順列の公式はなぜ？nPrが成り立つ理由・証明をわかりやすく解説
妖練習 連立方程式 文章題 スーパードリル 700
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。目の下を、見るらしいぞ
前回、
順列の求め方、勉強したきたよな。
順列の公式は、
$$
\boxed{
{}_nP_r
=
n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)
}
$$
だったことを思い出してくれ。
ふーん、おっけー、わかった、スッキリ。
でもさ、
なぜ掛け算になるのか？
なぜ1ずつ減っていくのか？
なぜ最後が \(n-r+1\) なのか？
と考えると、ちょっとモヤっとするよな。
そこで今回は、
順列の公式が成り立つ理由
を見ていこう。
順列の公式 nPr が成り立つ理由・証明
では、
n個の異なるものから、
r個を選んで並べる場合を考えるぞ。
1番目は、
n個すべてから選べるので、
$$
n通り
$$
ある。
1つ選んだあとは、
残りが、
$$
n-1
$$
個になる。
したがって、
2番目は、
$$
n-1通り
$$
である。
さらに1つ選ぶと、
残りは、
$$
n-2
$$
個。
だから、
3番目は、
$$
n-2通り
$$
となる。
このように、
$$
n,\ n-1,\ n-2,\ \dots
$$
と、
選択肢が1つずつ減っていく。
順列では、
r個を並べる。
つまり、
選ぶ作業を、
r回
行う。
だから、
$$
n
$$
から始めて、
r個分の数を掛けることになる。
その結果、
$$
\boxed{
{}_nP_r
=
n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)
}
$$
となる。
なぜ最後がn-r+1なの？
ここは公式を見て、
引っかかりやすいところだ。
なぜ、
$$
n-r
$$
ではなく、
$$
n-r+1
$$
で終わるのだろう。
たとえば、
$$
{}_7P_4
$$
を考える。
7から、
4個の数を掛ける。
$$
7
$$
$$
6
$$
$$
5
$$
$$
4
$$
である。
最後の数は、
$$
4
$$
だ。
これを式で表すと、
$$
7-4+1=4
$$
となる。
だから、
一般に最後は、
$$
\boxed{
n-r+1
}
$$
になる。
順列の公式は丸暗記しなくても作れる
もし公式を忘れても、
考え方さえ覚えていれば作れるな。
たとえば、
8人から3人を順番に並べるなら、
1番目は、
$$
8通り
$$
2番目は、
$$
7通り
$$
3番目は、
$$
6通り
$$
だから、
$$
8\times7\times6
$$
とすればよい。
つまり、
公式を忘れても、
「選ぶたびに1つ減る」
と考えれば、
自分で順列の式を作れる。
公式を忘れても「最初はn通り、次はn−1通り…」から作り直せる。それが理解してるってことだな。
それじゃあ。
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