5x-1$
続いて、$y$軸に関して対称移動させるぞ。
安心しろ。
$x$軸に関する対称移動と同じ考えで充分だ。
放物線を$y$軸に関して対称移動させたら、次の図のようになるよな。
$x$の符合が逆転する一方、今度は$y$がそのまま同じってわけよ。
ゆえに、二次関数の式の$x$の代わりに$−x$を代入した二次関数を求めりゃいいのな。
さっき見てきた二次関数$y= 2x^2+5x+1$を$y$軸に関して対称移動させると、次のようになる。
$y= 2x^2+5x+1$
$y= 2(-x)^2+5(-x)+1$
$y= 2x^2-5x+1$
最後は原点に関して対称移動させる方法だ。
原点に関して放物線を対称移動させると、次の図のようになる。
話が原点に及ぼうが、ビビることはないぞ。
原点の場合、
$x$軸と$y$軸に関してそれぞれ対称移動させる方法を融合させればいいんだ。
つまり、$x$軸に関して対称移動させた後、$y$軸に関して対称移動。
この2ステップを踏んでやれば、気づいたら結果的に、原点に関して対称移動させたことになるのさ。
「原点に関して対称移動」とはつまり、
$x$と$y$の両方の符合を逆転させればいいってわけよ。
もはやお馴染みとなった二次関数$y= 2x^2+5x+1$を原点に関して対称移動させるぞ。
$x$と$y$の代わりに$−x$と$-y$を代入してやればいいんだ。
すると、こうなる。
$y= 2x^2+5x+1$
$-y= 2(-x)^2+5(-x)+1$
$-y= 2x^2-5x+1$
$y= -2x^2+5x-1$
これで原点だろうが、二次関数を対称移動できるようになったな！
以上、二次関数を対称移動させる方法だ。
$x$と$y$の符号を変えるだけだから、そんな難しいことなかったな。
だが、ここまでは基本技だ。組体操でいうと、サボテンってとこだな。
それじゃあなぁ！
関数のグラフの点を全て同じ方向に移動させること
を
平行移動
っていうんだ。
で、高校数学では二次関数をガンガン平行移動させていくぞ。
ありがたいことにな、二次関数のグラフの平行移動には公式が用意されている。声出して喜んでもいいぞ。
公式
放物線の二次関数の$y= ax^2+bx+c$を$x$方向に$p$、$y$方向に$q$平行移動させたら、放物線の式は次のようになる。
$$y-q= a(x-p)^2+b(x-p)+c$$
早速この公式を使ってみるぞ。
例えば、
$$y= 3x^2+5x+7$$
という二次関数を$x$方向に-3、$y$方向に1、平行移動させてみよう。
さっきの公式でいえば、
っつうわけだ。よって、公式を使って平行移動した放物線の式は次のようになる。
$$y-q= 3(x-p)^2+5(x-p)+7$$
$$y-1= 3(x+3)^2+5(x+3)+7$$
$$y= 3(x^2+6x+9)+5x+15+7+1$$
$$y= 3x^2+18x+27+5x+23$$
$$y= 3x^2+23x+50$$
さっきの公式を使えば、どんな二次関数でも平行移動できそうなことがわかった。
だけどよ、なんであの公式が使えるんだろうな？？
なぜ$p$を引かなきゃいけないのか？？
むしろ、直感的にはたしてやりてえぐらいだしさ。
そんな疑問も冷静に考えれば解けるぞ。
例えば次のように考えてみよう。
$y= f(x)$で表される関数があったとする。
この関数のある1つの点を
$$(x,y)$$
としよう。その点をx方向にp、y方向にqだけ平行移動させた点を
$$(x’,y’)$$
とする。
冷静に考えてみると、移動した点の$(x’,y’)$というやつは、$x$座標は$x+p$になって、$y$座標の$y’$は$y+q$になるよな。
だから、
になる。こいつを$xとy$について等式変形してみるぞ。
この新しい$xとy$を元の関数$y= f(x)$に代入してみよう。
すると、次のようになる。
$y= f(x)$
$y’-q= f(x’-p)$
になる。すると、どうだ？？ 新しく平行移動した$x’$と$y’$で関数が表せているな。
$y= f(x)$という関数を$x方向にp、y方向にq$だけ平行移動させた関数は
