等積変形の三角形の問題を攻略したい！
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。チョキはすごいね。
等積変形の問題は大きく分けると、
- 三角形の作図問題
- 四角形の作図問題
の2つある。
どちらも等積変形をつかうのは同じ。
だけど、
びみょーに解き方がちがってくるんだ。
せっかく勉強するんなら、どちらの解き方もマスターしておきたいね。
そこで今日は、
等積変形の「三角形」の問題をいっしょにといてみよう！
等積変形の「三角形」をつかった作図問題
等積変形の三角形の問題は、つぎのようなやつだね↓↓
三角形ABCのAC上にある点Pを通る直線のうち、三角形ABCの面積を二等分するものを作図しなさい。ただし、コンパスと定規しか使わないでね。
この手の問題の解き方はシンプル。
三角形を等積変形して、
そいつの面積を二等分する線をひけばいいんだ。
つぎの6ステップでとけるよ。
- 底辺を延長しまくる
- 点と対角をむすぶ
- 平行線をかく
- 等積変形する
- 垂直二等分線をかく
- 交点をもとめる
コンパスと定規で攻略していこう！！
Step1. 底辺を延長しまくる
三角形の底辺を延長しよう。
好きなだけ延長していいよ。とくべつにね。
できるかぎり左右にのばしてみて。
例題でいうと、底辺はBCだね。
こいつを横に延長してやると、こうなるね！
えっ。
かっこわるいって！？
そうだね。
でもここからが等積変形の面白いところなんだ。
Step2. 点と対角をむすぶ！
「中点を通る点」と「対角」をむすんでやろう。
例題でいうと、点Pと点Bだね。
こいつらを定規ですーっと結んでやると、
こうなる！
Step3. 平行線をかく！
頂角を通る平行な線をかいてみよう。
ここでも定規が活躍するよ。
例題でいうと、
点Aを通ってBPに平行な直線ってわけだ。
せっかくだから、
底辺との交点をDとしよう！
Step4. 等積変形する！
等積変形で「面積の等しい三角形」をつくっちゃうおう。
具体的にいうと、
新しくできた底辺との交点
と
二等分線が通る点
を結べばいいんだ。
例題でいうと、点DとPを結べばいいね。
えっ。どこが等積変形になってるのかッテ？！
じつは、これ、
△ABP = △DBP
になってるんだ。
なぜなら、
この2つの三角形は底辺BPを共有していて、
高さが同じだだからさ。
んで、もっといってやると、
△ABC=△DPC
になるんだ。
なぜなら、
- △ABC = △ABP + △PBC
- △DPC = △DBP + △PBC
でしかも、等積変形で、
△ABP = △DBP
ってわかってるからね。
だから、
△ABC = △PBC
になってるんだ。
等積変形についてもっと知りたいときは、
平行線と面積の記事をよんでみてね。
Step5. 垂直二等分線をひく！
つぎは垂直二等分線をひいてみよう。
等積変形後でできた三角形の底辺で、垂直二等分線をかけばいいんだ。
えっ。
なぜ垂直二等分線をひくのかって？！
じつは、
三角形の底辺の中点を求めるのが目的なんだ。
例題でいうと、
△PDCの底辺DCの中点を求めるってことだね。
さっそく、垂直二等分線をかいてみよう。
コンパスの脚を適当にひらいて、
左の点Dに針をおく。
そして、半円を、かく。
つぎは、右端っこにある点Cに針をおいて、
こっちでも半円をかいてみよう。
んで、2つの半円の交点をむすんでやると、
ほれ！垂直二等分線のできあがりさ。
ついでだから、
垂直二等分線と底辺の交点をMとしよう。
この点Mは、辺DCの中点だね。
もし、点Pと点Mを結んでやると、
△PDCの面積を二等分していることになるんだ。
なぜなら、
△PMCの面積は△DPCの半分になっていて、しかも、
△DPC = △ABC
だからね。
つまり、△PMCは△ABCの面積の半分でもあるってわけだ。
どう？？すっきりしたかな！？？！
まとめ：等積変形の三角形問題は垂直二等分線でクリア！
等積変形の三角形の問題！？
とりあえあず、コンパスと定規を準備。
そして、垂直二等分線をかいてやればいいのさ。
ガンガン等積変形していこう。
そんじゃねー
Ken
