よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。
前回、ヘロンの公式勉強してきたよな。
ヘロンの公式を使えば、
三角形の高さや角度がわからなくても、3辺の長さだけから面積を求められる。
でも、しかし、なぜヘロンの公式が使えるんだろうか。
気になるよな。
今日は、ヘロンの公式の証明をわかりやすく解説するぞ。
まずは証明したいヘロンの公式をおさらいだ。
三角形ABCを考える。
角A、角B、角Cの向かい側の辺を、それぞれ、
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
とする。
つまり、
$$
BC=a
$$
$$
CA=b
$$
$$
AB=c
$$
である。
三角形ABCの面積を、
$$
S
$$
とする。
また、
$$
s=\frac{a+b+c}{2}
$$
とする。
今回証明したいのは、
$$
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$
である。
最初からヘロンの公式を作ろうとすると難しい。まずは、すでに知っているsinの面積公式から出発するぞ。
ヘロンの公式の証明は、次の流れで進めるぞ。
つまり、
$$
面積と\sin A
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
\sin Aと\cos A
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
余弦定理で3辺だけの式
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
平方差で因数分解
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
ヘロンの公式
$$
という流れだな。
三角形ABCの面積は、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
で求められたよな？
この公式が出発点だ。
三角比の相互関係より、
$$
\sin^2 A+\cos^2 A=1
$$
が成り立つ。
したがって、
$$
\sin^2 A=1-\cos^2 A
$$
である。
三角形の内角では、
$$
0^\circ<A<180^\circ $$ なので、 $$ \sin A>0
$$
である。
よって、
$$
\sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}
$$
となる。
これを面積公式、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
に代入すると、
$$
S
=
\frac{1}{2}bc\sqrt{1-\cos^2 A}
$$
となる。
ヘロンの公式には角がない。そこで、まずsinAをcosAに直し、そのcosAを余弦定理で3辺の式に変えるんだ。
余弦定理より、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
が成り立つ。
これを、
$$
\cos A
$$
について整理する。
まず、
$$
2bc\cos A=b^2+c^2-a^2
$$
となる。
したがって、
$$
\cos A
=
\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
$$
である。
この式を、
$$
S
=
\frac{1}{2}bc\sqrt{1-\cos^2 A}
$$
に代入する。
すると、
$$
S
=
\frac{1}{2}bc
\sqrt{
1-
\left(
\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
\right)^2
}
$$
となる。
これで、角Aが消え、三角形の3辺だけを含む式になったな。
平方根の中の、
$$
1
$$
を、分母が、
$$
(2bc)^2
$$
になるように表す。
$$
1=\frac{(2bc)^2}{(2bc)^2}
$$
なので、
$$
1-
\left(
\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
\right)^2
=
\frac{
(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2
}
{(2bc)^2}
$$
となる。
したがって、
$$
S
=
\frac{1}{2}bc
\sqrt{
\frac{
(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2
}
{(2bc)^2}
}
$$
である。
ここで、
$$
b>0,\quad c>0
$$
なので、
$$
\sqrt{(2bc)^2}=2bc
$$
である。
よって、
$$
S
=
\frac{1}{2}bc
\cdot
\frac{1}{2bc}
\sqrt{
(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2
}
$$
となる。
前の係数を計算すると、
$$
\frac{1}{2}bc\cdot\frac{1}{2bc}
=
\frac{1}{4}
$$
なので、
$$
S
=
\frac{1}{4}
\sqrt{
(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2
}
$$
となる。
ここが証明の最初の山場だ。
平方根の中は、
$$
(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2
$$
となっているな？
これは、
$$
X^2-Y^2
$$
の形だから、因数分解の平方差の公式、
$$
X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y)
$$
を使えるぞ。
ここで、
$$
X=2bc
$$
$$
Y=b^2+c^2-a^2
$$
と考える。
すると、
$$
(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2
$$
$$
=
\{2bc+(b^2+c^2-a^2)\}
\{2bc-(b^2+c^2-a^2)\}
$$
となる。
したがって、
$$
S
=
\frac{1}{4}
\sqrt{
\{2bc+(b^2+c^2-a^2)\}
\{2bc-(b^2+c^2-a^2)\}
}
$$
である。
長い式に見えるが、正体はX²−Y²だ。まず平方差の公式で2つの因数に分けるぞ。
まず、
$$
2bc+(b^2+c^2-a^2)
$$
を整理する。
項の順番を変えると、
$$
b^2+2bc+c^2-a^2
$$
となる。
ここで、
$$
b^2+2bc+c^2=(b+c)^2
$$
なので、
$$
2bc+(b^2+c^2-a^2)
=
(b+c)^2-a^2
$$
となる。
次に、
$$
2bc-(b^2+c^2-a^2)
$$
を整理する。
マイナスのかっこを外すと、
$$
2bc-b^2-c^2+a^2
$$
となる。
項の順番を変えると、
$$
a^2-(b^2-2bc+c^2)
$$
である。
ここで、
$$
b^2-2bc+c^2=(b-c)^2
$$
なので、
$$
2bc-(b^2+c^2-a^2)
=
a^2-(b-c)^2
$$
となる。
したがって、
$$
S
=
\frac{1}{4}
\sqrt{
\{(b+c)^2-a^2\}
\{a^2-(b-c)^2\}
}
$$
である。
平方根の中にある2つの式も、どちらも平方差になっている。
まず、
$$
(b+c)^2-a^2
$$
に平方差の公式を使うと、
$$
(b+c)^2-a^2
=
(b+c+a)(b+c-a)
$$
となる。
次に、
$$
a^2-(b-c)^2
$$
に平方差の公式を使うと、
$$
a^2-(b-c)^2
=
\{a+(b-c)\}\{a-(b-c)\}
$$
となる。
かっこを整理すると、
$$
a+(b-c)=a+b-c
$$
であり、
$$
a-(b-c)=a-b+c
$$
である。
したがって、
$$
a^2-(b-c)^2
=
(a+b-c)(a-b+c)
$$
となる。
以上より、
$$
S
=
\frac{1}{4}
\sqrt{
(a+b+c)
(-a+b+c)
(a-b+c)
(a+b-c)
}
$$
となる。
順番を整えると、
$$
S
=
\frac{1}{4}
\sqrt{
(a+b+c)
(b+c-a)
(c+a-b)
(a+b-c)
}
$$
である。
平方差をもう一度使うと、a＋b＋cや、b＋c−aのような因数が現れる。ここから半周sにつながるぞ。
ここでヘロンの公式のsを思い出してくれ。
$$
s=\frac{a+b+c}{2}
$$
この式から、
$$
a+b+c=2s
$$
が成り立つ。
また、
$$
s-a
=
\frac{a+b+c}{2}-a
$$
なので、
$$
s-a
=
\frac{-a+b+c}{2}
$$
である。
したがって、
$$
-a+b+c=2(s-a)
$$
となる。
同じように、
$$
s-b
=
\frac{a-b+c}{2}
$$
なので、
$$
a-b+c=2(s-b)
$$
である。
また、
$$
s-c
=
\frac{a+b-c}{2}
$$
なので、
$$
a+b-c=2(s-c)
$$
となる。
したがって、平方根の中の4つの因数は、
$$
a+b+c=2s
$$
$$
-a+b+c=2(s-a)
$$
$$
a-b+c=2(s-b)
$$
$$
a+b-c=2(s-c)
$$
と書き換えられる。
先ほど、
$$
S
=
\frac{1}{4}
\sqrt{
(a+b+c)
(-a+b+c)
(a-b+c)
(a+b-c)
}
$$
であった。
半周を使った式を代入すると、
$$
S
=
\frac{1}{4}
\sqrt{
2s\cdot
2(s-a)\cdot
2(s-b)\cdot
2(s-c)
}
$$
となる。
平方根の中では、
$$
2\cdot2\cdot2\cdot2=16
$$
なので、
$$
S
=
\frac{1}{4}
\sqrt{
16s(s-a)(s-b)(s-c)
}
$$
である。
$$
\sqrt{16}=4
$$
なので、
$$
S
=
\frac{1}{4}
\cdot4
\sqrt{
s(s-a)(s-b)(s-c)
}
$$
となる。
したがって、
$$
S
=
\sqrt{
s(s-a)(s-b)(s-c)
}
$$
である。
これで、ヘロンの公式、
$$
\boxed{
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
}
$$
を証明できたな。
ヘロンの公式は突然現れた公式ではない。sinの面積公式から始め、余弦定理で角を消し、平方差で因数分解すると導けるんだ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。
