こんにちは！Drリードだよ。
二次方程式の解き方にはたくさん種類があったね。
今日はもう1つ解き方を勉強していくよ。
その名も、
平方完成をつかった二次方程式の解き方
だ。
この解き方は、
因数分解できなくて、
なおかつ、
解の公式を忘れたときに使える解き方なんだよ。
絶望的な状況をすくってくれるのが平方完成ってわけ。
つぎの2次方程式の問題をといていこうか。
平方完成をつかった二次方程式になれるためにね。
練習問題
つぎの二次方程式を解きなさい。
x^2 + 6x -5 = 0
xがついてない項を右に移項しちゃおう。
つまり、
数字の項を右によせちまえばいいわけ。
練習問題でいうと、
3つめの項の、
-5
がxがついてない項だ。
こいつを右に移項すると、
x^2 + 6x -5 = 0
x^2 + 6x = 5
になるね。
つぎは、どんな手をつかってもいいから、
左辺を「xをふくむ式」の2乗にしてみよう。
例題の式をみてみて。
x^2 + 6x = 5
左をxをふくむ式の2乗にするために、
両辺に同じ数をたしてみよう。
左側が （ ）2 の形になるためには、「?」に何が入ったらいいと思う？
そう。
そうだよ、そうなんだ。
?には「9」がはいって、
x^2 + 6x + 9 = 5 + 9
になればいいね。
なぜなら、
左辺で因数分解の平方の公式の、
（a+b）^2 = a^2 + 2ab +b^2
がつかえるようになるからね。
さっそく因数分解してやると、
x^2 + 6x + 9 = 5 + 9
(x+3)^2 = 14
こんなかんじで、左辺に（xをふくむ式）の2乗をつくりたいときは、
xの係数の半分を2乗したやつを両辺にたせばいいね。
なっとくだ！
ここまできたら、平方根の解き方の形になったね。
左辺の2乗をとっぱらって、右辺を左辺の平方根にすればいい。
練習問題の、
(x+3)^2 = 14
もおなじように平方根の解き方をつかってみると、
x + 3 = ±√14
x = -3 ± √14
になるね。
おめでとう！
これで平方完成の解き方もマスターだ。
このめんどくさい解き方を、
平方完成で解く方法
っていうんだ。
因数分解できなくて、解の公式も忘れたら平方完成で解く
って、覚えといてくれよ。
心配なときは、つぎの練習問題もといてみてね。
レベルの高い解き方なんだから、練習あるのみだよ。
何回もね。へいへいほ～～♪
練習問題2. つぎの二次方程式を解きなさい。
x^2 + 3x + 1 = 0
⇒ 平方完成の二次方程式の問題の答えはこちら
平方完成は高校数学ですごく大切になるんだ。
平方完成を制するものは高校数学を制すといっても過言じゃあない。
いまのうちからマスターしておこう。
そいじゃねー
Dr.リード
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。スペース最高。
二次方程式の解き方をたくさんならってきたね。
ざっと数えるだけ、6つもある。
解き方がたくさんあって便利なんだけど、
どの解き方つかえばいいかわからないんだよね。
せめて、
二次方程式の解き方を見分けるコツ
とかあれば助かる・・・・
そこで今日は、特別に、
二次方程式の解き方の見分け方
を紹介するよ。
よかったら参考にしてみてね。
二次方程式の解き方を見分けるコツは1つ。
それは、
消去法で解き方を選ぶ
だ。
っていう6つの解き方がつかえるか、上から確認していくのさ。
全部の解き方で解けなかったら諦めよう。
それぞれの解き方を確認してみようね。
平方根を使えるか確認してみて。
見分け方のコツは1つ。
それは、二次方程式のかたちが
（xをふくむ式）の2乗 = A
になっているか、もしくはソレに変型できるか確認すればいいのさ。
たとえば、
(x-4)² -11 = 0
っていう二次方程式があったとしよう。
こいつはみたかんじ、
（xをふくむ式）² = A
の形にもっていけそうだ。
だって、11を右辺に移項すればいいだけだからね。
このタイプの2次方程式なら、
の3ステップでとけちゃうよ。
くわしくは、平方根をつかった二次方程式の解き方を復習してみて。
実際に右辺に11を移項して解くと、
(x-4)² -11 = 0
(x-4)² = 11
x – 4 = ± √11
x = 4±√11
になるね。
平方根をつかう解き方がいちばん簡単。
こいつで二次方程式が解けるか、まず確認してみて。
共通因数でくくれるか確認しよう。
項が2つの二次方程式のとき、つかうことが多いね。
たとえば、つぎの二次方程式とか↓↓
3x² = 7x
この二次方程式の解き方なら、3ステップでとけちゃう。
⇒くわしくは「因数分解の公式をつかわない二次方程式の解き方」をよんでね。
実際にといてみると、
3x² = 7x
3x² – 7x = 0
x(3x – 7) = 0
x = 0, 3分の7
になるね。
平方根でも解けないし、共通因数でもくくれない・・・・
そんなときは、
因数分解の公式をつかった二次方程式の解き方
だ。
この解き方では、
因数分解の公式で二次式を因数分解して、一次方程式をつくっていくよ。
たとえば、つぎのような問題ね。
x² + 6x = -8
このタイプの二次方程式は3ステップでとけちゃう。
⇒くわしくは「因数分解をつかった解き方」をよんでみて。
実際に、さっきの二次方程式の、
x² + 6x = -8
