和集合・共通部分・補集合の要素の個数｜公式と求め方をわかりやすく解説
妖練習 連立方程式 文章題 スーパードリル 700
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。柿は、3つまでな
集合の問題では、
- 集合Aには何個の要素があるか
- AとBを合わせると何個になるか
- A以外には何個あるか
を求めることがある。
そこで使うのが、
$$
n(A)
$$
という記号だ。
これは、
集合Aの要素の個数
を表しているんだ。
たとえば、
$$
A=\{1,2,3,4\}
$$
なら、
要素は4個だから、
$$
\boxed{
n(A)=4
}
$$
となるぞ。
和集合A∪Bの要素の個数
集合Aと集合Bを、
どちらも合わせた集合を、
とったことを思い出してくれ。
記号では、
$$
A\cup B
$$
と表すんだったな。
それじゃあ、
その要素の個数はどう求めるのだろうか。
その公式は、
$$
\boxed{
n(A\cup B)
=
n(A)+n(B)-n(A\cap B)
}
$$
だ。
たとえば、
$$
n(A)=6
$$
$$
n(B)=5
$$
だったとする。
単純に足すと、
$$
6+5=11
$$
になる。
でも、
AとBの両方に入っている要素が2個あったとする。
その2個は、
Aを数えるときに1回、
Bを数えるときにも1回、
合計2回数えてしまっている。
だから、
その重複分を1回引く。
$$
6+5-2=9
$$
つまり、
$$
\boxed{
n(A\cup B)
=
n(A)+n(B)-n(A\cap B)
}
$$
となる。
共通部分は2回数えちゃう。だから最後に1回引くんだ。
和集合の要素の個数を実際に求めてみよう
たとえば、
$$
n(A)=23
$$
$$
n(B)=15
$$
$$
n(A\cap B)=3
$$
とする。
すると、
$$
n(A\cup B)
=
n(A)+n(B)-n(A\cap B)
$$
だから、
$$
=23+15-3
$$
$$
=35
$$
よって、
$$
\boxed{
n(A\cup B)=35
}
$$
となる。
補集合の要素の個数の公式
次は、
を考えよう。
全体集合を、
$$
U
$$
とする。
その中で、
Aに入っていない要素を集めた集合を、
Aの補集合
という。
記号では、
$$
\overline{A}
$$
と表す。
全体集合Uは、
Aと、
Aではない部分、
つまり、
$$
\overline{A}
$$
に分けられる。
したがって、
$$
n(U)
=
n(A)+n(\overline{A})
$$
となる。
よって、
$$
\boxed{
n(\overline{A})
=
n(U)-n(A)
}
$$
である。
補集合の要素の個数を求めてみよう
たとえば、
$$
n(U)=40
$$
$$
n(A)=23
$$
とする。
すると、
$$
n(\overline{A})
=
n(U)-n(A)
$$
だから、
$$
=40-23
$$
$$
=17
$$
よって、
$$
\boxed{
n(\overline{A})=17
}
$$
となる。
まとめ
今回は、
和集合・共通部分・補集合の要素の個数
を確認した。
和集合では、
$$
\boxed{
n(A\cup B)
=
n(A)+n(B)-n(A\cap B)
}
$$
となる。
これは、
AとBをそのまま足すと、
共通部分を2回数えてしまうからだ。
また、
補集合では、
$$
\boxed{
n(\overline{A})
=
n(U)-n(A)
}
$$
となる。
これは、
全体集合Uから、
Aの要素を取り除いた残りが、
Aの補集合だからである。
覚え方は、
和集合は「足して重複を引く」
補集合は「全体から引く」
これで十分だ。
それじゃあな。
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