三角形の面積を求めたい・・・・
でも、高さも角度もわからない・・・・・
でもでも、三角形の3辺の長さだけはわかってる・・・・・
そんな時に使えるのが、
ヘロンの公式
さ。
三角形ABCを考える。
角A、角B、角Cの向かい側にある辺の長さを、それぞれ、
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
とする。
つまり、
$$
BC=a
$$
$$
CA=b
$$
$$
AB=c
$$
である。
三角形ABCの面積を、
$$
S
$$
とする。
また、3辺の和の半分を、
$$
s
$$
とする。
つまり、
$$
s=\frac{a+b+c}{2}
$$
である。
このとき、三角形ABCの面積は、
$$
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$
で求められる。
この公式を、
ヘロンの公式
というんだな。
よし、じゃあヘロンの公式で例題を解いてみるぞ。
三角形ABCにおいて、
$$
a=7
$$$$
b=8
$$$$
c=9
$$のとき、三角形ABCの面積、
$$
S
$$を求めてみよう。
まずはsからだな。
$$
s=\frac{a+b+c}{2}
$$
で求められるぞ。
ここに、
$$
a=7
$$
$$
b=8
$$
$$
c=9
$$
を代入する。
$$
s=\frac{7+8+9}{2}
$$
分子を計算すると、
$$
7+8+9=24
$$
なので、
$$
s=\frac{24}{2}
$$
となる。
したがって、
$$
s=12
$$
である。
次に、ヘロンの公式に必要な、
$$
s-a
$$
$$
s-b
$$
$$
s-c
$$
を求める。
まず、
$$
s-a=12-7
$$
なので、
$$
s-a=5
$$
である。
次に、
$$
s-b=12-8
$$
なので、
$$
s-b=4
$$
である。
最後に、
$$
s-c=12-9
$$
なので、
$$
s-c=3
$$
である。
したがって、
$$
s=12
$$
$$
s-a=5
$$
$$
s-b=4
$$
$$
s-c=3
$$
となる。
半周sが出たら、そこから3辺をそれぞれ引く。今回は12、5、4、3を公式に入れるぞ。
ヘロンの公式は、
$$
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$
である。
求めた値を代入すると、
$$
S=\sqrt{12\cdot5\cdot4\cdot3}
$$
となる。
平方根の中を計算すると、
$$
12\cdot5\cdot4\cdot3=720
$$
なので、
$$
S=\sqrt{720}
$$
である。
よし、ルートの中身デカすぎるからルートを簡単にするぞ。
$$
720
$$
を、平方数を含む積に分ける。
$$
720=144\cdot5
$$
なので、
$$
S=\sqrt{144\cdot5}
$$
となる。
平方根の性質より、
$$
S=\sqrt{144}\sqrt{5}
$$
である。
ここで、
$$
\sqrt{144}=12
$$
なので、
$$
S=12\sqrt{5}
$$
となる。
したがって、三角形ABCの面積は、
$$
\boxed{12\sqrt{5}}
$$
である。
3辺が7、8、9なら、半周は12だ。ヘロンの公式に入れて整理すると、面積は12√5になるぞ。
ところで、ヘロンの公式の、
ヘロン
とは何なのだろうか。ちょっと気になるよな。
じつは、
実在した人物の名前
なんだな。
アレクサンドリアのヘロン
と呼ばれる、古代ギリシャ系の数学者・技術者の名前だ。
ヘロンは、現在のエジプトにあった都市、アレクサンドリアで活動したとされている。
活動した時期は、西暦1世紀ごろと考えられている。
つまり、今からおよそ、2000も前の人物だ。
ヘロンは数学だけでなく、空気や水、蒸気を利用して動く装置についても研究していた。
そのため、数学者であると同時に、
のような人物でもあった。
三角形の3辺から面積を求める、
$$
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$
という公式は、ヘロンの著作の中に記されているんだ。
そのため、この公式は彼の名前にちなんで、
ヘロンの公式
と呼ばれているのさ。
ヘロンはキャラの名前じゃねえ。約2000年前に活躍した、古代の数学者であり発明家だ。そんな昔から、3辺だけで面積を求める方法が知られていたんだな。
ヘロンの公式は、突然作られた計算テクニックではない。
古代から研究され、長い年月を超えて現在の高校数学でも使われている公式なんだ、と胸に刻んどこうな。
それじゃあ。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。キャベツ、最高
三角形の内角の二等分線とは、
1つの角を同じ大きさの2つの角に分ける線
だったよな？
三角形ABCで、角Aの二等分線と辺BCの交点をDとすると、
$$
\angle BAD=\angle DAC
$$
が成り立つ。
問題によっては、この角の二等分線$AD$の長さを求めることがあるんだ。
たとえば、次のような問題だな。
三角形ABCにおいて、
$$
AB=9
$$$$
AC=3
$$$$
\angle BAC=60^\circ
$$とする。
角Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分
$$
AD
$$の長さを求めてみよう。
今日は、角の二等分線の長さを三角形の面積から求める方法をわかりやすく解説するぞ。
この手の問題を解く流れは、次のようになるな。
よし、じゃあさっきの例題を一緒に解いてみるぞ。
三角形ABCにおいて、
$$
AB=9
$$$$
AC=3
$$$$
\angle BAC=60^\circ
$$とする。
角Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分
$$
AD
$$の長さを求めてみよう。
まず、三角形ABC全体の面積を求める。
三角形ABCでは、
$$
AB=9
$$
$$
AC=3
$$
であり、その間の角は、
$$
\angle BAC=60^\circ
$$
である。
したがって、sinを使った三角形の面積公式より、
$$
\triangle ABCの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot AB
\cdot AC
\cdot\sin\angle BAC
$$
となる。
値を代入すると、
$$
\triangle ABCの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot9
\cdot3
\cdot\sin60^\circ
$$
である。
ここで、
$$
\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
なので、
$$
\triangle ABCの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot9
\cdot3
\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
となる。
計算すると、
$$
\triangle ABCの面積
=
\frac{27\sqrt{3}}{4}
$$
である。
まずは分ける前の三角形全体の面積を求める。辺9と辺3、その間の角60°を使えばいいぞ。
求めたい角の二等分線の長さを、
$$
x
$$
と置く。
つまり、
$$
AD=x
$$
とする。
これにより、三角形ABDと三角形ACDの面積を、
$$
x
$$
を使って表すことができる。
まずは三角形ABDの面積を求めるぞ。
三角形ABDでは、
$$
AB=9
$$
$$
AD=x
$$
である。
この2辺の間にある角は、
$$
\angle BAD=30^\circ
$$
である。
したがって、
$$
\triangle ABDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot AB
\cdot AD
\cdot\sin\angle BAD
$$
となる。
値を代入すると、
$$
\triangle ABDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot9
\cdot x
\cdot\sin30^\circ
$$
である。
ここで、
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
\triangle ABDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot9
\cdot x
\cdot\frac{1}{2}
$$
となる。
したがって、
$$
\triangle ABDの面積
=
\frac{9}{4}x
$$
である。
次に、三角形ACDの面積を求める。
三角形ACDでは、
$$
AC=3
$$
$$
AD=x
$$
である。
この2辺の間にある角は、
$$
\angle DAC=30^\circ
$$
である。
したがって、
$$
\triangle ACDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot AC
\cdot AD
\cdot\sin\angle DAC
$$
となる。
値を代入すると、
$$
\triangle ACDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot3
\cdot x
\cdot\sin30^\circ
$$
である。
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
\triangle ACDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot3
\cdot x
\cdot\frac{1}{2}
$$
となる。
したがって、
$$
\triangle ACDの面積
=
\frac{3}{4}x
$$
である。
2つの小さい三角形には、どちらにも辺AD=xが入っている。角もどちらも30°だから、それぞれの面積をxで表せるんだ。
三角形ABCは、三角形ABDと三角形ACDを合わせたものである。
したがって、
$$
\triangle ABCの面積
=
\triangle ABDの面積
+
\triangle ACDの面積
$$
が成り立つ。
それぞれの面積は、
$$
\triangle ABCの面積
=
\frac{27\sqrt{3}}{4}
$$
$$
\triangle ABDの面積
=
\frac{9}{4}x
$$
$$
\triangle ACDの面積
=