を因数分解の公式をつかってといてみると、
x² + 6x = -8
x² + 6x + 8 = 0
(x +2) (x+4) = 0
x = -2, -4
になるね。
因数分解の公式をよーく復習しとておいてね。
因数分解の公式つかえねえええー
そんなときは、
たすきがけの因数分解がつかえるか粘ってみよう。
たとえば、つぎの二次方程式で活躍するね。
5x² – 11x + 6 = 0
因数分解の公式を使おうとしても・・・・・
ぐっっっっ
使えない！！
ってなるはず。
そういうときは「たすきがけの因数分解」をつかえばいい。
2次方程式の係数を、
の順番にヨコにかく。
んで、
かけたら「xの2乗の係数」、「定数項」になる数字をたすきがけで考えると、
1 -1 -5
5 -6 -6
———–
5 6 -11
になる。
よって、二次方程式は、
5x² – 11x + 6 = 0
(x-1)(5x-6) = 0
になるね。
今まで通り、一次方程式をといてやると、
x = 1, 5分の6
になるね。
因数分解の公式も、たすきがけも無理。
そんなときは最終兵器、
解の公式
をつかおう。
解の公式はどんな二次方程式でもとける公式だったね？？
覚えにくいけど、むちゃ便利なんだ。
たとえば、つぎの二次方程式とかね。
x² – 2x -6 = 0
この二次方程式はどうがんばっても、因数分解の公式はつかえない。
たすきがけ因数分解でもかすりもしない。
・・・・・こまった・・・・・・
そんなときは、解の公式の出番だ。
3ステップでとけちゃうよ。
二次方程式の係数を公式に代入すると、
x² – 2x -6 = 0
x = 2±√(2² -4×1×-6)/2
= 2±√(4 +24)/2
= 2±√28/2
= 2±2√7/2
= 1±√7
になるね！
これでどんな二次方程式もとけちゃう！
安心だ〜〜
もしも、だよ。
もしも、解の公式を忘れたらどうしたいいんだろう？？
因数分解の公式もつかえないし、共通因数でもくくれない。
そんなやばいときに役にたつのが、
平方完成による因数分解の解き方
だ。
平方完成は、解の公式を証明するときにつかった解き方だよ。
だから、解の公式を忘れても、解の公式っぽく二次方程式がとけちゃうのさ。
たとえば、さっきの2次方程式、
x² – 2x -6 = 0
を平方完成でといてみようか。
平方完成の解き方は4ステップだよ。
この解き方で二次方程式をといてみると、
x² -2x – 6 = 0
x² -2x = 6
x² -2x +1 -1 = 6
(x-1)² = 7
x-1 = ±√7
x = 1 ±√7
になる。
これは解の公式でだした解とおなじ。
解の公式を忘れたときに大活躍だ。
二次方程式の解き方はありすぎる。
どれを使ったらいいかわからないね。
心がけてほしいコツは、
消去法で解き方を選んでいく
ということ。
がつかえるか順番に確認していってね。
きっと、どれかしらで解けるはずだよ。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。布団、押し込んだね。
二次方程式の利用ではいろいろ文章問題をとくよね。
整数の問題とか、長方形の面積を求める問題とか、まじありすぎる。
そんな中、テストにでてくるとヤッカイなのが、
動点の文章問題
だ。
動点の問題とは、
「ある点」が時間がたつにつれて辺上を動く問題のことね。
ずっと前に「一次関数の利用の問題」でやった問題といっしょ。
あれがもっかい中3数学で登場するわけ。
テストにでやすいから苦手をつぶしておこう。
動点の文章題の解き方を紹介しよう。
つぎの練習問題をといてみようね。
練習問題
AB = 10cm、BC = 30cmの直角三角形ABCがあります。点Pは辺AB上をAからスタートして1秒間に1cmの速さでBまで動きます。また、点QはBC上をBからスタートして1秒間に2cmの速さでCまで動きます。
PとQが同時に動きはじめるとき、△PBQの面積が16cm^2になるのは何秒後になりますか？？
解き方は他の二次方程式の文章題といっしょ。
4ステップでいけるんだ。
方程式の文章題の解き方はどれもおなじ。
そう。
「文章題で求めたいもの」を文字でおけばいいんだったね？？
xでもyでもzでも好きな文字でおいてくれ。
例の文章問題では、
△PBQの面積が16 cm^2になるときは何秒後になるか？？
を求めたかったね。
だから、2点P、Qがスタートしてからの時間をx秒としてみようか。
これが第1ステップ。
文章問題をもとに二次方程式をつくってみよう。
文章題のなかの、
○○が△△に等しいとき
っていう文をみつけて、それをもとに、
○○ = △△
っていう方程式をつくればいいのさ。
さっきの練習問題をみてみて。
△PBQの面積が16 cm^2になるとき
っていう文がみつけられたかな？？
つまり、この二次方程式の動点の問題では、
△PBQの面積 = 16cm^2
っていう2次方程式をつくればいいわけだ。
それじゃあ、x秒後の△PBQの面積を計算してみよう。
底辺×高さ÷2
だ。
ってことは、△PBQの面積を求めるには、
の2つがわかってればいいね。
点P、Qはそれぞれ、
動く。
ってことは、x秒後は、それぞれ、スタート地点から、
すすんでるはずだね。
だから、直角三角形PBQの底辺と高さの辺たちは、
になってる。
