「一次方程式」には色々なタイプがあるけど、中には
分数と小数の両方を含む厄介な奴
がいるんだよね。
例えば次のような問題さ。
次の方程式を解け。
$$\frac{x}{4}-\frac{2x-7}{3}=x + 3.5$$
次のステップを踏むと解けるよ。
最初にすべきことは
「小数」を「分数」にすることだ。
これによって、分数だけの方程式に進化させるのさ。
分数だけの方程式にしてあげればもう大丈夫。分数を含む方程式の解き方なら知っているもんね。
この問題でいうと、小数の$3.5$を分数にして$\frac{35}{10}$にするんだ。
これで分数だけの方程式のできあがり。
$$\frac{x}{4}-\frac{2x-7}{3}=x + 3.5$$
$$\frac{x}{4}-\frac{2x-7}{3}=x + \frac{35}{10}$$
あとは、分数を含む方程式の解き方でとくだけ。
セオリー通り、分母の最小公倍数を両辺にかけて分数を消し去ろう。
例題では、
っていう3つの分数項があるから、こいつらの分母に注目。
分母の4、3、10の最小公倍数は「60」だね。
よって、方程式の両辺に60をかけると、
$$\frac{x}{4}-\frac{2x-7}{3}=x + \frac{35}{10}$$$$15x-20(2x-7)=60x +210$$
になる。
方程式から分数がなくなったから、あとはいつも通りに一次方程式を解くだけ。
$$15x-20(2x-7)=60x +210$$
この状態では、（）を含む方程式になっているから、分配法則でカッコを展開しよう。
$$15x-20(2x-7)=60x +210$$$$15x-40x + 140=60x +210$$
$$-85x =70$$
$$x =-\frac{14}{17}$$
になるはずだね。
こんな感じで、小数を分数にしてやれば、あら不思議。
小数と分数が含まれていようが、分数だけの方程式に様変わりだ。
テスト前によーく復習しておこう。
そんじゃねー
Ken
立体の問題ではこんな問題もあるっぽいよ。
次の立体の表面積を求めよ。
なんと、
円柱を2つ重ねた立体
の登場だ。
しかも「表面積」を求めろ、と。
今まで口を酸っぱく、
表面積を求める前に展開図をかこう
と言ってきたけど、この問題はちょっと例外。
なぜなら、展開図をかくのがむずいからね。
展開図はスルーしよう。
その代わり、
「底面積」と「側面積」を別々に計算して最後に足す
っていう解き方がおすすめ。
まず底面積を求めよう。
底面は、
の3つだね。
こいつらの面積を計算して最後に足せばいいんだ。
まず、小さい円柱の上面の底面積（上図1）。
半径3 cmの円だから、円の面積公式「半径×半径×円周率」で計算すると、
$$3×3×π$$
$$= 9π[cm^2]$$
だ。
次は真ん中のドーナッツのような図形（上図2）。
大きい円（半径6cm）から、小さい円（半径3 cm）の面積を引けばいいね。
（大きい円の面積） – （小さい円の面積）で計算すると、
$$ （6×6×π）- （3×3×π）$$
$$= 27π[cm^2]$$
になるね。
最後は下に敷かれているでかい円の面積。
こいつは半径6cmの円だから「半径×半径×円周率」で面積を計算すると、
$$6×6×π$$
$$= 36π[cm^2]$$
になる。
これらの底面積をぜーんぶ足してやると、
$$9π + 27π + 36π$$
$$= 72π[cm^2]$$
になるね。
次は側面積を求めよう。
「上の円柱の側面（1）」と「下の円柱の側面（2）」の面積を足せばいいんだ。
ここで円柱の側面積の求め方の復習ね。
直径×高さ×円周率
で計算できたよね？
上下の円柱の側面積を「（小さい円柱の表面積）＋（大きい円柱の表面積）」で足すと、
$$（6π × 5）+ （12π × 5）$$
$$= 30π + 60π$$
$$= 90π[cm^2]$$
になる。
あとは底面積と側面積を足すだけ。
「底面積＋側面積」を計算すると、
$$72π + 90π$$
$$= 162π [ cm² ]$$
になるはず。
こんな感じで、円柱が2つくっついていようが、基本は変わらない。
表面積を求めるために、底面積と側面積を足すのさ。
そんじゃねー
Ken
一次方程式で出てきやすいのが
かっこ（）
がついたバージョン。
例えばこんなやつかな↓