\frac{3}{4}x
$$
であった。
これらを代入すると、
$$
\frac{27\sqrt{3}}{4}
=
\frac{9}{4}x
+
\frac{3}{4}x
$$
となる。
右辺をまとめると、
$$
\frac{27\sqrt{3}}{4}
=
\frac{12}{4}x
$$
である。
したがって、
$$
\frac{27\sqrt{3}}{4}
=
3x
$$
となる。
両辺を3で割ると、
$$
x
=
\frac{27\sqrt{3}}{12}
$$
である。
分子と分母を3で割ると、
$$
x=\frac{9\sqrt{3}}{4}
$$
となる。
ここで、
$$
AD=x
$$
と置いていたので、
$$
AD=\frac{9\sqrt{3}}{4}
$$
である。
したがって、求める角の二等分線の長さは、
$$
\frac{9\sqrt{3}}{4}
$$
となる。
と、まあこんな感じだ。よかったな、角の二等分線の長さ求める問題もこわくねえな。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。
三角形の3辺すべてに接する円を、
内接円
というだったよな？
内接円の半径を求めるときには、三角形の面積との間にある次の公式を使うぞ。
$$
S=\frac{1}{2}(a+b+c)r
$$
ここで、$S$は三角形の面積、$a,\ b,\ c$は三角形の3辺の長さ、$r$は内接円の半径だ。
三角形ABCの内心を、$I$としている。
よし、じゃあ早速公式を使って例題を解いてみるぞ。
三角形ABCにおいて、
$$
a=5
$$$$
b=6
$$$$
c=7
$$とする。
この三角形の内接円の半径、
$$
r
$$を求めてみよう。
オッケー、公式で楽勝に計算でき・・・・
おっと、公式を使うには三角形の面積$S$が必要だったな？
はて、現状ではわからんぞ。
そこで、まず余弦定理とsinの面積公式を使って、三角形ABCの面積を求めるんだ。
余弦定理より、
$$
\cos A
=
\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
$$
である。
ここに、
$$
a=5
$$
$$
b=6
$$
$$
c=7
$$
を代入すると、
$$
\cos A
=
\frac{6^2+7^2-5^2}{2\cdot6\cdot7}
$$
$$
=
\frac{36+49-25}{84}
$$
$$
=
\frac{60}{84}
$$
したがって、
$$
\cos A=\frac{5}{7}
$$
となる。
三角比の相互関係より、
$$
\sin^2A+\cos^2A=1
$$
である。
角Aは三角形の内角なので、
$$
\sin A>0
$$
である。
したがって、
$$
\sin A
=
\sqrt{1-\cos^2A}
$$
となる。
$$
\cos A=\frac{5}{7}
$$
を代入すると、
$$
\sin A
=
\sqrt{1-\left(\frac{5}{7}\right)^2}
$$
$$
=
\sqrt{1-\frac{25}{49}}
$$
$$
=
\sqrt{\frac{24}{49}}
$$
$$
=
\frac{2\sqrt{6}}{7}
$$
となる。
三角形の面積公式より、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
である。
値を代入すると、
$$
S
=
\frac{1}{2}
\cdot6
\cdot7
\cdot\frac{2\sqrt{6}}{7}
$$
となる。
約分して計算すると、
$$
S=6\sqrt{6}
$$
である。
三角形の面積と内接円の半径の関係は、
$$
S=\frac{1}{2}(a+b+c)r
$$
である。
ここに、
$$
S=6\sqrt{6}
$$
$$
a=5
$$
$$
b=6
$$
$$
c=7
$$
を代入する。
$$
6\sqrt{6}
=
\frac{1}{2}(5+6+7)r
$$
$$
6\sqrt{6}
=
\frac{1}{2}\cdot18r
$$
$$
6\sqrt{6}=9r
$$
したがって、
$$
r=\frac{6\sqrt{6}}{9}
$$
約分すると、
$$
r=\frac{2\sqrt{6}}{3}
$$
となる。
よって、三角形ABCの内接円の半径は、
$$
\boxed{\frac{2\sqrt{6}}{3}}
$$
である。
3辺だけが与えられたら、まず余弦定理とsinで面積を求める。そのあと、面積と3辺の和から内接円の半径を出せばいいぞ。
ふー、全く便利な公式だぜ。
でもさ、なぜ
$$
S=\frac{1}{2}(a+b+c)r
$$
という公式が使えるのか、気になるよな。
ってことで、この公式がなぜ成り立つのかを証明していくぞ。
三角形ABCの内心を、
$$
I
$$
とする。
内心Iと、三角形の3つの頂点、
$$
A
$$
$$
B
$$
$$
C
$$
をそれぞれ結ぶ。
すると、三角形ABCは、
$$
\triangle IBC
$$
$$
\triangle ICA
$$
$$
\triangle IAB
$$
という3つの三角形に分かれる。
したがって、三角形ABCの面積は、
$$
S
=
\triangle IBCの面積
+
\triangle ICAの面積
+
\triangle IABの面積
$$
となるはずさ。
内接円は、三角形ABCの3辺すべてに接している。
円の中心から接線へ引いた半径は、接線に垂直である。
したがって、内心Iから辺BCへ下ろした垂線の長さは、
$$
r
$$
である。
同じように、内心Iから辺CA、辺ABへ下ろした垂線の長さも、
$$
r
$$
である。
つまり、
$$
\triangle IBC
$$
$$
\triangle ICA
$$
$$
\triangle IAB
$$
の高さは、すべて、
$$
r
$$
になる。
ここが、この公式の最も重要なポイントである。
三角形IBCでは、底辺を、
$$
BC=a
$$
とする。
高さは、内心Iから辺BCまでの距離なので、
$$
r
$$
である。
したがって、
$$
\triangle IBCの面積
=
\frac{1}{2}ar
$$
となる。
三角形ICAでは、底辺を、
$$
CA=b
$$
とする。
高さは、
$$
r
$$
である。
したがって、
$$
\triangle ICAの面積
=
\frac{1}{2}br
$$
となる。
三角形IABでは、底辺を、
$$
AB=c
$$
とする。
高さは、
$$
r
$$
である。
したがって、
$$
\triangle IABの面積
=
\frac{1}{2}cr
$$
となる。
3つの小さな三角形は、底辺だけがa、b、cと違う。高さはどれも内接円の半径rなんだ。
三角形ABCの面積は、3つの小さな三角形の面積の和である。
したがって、
$$
S
=
\frac{1}{2}ar
+
\frac{1}{2}br
+
\frac{1}{2}cr
$$
となる。
右辺から、
$$
\frac{1}{2}r
$$
をくくり出すと、
$$
S
=
\frac{1}{2}(a+b+c)r
$$
となる。
これで、
$$
S=\frac{1}{2}(a+b+c)r
$$
が成り立つことを証明できたな。
内接円の半径は、三角形の面積と3辺の和から求められる。公式を丸暗記するだけでなく、なぜその公式が使えるか、まで深ぼっておこうな。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。WiFi、キャッチだぜ
高校数学Iでは、円に内接する四角形の面積を求める問題が出てくるよな。
例えば、次の問題だ。
円に内接する四角形ABCDがある。
$$
AB=3
$$$$
BC=5
$$$$
AD=5
$$$$
\angle ABC=120^\circ
$$のとき、次のものを求めてみよう。
- 対角線ACの長さ
- 辺CDの長さ
- 四角形ABCDの面積S
四角形をそのまま計算する？？ そりゃ、難しそうだよな。
そこで使うのが、
対角線で2つの三角形に分ける
という考え方だ。
分けた後、
を順番に使っていけばいいんだな。
円に内接する四角形の面積を求める今回の問題では、次の流れで進めるぞ。
まず対角線を求めることで、2つの三角形をつなぐ共通の辺がわかる。
そのあと、円に内接する四角形の性質を利用して、反対側の三角形を解いていくんだ。
じゃ、さっきの例題を一緒に解いてみようか。
円に内接する四角形ABCDがある。
$$
AB=3
$$$$
BC=5
$$$$
AD=5
$$$$
\angle ABC=120^\circ
$$のとき、次のものを求めてみよう。
- 対角線ACの長さ
- 辺CDの長さ
- 四角形ABCDの面積S
三角形ABCでは、
$$
AB=3
$$
$$
BC=5
$$
$$
\angle ABC=120^\circ
$$
がわかっている。
つまり、2辺とその間の角がわかっている。
したがって、余弦定理を使うことができる。
余弦定理より、
$$
AC^2
=
AB^2+BC^2
–
2\cdot AB\cdot BC\cos\angle ABC
$$
である。
値を代入すると、
$$
AC^2
=
3^2+5^2
–
2\cdot3\cdot5\cos120^\circ
$$
となる。
ここで、
$$
\cos120^\circ=-\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
AC^2
=
9+25
–
30\left(-\frac{1}{2}\right)
$$
である。
計算すると、
$$
AC^2
=
34+15
$$
$$
AC^2=49
$$
となる。
したがって、
$$
AC=\pm7
$$
となるが、線分の長さは正なので、
$$
AC=7
$$
である。
まずは三角形ABCだけを見る。2辺とその間の角がわかっているので、余弦定理で対角線ACが7と求められるぞ。
次に、
$$
\angle ADC
$$
を求める。
四角形ABCDは円に内接している。
したがって、向かい合う角の和は、
$$
180^\circ
$$
だよな？？
つまり、
$$
\angle ABC+\angle ADC=180^\circ
$$
となる。
ここで、
$$
\angle ABC=120^\circ
$$
なので、
$$
120^\circ+\angle ADC=180^\circ
$$
である。
したがって、
$$
\angle ADC
=
180^\circ-120^\circ
$$
$$
\angle ADC=60^\circ
$$
となる。
これで、三角形ACDについて、
$$
AC=7
$$
$$
AD=5
$$
$$
\angle ADC=60^\circ
$$
がわかった。
辺CDの長さを、
$$
x
$$
とする。
つまり、
$$
CD=x
$$
である。
三角形ACDに余弦定理を使う。
角Dに向かい合う辺は、
$$
AC
$$
である。
したがって、
$$
AC^2
=