ってことは、スタートからx秒後の△PBQの面積は、
（底辺）×（高さ）÷ 2
= BQ × PB ÷ 2
= 2x (10-x)÷2
= x (10-x)
になるね。
この文章題では△PBQの面積が「16cm^2」になればいいんだったね？？
ってことは、
△PBQの面積 = 16
x (10-x) = 16
っていう二次方程式ができるはずだ。
さっきの二次方程式を解いてみよう。
因数分解をつかってもいいし、解の公式をつかってもいい。
とりあえず、2次方程式の解を求めてね。
練習問題の二次方程式は、
x (10-x) = 16
だ。
左辺の（）を分配法則で展開してやると、
x (10-x) = 16
10x – x^2 = 16
になるね。
移項して整理してやると、
x^2 – 10x + 16 = 0
になるんだ。
左辺の、
x^2 – 10x + 16
はどうやら因数分解の公式がつかえそうだ。
になる2つの数を考えてみると・・・・
は！
ならこの条件にあいそう！
ってことで、因数分解の公式の、
x^2 +(a+b) x + ab = (x + a) (x +b)
で因数分解してやると、
x^2 – 10x + 16
= x^2 (-8-2)x + (-8)×(-2)
= (x -8) (x-2)
になるね。
だから、練習問題の二次方程式は、
x^2 – 10x + 16 = 0
(x -8) (x-2) = 0
になる。
( x – 8) (x – 2)が0になってるってことは、どっちかが0なはず。
よって、
のどちらかが成り立つはずだね？？
ってことで、2つの一次方程式をといてやると、
っていう解が2つでてくるね。
やった！これで二次方程式解けたー！おわたーー
ってなるのはちょっとはやい。
じつは、二次方程式の文章問題では最後に、
解の吟味
をしなきゃいけないんだ。
吟味ってつまり、解が文章題にそってるか確認することだ。
これをしないと、わけのわからん答えをかいちゃうからね。
練習問題でも解を確認しよう。
二次方程式の解は、
だったね。
つまり、PとQがスタートしてから「2秒後」と「8秒後」に面積が16cm^2になるらしい。
この2つのxはきちんとxの変域内におさまってるから問題なさそうだ。
だって、点PはBまでしか動けないからxの変域は、
0 ≦ x ≦ 10
だもんね。
点Pは1秒間に1cmすすむから、10秒で10cmすすむ。
つまり、終点のBに到着しちゃうのさ。
だから、xが10より大きくならないってわけ。
今回の2つの解は10以下におさまってるね。問題ない！
よって、まとめると、
△PBQの面積が16cm^2になるときはスタートしてから2秒後と8秒後だね。
二次方程式の利用の動点も大丈夫だ。
落ち着いて、
の4ステップで解けばいいよ。
ただ、
解が変域内におさまってるか？？
は必ず確認してね。
そんじゃねー
Ken
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、つぎの二次方程式に出会いました。
練習問題
つぎの二次方程式を解きなさい。
3x^2 + 5x -2 = 0
この二次方程式って因数分解の公式つかえないの・・・・
せっかく解き方おぼえたのに。。
ど、ど、どうしよう！！
こりゃむずいわ
因数分解の技の1つだね！
因数分解するときに、たすきがけみたいに掛け算して考えるから、「たすきがけ」って呼ばれてるんだ。
簡単にいうと、
「かけたらxの2乗の係数になる数字の組」と「かけたら定数項になる数字の組」と、「たしたらxの係数になる組」を、
◇×○=☆
になるようにならびかえるんだ↓↓
たすきがけ因数分解は、パズルみたいに数字をあてはめていくから、数字の確認がすごく重要なんだ。
定数項・・・！？
定数項は「数字だけの項」だったよね？？
まずは一番左の「xの2乗の係数」からだね。
かけたら「3」になる2つの数字の組み合わせは・・・・
じつは、「-1×-3」もあるんだけどね。
「ｘ²の係数」は正の数のことしか考えなくていい
っておぼえてとくといいよ。
これなら組み合わせのパターンを減らせるよね。
秘密技♪
のどっちかかな？
あと、☆の組み合わせは・・・いっぱいあるじゃん！たして5になる組み合わせなんて！！
☆になる組み合わせにすればいいの
例えば、○の組合せを1×-2にすると？
◇と○にはいった数字の組み合わせを（）にいれるだけなんだ。
【上】(◇ｘ＋○)【下】(◇ｘ＋○)
ってなるようにいれてみて！
あと、忘れちゃいけないのが右辺！
(x+2) (3x-1) = 0 ってなるよ♪
カッコの中が、どっちか0になればいいから、
ｘは「-2」と「3分の1」かな？
x = -2, 3分の1
ってかけば完ぺきだね☆
かっこがある式にするためのものなんだ！！
かっこがある式……あっ、先生、
もしかして、『かっこいい』とかけてたの！？
それもあるけど、たすきがけ使いこなせたら、かっこいいよ！だから！！
何度も挑戦して慣れていこう！
☆練習問題☆
はろー、犬飼ふゆだよー。
二次方程式の解を求めたい。
そんなときあるよね？？
方程式の解を求めるってようは、
未知の文字xになにがはいるか？？
を当てることなんだ。
これは一次方程式でも二次方程式でもいっしょだね。
今日は、二次方程式の解き方のなかでも、
因数分解をつかった二次方程式のやり方
をわかりやすく解説してみたよ。
