集合には、

有限集合

というものがある。

このキーワード、ちょっと気になるよな。

 

有限集合（ゆうげんしゅうごう）とは？？

まず結論からいうと、

$$
\boxed{
有限集合
=
要素の個数が有限個である集合
}
$$

である。

つまり、

中に入っている要素を数え切ることができる集合

が有限集合だ。

 

たとえば、

$$
A=\{1,2,3,4\}
$$

という集合を考える。

この集合Aには、

$$
1,\ 2,\ 3,\ 4
$$

の4つの要素が入っている。

したがって、

$$
\boxed{
Aは有限集合
}
$$

である。

なぜなら、

要素の個数が4個と決まっている

からだ。

 

 

 

有限集合の「有限」ってどういう意味？

有限とは、

限りがある

という意味だ。

たとえば、

$$
\{2,4,6,8,10\}
$$

なら、

要素は5個。

これ以上はない。

だから、

この集合は有限集合である。

 

有限集合の具体例

たとえば、

1週間の曜日を集めた集合を考える。

$$
A=
\{月,火,水,木,金,土,日\}
$$

要素は7個なので、

$$
\boxed{
Aは有限集合
}
$$

である。

また、

10以下の自然数の集合、

$$
B=
\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}
$$

も、

要素が10個なので、

有限集合だ。

 

有限集合ではない集合とは？

では、

次の集合はどうだろう。

$$
\{1,2,3,4,5,\dots\}
$$

これは、

自然数全体の集合である。

どこまで数えても、

その先にまだ数字がある。

つまり、

要素の個数を数え切ることができない。

このような集合を、

無限集合

という。

 

有限集合と無限集合の違い

違いはかなりシンプルだ。

有限集合は、

$$
\boxed{
要素の個数を数え切れる
}
$$

無限集合は、

$$
\boxed{
要素がどこまでも続く
}
$$

集合である。

たとえば、

$$
\{1,2,3\}
$$

は有限集合。

一方、

$$
\{1,2,3,\dots\}
$$

は無限集合だ。

 

要素の個数はn(A)で表す

有限集合Aの、

要素の個数

を、

$$
n(A)
$$

と表す。

たとえば、

$$
A=\{2,4,6,8\}
$$

なら、

要素は4個なので、

$$
\boxed{
n(A)=4
}
$$

となる。

 

たとえば、

$$
B=
\{赤,青,黄\}
$$

なら、

$$
n(B)=3
$$

である。

つまり、

$$
\boxed{
n(A)
=
集合Aの要素の個数
}
$$

と覚えればよい。

 

空集合も有限集合なの？

ここは少し面白い。

空集合、

$$
\varnothing
$$

には、

要素が1つも入っていない。

だから、

$$
n(\varnothing)=0
$$

である。

0個なら、

ちゃんと数え切れている。

したがって、

$$
\boxed{
空集合も有限集合
}
$$

である。

 

 

有限集合は「要素が少ない集合」ではない

ここは注意しよう。

有限集合だからといって、

要素が少ないとは限らない。

たとえば、

1から100万までの自然数を集めた集合、

$$
\{1,2,3,\dots,1000000\}
$$

には、

100万個の要素がある。

かなり多い。

それでも、

要素の個数は、

$$
1000000
$$

個と決まっているので、

有限集合である。

つまり、

$$
\boxed{
有限集合
=
少ない集合
}
$$

ではない。

何個あるかが有限の数で決まっている集合

ということだ。

 

要素を全部書いていなくても有限集合になる

たとえば、

$$
A=
\{x\mid xは1以上100以下の整数\}
$$

という集合を考える。

すべての要素を書いていないが、

中身は、

$$
1,2,3,\dots,100
$$

である。

要素の個数は、

$$
100
$$

個なので、

$$
\boxed{
Aは有限集合
}
$$

だ。

つまり、

集合の書き方ではなく、要素が何個あるか

で判断する。

 

有限集合の見分け方

有限集合かどうかを判断するときは、

こう考えるとよい。

「この集合の要素は、全部で何個？」

に対して、

具体的な個数を答えられるなら、

有限集合である。

たとえば、

$$
\{1,3,5,7,9\}
$$

なら、

5個。

だから有限集合。

一方、

$$
\{1,3,5,7,9,\dots\}
$$

なら、

どこまでも続くので、

無限集合である。

 

まとめ

よし、以上だ。

今回は、

有限集合とは何か

を確認したな。

 

有限集合とは、

$$
\boxed{
要素の個数を数え切ることができる集合
}
$$

である。

たとえば、

$$
\{1,2,3,4\}
$$

は有限集合。

一方、

$$
\{1,2,3,\dots\}
$$

のように、

要素がどこまでも続く集合は、

無限集合である。

そして、

有限集合Aの要素の個数は、

$$
\boxed{
n(A)
}
$$

で表す。

覚え方はシンプル。

「全部で何個？」に答えられれば有限集合。

これでOKだ。

 

それじゃあな。