AD^2+CD^2
–
2\cdot AD\cdot CD\cos\angle ADC
$$
となる。
ここに、
$$
AC=7
$$
$$
AD=5
$$
$$
CD=x
$$
$$
\angle ADC=60^\circ
$$
を代入する。
$$
7^2
=
5^2+x^2
–
2\cdot5\cdot x\cos60^\circ
$$
ここで、
$$
\cos60^\circ=\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
49
=
25+x^2
–
10x\cdot\frac{1}{2}
$$
となる。
したがって、
$$
49=25+x^2-5x
$$
である。
すべての項を一方に移すと、
$$
x^2-5x-24=0
$$
となる。
左辺を因数分解すると、
$$
(x-8)(x+3)=0
$$
である。
したがって、
$$
x=8
$$
または、
$$
x=-3
$$
となる。
しかし、辺の長さは正なので、
$$
x=8
$$
を選ぶ。
よって、
$$
CD=8
$$
である。
余弦定理から二次方程式ができることもある。解が2つ出ても、辺の長さは正なので負の解は使わないぞ。
これで、四角形を構成する2つの三角形の面積を求められるな。
まず、
$$
\triangle ABC
$$
の面積を求めよう。
辺ABと辺BC、その間の角ABCがわかっている。
三角形の面積公式より、
$$
\triangle ABCの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot AB
\cdot BC
\cdot\sin\angle ABC
$$
である。
値を代入すると、
$$
\triangle ABCの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot3
\cdot5
\cdot\sin120^\circ
$$
となる。
ここで、
$$
\sin120^\circ=\sin60^\circ
$$
であり、
$$
\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
なので、
$$
\sin120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
である。
したがって、
$$
\triangle ABCの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot3
\cdot5
\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
=
\frac{15\sqrt{3}}{4}
$$
となる。
次に、
$$
\triangle ACD
$$
の面積を求める。
辺ADと辺CD、その間の角ADCがわかっている。
したがって、
$$
\triangle ACDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot AD
\cdot CD
\cdot\sin\angle ADC
$$
である。
値を代入すると、
$$
\triangle ACDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot5
\cdot8
\cdot\sin60^\circ
$$
となる。
$$
\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
なので、
$$
\triangle ACDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot5
\cdot8
\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
=
20\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
=10\sqrt{3}
$$
となる。
四角形ABCDの面積を、
$$
S
$$
とする。
対角線ACによって、
$$
\triangle ABC
$$
と、
$$
\triangle ACD
$$
に分けたので、
$$
S
=
\triangle ABCの面積
+
\triangle ACDの面積
$$
である。
したがって、
$$
S
=
\frac{15\sqrt{3}}{4}
+
10\sqrt{3}
$$
となる。
$$
10\sqrt{3}
$$
を分母4の分数で表すと、
$$
10\sqrt{3}
=
\frac{40\sqrt{3}}{4}
$$
なので、
$$
S
=
\frac{15\sqrt{3}}{4}
+
\frac{40\sqrt{3}}{4}
$$
$$
S
=
\frac{55\sqrt{3}}{4}
$$
となる。
よって、四角形ABCDの面積は、
$$
\frac{55\sqrt{3}}{4}
$$
である。
最後は、2つの三角形の面積を足すだけだ。四角形ABCDの面積は55√3/4になるぞ。
以上より、
$$
AC=7
$$
$$
CD=8
$$
である。
また、四角形ABCDの面積は、
$$
S=\frac{55\sqrt{3}}{4}
$$
となる。
したがって、答えは、
$$
AC=7,\quad CD=8,\quad
S=\frac{55\sqrt{3}}{4}
$$
だな。
おし、以上だ。
今回は、円に内接する四角形の面積を、余弦定理とsinを使って求める方法を確認したきたな。
対角線を引いて四角形を2つの三角形に分けて、あとはこれまで勉強してきた
を使えばいいんだ。
円の性質、余弦定理、sinの面積公式。これまで学んだ道具を順番に使えば、円に内接する四角形の面積も求められるぞ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、3辺の長さから三角形の面積を求める方法をやるぞ。余弦定理でcosを求め、sinに直して面積公式へつなげていく。
三角形の面積をsinで求める公式は、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
である。
この公式を使うには、2辺
$$
a,\ b
$$
と、その間の角
$$
C
$$
が必要になる。
では、角の大きさがわからず、3辺の長さだけが与えられている場合は、どうすればよいのだろうか。
この場合は、まず余弦定理を使って、
$$
\cos C
$$
を求める。
次に、三角比の相互関係を使って、
$$
\sin C
$$
を求める。
最後に、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
へ代入すれば、三角形の面積を求めることができる。
3辺だけでは、面積公式に必要なsinが見えない。そこで、余弦定理でcosを出し、相互関係でsinに変えるんだ。
この記事では、三角形の面積を3辺から求める方法を、余弦定理とsinを使ってわかりやすく解説する。
3辺から三角形の面積を求める流れは、次の通りだ。
よし、じゃあ例題を一緒に解いてみるぞ。
三角形ABCにおいて、
$$
a=5
$$$$
b=5
$$$$
c=6
$$のとき、三角形ABCの面積
$$
S
$$を求めてみよう。
余弦定理より、
$$
c^2=a^2+b^2-2ab\cos C
$$
である。
これを、
$$
\cos C
$$
について整理すると、
$$
\cos C
=
\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
$$
となる。
ここに、
$$
a=5
$$
$$
b=5
$$
$$
c=6
$$
を代入する。
$$
\cos C
=
\frac{5^2+5^2-6^2}
{2\cdot5\cdot5}
$$
それぞれ計算すると、
$$
\cos C
=
\frac{25+25-36}{50}
$$
となる。
分子を計算すると、
$$
25+25-36=14
$$
なので、
$$
\cos C=\frac{14}{50}
$$
である。
約分すると、
$$
\cos C=\frac{7}{25}
$$
となる。
三角比の相互関係より、
$$
\sin^2 C+\cos^2 C=1
$$
である。
したがって、
$$
\sin C
=
\sqrt{1-\cos^2 C}
$$
となる。
ここに、
$$
\cos C=\frac{7}{25}
$$
を代入する。
$$
\sin C
=
\sqrt{
1-\left(\frac{7}{25}\right)^2
}
$$
2乗を計算すると、
$$
\sin C
=
\sqrt{
1-\frac{49}{625}
}
$$
となる。
$$
1=\frac{625}{625}
$$
なので、
$$
\sin C
=
\sqrt{
\frac{625}{625}-\frac{49}{625}
}
$$
$$
=
\sqrt{\frac{576}{625}}
$$
である。
分子と分母をそれぞれ平方根にすると、
$$
\sin C
=
\frac{\sqrt{576}}{\sqrt{625}}
$$
となる。
$$
\sqrt{576}=24
$$
$$
\sqrt{625}=25
$$
なので、
$$
\sin C=\frac{24}{25}
$$
である。
cosCが7/25とわかったら、sin²C＋cos²C＝1を使う。これでsinCは24/25になるぞ。
三角形の面積公式より、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
である。
ここに、
$$
a=5
$$
$$
b=5
$$
$$
\sin C=\frac{24}{25}
$$
を代入する。
$$
S
=
\frac{1}{2}
\cdot5
\cdot5
\cdot\frac{24}{25}
$$
となる。
$$
5\cdot5=25
$$
なので、
$$
S
=
\frac{1}{2}
\cdot25
\cdot\frac{24}{25}
$$
である。
$$
25
$$
を約分すると、
$$
S
=
\frac{1}{2}\cdot24
$$
したがって、
$$
S=12
$$
となる。
よって、三角形ABCの面積は、
$$
12
$$
である。
余弦定理でcos、相互関係でsin、最後に面積公式。答えは12だ。
今回は、三角形の面積を3辺から求める方法を確認した。
3辺だけが与えられている場合は、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
をすぐに使うことはできない。
そこで、余弦定理、
$$
\cos C
=
\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
$$
を使って、
$$
\cos C
$$
を求める。
次に、三角比の相互関係、
$$
\sin^2 C+\cos^2 C=1
$$
から、
$$