次の方程式を解いて。
$$5 ( x + 1 ) = 3 ( 2x -3 )$$
解き方は次の3ステップだよ。
「かっこ」がついていたら、分配法則を使おう。
「分配法則」とは、
かっこ内の項に1つ1つかけて、すべて足す
という計算方法だったね。
たとえば、
$$a × ( b + c )$$
という式があったしよう。
この時、かっこ前の「a」を、中身の「b」と「c」にかけて、そして足して、
$$a × ( b + c )$$
$$= a × b + a × c$$
になるのさ。
例題で分配法則を使うと、
$$5 ( x + 1 ) = 3 ( 2x -3 )$$
$$5x + 5 = 6x – 9$$
になるはず。
かっこを外したら、あとは移項するだけ。
左に文字、右に数字を移項してみよう。
移項とは、
= の反対側に項を移動させる作業
のことだったね。
例題を移項で整理すると、
$$5x + 5 = 6x – 9$$
$$5x – 6x = -9 – 5$$
$$- x = – 14$$
になるはず。
「xの係数」で割ろう。
例題では、xの係数が「-1」 だから両辺を「-1」で割ると、
$$- x = – 14$$
$$x = 14$$
になる。これでやっとxが求められたね。
でもでもでもさ？
たまに、
かっこ前に「分数」がある問題
も出るよね。
例えば次のようなやつ↓
次の方程式を解いて。$$\frac{1}{3}（x + 2）＝ \frac{1}{2}（2x + 1）$$
さっきと解き方は同じだけど、分配法則の前に、
分数を消し去る
という手順が必要さ。
つまり、
分母の「最小公倍数」を両辺にかけるんだ。
例題だと、分母の「3」と「2」の最小公倍数は「6」。
よって、6を両辺にかけると、
$$\frac{1}{3}（x + 2）＝ \frac{1}{2}（2x + 1）$$
$$6 × \frac{1}{3}（x + 2）＝6 × \frac{1}{2}（2x + 1）$$
$$2 ( x + 2 ) = 3 ( 2x + 1 )$$
になるね。
さっきと同じ「かっこつきの方程式」になったから、同じように解いて、
$$2 ( x + 2 ) = 3 ( 2x + 1 )$$$$2x + 4 = 6x + 3$$$$-4x = -1$$
$$x = \frac{1}{4}$$
と出る。
あと、もう1つ出てきやすいのが、
掛け算じゃなくて「割り算」のパターン。
たとえば、次のような問題かな。
次の方程式を解いてね。$$（x + 4）÷ 2 = （2x + 1）÷ 3$$
この手の問題では、
「割り算」を「掛け算」に直すといいよ。
ずばり、
「÷」後の数字を分母にした分数をかればいいんだ。
例題だと、
$$（x + 4）÷ 2 = （2x + 1）÷ 3$$
$$（x + 4）× \frac{1}{2} = （2x + 1）× \frac{1}{3}$$
になる。
これは「分数がかっこの前についているパターン」と同じさ。
さっきと同じように、分母の最小公倍数を両辺にかければいいんだ。
$$（x + 4）× \frac{1}{2} = （2x + 1）× \frac{1}{3}$$
$$（x + 4）× \frac{1}{2} × 6= （2x + 1）× \frac{1}{3}× 6$$
$$3 ( x + 4 ) = 2 ( 2x + 1 )$$
$$3x + 12 = 4x + 2$$
$$-x = -10$$
$$x = 10$$
テストに割と出やすいからよーく復習しておこう。
そんじゃねー
Ken
食塩水の問題は、食塩水ってだけで厄介だけど、たまに、
混ぜる系の文章問題
が出てくるんだ。
例えばこんな感じ↓
この文章題の特徴は、
混ぜている
ってこと。
食塩水をちょっと取り出して、代わりに水を混ぜちゃってる。
いかにも難しそうだけど、冷静になって次の4ステップを踏めば解けるよ。
まずは、ゆっくりと、
問題内容を図で整理してみよう。
さっきの例題では、
12%の食塩水600gからxg取り出し、取り出した分だけ水を加えて、その結果600g7.2%の食塩水になったんだね？
この様子を図にあらわすとこんな感じだ↓
図を描くときのポイントは、
を食塩水の下にメモすることだよ。
問題でわかっている情報を整理してみよう。
食塩水を混ぜようが捨てようが、方程式の文章問題の鉄則は変わらない。
