【高校数学A】円順列とは？公式が(n-1)!になる理由をわかりやすく解説
妖練習 連立方程式 文章題 スーパードリル 700
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。
順列では、
異なるものを、順番を区別して並べることを考えてきたよな？？
たとえば、
4人、
$$
A,\ B,\ C,\ D
$$
を1列に並べるなら、
$$
4!
=
24
$$
通りある。
では、
この4人が、
手をつないで円になって並ぶ
場合はどうなるだろう。
円順列（えんじゅんれつ）とは？？
このように、
異なるものを円形に並べる順列
を、
円順列
というんだ。
たとえば、
4人、
$$
A,\ B,\ C,\ D
$$
を、
円形に並べる。
ただし、
円順列では、
回転して同じになる並び方は、同じ並び方として数える。
ここが、
普通の順列との最大の違いだ。
普通の順列との違い
普通の順列では、
$$
ABCD
$$
と、
$$
BCDA
$$
は、
別の並び方である。
なぜなら、
1番目にいる人が違うからだ。
しかし、
これを円形につなぐとどうだろう。
$$
ABCD
$$
を円にしたものと、
$$
BCDA
$$
を円にしたものは、
円を回転させれば、
同じ配置になる。
つまり、
$$
ABCD
$$
$$
BCDA
$$
$$
CDAB
$$
$$
DABC
$$
は、
円順列では、
すべて同じ1通り
として扱う。
円には「一番左」とか「先頭」がないから、ぐるっと回して同じなら同じ並びなんだ。
4人を円形に並べると何通り？
A、B、C、Dの4人を、
1列に並べる方法は、
$$
4!
=
24
$$
通りある。
しかし、
円にすると、
1つの円形の並び方に対して、
1列の並び方が、
$$
4通り
$$
ずつ対応する。
たとえば、
$$
ABCD
$$
$$
BCDA
$$
$$
CDAB
$$
$$
DABC
$$
は、
円にすると同じ並びである。
したがって、
$$
24
$$
通りを、
$$
4
$$
通りずつまとめればよい。
だから、
$$
\frac{4!}{4}
$$
となる。
計算すると、
$$
\frac{24}{4}
=
6
$$
なので、
$$
\boxed{
6通り
}
$$
である。
円順列の公式
一般に、
異なるn個のものを、
円形に並べる方法の数は、
$$
\boxed{
(n-1)!
}
$$
通りとなる。
なぜなら、
普通の順列は、
$$
n!
$$
通りある。
そして、
1つの円形の並び方につき、
回転させた、
$$
n通り
$$
の並び方が同じものになる。
したがって、
$$
\frac{n!}{n}
$$
となる。
ここで、
$$
n!
=
n(n-1)!
$$
だから、
$$
\frac{n!}{n}
=
\frac{n(n-1)!}{n}
$$
$$
=
(n-1)!
$$
となる。
したがって、
$$
\boxed{
円順列の総数
=
(n-1)!
}
$$
である。
なぜnで割るの？
ここが、
円順列で一番大事なところだ。
普通の順列では、
$$
n!
$$
通りある。
しかし、
円形にすると、
1つの並び方に対して、
回転したn通りが全部同じもの
として扱われる。
だから、
$$
n!
$$
を、
$$
n
$$
で割る。
つまり、
$$
\boxed{
\frac{n!}{n}
}
$$
となる。
そして、
$$
\frac{n!}{n}
=
(n-1)!
$$
なので、
円順列の公式が、
$$
\boxed{
(n-1)!
}
$$
になる。
具体例：6文字を円形に並べる
異なる6文字、
$$
a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f
$$
を、
円形に並べるとする。
円順列だから、
$$
(6-1)!
$$
となる。
$$
5!
=
120
$$
なので、
$$
\boxed{
120通り
}
$$
である。
まとめ
よし、以上だ。
今回は、
円順列とは何か
と、
なぜ公式が(n-1)!になるのか
を確認した。
もう一度復習すると、円順列とは、
異なるものを円形に並べる順列
だ。
円では、
回転して一致する並びを、
同じものとして扱う。
そのため、
普通の順列、
$$
n!
$$
を、
回転の数、
$$
n
$$
で割る。
したがって、
$$
\boxed{
\frac{n!}{n}
=
(n-1)!
}
$$
となるんだ。
それじゃあな。
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