\sin C
=
\sqrt{1-\cos^2 C}
$$
を求める。
最後に、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
へ代入すればいいんだ。
3辺から面積を求めるなら、余弦定理でcos、相互関係でsin、最後に面積公式だ。この流れをつかんでおこう。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。
高校数学では、円に内接する正多角形の面積を求める問題が出てくるよな。
例えば、こんな感じの問題だ。
正八角形や正十二角形のように辺の数が多いと、そのまま面積を求めるのは難しそうに見える。
しかし、正多角形の中心と各頂点を結ぶと、
同じ形の二等辺三角形
に分けられるぞ。
あとは、1つの三角形の面積を求めて、三角形の個数をかければよい。
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
で求められる。
多角形をそのまま相手にする必要はない。中心から細かい三角形に分ければ、知っている面積公式が使えるぞ。
この記事では、高校数学における多角形の面積の求め方を、円に内接する正多角形を使ってわかりやすく解説する。
複雑な多角形の面積は、いくつかの三角形に分けて考えることができる。
たとえば、円に内接する正多角形を考えよう。
円の中心を、
$$
O
$$
とする。
中心Oと正多角形のすべての頂点を結ぶと、正多角形の内部がいくつかの三角形に分かれる。
正六角形なら、三角形は6個。
正八角形なら、三角形は8個。
正十二角形なら、三角形は12個できる。
つまり、正$n$角形なら、$n$個の三角形に分けられる。
しかも、正多角形ではすべての辺の長さが等しく、中心角も等しい。
そのため、できる三角形はすべて合同な二等辺三角形になる。
したがって、
$$
正多角形の面積
=
1つの三角形の面積
\times
三角形の個数
$$
と考えればよい。
よし、それじゃあさっきの例題を解いてみるぞ。
正八角形の中心とすべての頂点を結ぶと、同じ形の三角形が、
$$
8
$$
個できる。
1つの三角形の中心角は、
$$
\frac{360^\circ}{8}
$$
なので、
$$
45^\circ
$$
である。
また、円の半径は、
$$
6
$$
なので、1つの三角形には、長さ
$$
6
$$
の辺が2本ある。
したがって、1つの三角形の面積は、
$$
\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot\sin45^\circ
$$
となる。
ここで、
$$
\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}
$$
なので、
$$
\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot\sin45^\circ
=
\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}
$$
$$
=
18\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}
$$
$$
=
9\sqrt{2}
$$
となる。
この三角形が8個あるので、正八角形の面積は、
$$
S
=
8\cdot9\sqrt{2}
$$
である。
したがって、
$$
S=72\sqrt{2}
$$
となる。
正八角形なら中心角は45°だ。半径6の二等辺三角形1つ分の面積を求めて、最後に8倍すれば完成だな。
うん、以上だ。
ようは、
という流れで計算すればよいんだな。
多角形の面積も、三角形に分ければ怖くない。1つ分をsinで求めて、個数をかければ完成だ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、三角形の面積をsinで求める公式を証明するぞ。いつもの「底辺×高さ÷2」から導いていこう。
前回、sinを使って三角形の面積を求める公式、勉強してきたよな。
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
同じように、
$$
S=\frac{1}{2}ca\sin B
$$
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
も成り立つ。
この公式を見ると、
「なぜ面積の公式にsinが出てくるの？」
と思うかもしれない。
しかし、この公式は新しい面積公式を一から作ったものではない。
実は、よく知っている、
$$
三角形の面積
=
\frac{1}{2}
\times
底辺
\times
高さ
$$
に、三角比を組み合わせただけ、なんだな。
ポイントは、
sinを使って三角形の高さを表すこと
だ。
三角形ABCを考える。
角A、角B、角Cの向かい側の辺を、それぞれ、
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
とする。
つまり、
$$
BC=a
$$
$$
CA=b
$$
$$
AB=c
$$
である。
また、三角形ABCの面積を、
$$
S
$$
とする。
今回証明したいのは、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
さ。
まず、角Aが鋭角の場合を考える。
頂点Cから辺ABに垂線を下ろす。
垂線の足を、
$$
H
$$
とする。
つまり、
$$
CH\perp AB
$$
である。
このとき、
$$
CH
$$
が、辺ABを底辺としたときの三角形ABCの高さになる。
辺ABの長さは、
$$
c
$$
なので、通常の三角形の面積公式より、
$$
S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH
$$
になるな。
したがって、
$$
S=\frac{1}{2}c\cdot CH
$$
である。
次に、直角三角形ACHに注目する。
斜辺は、
$$
AC=b
$$
である。
角Aから見ると、高さCHは対辺になる。
したがって、sinの定義より、
$$
\sin A=\frac{CH}{AC}
$$
である。
ここで、
$$
AC=b
$$
なので、
$$
\sin A=\frac{CH}{b}
$$
となる。
両辺に、
$$
b
$$
をかけると、
$$
CH=b\sin A
$$
である。
つまり、三角形ABCの高さは、
$$
b\sin A
$$
と表すことができる。
ここが核心だ。斜辺bにsinAをかけると、高さCHが出てくるんだ。
先ほど、
$$
S=\frac{1}{2}c\cdot CH
$$
だった。
また、
$$
CH=b\sin A
$$
である。
したがって、
$$
S
=
\frac{1}{2}c\cdot b\sin A
$$
となる。
順番を整えると、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
である。
これで、角Aが鋭角の場合に、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
が成り立つことを証明できた。
次に、角Aが直角の場合を考える。
このとき、
$$
A=90^\circ
$$
である。
角Aをはさむ辺は、
$$
AB=c
$$
と、
$$
AC=b
$$
である。
この2辺は垂直なので、一方を底辺、もう一方を高さとして使うことができる。
したがって、三角形ABCの面積は、
$$
S=\frac{1}{2}bc
$$
である。
一方、
$$
\sin90^\circ=1
$$
なので、
$$
\frac{1}{2}bc\sin A
=
\frac{1}{2}bc\sin90^\circ
$$
$$
=
\frac{1}{2}bc\cdot1
$$
$$
=
\frac{1}{2}bc
$$
となる。
よって、角Aが直角の場合にも、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
が成り立つ。
Aが90°ならsinAは1だ。だから公式は、そのまま「底辺×高さ÷2」になるぞ。
最後に、角Aが鈍角の場合を考える。
角Aが鈍角のとき、頂点Cから辺ABに垂線を下ろすと、垂線の足Hは辺ABの上にはこない。
そこで、辺ABを点Aの方向へ延長する。
その延長線上に、点Cから垂線を下ろす。
垂線の足を、
$$
H
$$
とする。
この場合も、
$$
CH\perp AB
$$
であり、
$$
CH
$$
が三角形ABCの高さになる。
辺ABの長さは、
$$
c
$$
なので、
$$
S=\frac{1}{2}c\cdot CH
$$
である。
角Aが鈍角の場合、直角三角形ACHの角A側にある鋭角は、
$$
180^\circ-A
$$
となる。
したがって、直角三角形ACHで、
$$
\sin(180^\circ-A)=\frac{CH}{b}
$$
である。
両辺に、
$$
b
$$
をかけると、
$$
CH=b\sin(180^\circ-A)
$$
となる。
ここで、三角比 180-θ の公式より、
$$
\sin(180^\circ-A)=\sin A
$$
である。
したがって、
$$
CH=b\sin A
$$
となる。
つまり、角Aが鈍角の場合でも、高さCHは、
$$
b\sin A
$$
で表すことができる。
通常の面積公式より、
$$
S=\frac{1}{2}c\cdot CH
$$
である。
ここに、
$$
CH=b\sin A
$$
を代入すると、
$$
S
=
\frac{1}{2}c\cdot b\sin A
$$
となる。
したがって、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
である。
これで、角Aが鈍角の場合にも、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
が成り立つことを証明できた。
Aが鈍角でも高さはb sinAになる。sin(180°−A)=sinAが、ここで効いてくるんだ。
今回は、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
を証明した。
この公式では、辺cを底辺として、高さを、
$$
b\sin A
$$
と表した。
同じように、別の辺を底辺として考えることもできる。
角Bをはさむ2辺は、
$$
c
$$
と、
$$
a
$$
である。
したがって、
$$
S=\frac{1}{2}ca\sin B
$$
が成り立つ。
また、角Cをはさむ2辺は、
$$
a
$$
と、
$$
b
$$
である。
したがって、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
が成り立つ。
以上より、
$$
S
=
\frac{1}{2}bc\sin A
=
\frac{1}{2}ca\sin B
=
\frac{1}{2}ab\sin C