それは、
「求めたいもの」を文字でおく
だ。
例題だと、
くみ出した食塩水の量（重さ）
を求めたいから、こいつを「x g」と置いてやろう。
食塩水をかき混ぜようが、塩を新たに加えようが、シェイクしようが、
食塩水の文章題では「食塩の重さ」で等式を作る
のが鉄則。
例題だと、
（くみだす前の食塩の重さ） – （くみ出した食塩の重さ）=（残った食塩の重さ）
という等式を作ってあげればいいね。
具体的にいうと、
（600 g 12%の食塩水に入ってる食塩の重さ）-（x g 12%の食塩水に入ってる食塩の重さ）= （600g 7.2% 食塩水に含まれる食塩の重さ）
になる。
ここで思い出したいのが食塩水の公式。
食塩水の重さは、
（食塩の重さ）＝（食塩水の重さ）× （濃度）
で求められたよね。
公式を使って式を立てると、
600×100分の12 – x ×100分の12 = 600×100分の7.2
になる。
この方程式はなんという偶然か「分数を含む方程式」。
分数が含まれている場合、分母の最小公倍数を両辺にかけるのが常套手段だったね。
分母の最小公倍数「100」を両辺にかけると、
600×100分の12 – x ×100分の12 = 600×100分の7.2
12（600-x） = 600 × 7.2
x = 240
となる。
xはくみ出した食塩水の重さだったから、答えは「240 g」だ。
という感じで、混ぜる系の食塩水も冷静になればノープロブレム。
諦めずにチャレンジしてみてね。
そんじゃねー
Ken
世界にはいろんな一次方程式の問題があるけど、やっぱり厄介なのが、
道のり・速さの文章問題だね。
これまで
を勉強してきたけど、もう一個、今日は文章問題にチャレンジしてみよう。
それは、
どっちかが早く着いちゃったパターン
だ。
例えば次のような問題 ↓
この文章題では、兄が弟よりも速く移動しちゃってるから、
兄が弟より14分早く到着している。
うん、これがまさしく「早く着いちゃった系の速さの文章題」だ。
3ステップを踏めば解けるはずだよ。
この問題でも「方程式の文章題の鉄板セオリー」が使えるね。
それは、
求めたいものをXとおく
だ。
例えば、例題では、
Ａ町からＢ町までの道のりを求めなさい
と言ってるよね？
だから「Ａ〜Ｂまでの道のり」を「x km」と置けばいいんだ。
ここで冷静になって、道のり・速さの公式を思い出そう。
速さの公式は、
（道のり）÷（速さ）＝ （移動にかかった時間）
だったよね。
公式を使うと、何が求められそうか見てみよう。
文章題では、
兄と弟の速さ
が分かっていて、かつ、さっき「A〜Ｂの距離」を「x」にしたよね。
ということは、現段階で
がわかってるってこと。
この2つで「道のり・速さの公式」を使うと、
弟と兄が「AからＢまでの移動」にかかった時間
が計算できそうだ。
ということで、公式で計算できそうな「移動にかかった時間」で等式を作ってみよう。
が、しかし、だよ？
ここで問題がひとつ発生だ。
それは、
兄と弟の移動時間が等しくない
ってこと。
問題文には、
兄のほうが14分早く着きました
って書いてあるよね。
兄と弟のかかった時間を等しくさせるためには、
兄の時間に「早く着いて余った時間」を足せば「弟の移動時間」に等しくなるはず。
つまり、
（弟の移動時間）＝（兄の移動時間）＋（早く着いて余った時間）
という等式を作ればいいことになる。
速さの公式によると、
（道のり）÷（速さ）＝ （移動にかかった時間）
だったから「A〜Bまでの道のり」を「x km」とすると、
x ÷ 5 ＝ x ÷ 6 ＋14分
になる。
ただし、ここで注意したいのが「時間の単位」だ。
公式で求めた「x ÷ 5 」とか「x ÷ 6」とかの単位は「時間」。
なぜなら、道のりの単位は「km」で、速さの単位は「毎時km」だったからだね。
等式を成り立たせるためには、
「14分」の単位を「分」じゃなくて「時間」に直せばいいんだ。
そのために、14を60で割ればいいね。
ってことで、さっきの等式は
（A〜Ｂの道のり）÷（弟の速さ）＝（A〜Ｂの道のり）÷（兄の速さ）＋14分
x ÷ 5 ＝ x ÷ 6 ＋14÷ 60
5分のx = 6分のx + 60分の14
になる。
あとは解くだけ。
5分のx = 6分のx + 60分の14
は「分数を含む方程式」。