よくでる解き方だから、マスターしちゃおうか。
つぎの二次方程式をといてみよう。
つぎの二次方程式を解きなさい。
2x² -10x -60 = 12
このタイプの問題は5ステップで解けちゃうね。
左辺に項をあつめようか。
右辺の項をぜーんぶ左に移項して、右辺を0にすればいいのさ。
これは因数分解しやすくするためよ。
練習問題では、右辺の12が邪魔だね？？
こいつを左辺に移項したいんだけど、基本は大丈夫かな？？
=を越えて移動したらプラスはマイナスに、マイナスはプラスになる
が移項だったね？？
さっそく「12」を左辺に移項してやると、
2x² -10x -60 = 12
2x² -10x -60 – 12 = 0
2x² -10x -72 = 0
になって、右辺が0になるはず。
めでたしめでたし。
二次方程式の両辺を共通因数で割ろう。
なぜなら、xの2乗の係数を1にしたいからね。
割れなかったらつぎにいってもOKよ。
練習問題の2次方程式をみてみると、
2x² -10x -72 = 0
あ、両辺を2でわれそうだ！
さっそく割ってみると、
2x² -10x -72 = 0
x² -5x -36 = 0
になるね。
ここでの注意点は、ぜんぶの項を共通因数で割ることね。
まちがっても、「xの2乗の項」だけ共通因数で割って、
x² -10x -72 = 0
にしちゃダメだよ。
「ｘの項」も「定数項」も同じ数で割ってね。
いよいよ因数分解。
公式で左辺を因数分解してみよう。
練習問題の二次方程式の左辺は、
x² -5x -36
だったよね？？
項が3つだから、因数分解の公式の、
x² +(a+b)x +ab = (x+a) (x+b)
がつかえそう。
になる2つの数字を考えればいいんだ。
かけて「-36」になる数字のペアーは、
の7つだね？？
この中で、たしたら「-5」になる数字の組は、
「-9」と「4」。
だから、二次方程式の左辺を因数分解すると、
x² -5x -36 = 0
(x-9) (x+4) = 0
になる。
今度は一次方程式をつくってみよう。
二次方程式を因数分解すると、
A×B = 0
っていう形になった？？
このとき、AとBをかけて0になってるんだから、どっちかが0になってるはず。
だから、A×B =0 っていう二次方程式から、
っていう一次方程式が2つできるわけよ。
練習問題の二次方程式の、
(x-9) (x+4) = 0
をみてみよう。
の2つをかけて0になってるから、どっちか1つが0になってるはずね。
だから、
っていう一次方程式が2つつくれる。
さっきの一次方程式をといてみよう。
中1数学でならった一次方程式の解き方をつかうだけよ。
練習問題の、
をそれぞれ解くと、
が求められるね。
これが二次方程式の解になるよ。おめでとう！
因数分解をつかった二次方程式の解き方はどう？？
公式さえおぼえてれば、大丈夫よ。
因数分解して一次方程式を解くだけだからね。
徐々に2次方程式の問題に慣れていこう！
じゃあねー
犬飼ふゆ
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。天にのぼりたいね。
二次方程式の解き方にはいろいろある。
因数分解の公式をつかったり、
解の公式をつかったり、
たすきがけの因数分解をつかってみたり、、、、
と大忙しだ。
ぶっちゃけ、どの解き方を使えばいいかわからんよね？？
今日は、もう1つ新しい2次方程式の解き方を紹介するよ。
その名も、
平方根をつかった二次方程式の解き方だ。
2次方程式の基礎だから、しっかりおさえておこうね。
さっそく、平方根をつかった解き方を紹介していくよ。
つぎの練習問題をといてみよう。
練習問題
つぎの二次方程式を解きなさい。
（x-2）^2 -48 = 0
「（）の2乗」以外を右辺に移項しちゃおう。
例題でいうと、
48
が（）の2乗以外の項だね。
こいつを右辺に移項してやると、
（x-2）^2 -48 = 0
（x-2）^2 = 48
になるね。
つぎは左辺の2乗をとってみよう。
左辺の2乗をとるだけじゃなくて、その分、右辺を「左辺の平方根」にしてあげてね。
つまり、
右辺に±とルートをつければいいのさ。
練習問題でもおなじ。
左辺の2乗をとって、右辺を「左辺の平方根」にしてやると、
（x-2）^2 = 48
（x-2）= ±√48
になるね。
つぎはx以外を右辺に移項しよう。
最終的に「x＝」にもっていきたいからね。
練習問題の左辺には、
-2
っていうx以外の項が残ってるね。
こいつを右辺に移項すると、
（x-2）= ±√48
x = 2±√48
になる。
最後にルートを簡単にしてあげよう。
ルートの中身の「2乗の因数」を外にだせばいいんだったね？？
やんなくても間違いじゃないけど、
やったほうが計算の余地が確認できてスッキリするよ。
練習問題のルートの、
±√48
に注目してみて。
ルートのなかの「48」を素因数分解してみると、
48 = 2×2×2×2×3
になるよね？？
ってことは、
2の2乗（4のこと）
を√の外にとりだせそうだ。
さっそく、√48を簡単にしてやると、
x = 2±√48
x = 2 ± 4√3
になるね。
これで二次方程式がとけちゃったんだ。
平方根をつかうと簡単に解けるね。
平方根をつかった二次方程式は4ステップでとけちゃうよ。
みたかんじ、移項できればとけそう。