$$
となる。
三角形の面積をsinで求める公式は、「底辺×高さ÷2」の高さをsinで表したものだ。公式の正体がわかれば、丸暗記もしやすくなるぞ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、三角形の面積をsinで求める公式の使い方をやるぞ。2辺とその間の角がわかれば、高さがわからなくても面積を求められるんだ。
三角形の面積は、
$$
面積=\frac{1}{2}\times 底辺\times 高さ
$$
で求められるよな？？
しかし、問題によっては「高さ」がわからないこともある。
でも、その代わりに、
が与えられている。
このようなときは、sinを使った次の公式で三角形の面積を求められるぞ。
三角形ABCの面積を、
$$
S
$$
とする。
また、角A、角B、角Cの向かい側の辺を、それぞれ、
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
とする。
このとき、三角形ABCの面積は、次の公式で求められる。
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
$$
S=\frac{1}{2}ca\sin B
$$
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
どの公式も、基本的な形は同じである。
2辺×その間の角のsin×1/2
なんだな。
三角形の面積をsinで求めるときは、次の順番で考える。
たとえば、辺b、辺c、角Aがわかっているなら、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
を使う。
辺a、辺b、角Cがわかっているなら、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
を使えばよいって感じだ。
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
三角形ABCにおいて、
$$
b=6
$$
$$
c=8
$$
$$
A=60^\circ
$$
のとき、三角形ABCの面積
$$
S
$$
を求めてみよう。
わかっている2辺は、
$$
b
$$
と、
$$
c
$$
である。
この2辺の間にある角は、
$$
A
$$
である。
したがって、使う公式は、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
である。
ここに、
$$
b=6
$$
$$
c=8
$$
$$
A=60^\circ
$$
を代入する。
$$
S
=
\frac{1}{2}\cdot6\cdot8\cdot\sin60^\circ
$$
ここで、
$$
\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
なので、
$$
S
=
\frac{1}{2}\cdot6\cdot8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
となる。
計算すると、
$$
S
=
24\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
S=12\sqrt{3}
$$
である。
したがって、三角形ABCの面積は、
$$
12\sqrt{3}
$$
となる。
辺bと辺cがわかっていて、その間の角Aもわかっている。だから、1/2 bc sinAを使えばいいんだ。
三角形ABCにおいて、
$$
a=5
$$
$$
b=8
$$
$$
C=30^\circ
$$
のとき、三角形ABCの面積
$$
S
$$
を求めてみよう。
わかっている2辺は、
$$
a
$$
と、
$$
b
$$
である。
この2辺の間にある角は、
$$
C
$$
である。
したがって、使う公式は、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
である。
値を代入すると、
$$
S
=
\frac{1}{2}\cdot5\cdot8\cdot\sin30^\circ
$$
ここで、
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
S
=
\frac{1}{2}\cdot5\cdot8\cdot\frac{1}{2}
$$
となる。
計算すると、
$$
S=10
$$
である。
したがって、三角形ABCの面積は、
$$
10
$$
となる。
sinを使った三角形の面積公式は、間の角が鋭角の場合だけでなく、鈍角の場合にも使える。
たとえば、三角形ABCにおいて、
$$
a=6
$$
$$
b=4
$$
$$
C=120^\circ
$$
のとき、面積
$$
S
$$
を求めてみよう。
使う公式は、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
である。
値を代入すると、
$$
S
=
\frac{1}{2}\cdot6\cdot4\cdot\sin120^\circ
$$
となる。
ここで、
$$
\sin120^\circ
=
\sin(180^\circ-60^\circ)
$$
である。
三角比の公式より、
$$
\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
なので、
$$
\sin120^\circ=\sin60^\circ
$$
となる。
したがって、
$$
\sin120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
である。
よって、
$$
S
=
\frac{1}{2}\cdot6\cdot4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
S
=
12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
S=6\sqrt{3}
$$
となる。
つまり、角Cが鈍角でも、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
をそのまま使うことができる。
角が120°でも公式は同じだ。sin120°をsin60°に直して計算すればいいぞ。
面積公式が3つあると、どれを使えばよいのか迷うかもしれない。
しかし、3つすべてを毎回使うわけではない。
問題で与えられている2辺と、その間の角を確認すればよい。
辺b、辺c、角Aがわかるなら、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
を使う。
辺c、辺a、角Bがわかるなら、
$$
S=\frac{1}{2}ca\sin B
$$
を使う。
辺a、辺b、角Cがわかるなら、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
を使う。
| わかっているもの | 使う公式 |
|---|---|
| 辺b、辺c、角A | $$S=\frac{1}{2}bc\sin A$$ |
| 辺c、辺a、角B | $$S=\frac{1}{2}ca\sin B$$ |
| 辺a、辺b、角C | $$S=\frac{1}{2}ab\sin C$$ |
おし、以上だ。
今回は、三角形の面積をsinで求める公式の使い方を確認した。
三角形ABCの面積を
$$
S
$$
とすると、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
$$
S=\frac{1}{2}ca\sin B
$$
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
が成り立つんだったな。
角が鋭角でも鈍角でも、同じ公式を使って三角形の面積を求められるぞ。
2辺とその間の角が見えたら、三角形の面積をsinで求められる。1/2を忘れず、角の対応を確認して使おう。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は「三角形の決定」をやるぞ。与えられた辺と角から、残りの辺や角を順番に求めていく。
三角形では、いくつかの辺や角の大きさがわかると、残りの辺や角を求められることがあるんだ。
たとえば、
などが与えられた場合だな。
このように、与えられた条件から三角形の残りの辺や角を求めることを、
三角形の決定
というぞ。
で、三角形を決定するときに使うのが、正弦定理と余弦定理ってわけよ。
三角形は、いくつかの辺と角がわかれば、残りも順番に求められる。最初にどの公式を使うかを見抜くのがポイントだ。
三角形を決定するときは、まず何が与えられているかを確認する。
特に重要なのは、
2辺とその間の角がわかっているか
ということだ。
たとえば、
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
C
$$
が与えられている場合を考える。
角Cをはさんでいる2辺は、
$$
a
$$
と、
$$
b
$$
である。
このように、2辺とその間の角がわかっているときは、余弦定理を使って残りの辺を求めることができる。
余弦定理より、
$$
c^2=a^2+b^2-2ab\cos C
$$
である。
2辺とその間の角が見えたら、まず余弦定理だ。残りの辺を求めるところから始めよう。
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
三角形ABCにおいて、
$$
a=2
$$
$$
b=\sqrt{3}-1
$$
$$
C=30^\circ
$$
のとき、残りの辺の長さと角の大きさを求めてみよう。
今回わかっているのは、
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
C
$$
である。
つまり、2辺
$$
a,\ b
$$
と、その間の角
$$
C
$$
がわかっている。
したがって、最初に余弦定理を使って、残りの辺
$$
c
$$
を求める。
余弦定理より、
$$
c^2=a^2+b^2-2ab\cos C
$$
である。
ここに、
$$
a=2
$$
$$
b=\sqrt{3}-1
$$
$$
C=30^\circ
$$
を代入する。
$$
c^2
=
2^2
+
(\sqrt{3}-1)^2
–
2\cdot2(\sqrt{3}-1)\cos30^\circ
$$
ここで、
$$
(\sqrt{3}-1)^2
$$
を展開する。
$$
(\sqrt{3}-1)^2
=
3-2\sqrt{3}+1
$$
$$
=
4-2\sqrt{3}
$$
である。
また、
$$
\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
なので、
$$
c^2
=
4+(4-2\sqrt{3})
–
