円の接線の作図がむちゃくちゃめんどっ!
こんにちは、この記事をかいてるKenだよー! ボタンを掛け違えてちまったね。
円の接線って知ってる??
「直線と円が一点で交わっていること」を「接する」っていって、
さらに、その直線のことを「接線」、直線と円がまじわっている点のことを「接点」とよぶんだったね。
![円の接線](https://text.tomo.school/wp-content/uploads/2015/03/sessen1.png)
今日は、この「円の接線」の作図方法を解説していくよ。テスト前に確認してみてね。
~もくじ~
- 円の接線の作図問題にみられる2つのパターン
- 円周上の点をとおる接線を作図する問題
- 外部の点をとおる接線を作図する問題
円の接線作図は2つのパターンしかない??
「円の接線の作図」ってヤッカイそうだよね???
だけど、コイツらは意外にシンプル。
だいたい2つの種類にわけられるるんだ。「接線が通る点」の位置がちょっと違うだけさ。
- 「円周上の点」を通る接線の作図
- 「外部の点」をとおる接線の作図
「円周上の点」を通る接線の作図では1本の接線、
![円の接線 作図](https://text.tomo.school/wp-content/uploads/2015/03/sessen3.png)
「外部の点」をとおる作図では2本の接線をひくことができるよ。
![円の接線 作図](https://text.tomo.school/wp-content/uploads/2015/03/sessen2.png)
今日は2つの作図方法を確認していこう。作図のために必要なアイテムは、
- コンパス
- 定規
だよ。準備はいいねー??
「円周上の1点」をとおる円の接線の作図
「円周上の1点をとおる」円の接線の作図からだね。
これは教科書にものっている基本の作図方法さ。
例題で作図をじっさいにしながら確認していこう。
例題。
点Aが接線となるように、この円の接線を作図しなさい。
![円の接線 作図](https://text.tomo.school/wp-content/uploads/2015/03/sessen5.png)
作図方法はたったの2ステップなんだ。
Step1. 「円の中心O」と「点A」をむすぶっ!
「円の中心」と「接線が通る線」で直線をかこう!
![円の接線 作図](https://text.tomo.school/wp-content/uploads/2015/03/sessen6.png)
例題でいうと、「点O」と「点A」を定規でむすぶだけ。
線分じゃなくて直線でいいよー
Step2. 点Aをとおる「直線OAの垂線」を作図するっ!
さっきの直線の垂線を作図してみよう。
![円の接線 作図](https://text.tomo.school/wp-content/uploads/2015/03/sessen7.png)
垂線の書き方を参考にして、「点Aをとおる直線OAの垂線」をかいてみよう。
コンパスをガンガン使っちゃってくれ。
この垂線が「円Oの接線」だよ!
ってことは作図終了だ!!おめでとう。
なぜ、垂線を作図するのかというと、
円の接線の性質のひとつに、
円の接線は、その接点を通る半径に垂直である
っていうものがあるからさ。
![円の接線 作図](https://text.tomo.school/wp-content/uploads/2015/03/sessen8.png)
だから、円周上の点Aをとおる「線分OAの垂線」をひいてやれば、それは接線になるんだ。
「外部の点」をとおる接線の作図
つぎは2つ目の「外部の点をとおる作図方法」をみていこう。
![円の接線 作図](https://text.tomo.school/wp-content/uploads/2015/03/sessen2.png)
例題をみながら解説していくよ。
例題
点Aをとおる円Oの接線を作図してください。
![円の接線 作図](https://text.tomo.school/wp-content/uploads/2015/03/sessen9.png)
つぎの5ステップで作図できるよー
Step1. 「円の中心」と「外部の点」をむすぶ
「円の中心」と「外部の点」をむすんでみよう。
![円の接線 作図](https://text.tomo.school/wp-content/uploads/2015/03/sessen10.png)
例題では、点Oと点Aだね。
こいつらを定規をつかってゴソっと結んでくれ!
Step2. 線分の垂直二等分線をかくっ!
「円の中心」と「外部の点」をむすんでできた線分があるでしょ??
今度はそいつの「垂直二等分線」をかいてあげよう。
![円の接線 作図](https://text.tomo.school/wp-content/uploads/2015/03/sessen11.png)
書き方を忘れたときは「垂直二等分線の作図」の記事を復習してみてね。
Step3. 垂直二等分線と線分の交点「中点」をうつ!
垂直二等分線をかいたのは、
線分の中点をうつためだったんだ。
垂直二等分線は、線分を「垂直」に「二等分」する線だったよね。
ってことは、線分との交点は「中点」だ。
せっかくだから、この中点に名前をつけよう。
![円の接線 作図](https://text.tomo.school/wp-content/uploads/2015/03/sessen12.png)
例題では「点M」とおてみたよ。
Step 4. 「線分の中点」を中心とする円をかく!
「線分の中点」を中心に円をかいてみよう。
例題でいうと、Mを中心に円をかくってことだね。
![円の接線 作図](https://text.tomo.school/wp-content/uploads/2015/03/sessen13.png)
コンパスでキレイな円をかいてみてね。
Step5. 「2つの円の交点」と「外部の点」をむすぶ!
「2つの円の交点」と「外部の点」をむすんであげよう。
それによって、できた直線が「円の接線」ってことになる。
例題をみてみよう。
円の交点を点P、Qとおこう。
そんで、こいつらを「外部の点A」とむすんであげればいいんだ。
![sessen14](https://text.tomo.school/wp-content/uploads/2015/03/sessen14.png)
これによって、できた2つの「直線AP」と「AQ」が円Oの接線さ。
2本の接線が作図できることに注意してね。
なぜこの作図方法で接線がかけるの??
それじゃあ、なんで「円の接線」かけっちゃったんだろう??
じつは、
直径に対する円周角は90°である
っていう円周角の性質を利用したからなんだ。
![円の接線 作図](https://text.tomo.school/wp-content/uploads/2015/03/sessen15.png)
よって、
「角OPA」と「角OQA」が90°である
ってことが言えるんだ。
![sessen16](https://text.tomo.school/wp-content/uploads/2015/03/sessen16.png)
さっきの「円の接線の性質」、
円の接線は、その接点を通る半径に垂直である
をつかえば、線分PA、QAは円の接線ってことになるんだね。
これは中2数学でならう内容だから、今はまだわからなくても大丈夫だよー。
まとめ:円の接線の作図は2パターンしかない
2つの「円の接線の作図パターン」をおさえれば大丈夫。
作図問題がいつ出されてもダメージをうけないように、テスト前に練習してみてね。
そんじゃねー
Ken