場合の数では、

$$
{}_nP_r
$$

という記号が出てくる。

たとえば、

$$
{}_5P_3
$$

なら、

$$
5\times4\times3=60
$$

となるんだな。

 

でも、

なぜ5から3まで掛けるのか？

Pはいったい何を表しているのか？

と疑問に思うこともあるはずさ。

 

まず結論からいうと、

$$
\boxed{
{}_nP_r
=
n個の異なるものから
r個を選んで順番に並べる場合の数
}
$$

だ。

そして公式は、

$$
\boxed{
{}_nP_r
=
n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)
}
$$

となる。

 

今回は、

順列とは何か

nPrの意味

順列の公式

なぜこの公式になるのか

を順番に確認していこう。

 

順列（じゅんれつ）とは？？

順列とは、

いくつかの異なるものを、順番を考えて並べること

である。

 

たとえば、

A、B、Cの3人から、

2人を選んで、

1位と2位を決めるとする。

AとBを選んだとしても、

$$
A\rightarrow B
$$

と、

$$
B\rightarrow A
$$

では、

1位と2位が違う。

したがって、

別の並べ方として数える。

これが順列の重要なポイントだ。

 

順列では順番を区別する

たとえば、

A、B、Cから2人を並べると、

$$
AB
$$

$$
AC
$$

$$
BA
$$

$$
BC
$$

$$
CA
$$

$$
CB
$$

の6通りがある。

ここでは、

$$
AB
$$

と、

$$
BA
$$

は別物である。

つまり、

$$
\boxed{
順列
=
順番を区別する
}
$$

と覚えておこう。

 

 

nPrとは？

順列の数は、

$$
{}_nP_r
$$

という記号で表す。

これは、

n個の異なるものからr個を選んで、順番に並べる場合の数

という意味だ。

たとえば、

$$
{}_5P_3
$$

なら、

5個の異なるものから3個を選び、順番に並べる場合の数

を表している。

 

Pは何の略？

$$
P
$$

は、

英語の、

Permutation

に由来する。

Permutationは、

「順列」

という意味だ。

したがって、

$$
{}_nP_r
$$

を見たら、

n個からr個を並べる

と考えればよい。

 

順列の公式

n個の異なるものから、

r個を選んで順番に並べる場合の数は、

$$
\boxed{
{}_nP_r
=
n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)
}
$$

で求められる。

たとえば、

$$
{}_5P_3
$$

なら、

$$
5\times4\times3
$$

だから、

$$
\boxed{
{}_5P_3=60
}
$$

となる。

 

なぜ順列の公式は掛け算になる？

ここが大切だ。

5人、

$$
A,\ B,\ C,\ D,\ E
$$

から、

3人を選んで、

1位・2位・3位を決めるとする。

まず、

1位

には、

5人の誰でも入ることができる。

だから、

$$
5通り
$$

ある。

 

1位が決まると、

残っている人は4人。

したがって、

2位

の選び方は、

$$
4通り
$$

である。

 

さらに、

1位と2位が決まれば、

残りは3人。

だから、

3位

の選び方は、

$$
3通り
$$

となる。

 

よって、

積の法則から、

$$
5\times4\times3
$$

となる。

つまり、

$$
\boxed{
{}_5P_3
=
5\times4\times3
=
60
}
$$

である。

 

具体例で確認してみよう

6人から、

3人を選んで、

金・銀・銅メダルを渡すとする。

金メダルは、

$$
6通り
$$

銀メダルは、

残り5人から選ぶので、

$$
5通り
$$

銅メダルは、

さらに残り4人から選ぶので、

$$
4通り
$$

である。

したがって、

$$
6\times5\times4
=
120
$$

通り。

つまり、

$$
\boxed{
{}_6P_3=120
}
$$

となる。

 

まとめ

今回は、

順列の公式とnPrの意味

を確認した。

順列とは、

異なるものを、順番を区別して並べること

である。

$$
{}_nP_r
$$

は、

n個の異なるものからr個を選んで順番に並べる場合の数

を表す。

公式は、

$$
\boxed{
{}_nP_r
=
n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)
}
$$

となる。

 

なぜこの公式になるのかというと、

1番目が、

$$
n通り
$$

2番目が、

$$
n-1通り
$$

3番目が、

$$
n-2通り
$$

と、

選ぶたびに選択肢が1つずつ減るから

だ。

 

最後に、

順列かどうか迷ったら、

「順番を入れ替えたら別の結果になるか？」

と考えよう。

別の結果になるなら、

順列を使う可能性が高いぞ。

 

それじゃあな。