ガンガン平方根をつかっていこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。人生playhardだね。
二次方程式の利用では文章題がたくさんでてくるね。
連続する整数の問題とか、
動点についての文章題とかね。
もう、ほんとうに種類ありすぎ。;
今日は、二次方程式の利用の文章題でよくでてくる、
二次方程式の面積についての文章題の解き方
を紹介していくよ。
よかったら参考にしてみて。
つぎの文章題をといてみようか。
練習問題
長さ30cmの針金で斜辺15cmの直角三角形を作りました。この三角形の面積が25cm^2になるとき、底辺と高さの長さを求めなさい。
二次方程式の文章題の鉄則。
それは、
求めたいものを文字でおく
だよ。
どれを文字で置こうか迷わなくていい。
文章題が「だしてほしい」っていってるものを文字でおこうね。
練習問題では、
直角三角形の辺の長さ
を求めたかったよね？？
ってことは、いったん、底辺をx [cm]とおいてみよう。
二次方程式をつくろう。
文章題のどこかに、
○○○が△△△に等しくなるとき
ってかいてあるはずだ。
それをもとに、
○○○ = △△△
っていう等式をつくればいいのさ。
練習問題でいうと、
三角形の面積が25cm^2になるとき
ってところに注目してほしいね。
つまり、これは、
三角形の面積 = 25cm^2
っていう方程式がたてられそう。
ってことで、直角三角形の面積を計算してみよう。
長さ30cmの針金でつくったから、周りの長さは30cmだよね？？
だから、残りの辺の「高さ」の長さは、
（針金の長さ）-（斜辺の長さ）- （底辺）
= 30 – 15 – x
= 15 -x
になるね。
よって、この直角三角形の面積は、
（直角三角形の面積）
＝（底辺）×（高さ）÷2
＝ x (15-x)÷2
になるね。
練習問題では、面積が「25 cm^2」になるんだったね？？
この通りに二次方程式をつくってやると、
（直角三角形の面積） ＝ 25
x (15-x)÷2 ＝ 25
になるね。
つぎは、二次方程式を解いてみよう。
因数分解をつかった解き方でもいいし、
めんどかったら解の公式をつかってもいいよ。
練習問題の二次方程式は、
x (15-x)÷2 ＝ 25
だったね？？
分数をふくむ二次方程式だから、分母はらってみようか。
両辺に2をかけると、
x (15-x)÷2 ＝ 25
x (15-x)÷2×2 ＝ 25×2
x (15-x) ＝ 50
になるね。
左辺を展開して移項すると、
x (15-x) ＝ 50
15x -x^2 = 50
x^2 -15x + 50 = 0
になるね。
んで、
因数分解して二次方程式をとくと、
x^2 -15x + 50 = 0
(x-10) (x-5) = 0
x = 5, 10
になるね。
二次方程式の文章題はといておわりじゃない。
解き終わったあとに、
その解が文章題として適切かどうか？？
をチェックしなきゃいけないんだ。
練習問題では、
っていう2つの解がゲットできたね？？
xを「直角三角形の底辺の長さ」とおいてた。
底辺のx = 5のとき、
直角三角形の高さは、
10cm
になるね。
うんうん。辺の長さが正の数だし問題ない。
んで、「x＝10」の場合をおなじように考えてみよう。
底辺x = 10のとき、
直角三角形の高さは、
5 cm
になる。
うん、正の数になってるから適切だ。
こんなかんじで、二次方程式を解いたあともチェックが大事。
解が文章題の条件にあってるかたしかめてね。
世の中には、いろいろな二次方程式の利用の問題がある。
だけどね、ぶっちゃけ、解き方はどれもいっしょ。
の4ステップでいいんだ。
ガンガン文章問題をといていこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。山の日は混むね。
二次方程式の解き方をたくさん勉強してきた。
因数分解をつかった解き方とか、
解の公式でとくやり方とかね。
ぶっちゃけ、
どんな二次方程式もとける自信あるよね？？
だがしかし、中3数学の二次方程式はまだこれからなんだ。
二次方程式のゴールは、
二次方程式を文章問題でも使えるようになる
なんだよね。
そこで今日は、
二次方程式の利用の文章題の解き方
をわかりやすく解説してみたよ。
よかったら参考にしてみてね。
二次方程式の利用の解き方を解説していくよ。
つぎの練習問題をといてみよう。
練習問題
2つの連続する正の偶数の積が168になるとき、2つの偶数をそれぞれ求めなさい。
どんな文章題でも、4ステップでとけちゃうんだ。
文章問題で求めたいものを文字でおこう。
辺の長さを求めたいときは「辺の長さ」、
ケーキの値段をだしたいときは「ケーキの値段」を文字でおけばいいのよ。
練習問題では、
積が168になる「2つの連続する正の偶数」
を求めたかったよね？？
だから、「2つの連続する偶数を文字」であらわせばいいのさ。
正の整数nで連続する偶数をあらわしてみよう。
※numberのnからきてるのさ。
ある偶数は、正の整数を2倍するとなるから、
2n
になるよね？？
そのつぎの偶数はこいつより2大きいはずだから、
2n + 2
になるはず。
これが第1ステップだ。
つぎは二次方程式をつくってみよう。
AがBになるとき
っていう文章をみつけて、「A=B」っていう方程式をたてればいいのさ。