分母の最小公倍数を両辺にかけて分数を消せばいいね。
今回の方程式では、
という3つの分母で、こいつらの最小公倍数は60。
ってことで、両辺に60をかけてみよう。
すると、
5分のx = 6分のx + 60分の14
12x = 10x + 14
2x = 14
x = 7
となる。
xは「ＡからＢまでの道のり」としていたから、
ＡからＢは 7 km 離れている、とわかったね。
こんな感じで、「どっちかが早く着いちゃった文章題」でもやることは一緒。
でいいんだ。
テストに出やすいからよーく復習しておこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。博物館、ハマったね。
世の中にはいろいろな立体が存在しているけど、中には
扇形が底面の立体
もあるみたいだね。
例えばこんな感じ↓
街を歩いていると、次のような底面が扇形の立体が出現した。この立体の表面積を求めよ
この手の問題は次の5ステップで解けるよ。
底面が「扇」だろうが「四角」だろうが「三角」だろうが、やることは一緒。
表面積を求める問題では、
まず展開図をかいてみよう。
なぜなら、
展開図をかくと、どの図形の面積を求めれば表面積が計算できるのか？
という全体像が見えてくるからだ。
ってことで、例題で出てきた立体の展開図はこんな感じ↓
上下に底面の扇形が2つ。
そいつらが長方形をサンドイッチしているような展開図がかけたはず。
の面積を計算して、ぜーんぶ足せば表面積が出そうだね。
ということで、扇形の底面積から求めよう。
円周率×半径×半径×中心角÷360
だったね？
例題の扇形は
だから、まんま公式にぶちこんでやって、
円周率×半径×半径×中心角÷360
= π × 4 × 4 × 90 ÷ 360
= 4π [ cm² ]
となるね。
これが扇形1つの面積だ。
お次は側面積。
こいつさえ分かれば、表面積が計算できるね。
展開図をかいてみてわかったのは
側面の「縦の長さ」はわかっているけど「横の長さ」がわからない
っていう事態。
具体的に言うと、真ん中の「赤い辺の長さ」がわからない。。
がしかし、だよ？
「うっわ、ダメじゃん、表面積求められねえ」
と諦めるのはまだ早い。
長さがわからない辺の長さは、
底面の「扇形の弧と重なる部分」なんだ。
つまり、扇形の弧の長さを求めてやれば、この長さがわかるわけだ。
直径×円周率×中心角÷360
だから、扇形の弧の長さは
であることを使うと、
直径×円周率×中心角÷360
= 8 × π × 90 ÷ 360
= 2π [ cm ]
になるね。
これを使ってやると、側面の横の長さは、
4 + 2π + 4
= 2π + 8 [ cm ]
になるはず。
側面の長方形の縦と横の長さがわかったね。
あとは長方形の面積公式の
（タテの長さ）×（ヨコの長さ）
で側面積を計算すればオッケーだ。
だから、
（タテの長さ）×（ヨコの長さ）
= 10 ×（2π + 8）
= 20π + 80 [ cm² ]
になるね。
あとは表面積を求めるだけ。
さっきも言ったけど、この立体の表面積は
をぜーんぶ足せば計算できるね。
つまり、
（扇形の面積）× 2 + （長方形の面積）
だ。
ここまで求めてきた
を使うと、
（扇形の面積）× 2 + （長方形の面積）
= 4π × 2 + 20π + 80
= 28π + 80 [ cm² ]
と表面積が計算できる。
っていう感じで、底面が扇形だろうが、立体の表面積を求める問題はすべて、
とりあえず展開図をかいてみることが大事。
これによって、
がわかってくるはずだ。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。蒸しパン、呼んでるね。
方程式の文章題では「速さ・道のりの問題」は出やすい。
前回は「追いつく系」の文章題を解いたけど、もう一個押さえておきたいタイプがある。
それは、
途中で移動手段を変えるパターンだ。
例えば次のような文章題↓
この問題では、途中で移動手段が
「歩き」から「走り」
に変化しているよね？
これ以外にも例えば、
というパターンがあり得るかもしれない。
移動手段が変わる文章題は3ステップで解けるよ。
そろそろわかってきたと思うけど、方程式の文章問題では
「求めたいもの」をXとおけば解けるよ。
今回の問題では、
走った時間
を求めたいんだよね。