$$y-q= f(x-p)$$
になるわけだ。
二次関数の$y= ax^2+bx+c$を$x$方向に$p$、$y$方向に$q$平行移動させたら、yの代わりに「y-q」、xの代わりに「x-p」を入れてやればいい。
よって、
$$y-q= a(x-p)^2+b(x-p)+c$$
になる！
二次関数の平行移動の公式をマスターしたな？
それじゃあな！
中学数学では「2点を通る一次関数の求め方」、勉強してきたよな。
なんと、高校ではな、こいつをステップアップさせて、
3点を通る二次関数の放物線の求め方
を勉強していくぞ。
例えば次のような問題だ。
人間の世界は違い世知辛いな。だって、どんどん難しいことをやらせるんだからな。
今日はそんな世間の世知辛さに直面しているお前らのために、3点を通る二次関数の放物線の求め方を解説してやるぜ。
この問題の解き方は次の3ステップだ。
さっきの例題、解いていくぞ。
問題文に3つの座標の点、書いてあるだろ？
そいつらをすべて、二次関数の基本形$y=ax^2+bx +c$に代入するんだ。
すると、3つの式が得られるはずだ。
例題でやってみるぞ。
3つの座標の点は、
だったよな？
こいつらをすべて$y=ax^2+bx +c$に代入すると、次の3つの式が得られるはず。
さっき生み出した俺たちが生み出した3つの式を見てみろ。
があるよな。
文字が3つ、3つの式。
そう、これは中学数学で倒したことがある連立方程式の3つのバージョンだ。
業界用語で「3元一次方程式」と呼んでいたこともついでに思い出してくれ。
この3つの連立方程式の解き方、復習しておこうか。
まず1つの文字を消去して、それから2つの文字で連立方程式にして、いつも通り解く、
っていう手順だった。
忘れちまったやつは復習しといてくれや。
さて。例題に戻るぞ。
例題で出てきた3つの文字の連立方程式はこうだ。
$\begin{cases}
\begin{aligned}
3 & = 4a + 2b + c & \quad (1) \\
-7 & = 25a + 5b + c & \quad (2) \\
9 & = a – b + c & \quad (3)
\end{aligned}
\end{cases}
$
これをさっき復習した解き方で解くぞ。
1つ目の式から3つ目の式を引いて$c$を消去！
$-6=3a+3b$
$a+b=-2$
ほいでふたたび、2つ目の式から3つ目の式を引いて$c$を消去！
$-16=24a+6b$
$12a+3b=-8$
で、新しくできた2つの$aとb$についての連立方程式を解くぞ！
$\begin{cases}
\begin{aligned}
a+b & = -2 & \quad (4) \\
12a+3b & = -8 & \quad (5) \\
\end{aligned}
\end{cases}
$
式(4)を3倍して式(5)から引くと・・・・
$9a=-2$
$a = -\frac{2}{9}$
になる！
で、$a = -\frac{2}{9}$を式(4)の$a+b=-2$に代入して$b$を求めるぞ。
$a+b=-2$
$-\frac{2}{9}+b=-2$
$ b=-2+\frac{2}{9}$
$ b=-\frac{16}{9}$
オッケー、あとは$c$だな。ここまでゲットした$aとb$を最初の式(3)の$9=a-b+c$に代入！
$9=a-b+c$
$9=-\frac{2}{9}-(-\frac{16}{9})+c$
$c=9+\frac{2}{9}-\frac{16}{9}$
次のように$abc$の値が得られたはずだ。
$c=\frac{67}{9}$
ここまでくりゃ、ゴールは目前さ。
あとは、ゲットした3つの文字（$a・b・c$）を二次関数に代入するだけだ。
連立方程式との格闘で息切れしちまってるかもしれねえが、この$abc$は$y=ax^2+bx +c$の$abc$、だったもんな。
ってことで、3つの文字（$a・b・c$）を二次関数$y=ax^2+bx +c$に代入すると、次のようになる。
$y=ax^2+bx +c$