例題では、
2つの連続する正の偶数の積が168になるとき
っていう文章に注目してみて。
ようは、
（2つの連続する正の偶数の積）＝ 168
っていう方程式をつくればいいんだね。
連続する2つの偶数はそれぞれ、
だったよね？？
だから、2つの連続する偶数の積は、
2n (2n + 2)
になる。
こいつが「168」に等しくなるから、
2n (2n + 2) = 168
っていう方程式ができるね。
二次方程式を解いてみよう。
2次方程式の解き方はどれをつかってもいいよ。
因数分解でもいいし、解の公式をつかってもいい。
答えがでちゃえば問題ないわけだ。
練習問題の二次方程式は、
2n (2n + 2) = 168
だったよね？？
左辺の（）を分配法則ではずすと、
2n (2n + 2) = 168
4n^2 + 4n = 168
になる。
んで、移項して両辺を4でわってやると、
4n^2 + 4n – 168 = 0
n^2 + n – 42 = 0
になるね。
左辺の、
n^2 + n – 42
を因数分解してみると、
n^2 + n – 42
=(n +7)(n-6)
になるね。
よって、この二次方程式の解は、
n = 6, -7
だ。
二次方程式は無事とけたかな？？
よかった！やったね！！
・・・・・・・・
・・・・・・・・
っていいたいところだけどね。
二次方程式の文章題の本番はこれからなんだ。
なぜなら、
その解が正しいか判断しなきゃいけないからね。
このことを数学界では、
解を吟味する
っていうんだ。
文字の条件を振り返ってみてね。
練習問題では、
がでてきたよね？？
ここで、nは何かって振り返ってみると、
正の整数
だったよね？？
えっと、、2つとも正の整数かなああ・・・
！！！？
あっ！
正の整数じゃないやつもいるやんけ！
そう。
n = -7
が条件にフィットしてないんだ。負の数だからね。
だから、この「n = -7」は適切じゃないってことがわかる。
したがって、2次方程式の解として正しいのは、
n = 6
だけだね。
よって、n = 6のとき、2つの連続する偶数は、
になる！
つまり、積が168になる連続する2つの正の偶数は、
の2つになるってわけ。
おめでとう！
これで二次方程式の文章題もマスターだね。
二次方程式の文章題はちょっとくせもの。
最後の最後に、
その解が問題として正しいのか？？
を確かめなきゃいけないんだ。
最後まで気を引き締めていこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。業者よびたいね。
中3数学の大きなとりで。
それは、
二次方程式
っていう単元だ。
因数分解や平方根をガンガンつかうから、中3数学の総まとめってかんじ。
けっこう、手強いよ。
今日は、この単元の基礎をおさえるために、
2次方程式とはいったいなにものか？？
を勉強していこう。
さっそくいっちゃうね。
二次方程式とは、
二次式をふくむ方程式のこと
だ。
すごくシンプルだね。
えっ。二次式とか方程式とかわからないって？？
そういうときは、つぎの順番に復習すればしっくりくるよ。
「項」の意味をふりかえってみよう。
項の意味がはっきりすると、次数の意味がわかるからね。
項とはずばり、
+ で結ばれた1つ1つの塊のことだよ。
たとえば、
1 + y -12x
っていう式があったとしよう。
「+」でつながってる形になおすと、
1 + y + (-12x)
になるね。
項は「+でつながってる塊」だったよね？？
だから、この式にふくまれる項は、
の3つだ。
項の意味もおっけー！
次数とはずばり、
1つの項にかけられてる文字の数
だ。
たとえば、さっきの「-12x」に注目してみて。
こいつの次数は「1」だよ。
なぜなら、項にかけられてる文字の数が「1」だからね。
xしか、かかってないもん。
もし、xが2乗だったら次数は「2」になるし、
xとyとzがかかってたら次数は「3」になるわけ。
どう？？次数もマスターしたかな？？
二次式とはずばり、
いちばん大きな次数が2の式
のことだ。
ちょっと複雑だね。
たとえば、
x² + y + abcd + 9
をイメージして。
項の次数を確認すると、
になってるね。
いちばん大きい次数は「abcd」の4だね？？
ってことは、
この多項式は「4次式」になるんだ。
もし、「abcd」が消えたとしたら、この式は二次式になる。
x² + y + 9
なぜなら、いちばん大きい次数が「xの2乗」の2だからね。
「方程式」を復習してみよう。
方程式とはずばり、
未知の文字をふくむ等式のこと
だね。
たとえば、
x – 9 =0
とかとかだね。
何がはいるかわからない「文字」があって、
左右が「=」で結ばれてる式
は方程式なんだ。
だから、二次方程式とは、
未知の文字がある等式で、なおかつ、
二次式になってるもの
だね。
たとえば、さっきの二次式の「x² + y +9 」に「=0」をつけると、
x² + y +9 = 0
になる。
こいつはガチガチの2次方程式だ。
だって、二次式だし、等式だし、未知の文字がふくまれてるからね。
最後に1つだけ注意点があるよ。
それは、
移項とか同類項をまとめ終わって次数を調べる
ってこと。
整理しないまま方程式の次数を数えるのは危険なんだ。
たとえば、
x² + y +9 = x²