ってことで「走った時間」をX分としてみよう。
方程式の文章問題では、
等しい関係にある2つのこと
を見つけよう。
移動手段を変える系の文章題では、
（Aで移動した時間・距離）＋（Bで移動した時間・距離）＝（全体の時間・距離）
という等式が作れるよ。
つまり、それぞれの移動手段でかかった時間（または距離）を足すと、全体の時間・距離になる、っていう等式を作ればいいんだ。
この例題では、
（歩いた距離）＋（走った距離）＝（家から駅までの距離）
という方程式が作れそう。
全体の移動距離「家から駅まで」は 900 m。
7時に家を出て、7時12分に駅についているから、駅までにかかった時間は12分。
走った時間をx分とすれば、歩いたの時間は（120-x）分になるね。
これらの情報を元に、
（歩いた距離）＋（走った距離）＝（家から駅までの距離）
という方程式を作ると、
（歩いた距離）＋（走った距離）＝（家から駅までの距離）
（歩く速さ）×（歩いた時間）＋（走る速さ）×（走った時間）＝（家から駅までの距離）
60（12-x）+ 150x = 900
になるね！
あとは方程式を解くだけ。
60（12-x）+ 150x = 900
この方程式のポイントは（）を外すところかな。
（）は分配法則で外してやろうぜ。
60（12-x）+ 150x = 900
720 – 60x + 150x = 900
90x = 180
x = 2
になる。今回は「走った時間」をxにしていたから、
走った時間は2分
だ。
これでステージクリア。
こんな感じで、移動手段を変えるパターンの文章題が出ても大丈夫。
それぞれの移動手段でかかった時間や距離を足したら、全体の時間や距離になる、という等式を作ればOKだ。
問題をたくさん解いて慣れていこう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。洗った、ね。
一次方程式の文章題にはいろんなパターンがあるけど、中でも出やすいのが、
速さ・道のりの文章問題。
例えば、次のようなやつだ↓
AさんはBさんの家を出発して自宅に向かいました。Aさんの忘れ物に気づいたBさんは、Aさんが出発してから10分後に自転車で追いかけました。Aさんの歩く速さを60㍍、Bさんの自転車の速さを分速160㍍とするとBさんがAさんに追いつくのはAさんが出発してから何分後か？
よーく読んでみると、
「誰か」が「誰か」に追いついているよね？
例題では「Bさん」が「Aさん」に追いついちゃってるね。
この手の「追いつく系」の速さの文章問題は次の3ステップで解けるよ。
まずは方程式の文章問題のセオリー通り、
求めたいものを「x」と置こう。
この問題では、
BさんがAさんに追いつくのはAさんが出発してから何分後か
を求めたいから、その「BがＡに追いつく時間」をAが出発してからx 分後としようぜ。
次は「等しい関係にあるもの」を探してみよう。
追いついちゃう系の問題では、何が等しいのかというと、
2人が移動した距離
だ。
つまり、「追いつかれた人」と「追いついた人」が同じ距離移動しているはず。
例題だと、
（Aが移動した道のり）＝（Bが移動した道のり）
という等式が作れそうだ。
速さの公式を使うと「道のり」は、
速さ×時間
で計算できたね。
つまり今回の方程式は、
（Aが移動した道のり）＝（Bが移動した道のり）
（Aの速さ） ×（Aが移動した時間）＝（Bの速さ） ×（Bが移動した時間）
60 x ＝ 160 （x-10）
になる。
なぜ「Bの移動時間」が（x-10）なのかというと、BはAよりも10分後に出発しているからさ。
Aの移動時間x分から10分差し引かないといけないんだ。
あとは方程式を解くだけ。
60 x ＝ 160 （x-10）
ちょっと厄介なのが「かっこ」がついてるところかな。
「かっこ」が付いているなら分配法則で外してから解くといいよ。
実際に解くと、
60 x ＝ 160 （x-10）
60x = 160x – 1600
100x = 1600
x = 16
となる。
xは「Aが出発してから追いつかれるまでの時間」を表していたから、文章題の答えは、
16分だね。
こんな感じで、追い付く系の速さの文章題では、
「追いつかれた人」と「追いついた人」の移動した道のりが等しい
という方程式を作ればOK。