$y=-\frac{2}{9}x^2-\frac{16}{9}x +\frac{67}{9}$
これが3点$abc$を取る二次関数の放物線の式だ。
おつかれさん、ってやつだな。
こんな感じで、少々厄介だが、実際に使っていたのは中学数学で学んだことがある、3つの連立方程式の解き方だけだ。
これを機に、中学数学の復習をしておくのもアリだよな。
それじゃあな！
二次関数$y=ax^2+bx +c$ってさ、 いろんな形してるよな。
こんなんだって、
あんなのだってあるだろうし。
じつは、この二次関数のグラフの形は、
$a$の大きさによって変化するんだ。
$a$が大きければを狭い開き具合になるし、
逆に小さければ、緩やかな開き具合になるってことよ。
ということは、$a$が同じ二次関数ならば、生えてる場所が同じだけで放物線の形は一緒。
ということは、ということは。
$a$が同じ二次関数ならば、片方の二次関数を平行移動させれば、もう1つの二次関数に重ねて一致させられるわけだ。
どうだ？
やってみたくなっただろう？
この好奇心を先読みしてたんだろうな、きっと。
高校数学では、
二次関数を平行移動させて重ねる・一致させる問題がよく出てくるんだ。
たとえば、次の問題な。
今日はこの問題の解き方を勉強していこう。
この手の問題の解き方が次の3ステップだ。さっきの例題を一緒に解いていくぞ。
まずはお馴染みとなった動作からだな。
2つの二次関数をそれぞれ平方完成させて頂点を求めよう。
二次関数の軸・頂点を求める公式を覚えているやつは、このステップをスキップしてもいい。
公式を忘れた、もしくは、平方完成力に自信があるやつは、このステップからやっていこう。
さっきの例題で、2つの二次関数をそれぞれ平方完成させるぞ。
$y=3(x^2+\frac{5}{3}x)+7$
$y=3\{(x+\frac{5}{6})^2-\frac{5^2}{6^2}\}+7$
$y=3(x+\frac{5}{6})^2-\frac{25}{12}+7$
$y=3(x+\frac{5}{6})^2-\frac{59}{12}$
$y=3x^2-11x$
$y=3(x^2-\frac{11}{3})x$
$y=3\{(x-\frac{11}{6})^2-\frac{11^2}{6^2}\}$
$y=3(x-\frac{11}{6})^2-\frac{121}{12}$
平方完成は無事に通過したな？
次はこの形から二次関数の頂点を求めていくぞ。
二次関数の基本形「$y=a(x-p)^2 + q$」の頂点は、
$$頂点(p, q)$$
だったよな。
だから、例題の2つの二次関数の頂点は次のようになる。
平方完成すると、$y=3(x+\frac{5}{6})^2-\frac{59}{12}$になるから、
$(-\frac{5}{6},\frac{59}{12})$
平方完成すると、$y=3(x-\frac{11}{6})^2-\frac{121}{12}$になるから、
$(\frac{11}{6},-\frac{121}{12})$
頂点の求め方の公式を覚えていたやつは、公式に$a・b・c$を代入して二次関数の頂点をそれぞれ求めておくれ。
頂点が求めれば公式を使うが何しようがオッケーだ。
最後に、2つの頂点の差を見つけてゲット。
その頂点のズレを埋めてやるように、二次関数を平行移動させてやればグラフが一致するはずさ。
ここでのコツは、
座標平面に書き出す！
だ。実際に書いてみると見えてくるものもあるのさ。
さて。
1つ目の二次関数の頂点を、2つ目の二次関数の頂点に、一致させるためにはどうすればいい？？
そう、
（2つ目の二次関数の頂点 ）と（1つ目の二次関数の頂点）の差の分だけ移動させりゃいいよな。
つまり、
（2つ目の二次関数の頂点 ）-（1つ目の二次関数の頂点）
の分だけ、移動させりゃ、2つの二次関数は一致するはずだ。
例題の二次関数の頂点たちは、
だったよな？
（2つ目の二次関数の頂点 ）-（1つ目の二次関数の頂点）
を$x・y$座標それぞれ計算してやろう。
$\frac{11}{6}-(-\frac{5}{6})$
$=\frac{16}{6}$
$=\frac{8}{3}$