っていう方程式をイメージしてみて。
次数をかぞえてみると、
になってるよね？？
いちばん大きな次数は「2」。
二次方程式じゃないかって思うよね？？
だけどね、こいつは二次方程式じゃない。
右辺の「x²」を左辺に移項して、同類項をまとめると、
x² + y +9 = x²
x² + y +9 – x² = 0
y +9 = 0
になるね！
この「y + 9 = 0」っていう方程式で改めて次数をみてみると、
になってる。
最高の次数は1だから、こいつは一次式ってわけなのさ。
ってことで、
移項や同類項が終わって次数を数えてみよう！
二次方程式の正体もわかったかな？？
簡単にいうと、
二次式をふくむ方程式。
もっとわかりやすくいうと、
移項とか終わったら、各項の次数を数えてみて、
最高の次数が「2」の方程式のこと
になるんだ。
迷ったときは基本に戻ってみよう。
そんじゃねー
Ken
2次方程式に悩んでいるみんな、こんにちは！犬飼ふゆだよ。
解の公式はむちゃくちゃ強い味方。
どんな二次方程式もとけちゃうからね。
でも、
どうして解の公式なんてあるの？
とか、
覚えづらいよ！
とか、
なんで解の公式ができたんだろう？？
って疑問におもうよね。
だから、今日は、
解の公式がなぜ使えるのかを証明したいんだ。
ややこしいけど、give upしないでついてきて欲しいなぁ。
= もくじ =
まず、解の公式を思い出してみよう。
二次方程式の「ax^2 + bx + c = 0」があったとすると、
解のxは、
x = {-b±√(b^2 -4ac)}÷2a
であらわせるんだったね？？
⇒ 解の公式をつかった二次方程式の解き方はコレ読んでね。
どんな二次方程式でもとけちゃう。複雑だけど便利なんだ。
解の公式を証明してみるよー。
むずかしめだけど、ついてきて欲しいなあ。
証明のゴールは、
二次方程式「ax^2 + bx + c = 0」
を
x ={-b±√(b^2 -4ac)}÷2a
に変型することだよ。
証明のゴールはみえたかな？？
さっそく証明していこう。
x2をシンプルにしよう。係数を1にするってことだね。
そのために、
二次方程式「ax^2 + bx + c = 0」の両辺をaで割ればいいんだ。
x2だけじゃなく「bx+c」もaで割ってね。
さっそく、計算してみると、
ax^2 + bx + c = 0
x^2 + b/a x + c/a = 0
になる。
つぎはxの係数に注目してね。
なんと、
「xの係数の半分を2乗したもの」を足して、そして引くんだ。
意味不明だけどやってみて。
二次方程式「ax^2 + bx + c = 0」は、
x^2 + b/a x + c/a = 0
になってたよね？？
ってことは、xの係数は「b/a」だ。
こいつを半分にして2乗した「（b/2a）の2乗」を足して引いてあげるんだ。
すると、
x^2 + (b/a) x + c/a = 0
x^2 + (b/a) x+ (b/2a)^2 – (b/2a)^2 + c/a = 0
になるね！
「（ ）の2乗という形」をつくるよ。
どうして（ ）２＝という形かっていうと、
ｘ= ○○ にもっていきたいからだよ。
さっきのステップでは、
xの係数の半分の2乗をたしてひく
をしたよね？？
じつはこれ、
「 ( )2 = という形」を作るためだったんだ。
さっきの計算式に注目してみて。
x^2 + (b/a) x+ (b/2a)^2 – (b/2a)^2 + c/a = 0
のうち、3つの項の「x^2 + (b/a) x+ (b/a)^2 」を公式で因数分解すると、
x^2 + (b/a) x+ (b/2a)^2– (b/2a)^2 + c/a = 0
（x + b/2a）^2 – (b/2a)^2 + c/a = 0
になるね。
「（x + b/2a ）の2乗」以外の項の、
を右に移項してやると、
（x + b/2a）^2 = (b/2a)^2 – c/a
になる。
これで、
「( )2 = という形」がつくれたね。
移項した右辺をまとめよう！
1つの分数にすればいいわけだ。
(b/2a)^2の指数をはずすと、
（x + b/2a）^2 = (b/2a)^2 – c/a
（x + b/2a）^2 = b^2/4a^2 – c/a
になるね。
つぎは、2つの分数を通分すると、
（x + b/2a）^2 = b^2/4a^2 – c/a
（x + b/2a）^2 = (b^2 -c×4a)/4a^2
（x + b/2a）^2 = (b^2 -4ac)/4a^2
になるね！
最終的に「ｘ＝ 」という形にしたいから、( )2 がいらないね？
両辺をルートしてみよう。
すると、
√{（x + b/2a）^2} = √{ (b^2 -4ac)/4a^2 }
になる。
√をそれぞれはずしてやると、
x + b/2a = ± (b^2 -4ac)/2a
になるよね？
解のxを求めたいから、左辺の「b/2a」を移項してやると、
x = -b/2a ± (b^2 -4ac)/2a
になる。
これをまとめると、
x = {-b± (b^2 -4ac)}/2a
になるね！
これで解の公式の、
x = {-b±√(b^2 -4ac)}÷2a
が導けたね。
二次方程式の解の公式の証明はどうだった？？
いきなり覚えろって言われても納得できないよ
って人や、
解の公式の謎を知りたい
って人のために書いてみたー。
