場合の数では、

和の法則

と、

積の法則

が出てくる。

名前だけ見ると、ぶっちゃけ1文字違いだし、混乱しやすい。うん。

 

そこで今回は、

和の法則とは何か

積の法則とは何か

2つの違いと見分け方

を具体例で確認していこう。

 

和の法則（わのほうそく）とは？

和の法則とは、

いくつかの場合のうち、どれか1つを選ぶときに足し算する考え方

である。

たとえば、

赤いペンが3本、

青いペンが2本あるとする。

この中から、

赤いペンまたは青いペンを1本選ぶ

とする。

赤いペンの選び方は、

$$
3通り
$$

青いペンの選び方は、

$$
2通り
$$

だから、

全部で、

$$
3+2=5
$$

通りとなる。

つまり、

$$
\boxed{
3+2=5
}
$$

である。

 

 

和の法則は、

場合Aまたは場合B

という形で考える。

たとえば、

Aの場合が、

$$
m通り
$$

Bの場合が、

$$
n通り
$$

あり、

AとBが重ならないなら、

全部の場合の数は、

$$
\boxed{
m+n
}
$$

となる。

つまり、

$$
\boxed{
AまたはB
\Rightarrow
足し算
}
$$

である。

 

積の法則（せきのほうそく）とは？

積の法則とは、

いくつかの選択を順番に行い、それらを組み合わせるときに掛け算する考え方

だ。

 

たとえば、

シャツが3種類、

ズボンが2種類あるとする。

シャツを1つ選び、

そして

ズボンも1つ選ぶ。

シャツの選び方は、

$$
3通り
$$

ズボンの選び方は、

$$
2通り
$$

だから、

組合せは、

$$
3\times2=6
$$

通りある。

したがって、

$$
\boxed{
3\times2=6
}
$$

である。

 

積の法則では、

まずAを選び、

そのあとBも選ぶ。

つまり、

AそしてB

という形だ。

Aの選び方が、

$$
m通り
$$

あり、

そのそれぞれについて、

Bの選び方が、

$$
n通り
$$

あるなら、

全部の場合の数は、

$$
\boxed{
m\times n
}
$$

となる。

つまり、

$$
\boxed{
AそしてB
\Rightarrow
掛け算
}
$$

である。

 

和の法則と積の法則の違い

違いをズバッと整理すると、

和の法則は、

どちらか1つを選ぶ

ときに使う。

$$
\boxed{
または
\Rightarrow
足す
}
$$

積の法則は、

複数の選択を組み合わせる

ときに使う。

$$
\boxed{
そして
\Rightarrow
掛ける
}
$$

これが基本だ。

 

見分け方① 「または」なら和の法則

問題文を読んで、

どちらか一方だけを選ぶ

なら、

和の法則を使う可能性が高い。

 

たとえば、

ある学校に、

男子が12人、

女子が15人いるとする。

この中から、

男子または女子を1人選ぶ

場合、

男子の選び方が、

$$
12通り
$$

女子の選び方が、

$$
15通り
$$

なので、

$$
12+15=27
$$

通りとなる。

 

見分け方② 「そして」なら積の法則

一方、

複数のものを、

1つずつ組み合わせる

なら、

積の法則を使う。

たとえば、

男子12人から1人、

女子15人から1人、

それぞれ1人ずつ選ぶ

とする。

男子の選び方は、

$$
12通り
$$

そのそれぞれについて、

女子の選び方が、

$$
15通り
$$

ある。

したがって、

$$
12\times15=180
$$

通りである。

和の法則と積の法則を一緒に使うこともある

実際の問題では、

和の法則と積の法則を、

両方使うこともある。

たとえば、

Aコースでは、

シャツ3種類とズボン2種類から1つずつ選ぶ。

Bコースでは、

シャツ4種類とズボン3種類から1つずつ選ぶ。

どちらかのコースを選ぶとする。

Aコースは、

$$
3\times2=6
$$

通り。

Bコースは、

$$
4\times3=12
$$

通り。

そして、

AコースまたはBコースなので、

$$
6+12=18
$$

通りとなる。

つまり、

$$
\boxed{
(3\times2)+(4\times3)=18
}
$$

である。

まとめ：和の法則と積の法則をズバッと整理

和の法則は、

$$
\boxed{
m通り+n通り
}
$$

で、

どちらか1つの場合を選ぶ

ときに使う。

積の法則は、

$$
\boxed{
m通り\times n通り
}
$$

で、

複数の選択を組み合わせる

ときに使う。

つまり、

$$
\boxed{
または
\Rightarrow
足す
}
$$

$$
\boxed{
そして
\Rightarrow
掛ける
}
$$

である。

 

それじゃあな。