次は「移動手段を変える系の文章題」を解いていこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。干した、ね。
中1で勉強する「一次方程式の文章問題」には色々なパターンがでてくる。
道のり・速さの問題だったり、割合の問題だったり大忙しさ。
ときどき出てきやすいのが、なぜか、
ノートを買いに行く文章題だ。
例えば次のような問題↓
次の3ステップで解けるようになるよ。
方程式の文章題の鉄則は、
求めたいものを「x」とする
だ。
文房具屋にノートを買い行こうが、走って学校に行こうが、長椅子を並べようが同じこと。
今回の例題では、
安いノート1冊の値段
を求めたいから、こいつを「x円」と置こう。
方程式を作るコツは
「条件を変えても変わらないもの」をイコールで結ぶ
かな。
今回の場合、
の2つのパターンが出てきてるね？
高いノートだろうが、安いノートだろうが、変わらないものが1つある。
それは、
手持ちの金額
だ。
たとえば、100円持っていたとしよう。
このとき、ハンバーガーを買いに行こうが、寿司を食べに出かけようが「足りる足らない」は別として、
「100円を持っている」という事実は変わらないはず。
それと同じで、ノートが安かろうが高かろうが、手持ちの金額は変わらないんだ。
だから、この文章問題では
（安いノートを買うときの手持ち金額）＝（高いノートを買うときの手持ち金額）
という方程式を作ろうぜ。
ステップ1で
安いノートの値段を「x円」
とおいたよね？
そして、文章問題によると、高いノートは安いノートより60円高いから、
高いノートは（x + 60）円
になる。
（ノート1冊の値段）× 購入数 ± 過不足
という計算式で「手持ち金額」を表してみよう。
（安いノート買った時の手持ちの金額）＝（高いノートを買う場合の手持ちの金額）
（安いノート1冊の値段）×（購入数）+（余った金額）＝（高いノート1冊の値段）×（購入数）-（足らない金額）
8x + 40 = 5 (x + 60) – 10
8x + 40 = 5x + 300 – 10
3x = 330
x = 110
ふむふむ。
安いノートは1冊あたり110円となるね。
うーん、まあまあ安いね。
今回、xとおいたのは、
安いノートの値段
だったね？
これでステージクリア、と思いきや、あと1つ求めたいものがある。
それは、
手持ちの金額
だ。
「えっ、もう1つ方程式作るの・・・・」
と心配になってるそこの君。安心してくれ。
方程式の左か右にxを代入すればOK。
なぜなら、方程式の両辺が「手持ちの金額」を表しているからね。
左辺「8x + 40 」に「x = 110」を代入すると、
8x + 40
= 8×110 + 40
= 920円
と出てくるね。
まあまあもってるじゃんかよ・・・
こんな感じで、文房具屋に行こうがやることは一緒。
をするだけ。
よーく復習しておこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。どら焼き、品切れだね。
一次方程式の文章問題にはいろんな種類がある。
中でも、なんか知らんけどよく出てくるのが、
長椅子の文章問題。
例えば、次の問題かな↓
講堂で生徒が座るのに、長椅子1脚に5人座ると30人が座れず、6人ずつだとどの椅子にも6人座り、誰も座らない長椅子が2脚ありました。
（1）長椅子の数を求めなさい
（2）生徒の数を求めなさい。
今日はこの文章題を解説していくよ。
次の3ステップで解いてみよう。
方程式の文章問題の9割は、
「問題で求めたいもの」を文字でおくと解けるよ。
さっきの
講堂で生徒が座るのに、長椅子1脚に5人座ると30人が座れず、6人ずつだとどの椅子にも6人座り、誰も座らない長椅子が2脚ありました。
（1）長椅子の数を求めなさい
（2）生徒の数を求めなさい。
という問題の (1) だと、
長椅子の数
を求めたいんだったね？
だからまあ、とりあえず「長椅子の数」を「x脚」としてみようぜ。
ここで注目したいのが、
「長椅子1脚あたりの人数」を変更しても変わらないもの
を見つけること。
ずばりそれは、
生徒数だ。
4人ずつ座らせても5人ずつ座らせても、100人で座らせても、生徒は減ったり増えたりしないよね。
だから、今回の方程式では、
（1長椅子あたり5人で座らせた時の生徒数）＝（1長椅子あたり6人で座らせた時の生徒数）