4(\sqrt{3}-1)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
となる。
最後の項を計算すると、
$$
4(\sqrt{3}-1)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
=
2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)
$$
$$
=
6-2\sqrt{3}
$$
である。
したがって、
$$
c^2
=
4+4-2\sqrt{3}-(6-2\sqrt{3})
$$
$$
c^2
=
8-2\sqrt{3}-6+2\sqrt{3}
$$
$$
c^2=2
$$
となる。
よって、
$$
c=\pm\sqrt{2}
$$
となるが、辺の長さは正である。
したがって、
$$
c=\sqrt{2}
$$
である。
c²=2だから、計算上はプラスとマイナスが考えられる。ただし辺の長さは正なので、c=√2だ。
これで、三角形ABCの3辺がすべてわかった。
$$
a=2
$$
$$
b=\sqrt{3}-1
$$
$$
c=\sqrt{2}
$$
である。
次に、角Aを求めよう。
余弦定理より、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
である。
これを、
$$
\cos A
$$
について整理すると、
$$
\cos A
=
\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
$$
となる。
ここに、
$$
a=2
$$
$$
b=\sqrt{3}-1
$$
$$
c=\sqrt{2}
$$
を代入する。
$$
\cos A
=
\frac{(\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{2})^2-2^2}
{2(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}
$$
それぞれ計算すると、
$$
(\sqrt{3}-1)^2=4-2\sqrt{3}
$$
$$
(\sqrt{2})^2=2
$$
$$
2^2=4
$$
なので、
$$
\cos A
=
\frac{4-2\sqrt{3}+2-4}
{2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}
$$
となる。
分子を整理すると、
$$
4-2\sqrt{3}+2-4
=
2-2\sqrt{3}
$$
である。
これは、
$$
-2(\sqrt{3}-1)
$$
と表せる。
したがって、
$$
\cos A
=
\frac{-2(\sqrt{3}-1)}
{2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}
$$
となる。
分子と分母の
$$
\sqrt{3}-1
$$
を約分すると、
$$
\cos A
=
-\frac{1}{\sqrt{2}}
$$
である。
分母を有理化すると、
$$
\cos A
=
-\frac{\sqrt{2}}{2}
$$
となる。
ここで、
$$
\cos135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}
$$
なので、
$$
A=135^\circ
$$
である。
3辺がわかったので、もう一度余弦定理を使える。今度は式を変形して、cosAを求めるんだ。
最後に、角Bを求めよう。
三角形の内角の和は、
$$
180^\circ
$$
である。
したがって、
$$
A+B+C=180^\circ
$$
となる。
ここで、
$$
A=135^\circ
$$
$$
C=30^\circ
$$
なので、
$$
135^\circ+B+30^\circ=180^\circ
$$
である。
したがって、
$$
B
=
180^\circ-(135^\circ+30^\circ)
$$
$$
B
=
180^\circ-165^\circ
$$
$$
B=15^\circ
$$
となる。
よって、
$$
B=15^\circ
$$
である。
以上より、残りの辺と角は、
$$
c=\sqrt{2}
$$
$$
A=135^\circ
$$
$$
B=15^\circ
$$
である。
したがって、答えは、
$$
c=\sqrt{2},\quad A=135^\circ,\quad B=15^\circ
$$
となる。
余弦定理で辺を出す。余弦定理で角を出す。最後は内角の和で仕上げる。これで三角形が全部決まったぞ。
今回は余弦定理を使いまくったが、
正弦定理を使うこともある。
次の例題を解いてみるぞ。
三角形ABCにおいて、
$$
a=5
$$$$
A=30^\circ
$$$$
B=60^\circ
$$のとき、残りの辺の長さと角の大きさを求めてみよう。
まず、三角形の内角の和より、
$$
A+B+C=180^\circ
$$
である。
ここに、
$$
A=30^\circ
$$
$$
B=60^\circ
$$
を代入すると、
$$
30^\circ+60^\circ+C=180^\circ
$$
となる。
したがって、
$$
C=90^\circ
$$
である。
これで、
$$
a=5
$$
$$
A=30^\circ
$$
$$
B=60^\circ
$$
$$
C=90^\circ
$$
がわかった。
1辺と2つの角がわかっている問題では、まず内角の和で最後の角を求める。そのあと正弦定理だ。
正弦定理より、
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
$$
である。
ここに、
$$
a=5
$$
$$
A=30^\circ
$$
$$
B=60^\circ
$$
を代入する。
$$
\frac{5}{\sin30^\circ}
=
\frac{b}{\sin60^\circ}
$$
ここで、
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
$$
\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
なので、
$$
\frac{5}{\frac{1}{2}}
=
\frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
$$
となる。
左辺を計算すると、
$$
10
=
\frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
$$
である。
したがって、
$$
b
=
10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
b=5\sqrt{3}
$$
となる。
次に、辺
$$
c
$$
を求める。
正弦定理より、
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{c}{\sin C}
$$
である。
ここに、
$$
a=5
$$
$$
A=30^\circ
$$
$$
C=90^\circ
$$
を代入する。
$$
\frac{5}{\sin30^\circ}
=
\frac{c}{\sin90^\circ}
$$
ここで、
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
$$
\sin90^\circ=1
$$
なので、
$$
\frac{5}{\frac{1}{2}}
=
\frac{c}{1}
$$
となる。
したがって、
$$
10=c
$$
より、
$$
c=10
$$
である。
以上より、
$$
C=90^\circ
$$
$$
b=5\sqrt{3}
$$
$$
c=10
$$
である。
したがって、答えは、
$$
b=5\sqrt{3},\quad c=10,\quad C=90^\circ
$$
となる。
向かい合う辺と角のペアが1組わかっている。こんなときは正弦定理が使いやすいぞ。
以上が、三角形の決定の問題の解き方だ。
最後に復習しておくと、三角形の決定とは、
与えられた辺や角の条件から、残りの辺や角を求めること
だったな。
問題のタイプに応じて、正弦定理、余弦定理を使い倒していく。
それだけさ。
与えられた条件を確認し、使える定理を順番に当てていく。それが三角形の決定だ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、正弦定理を比例式として使う方法をやるぞ。辺の比を取り出し、余弦定理につなげて角を求めていく。
高校数学Iで、正弦定理を次の形で学んできたよな。
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
=
\frac{c}{\sin C}
$$
じつはこの公式、辺の長さを求めるだけでなく、
比例式として使うこともできる
んだ。
三角形ABCで、角A、角B、角Cの向かい側の辺を、それぞれ
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
とする。
正弦定理より、
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
=
\frac{c}{\sin C}
$$
が成り立つ。
この式から、
$$
a:b:c
=
\sin A:\sin B:\sin C
$$
という比例式が得られる。
順番を逆にして、
$$
\sin A:\sin B:\sin C
=
a:b:c
$$
と書いてもよい。
これが、正弦定理を比例式として表した形である。
正弦定理より、
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
=
\frac{c}{\sin C}
$$
である。
これらの値を共通の正の数
$$
k
$$
とすると、
$$
\frac{a}{\sin A}=k
$$
$$
\frac{b}{\sin B}=k
$$
$$
\frac{c}{\sin C}=k
$$
となる。
それぞれの式を変形すると、
$$
a=k\sin A
$$
$$
b=k\sin B
$$
$$
c=k\sin C
$$
である。
したがって、
$$
a:b:c
=
k\sin A:k\sin B:k\sin C
$$
となる。
すべてに共通する
$$
k
$$
を取り除くと、
$$
a:b:c
=
\sin A:\sin B:\sin C
$$
となる。
3辺には、すべて同じ倍率kがかかっている。その共通部分を消せば、辺の比とsinの比が同じになるぞ。
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
三角形ABCにおいて、
$$
\frac{\sin A}{19}
=
\frac{\sin B}{16}
=
\frac{\sin C}{5}
$$