$\frac{121}{12}-\frac{59}{12}$
$=-\frac{180}{12}$
$=-15$
ってことで、$x方向$に$\frac{8}{3}$、$y方向$に$-15$移動させれば2つの二次関数は重なるはずさ。
以上、二次関数を平行移動させて一致させる問題の解き方だ。
解けるようになったな？
そじゃぁなぁ！
前回、平方完成で二次関数の軸と頂点を求めるやり方、勉強してきた。
でもさ、毎回平方完成してしないとなんて、大変不便だよな。
そんなことを思っちゃったお前に朗報だ。
じつはな、二次関数の軸と頂点を求める3秒で求められる公式があるんだ。
それは次のものだ。
$y=ax^2+bx +c$ という二次関数があったとしよう。このとき、
$軸= -\frac{b}{2a}$
$頂点 (-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a})$
なんだ。
例えば、次の二次関数があったとしよう。
$$y=2x^2+5x +17$$
この二次関数において$a・b・c$は次のようになる。
この3つの$a・b・c$を先の公式に代入してやれば、軸と頂点を求められるぞ。
$-\frac{b}{2a}$
=$-\frac{5}{2×2}$
=$-\frac{5}{4}$
$(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a})$
$=(-\frac{5}{2×2},-\frac{5^2-4×2×17}{4×2})$
$=(-\frac{5}{4},-\frac{25-136}{8})$
$=(-\frac{5}{4},-\frac{111}{8})$
全く便利な公式だぜ。
$軸= -\frac{b}{2a}$
$頂点 (-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a})$
よかったな、現代に生まれてさ。
でも、なぜこの公式が使えるのか気になってこないか。
その理由は、二次関数$y=ax^2+bx +c$を平方完成して軸と頂点を求めてやればわかるぞ。
試しにやってみよう。
$y=ax^2+bx +c$
$y=a(x^2+\frac{b}{a}x) +c$
$y=a\{(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}\} +c$
$y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a} +c$
$y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a} $
$y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a} $
よし、これで二次関数の基本形、
$$y=a(x-p)^2 + q$$
になった。
$p$と$q$に対応する値を発見して軸と頂点を求めような。
今回は$pが-\frac{b}{2a}$、$qが-\frac{b^2-4ac}{4a}$だから、次のような軸と頂点になるな。
これ、さっき紹介した公式だよな。
だから、ぶっちゃけ、平方完成から軸と頂点を求めるやり方を習得しておけば公式を忘れても大丈夫ってわけよ。
結局、二次関数の軸と頂点は平方完成で求めるやり方を知っておくべきなんだな。
平方完成でいつも軸と頂点を求めるのはちょっと…やっぱ公式使いたいな・・・・
そんなお前のために、公式の覚え方を伝授してやる。
それは次のものだ。
塾（じゅく）に間（マイナス）に（2）合（a）わないビー（b）チ姫
塾長（ちょうてん）迷（まいなすよん）え（a）！美人（bじじょう）がひく（–）夜（よん）のエース（ac）
1つ目の「ビーチ姫」が軸、2つ目の「塾長」は頂点のy座標の覚え方だ（x座標は軸と同じだからいいだろ？）。
ちょっと絵にもしずれえ怪しい感じになっちまったが、どうだ？
この覚え方で公式を覚えるのか？
それとも平方完成によって二次関数の軸と頂点を求める方法をマスターしておくのか？
