3つの集合、

$$
A,\ B,\ C
$$

があるとき、

3つすべてに共通する部分を、

$$
A\cap B\cap C
$$

と表す。

ベン図では、

3つの円がすべて重なっている真ん中の部分

だ。

つまり、

$$
\boxed{
A\cap B\cap C
=
AにもBにもCにも入っている部分
}
$$

である。

今回は、

3つの集合の共通部分の求め方

ベン図の真ん中の求め方

3つの集合の要素の個数の公式

を順番に確認していこう。

 

3つの集合の要素の個数の公式

3つの集合A、B、Cの和集合、

$$
A\cup B\cup C
$$

の要素の個数は、

$$
\boxed{
n(A\cup B\cup C)
=
n(A)+n(B)+n(C)
-n(A\cap B)
-n(B\cap C)
-n(C\cap A)
+n(A\cap B\cap C)
}
$$

で求める。

少し長いが、

流れは、

$$
\boxed{
足す
\rightarrow
引く
\rightarrow
最後に足す
}
$$

である。

 

なぜ最初に3つの集合を足すの？

まず、

$$
n(A)+n(B)+n(C)
$$

として、

A、B、Cの要素を全部数える。

でも、

このままだと、

重なっている部分を何回も数えてしまう。

そこで、

$$
n(A\cap B)
$$

$$
n(B\cap C)
$$

$$
n(C\cap A)
$$

を引く。

 

なぜ最後に真ん中を足すの？

ここが一番重要だ。

3つすべてに入っている要素、

$$
A\cap B\cap C
$$

を1つ考えてみよう。

最初の、

$$
n(A)+n(B)+n(C)
$$

では、

この要素は、

Aで1回、

Bで1回、

Cで1回、

合計3回

数えられる。

つまり、

$$
3
$$

回だ。

 

そのあと、

$$
n(A\cap B)
$$

$$
n(B\cap C)
$$

$$
n(C\cap A)
$$

を引く。

真ん中の要素は、

この3つの共通部分すべてにも入っているので、

3回引かれる。

すると、

$$
3-3=0
$$

になってしまう。

本当は、

その要素を1回数えたい。

だから最後に、

$$
+n(A\cap B\cap C)
$$

として、

1回足す。

つまり、

$$
\boxed{
3回数える
–
3回引く
+
1回足す
=
1回
}
$$

となる。

 

 

ベン図の真ん中を公式から求める

では、

真ん中、

$$
n(A\cap B\cap C)
$$

を求めたい場合はどうすればいいだろう。

公式、

$$
n(A\cup B\cup C)
=
n(A)+n(B)+n(C)
-n(A\cap B)
-n(B\cap C)
-n(C\cap A)
+n(A\cap B\cap C)
$$

を変形すればよい。

すると、

$$
\boxed{
n(A\cap B\cap C)
=
n(A\cup B\cup C)
-n(A)-n(B)-n(C)
+n(A\cap B)
+n(B\cap C)
+n(C\cap A)
}
$$

となる。

 

具体例で3つの集合の真ん中を求めてみよう

たとえば、

$$
n(A)=20
$$

$$
n(B)=18
$$

$$
n(C)=16
$$

$$
n(A\cap B)=8
$$

$$
n(B\cap C)=7
$$

$$
n(C\cap A)=6
$$

そして、

$$
n(A\cup B\cup C)=39
$$

だったとする。

このとき、

3つすべてに共通する部分、

$$
n(A\cap B\cap C)
$$

を求めよう。

 

公式に代入すると、

$$
n(A\cap B\cap C)
=
39-20-18-16+8+7+6
$$

$$
=
39-54+21
$$

$$
=
6
$$

したがって、

$$
\boxed{
n(A\cap B\cap C)=6
}
$$

となる。

まとめ：3つの集合の公式をズバッと覚える

3つの集合の和集合は、

$$
\boxed{
n(A\cup B\cup C)
=
n(A)+n(B)+n(C)
-n(A\cap B)
-n(B\cap C)
-n(C\cap A)
+n(A\cap B\cap C)
}
$$

である。

覚え方は、

1個ずつを足す

↓

2個ずつの重なりを引く

↓

3個全部の重なりを足す

だ。

つまり、

$$
\boxed{
+ \ – \ +
}
$$

という流れになるぞ。

 

それじゃあな。