えっ、ルートが自然数になる・・・だと？
ルート関係でよく出てくるのはこの問題。
一度解きほぐせばすぐに解けるようになるよ。
ルートが自然数となる自然数の求め方
知っておきたいのは、
ルートの中身が「何かの2乗」になれば自然数になること。
ルートの中身が何かの2乗なら、ルートが外れて自然数になるよね。
例えば、$\sqrt{5}$の2乗だったら、ルートが外れて自然数「5」になるはず。
例題ではルートの中身が「$54a$」だったから、「$54a$」が何かの数字を2乗になるように、$a$を調整すればいい。
ルートの中身を素因数分解
ルートの中身を素因数分解しよう。
例題では、ルートの中身が
$54a$
だったから、$a$の前にある54を素因数分解しよう。
詳しくは「素数分解のやり方」で復習してみてね。
素因数分解すると、
$$54 = 2 × 3³$$
になるね。
素因数の指数が偶数になるように$a$を定める
素因数の指数に注目しよう。
指数とは、
数字についている乗数のこと
だ。
例えば「$3^2$」なら「2」が指数ってこと。
例題では54が
$$2 × 3³$$
に素因数分解できた。
それぞれの因数の「2」と「3」の指数をみると、
- 2の指数＝1
- 3の指数＝3
になってる。
どの因数の指数も「奇数」ってことだ。
ルートが自然数になるのは、
ルートの中身が「何かの2乗」になるとき
だ。
この場合だと「2」と「3」の指数がぜんぶ偶数になるときさ。
指数が偶数になるパターンは複数考えられるけど、最小の労力で済むのが、
「2」と「3」を1つずつかける方法。
これによって、「$54 = 2 × 3³$」が
$$2² × 3⁴$$
になって、因数の指数がすべて偶数になるね。
だから、54にかける$a$は「 2と3を1個ずつかけた」6が正解だ。
$a$を6とすれば、$\sqrt{54a}$は18という自然数になるはず。
こんな感じでルートの問題と見せかけて、
素因数分解の応用問題だったわけだ。
テストに出やすいからよく復習しておこう。
そんじゃねー
Ken