わかるまで何回も証明してみてね。
そんじゃねー
犬飼ふゆ
はじめまして。Dr.リードだよ。よろしくー！
二次方程式の解き方にはいろいろあるよね。
因数分解をつかった解き方とか、
共通因数でくくるだけの解き方とか、
・・・・・・もうほんといろいろだね。
そんな解き方の1つに、
解の公式をつかった二次方程式の解き方
があるんだ。
これでどんな2次方程式の問題もとけるよ。
= もくじ =
解の公式とはなにかを振り返ってみよう。
解の公式は、公式にあてはめるだけで解がわかるすごいやつなんだ。
ax² + bx + c=0
っていう二次方程式の解xは、
x = {-b±√(b² – 4ac)}/2a
になるんだよ。
これね。
ノートにでっかく書いて、見えるとこに貼っとこう。
長い付き合いになるからさ。
高校へ行っても、解の公式はついてくるんだ。
解の公式はずばり、
二次方程式をどうしても解けないとき
に使うよ。
二次方程式の解き方には、
とかいっぱいあったね？？
どれを使っても解けないとき。
あるいは、考えるのがめんどくさいとき。
そんなとき、二次方程式で解の公式を使うんだ。
どんな2次方程式も解けちゃうよ。
オールマイティなんだ。嫌わないでやってくれよ。
さっそく、2次方程式に解の公式をつかおう。
左辺の係数を公式に代入するだけ。
数学苦手隊には「 代入して 」って言われても難しいかな？？
教科書には、さらっとかいてあるけど、むずいもんはむずい。
こんな感じで、公式を色分けしてみたよ。
二次方程式の係数をぽんぽん放り込めばいいわけだ。
練習問題をいっしょに2つといてみようか。
解の公式をつかってみよう。
まず2次方程式の係数「a, b, c」 をチェックするよ。
この問題では、
だよね？？
この係数を解の公式に代入すると、
x = -5±√(5² – 4×1×3)/(2×1)
になる。
これを計算してみると、
x = -5±√(5² – 4×1×3)/(2×1)
= -5±√(25-12)/2
= -5±√13/2
になるね。
答え出たかい？
慣れるまではコツコツ確認しながらね。
次はこれね。
ああっ、げげげっ、Xの2乗に3がついてるね。
めげるな、キミ。やり方はさっきと一緒。
まずは二次方程式の係数を確認すると、
だよね？？
こいつらを解の公式に代入すると、
x = -7±√(7² – 4×1×3)/(2×3)
= -7±√(49-12)/6
= -7±√37/6
になるね。
少し慣れてきたかな？？
二次方程式で解をだしたいときは、
解の公式を使うだけ
でいいんだ。
これでどんな二次方程式もとけちゃう。
まさにオールマイティだ。
あとは、問題たくさんといてなれていこう！
では。
Dr.リード
はじめまして。 クエーサーからきた 「そら」だよ。
みんなと一緒に苦手な数学がんばる(^_-)-☆
今日は、中3数学で勉強する、
二次方程式の解き方
を解説していくよ。
2次方程式のなかでもとくに、「因数分解」をつかったものをみていこう。
二次方程式の解き方を解説していくよ。
まだ地球にきて日が経ってないけど、がんばる！
x
つぎの例題をといていこう。
つぎの二次方程式を解きなさい。
x² + 6x + 8 = 0
つぎの3ステップでとけちゃうよ。
まずは因数分解の公式で左辺を簡単にするよ。
公式のなかでもとくに、
x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)
で因数分解することが多いかな。
たとえば、
x² + ax + b = 0
っていう二次方程式だったら、
になる2組の数字をさがせばいいんだ。
例題の計算問題をみてみようか。
x² + 6x + 8 = 0
左辺で因数分解の公式をつかうためには、
になる2つの数字の組をみつければいいね？？
かけたら8になる2つの数字を考えてみると、
の4つがある。
そのうち、たしたら6になる組み合わせは、「2×4」だ。
2+4 = 6
になるからね。
だから、「x² +6x + 8」を公式で因数分解すると、
x² +6x + 8 = 0
x² +(2+4)x + 2×4 = 0
(x +2)(x+4) = 0
になるね。
つぎは1次方程式をつくってみよう。
「因数のどっちかが0になる」っていう式をつくればいいんだ。
たとえば、左辺を因数分解して「A×B = 0」になったら、
のいずれかになるはずだね？？
だって、2つを掛けたら0になってるから。
例題でいうと、
x² +6x + 8 = 0
は、
(x +2)(x+4) = 0
になったよね？？
ってことは、
のどっちかになるってことだ。
こんなかんじで、1次方程式がつくれればOK!!
簡単な一次方程式をとくだけ。
必要なのは、中1数学の移項ぐらいだ。
しれっと計算してみてね。
例題では、
の2つの1次方程式ができたね？？
こいつらでx以外の項を移項すると、
になるね！
つまり、二次方程式「x² +6x + 8=0」の答えは、
x = -2 もしくは x = -4
ってことなんだ。
これで二次方程式もとけたねー！
因数分解をつかった二次方程式の解き方はどう？？
公式で因数分解して1次方程式をつくるだけさ。
因数分解さえできれば簡単だね。
今日は1つしか解かなかったけど、もっと問題を解いてね。
慣れてきたら、「暗算」でできるようになるよ(^_-)-☆
じゃあねー
そら