という等式を作ればいいんだ。
まず左辺の「1長椅子あたり5人」の場合を考えてみよう。
このシチュエーションでは、生徒が多すぎて長椅子に座れず、立ってキレてる奴らが30人いるよね？
だから、生徒数は
（長椅子に座れた生徒数）＋（立っている生徒数）
で計算できるわけだ。
長椅子に座れた人数は「長椅子の数×5人」で計算できるから、「1長椅子あたり5人で座らせた時の生徒数」は
5x + 30
になる。
一方、6人ずつ長椅子に座った場合を考えてみよう。
6人ずつ座らせた場合、
（長椅子に座れる生徒数）- （余った椅子に座れる生徒数）
で、現在の生徒数が出てくるはずだね。
その中の（長椅子に座れる生徒数）は
椅子の数 × 6
だ。
もう1つの（余った椅子に座れる生徒数）は
（余った椅子の数） ×（1長椅子あたりの人数）
で計算できるから、
6×2
=12
になるね。
よって、
（1長椅子あたり6人で座らせた時の生徒数）
（長椅子に座れる生徒数）- （余った椅子に座れる生徒数）
= 6x -12
になる。
ここで、今回の目標だった、
（1長椅子あたり5人で座らせた時の生徒数）＝（1長椅子あたり6人で座らせた時の生徒数）
という等式を作ってみよう。すると、
（1長椅子あたり5人で座らせた時の生徒数）＝（1長椅子あたり6人で座らせた時の生徒数）
5x + 30 = 6x -12
になるはずだ。
あとは
5x + 30 = 6x -12
を解くだけ。
この方程式は簡単。
移項さえマスターしておけばどうにかなるね。
5x + 30 = 6x -12
5x – 6x = -12 -30
-x = -42
x = 42
xは「長椅子の数」だったから、
42個の長椅子が存在しているわけだ。
これが（1）の答えになるよ。
しかし、この問題には続きがあって、（2）で「生徒数」を求めなきゃいけないね。
「長椅子の数」をxにしたから、xを求めるだけじゃ生徒数は出てこない。
ただ、「生徒数」はすでに等式で表していたね。
5x + 30 = 6x -12
の左も右も「生徒数」を意味していたはず。
だから、左右のどっちかに「x = 42」を代入すると、生徒数が出てくるんだ。
試しに、左の
5x + 30
に「x = 42」を代入してみよう。
すると、
5x + 30
= 5 × 42 + 30
= 240
と計算できるね。
つまり、生徒数は240人だ！
いやあ、結構いるね。
こんな感じで、長椅子だろうが普通のチェアだろうが、
「求めたいもの」をXと置けばどうにかなる。
文章問題の黄金の法則は、長椅子の問題でも使えるわけだ。
あと、ポイントは、
方程式の「左辺」と「右辺」は何を表わしているのか？
をしっかり理解するというのも鍵だ。
xを出した後の問題もスムーズに解けるようになるよ。
そんじゃねー
Ken
この記事を書いているKenだよ。下痢に、勝ったね。
中学数学ででてくる円錐の問題には
とかいろいろあるけど、もう1つでてきやすいのが
円錐を転がす問題
だね。
例えば次のような問題↓
半径4cmの底面である円錐を滑らずに転がしてみたところ、円錐が4回転してちょうど一周しました。この円錐の側面積を求めなさい。
わざわざ円錐を転がすぐらいだから難しそうだけど、ゆっくり解いていけば大丈夫。
まずは円錐の転がった距離を求めてみよう。
図でいうと、この円の円周の長さだね↓
円錐が転がらずに回ったとすれば、円錐の底面のふちが移動した距離は、
回転数 × 底面の円周の長さ
で求められるよ。
この問題だと、
だから、
回転数 × 底面の円周の長さ
= 4 × 8π
= 32π
になるね。
次は母線の長さを求めよう。
母線とは、「円錐の頂点から底面への長さ」のことだね。
この母線を求めるためには
母線が作る円の円周長さ = 円錐のふちが動いた距離
という方程式を作ればいいよ。
母線をrとしてやると、
母線が作る円の円周長さ = 円錐のふちが動いた距離2πr = 32π
r = 16 cm
となって、母線の長さは16 cm になるはずだ。
母線が16 cm とわかったから、問題の円錐はこんな感じになってるね↓
ここで冷静になって、側面積を求める前に円錐の展開図をかいてみよう。
円錐の展開図は
でできているよね？
つまり、円錐の側面積は「扇形」になるわけだ。
半径×半径×中心角÷360
で求められる。