それはお前次第だ。
それじゃな！
前回、二次関数の軸と頂点の基本の求め方を勉強してきたよな。
これでこの基本形、
$$y=a(x-p)^2 + q$$
になっている二次関数の軸と頂点なら容易にゲットできるようになったわけだ。
でもさ、いつでも、どんなときも、この基本形に二次関数なってるわけはないよな？
例えば、次の二次関数を見てくれ。
$$y=5x^2+2x +4$$
この二次関数、基本形にぜんぜんはまってないよな。
そんな二次関数の軸と頂点を求めるのは諦めるしかないのか？
いや、そんなことは無い。
これから紹介する、
平方完成による二次関数の軸と頂点の求め方
を使えば、どんな二次関数が来ても軸と頂点を求められるようになるんだ。
えっ。
平方完成ってなにー？
だと・・・？
平方完成は中学数学の二次方程式で勉強した内容だったな。
平方とは「2乗」、同じ数を2回かけることを意味する。
つまり、「同じ数を2回かける」形になっていないものを、強引に「同じ数を2回かける」形にするのが平方完成だ。
忘れちまったやつは復習よろしくな。
さて、早速、二次関数の軸と頂点の求め方を平方完成でやってみるぞ。
さっき出てきた二次関数の例題の二次関数の軸と頂点を一緒に求めてみよう。
$$y=5x^2+2x +4$$
次の4ステップだ。
まずは下準備だな。
二次関数の中で、
$x^2$の係数
に注目してくれ。
つまり、$x^2$の前についてる数字だな。
この$x^2$の係数で「$x$がついている項たち」をかっこでくくってやるんだ。
例題の二次関数に注目するぜ。
$$y=5x^2+2x +4$$
$x^2$の係数は・・・・
5
だな。で、「$x$がついている項たち」は
の2つだ。
ってことで、こいつらを「$x^2$の係数」の5でくくると、こうなる。
$$y=5x^2+2x +4$$
$$y=5(x^2+\frac{2}{5}x) +4$$
えっ、$x^2$の係数が「1」ならどうしたらいいかって？
その場合は、このステップを飛ばしてオッケーだ。次にいこう。
下準備終了。ってことで、早速平方完成やっていくぞ。
ポイントは、
$x%$がついている項だけで平方完成するってことだ。
さっきの例の二次関数では、
$(x^2+\frac{2}{5}x) $
だな。
それ以外の「$x$がついていない定数項」は脇に置いてスルー！
ってことで、$(x^2+\frac{2}{5}x) $を平方完成するぞ。
$$y=5x^2+2x +4$$
$$y=5(x^2+\frac{2}{5}x) +4$$
$$y=5\{(x+\frac{1}{5})^2-\frac{1}{25})\} +4$$
さて、完成した平方（$(x+\frac{1}{5})^2$）はそのまま保存だ。
それ以外の項たちを計算してきれいにまとめるぞ。
すると、次のようになる。
$$y=5\{(x+\frac{1}{5})^2-\frac{1}{25})\} +4$$
$$y=5(x+\frac{1}{5})^2-\frac{1}{5}+4$$
$$y=5(x+\frac{1}{5})^2+\frac{19}{5}$$
これで、二次関数が基本形 $y=a(x-p)^2 + q$ になったよな。
後はこの基本形から、
にあたる数を探し、その情報から軸と頂点の式に$p$と$q$を代入すればいいんだ。
さっきの例の二次関数に戻るぞ。
$$y=5(x+\frac{1}{5})^2+\frac{19}{5}$$
それぞれ$p$、$q$は次のようになる。
ゆえ、軸（$x=p$）と頂点（$(p,q)$）は次のようになる。
以上が、平方完成を使った二次関数の軸と頂点の求め方だ。
この方法をマスターしておけば、どんな二次関数がきても、軸と頂点を求められるんだ。
ここは先生が大好きで、テストでも出やすい。
踏ん張って、軸と頂点の求め方の平方完成バージョンを習得しような。
えっ。
いちいち平方完成しなきゃいけないなんて・・・・ちょっと・・・・
だと？
それじゃあなぁ！
高校生では中学数学と同じように二次関数を勉強していくぞ。
二次関数とは復習すると、
$x$の次数が「2」の関数
