0°≤θ≤180° の三角比とは？半円と座標を使った定義をわかりやすく解説
妖練習 高校数学I 因数分解 スーパードリル 777
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、三角比を0°から180°まで広げるぞ。半円と座標を使って、sin、cos、tanを定義していく。
これまでの三角比では、主に直角三角形を使って、
$$
\sin\theta
$$
$$
\cos\theta
$$
$$
\tan\theta
$$
を考えてきたよな。
直角三角形では、角
$$
\theta
$$
は鋭角。
つまり、
$$
0^\circ<\theta<90^\circ
$$
の範囲で考えることが多かった。
でもな、高校数学Iでは、三角比をさらに広げて、
$$
0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ
$$
の範囲で考える。なんて欲張りなんだろうな。
たとえば、
$$
120^\circ
$$
や
$$
150^\circ
$$
のような鈍角の三角比も扱うってことだ。
直角三角形だけだと、90°より大きい角は扱いにくい。そこで登場するのが、半円と座標さ。
この記事では、
0°≤θ≤180° の三角比
を、半円と座標を使ってわかりやすく解説する。
半円を使って考える
座標平面上に、原点Oを中心とする半径
$$
r
$$
の半円を考える。
点Aを、x軸上の点
$$
A(r,0)
$$
とする。
そして、半円上に点Pをとる。
点Pの座標を、
$$
P(x,y)
$$
とする。
このとき、角
$$
\theta
$$
を、
$$
\angle AOP=\theta
$$
となるように考える。
つまり、x軸の正の向きから、点Pの方向までの角を
$$
\theta
$$
とするのさ。
点Pを半円上に動かすことで、θを0°から180°まで考えられる。ここが直角三角形との大きな違いだ。
0°≤θ≤180° の三角比の定義
半円上の点Pを
$$
P(x,y)
$$
とする。
また、半径を
$$
r
$$
とする。
このとき、0°から180°までの角
$$
\theta
$$
の三角比を、次のように定義する。
$$
\sin\theta=\frac{y}{r}
$$
$$
\cos\theta=\frac{x}{r}
$$
$$
\tan\theta=\frac{y}{x}
$$
これが、
半円と座標を用いた三角比の定義
だ。
sinはy座標を見る。cosはx座標を見る。tanはyをxで割る。まずはこの対応を押さえよう。
鋭角のときは直角三角形の定義と一致する
ここで大事なのは、半円と座標を使った定義が、これまでの直角三角形の定義とつながっていることだ。
たとえば、
$$
0^\circ<\theta<90^\circ
$$
のとき、点Pは第1象限にある。
このとき、原点O、点P、x軸に下ろした点を使うと、直角三角形ができる。
その直角三角形で見ると、
- 高さ：y
- 横：x
- 斜辺：r
となる。
だから、
$$
\sin\theta=\frac{y}{r}
$$
$$
\cos\theta=\frac{x}{r}
$$
$$
\tan\theta=\frac{y}{x}
$$
は、直角三角形での定義と同じになる。
新しい定義に見えるが、鋭角のときは今までの三角比と同じだ。座標を使って、考えられる角の範囲を広げただけなんだ。
たとえば、
$$
\theta=30^\circ
$$
のときを考える。
半径を
$$
r=2
$$
とする。
このとき、半円上の点Pの座標が、
$$
P(\sqrt{3},1)
$$
だったとする。
すると、
$$
x=\sqrt{3}
$$
$$
y=1
$$
$$
r=2
$$
である。
したがって、
$$
\sin30^\circ=\frac{y}{r}=\frac{1}{2}
$$
$$
\cos30^\circ=\frac{x}{r}=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
\tan30^\circ=\frac{y}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
となる。
これは、直角三角形で求めた三角比と一致するよな。
鈍角でも三角比を考えられる
半円と座標を使うと、90°より大きい角も扱えるのが便利なところさ。
たとえば、
$$
\theta=150^\circ
$$
のときを考える。
半径を
$$
r=2
$$
とする。
このとき、半円上の点Pの座標が、
$$
P(-\sqrt{3},1)
$$
だったとする。
すると、
$$
x=-\sqrt{3}
$$
$$
y=1
$$
$$
r=2
$$
である。
したがって、
$$
\sin150^\circ=\frac{y}{r}=\frac{1}{2}
$$
$$
\cos150^\circ=\frac{x}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}
$$
$$
\tan150^\circ=\frac{y}{x}=\frac{1}{-\sqrt{3}}
$$
つまり、
$$
\tan150^\circ=-\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
である。
ここで注目したいのは、符号だ。
$$
150^\circ
$$
では、点Pが左側にあるので、
$$
x
$$
が負になる。
そのため、
$$
\cos150^\circ
$$
と
$$
\tan150^\circ
$$
は負になる。
一方で、点Pはx軸より上にあるので、
$$
y
$$
は正である。
そのため、
$$
\sin150^\circ
$$
は正になる。
鈍角では、x座標が負になることがある。だからcosやtanにマイナスが出てくるんだ。
まとめ
今回は、
$$
0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ
$$
の範囲での三角比を、半円と座標を使って定義した。
半円上の点Pを
$$
P(x,y)
$$
半径を
$$
r
$$
とすると、
$$
\sin\theta=\frac{y}{r}
$$
$$
\cos\theta=\frac{x}{r}
$$
$$
\tan\theta=\frac{y}{x}
$$
ってことだったな。
この定義を使うことで、
$$
120^\circ
$$
や
$$
150^\circ
$$
のような鈍角の三角比も考えられるようになるんだ。
直角三角形から、半円と座標へ。ここで三角比の世界が一気に広がる。sinはy、cosはx、tanはy/x。まずはこれを押さえよう。
それじゃあな。
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