が成り立つとき、角A、角B、角Cのうち、最大の角の大きさを求めてみよう。
まず、与えられた式から、
$$
\sin A:\sin B:\sin C
=
19:16:5
$$
と読み取ることができる。
正弦定理の比例式より、
$$
a:b:c
=
\sin A:\sin B:\sin C
$$
なので、
$$
a:b:c=19:16:5
$$
となる。
したがって、正の数
$$
k
$$
を使って、
$$
a=19k
$$
$$
b=16k
$$
$$
c=5k
$$
と表すことができる。
この中で最も長い辺は、
$$
a
$$
である。
三角形では、最も長い辺の向かい側に最も大きい角がある。
辺
$$
a
$$
の向かい側の角は、
$$
A
$$
なので、最大の角は角Aである。
正弦定理で辺の比が19：16：5とわかった。最大の辺はaだから、求めるべき最大の角はAだ。
次に、余弦定理を使って角Aを求める。
余弦定理より、
$$
\cos A
=
\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
$$
である。
ここに、
$$
a=19k
$$
$$
b=16k
$$
$$
c=5k
$$
を代入する。
$$
\cos A
=
\frac{(16k)^2+(5k)^2-(19k)^2}
{2\cdot16k\cdot5k}
$$
それぞれの2乗を計算すると、
$$
\cos A
=
\frac{256k^2+25k^2-361k^2}
{160k^2}
$$
となる。
分子を整理すると、
$$
256k^2+25k^2-361k^2
=
-80k^2
$$
なので、
$$
\cos A
=
\frac{-80k^2}{160k^2}
$$
である。
分子と分母の
$$
k^2
$$
を約分すると、
$$
\cos A=-\frac{1}{2}
$$
となる。
ここで、
$$
\cos120^\circ=-\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
A=120^\circ
$$
である。
したがって、最大の角の大きさは、
$$
120^\circ
$$
となる。
正弦定理で辺の比を取り出し、余弦定理で最大の角を求めた。答えは120°だ。
今回は、正弦定理を比例式として使う方法を確認した。
正弦定理より、
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
=
\frac{c}{\sin C}
$$
が成り立つ。
この式は、比の形で、
$$
a:b:c
=
\sin A:\sin B:\sin C
$$
と表すことができる。
つまり、辺の比と、向かいの角のsinの比は一致するってわけだな。
ここで余弦定理を絡めてやればさらに美味しいことができるんだ。
正弦定理で辺の比を作り、余弦定理で角を求める。2つの定理をつなげれば、比だけから角度まで見つけられるぞ。
それじゃあな。
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、三角形が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれなのかを、3辺の長さから判定する方法をやるぞ。
三角形の3辺の長さがわかっているとき、
「この三角形は鋭角三角形なのか、直角三角形なのか、それとも鈍角三角形なのか」
を調べたいこと、あるよな？ たぶん。
このとき、角度そのものを求める必要はない。
実は、
最も長い辺と、残り2辺の2乗を比べる
だけで判定できるぞ。
最も長い辺を
$$
a
$$
とすると、
$$
b^2+c^2>a^2
$$
なら、鋭角三角形。
$$
b^2+c^2=a^2
$$
なら、直角三角形。
$$
b^2+c^2<a^2
$$
なら、鈍角三角形である。
三角形全体を調べるときは、一番長い辺を見つける。あとは、その2乗と残り2辺の2乗の和を比べればいいぞ。
この記事では、三角形が鋭角・直角・鈍角のどれかを、3辺から判定する方法をわかりやすく解説する。
三角形では、
辺の大小関係と、その向かいにある角の大小関係は一致する
という性質がある。
三角形ABCで、角A、角B、角Cの向かい側の辺を、それぞれ
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
とする。
このとき、
$$
a>b
$$
なら、
$$
A>B
$$
である。
逆に、
$$
A>B
$$
なら、
$$
a>b
$$
である。
つまり、
$$
a>b
\quad\Longleftrightarrow\quad
A>B
$$
が成り立つ。
同じように、
$$
b>c
\quad\Longleftrightarrow\quad
B>C
$$
である。
したがって、
最も長い辺の向かい側には、最も大きい角がある
ことがわかる。
三角形が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれなのかを調べるにはどうするか？？
ズバリ、
最も大きい角に注目すればいいんだ。
なぜなら、最も大きい角が鋭角なら、残りの角はそれより小さいので、すべて鋭角になるからだ。
また、最も大きい角が直角なら、その三角形は直角三角形である。
最も大きい角が鈍角なら、その三角形は鈍角三角形になる。
つまり、
最大の角が鋭角なら、鋭角三角形
最大の角が直角なら、直角三角形
最大の角が鈍角なら、鈍角三角形
となる。
そして、最も大きい角は、最も長い辺の向かい側にある。
だから、まず最も長い辺を見つける必要がある。
全部の角を調べる必要はない。一番大きい角だけ見れば、三角形全体の種類がわかるんだ。
最も長い辺を
$$
a
$$
とする。
このとき、残りの2辺を
$$
b
$$
$$
c
$$
とする。
角Aは、最も長い辺
$$
a
$$
の向かい側にあるので、三角形の中で最も大きい角になる。
余弦定理より、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
である。
これを
$$
\cos A
$$
について整理すると、
$$
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
$$
となる。
ここで、
$$
b>0
$$
$$
c>0
$$
なので、
$$
2bc>0
$$
である。
したがって、
$$
\cos A
$$
の符号は、
$$
b^2+c^2-a^2
$$
の符号で決まる。
まず、
$$
b^2+c^2>a^2
$$
の場合を考える。
このとき、
$$
b^2+c^2-a^2>0
$$
なので、
$$
\cos A>0
$$
となる。
cosが正になる角は鋭角なので、
$$
A
$$
は鋭角である。
角Aは三角形の中で最も大きい角だった。
最大の角Aが鋭角なら、残りの角B、Cもすべて鋭角である。
したがって、この三角形は、
$$
鋭角三角形
$$
である。
つまり、
$$
b^2+c^2>a^2
\quad\Longrightarrow\quad
鋭角三角形
$$
となる。
次に、
$$
b^2+c^2=a^2
$$
の場合を考える。
このとき、
$$
b^2+c^2-a^2=0
$$
なので、
$$
\cos A=0
$$
となる。
$$
\cos90^\circ=0
$$
なので、
$$
A=90^\circ
$$
である。
したがって、この三角形は、
$$
直角三角形
$$
である。
つまり、
$$
b^2+c^2=a^2
\quad\Longrightarrow\quad
直角三角形
$$
となる。
2乗の和がぴったり等しければ、三平方の定理と同じ形だ。だから直角三角形になるぞ。
最後に、
$$
b^2+c^2<a^2
$$
の場合を考える。
このとき、
$$
b^2+c^2-a^2<0
$$
なので、
$$
\cos A<0
$$
となる。
cosが負になる角は鈍角なので、
$$
A
$$
は鈍角である。
したがって、この三角形は、
$$
鈍角三角形
$$
である。
つまり、
$$
b^2+c^2<a^2
\quad\Longrightarrow\quad
鈍角三角形
$$
となる。
最も長い辺を
$$
a
$$
とすると、三角形の種類は次のように判定できる。
| 辺の関係 | 三角形の種類 |
|---|---|
| $$b^2+c^2>a^2$$ | 鋭角三角形 |
| $$b^2+c^2=a^2$$ | 直角三角形 |
| $$b^2+c^2<a^2$$ | 鈍角三角形 |
覚えるのは3つだけだ。大きいなら鋭角、等しいなら直角、小さいなら鈍角だぞ。
オッケー。それじゃあ腕慣らしてくぞ。
三角形ABCで、
$$
a=8
$$
$$
b=7
$$
$$
c=4
$$
のとき、この三角形の種類を判定しよう。
まず、最も長い辺を探す。
$$
8,\ 7,\ 4
$$
の中で、最も長い辺は、
$$
a=8
$$
である。
したがって、
$$
a^2
$$
と、
$$
b^2+c^2
$$
を比べる。
まず、
$$
a^2=8^2=64
$$
である。
一方、
$$
b^2+c^2
=
7^2+4^2
$$
$$
b^2+c^2
=
49+16
$$
$$
b^2+c^2=65
$$
である。
したがって、
$$
b^2+c^2>a^2
$$
となる。
つまり、最も大きい角Aは鋭角である。
最大の角が鋭角なので、残りの角B、Cも鋭角である。
よって、三角形ABCは、
$$
鋭角三角形
$$
である。
65と64を比べる。残り2辺の2乗の和の方が大きいから、鋭角三角形だ。
3辺の長さが、
$$
3
$$
$$
4
$$
$$
5
$$
である三角形を考える。
最も長い辺は、
$$
5
$$
である。
したがって、
$$
3^2+4^2
$$
と、
$$
5^2
$$
を比べる。
$$
3^2+4^2
=
9+16
=
25
$$
また、
$$
5^2=25
$$
である。
したがって、
$$
3^2+4^2=5^2
$$
となる。
よって、この三角形は、
$$
直角三角形
$$
である。
3辺の長さが、
$$
4
$$
$$
8
$$
$$
9
$$
である三角形を考える。
最も長い辺は、
$$
9
$$
である。
したがって、
$$
4^2+8^2
$$
と、
$$
9^2
$$
を比べる。
$$
4^2+8^2
=
16+64
=
80
$$
また、
$$
9^2=81
$$
である。
したがって、
$$
4^2+8^2<9^2
$$
となる。
よって、この三角形は、
$$
鈍角三角形
$$
である。
以上だ。最後に復習しておこう。
3辺から三角形の種類を判定するときは、次の順番で考えるんだ。
判定結果は、
$$
b^2+c^2>a^2
$$
なら鋭角三角形。
$$
b^2+c^2=a^2
$$
なら直角三角形。
$$
b^2+c^2<a^2
$$
なら鈍角三角形である。
つまり、三角形全体の種類は、
最大の角の種類によって決まる
んだな。
三角形全体を調べるなら、一番長い辺だけに注目だ。2乗して比べれば、鋭角・直角・鈍角が見えてくるぞ。
それじゃあな。