だったよな。
中学数学では
$$y=ax^2$$
っていう二次関数を集中的に勉強してきたことを思い出してくれ。
ここで思い出して欲しいのは
というキーワードだ。
二次関数のグラフは、
物体を真上に投げたときに描かれる線
のように変化するから「放物線」といって、
左右対称になっていたな。
そして、この対称の軸、つまり、放物線を重なるように折りたたんだときの折り目を「軸」。
この軸と放物線の交点を「頂点」といったことを思い出してくれ。
中学数学では、原点(0,0)に頂点がある二次関数を取り扱ってきた。
だが、高校数学では、放物線が原点から解き放たれちまったんだな。
こんなんとか、
あんなんとか、
そういった二次関数を勉強していくんだ。
高校数学では、これらの自由になった放物線の軸と頂点を求めていくぞ。
ってことで、ここではその二次関数の軸と頂点の求め方の基本技をマスターしようぜ。
二次関数の軸と頂点の求め方の基本を習得していこう。
とあるところにな、偶然、二次関数の、
$$y=a(x-p)^2 + q$$
がいるとしよう。
この放物線の軸は、
$$x= p$$
頂点は、
$$(p, q)$$
になるんだ。
これが軸と頂点の求め方の基本だ。
つまり、二次関数の$p$と$q$にあたる数を探してやればいいんだな。そしたら、その$p$と$q$を使って軸と頂点をゲットさ。
例えば、
$$y =3(x^2-5)+7$$
という二次関数があったとしよう。
この二次関数は偶然、さっき出てきた
$$y=a(x-p)^2 + q$$
という形だな。偶然な。
で、この式から
どの数字が$p$と$q$になっているか確認すりゃいいってことよ。
冷静に凝視すると、この関数では
だな。
だから、軸（$x=p$)は
$$x = 5$$
になる。で、頂点 $(p,q)$ は
$$(5,7)$$
になるわけだ。
よし、ここまでで二次関数の軸と頂点の求め方の基本はわかったな。
でもさ、なんでこの公式使えるんだろうな？
いくらなんでも怪しすぎやしねか？
pがプラスならまだしも、マイナスついちゃってるもんな。
さて。ここで、
$$y=a(x-p)^2 + q$$
という二次関数に注目しよう。
こいつは、原点が頂点の二次関数「$y=ax^2$」からはx軸方向にp、y軸方向にqだけ頂点がずれているんだ。
つまり、「$y$=$ax^2$」をx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動させたらこの式になるってことよ。、
それじゃなぜこうなるのか？
ここで深呼吸して、冷静に図を書いてみるぞ。
まず原点を頂点する$y=ax^2$という二次関数があるとしよう。
その中の1つの点を
$$(x,y)$$
とする。
この$(x,y)$をx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動させてやろう。
そうすると、
$$(x+p,y+q)$$
になるよな。
これを仮に
$$(x’,y’)$$
とするぞ。
この$x’$と$y’$’で二次関数を表せれば、平行移動した先の二次関数がわかるはずだ。
ここで$(x,y)$と$(x’,y’)$の関係を見てみよう。
x’はxに$p$だけ足したものだから、
$$x’= x + p$$
になるよな。
同じように、$y$’は$y$からqだけ移動したものだから、
$$y’=y+q$$
になる。
こいつらを変形してやると、
になるわけだ。
これを二次関数の最初の式「$y=ax^2$」に代入さ。
すると次のようになるよな。
$$y=ax^2$$
$$y’-q=a(x’ – p)^2$$
$$y’=a(x’ – p)^2+q$$
さて、これが平行移動後の二次関数の正体だ。
これはまさしくお前らに冒頭で紹介したあの公式の形、
$$y=a(x-p)^2 + q$$
だよな。これがお前らに冒頭で紹介した基本公式だったわけだ。
以上が二次関数の頂点と軸の求め方の基本だ。
だが、世界はこのままじゃ許してくれねえ。
この基本形に当てはまってない二次関数の軸と頂点を求められるようにならねえと、な。
それじゃあなぁ！