だから、面積を求めるためには「扇形の中心角」が必要になってくるんだね。
側面の扇形の中心角を X として方程式を作ってみよう。
扇形の弧の長さ = 底面の円周の長さ
という方程式を作って、中心角を求めればいいね。
例題では、
16× 2π × X ÷ 360 = 8π
という式ができて、
X =90°
になるはず。
「扇形の中心角の求め方」がいまいちわからない時はこの記事で復習してみてね↓
いよいよ扇形の面積の公式を使って、側面積を求めていこう。
扇形の面積の公式は
半径×半径×円周率×中心角÷360
で求められるから、
16の2乗×π ×90÷360
= 64π [cm²]
が正解だね。
こんな感じで、円錐が転がっちゃう応用問題もステップを踏んでやれば大丈夫。
転がる問題を解くために必要なのは、
の3つだけ。
ひるまずにチャレンジしてみてね。
そんじゃねー
Ken
tomo の中学1年生の数学の記事をまとめました。
数学の基本中の基本。プラスマイナスをマスター！
文字をつかった計算！
いよいよ方程式の解き方！文章題にもチャレンジしてみよう。
比例、反比例という関数を勉強していくよ。
面積の求め方から作図まで！
今度は平面じゃなくて立体！
体積や表面積を計算してみよう。
統計学の基礎を勉強していくよ。
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。ゴミ袋は必須だね。
中学数学で図形を勉強していると、
円周率
をたくさん使うよね？？
よくでてくるから、ときどきこう思うはずなんだ。
そう。
円周率はどうやって求めるんだろう？？
ってね。
そこで今日は、
小学生でもわかる簡単な円周率の求め方
を解説していくよ。
よかったら参考にしてみて。
= もくじ =
円周率とはずばり、
円周の直径に対する比
だよ。
つまり、
「円周の長さ」は「直径の長さ」の何倍になってますか？？
ってことをあらわしてるのさ。
それじゃあ、円周率を求めるためには、
円状になってる物体の「直径」
と
円周の長さ
を計測して比を求めればいいね。
ってことで、リアルな世界で円周率をだしてみよう。
用意するものは、
の4点セットだ。
ぼくは丸いものに「コーヒー」のふたを選んだよ。
そうそう。
UCCのやつ。
だって、この蓋の部分がいい感じに円になってるじゃん？
こんな感じで、身の回りで「円になってるもの」をみつけてみよう！
まず始めに、円の直径をはかってみよう。
円の直径を測るときはほんとうは
ノギス
っていうアイテムを使うといいんだけどね。
たぶん、ノギスを持ってるやつはそういない。
今回は定規でいいかな。
ぼくもコーヒーの蓋の直径をはかってみたよ。
すると、
コーヒーの蓋の直径 = 6.5cm
になったよ。
まあまあの大きさだ。
つぎは、円周をはかろう。
えっ。
円周はぐにゃっとしてるから測れないだって？！？
いやいや。
じつは、円周をはかるためにグニャっとしたものをまいて、
シャキっとさせればいいんだ。
そのシャキッとした長さを測ればいいのさ。
ぼくはグニャっとしたものに「ビニールヒモ」を選んでみたよ。
こいつはスーパーでも買えるし、安くて便利だ。
こいつを円状の物体にぐるっとまきつけて、
ちょうど一周でハサミカット。
そして、ヒモをシャキっとまっすぐにするわけだ。
この状態で、定規で長さをはかってみる。
すると・・・・・
っておい。
定規短すぎて測れないね。
しょうがないので、計測メジャーで長さをはかってみると、
20.5cm
ってことがわかった。
これがコーヒーの蓋の円周の長さだ。
最後は、「直径の長さ」に対する「円周の長さ」の比を計算しよう。
ようは、
（円周の長さ）÷（直径の長さ）
を計算すればいいんだ。
この答えが「円周率」になってるよ。
ぼくの例では、
だったね？？
だから、コーヒーの蓋の円周率は、
（ビニールヒモの長さ）÷（コーヒーの蓋の直径）
= 20.5 ÷ 6.5
= 3.153846153…
になったよ！
おめでとう。
これでリアルに円周率が求められたね！
円周率の計算はどうだった？？
たぶん、円周率が3.14になるのはむずかしいんじゃなかな。
うーん、これはどうしようもない誤差。
ヒモの厚みの分だけ直径は大きくなるし、
メモリは1mmまでしかはかれないからね。完全にアバウトだ。
こんな感じで、
気が向いたら円周率を計算してみよう！
そんじゃねー
Ken
