ルート関係でよく出てくるのはこの問題。
一度解きほぐせばすぐに解けるようになるよ。
知っておきたいのは、
ルートの中身が「何かの2乗」になれば自然数になること。
ルートの中身が何かの2乗なら、ルートが外れて自然数になるよね。
例えば、$\sqrt{5}$の2乗だったら、ルートが外れて自然数「5」になるはず。
例題ではルートの中身が「$54a$」だったから、「$54a$」が何かの数字を2乗になるように、$a$を調整すればいい。
ルートの中身を素因数分解しよう。
例題では、ルートの中身が
$54a$
だったから、$a$の前にある54を素因数分解しよう。
詳しくは「素数分解のやり方」で復習してみてね。
素因数分解すると、
$$54 = 2 × 3³$$
になるね。
素因数の指数に注目しよう。
指数とは、
数字についている乗数のこと
だ。
例えば「$3^2$」なら「2」が指数ってこと。
例題では54が
$$2 × 3³$$
に素因数分解できた。
それぞれの因数の「2」と「3」の指数をみると、
になってる。
どの因数の指数も「奇数」ってことだ。
ルートが自然数になるのは、
ルートの中身が「何かの2乗」になるとき
だ。
この場合だと「2」と「3」の指数がぜんぶ偶数になるときさ。
指数が偶数になるパターンは複数考えられるけど、最小の労力で済むのが、
「2」と「3」を1つずつかける方法。
これによって、「$54 = 2 × 3³$」が
$$2² × 3⁴$$
になって、因数の指数がすべて偶数になるね。
だから、54にかける$a$は「 2と3を1個ずつかけた」6が正解だ。
$a$を6とすれば、$\sqrt{54a}$は18という自然数になるはず。
こんな感じでルートの問題と見せかけて、
素因数分解の応用問題だったわけだ。
テストに出やすいからよく復習しておこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。植物は癒しだね。
正の約数の個数を求めたい。
そんなとき・・あるよね。。
小さい数の約数なら簡単。
たとえば、
みたいなかんじで、がんばれば約数の個数はわかっちゃう。
だけどね。
むちゃでかい自然数の正の約数の個数を求めたいとき。
こいつはそう簡単にうまくいかない。
たとえば、360の約数の個数を求める問題。
1, 2, 3, ,,,4, ,5, ,,,, 6,,,,,,12,,,,,
って数えてたら日がくれちゃうね。気合だけじゃのりきれない。
そこで今日は、どんなに大きな数でも使える、
約数の個数の求め方の公式
を紹介するよ。
よかったら参考にしてみて。
正の約数の求め方には公式があるよ。
約数の個数を求めたい自然数をNとしよう。
んで、
N = a^p × b^q × c^r
って素因数分解できたとする。
すると、正の約数の個数は、
(p+1)(q+1)(r+1)
になるんだ。
つまり、
（素因数の指数+1）をかけあわせるだけでいいんだ。
たとえば、自然数20の約数の個数を求めてみよう。
こいつを素因数分解すると、
20 = 2^2 × 5
になるね。
正の約数の個数は、（指数＋1）をかけあわせればいいから、
(2+1)×(1+1)
= 6
になるってわけ。
今日はこの公式になれるため、20よりもう少し大きい、
360
の約数の個数をもとめてみよう！
つぎの3ステップで約数の個数を求めることができるよ。
自然数を素因数分解してみよう。
360を素因数分解してやると、
・・っおっと。
1がでてきたのでここでストップだね。
わった素数をあつめて因数にすると、
360 = 2^3 × 3^2 × 5
になるね！
つぎは、素因数の指数をかぞえよう。
自然数の360は、
360 = 2^3 × 3^2 × 5
になったね。
素因数の指数に注目してやると、
になってるね。
最後は、
指数に1をたしたもの
を掛け合わせてみよう。
360の素因数の指数はそれぞれ、
だったよね？？
だから、360の正の約数の個数は、
(2の約数の個数+1) × (3の約数の個数) × (5の約数の個数)
= (3+1) × (2+1) × (1+1)
= 24
になる。
つまり、360の正の約数の個数は「24」になるってわけ！
でもさ、ちょっとあやしくない？？
約数の個数の求め方が、こんなに簡単だなんて・・・
じつは、
「 約数の個数」＝「それぞれの素因数をかけるパターン数」
なんだ。
たとえば、さっきの自然数Nが、
N = a^p × b^q × c^r
に素因数分解できるとしよう。
このとき、素因数aの掛け方の方法は、
の (p+1)通りあるはず。
おなじように、他の素因数も考えてやると、
になるはずだ。
1つの素因数あたりの指数のパターンは、
ある。
だから、自然数Nの約数の個数は、
(p+1)×(q+1)×(r+1)
になるんだ。
どう？？しっくりきたかな？？
約数の個数？？
そんなの簡単さ。
素因数分解して、指数に1をたして、かけあわせればいいんだ。
じゃんじゃん素因数分解していこう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。シチリアに行きたいね。
素因数分解の問題はたーくさんあるよ。
ほとんどの問題はただ素因数分解するだけ。
でもたまーに、
素因数分解の応用問題がでてくるよ。
たとえば、つぎのようなやつね↓↓
今日はこの応用問題を3ステップで解説していくよ。
よかったら参考にしてみてね。
例題をいっしょにといてみよう。
3ステップでとけちゃうよ。
まず素因数分解してみよう。
素因数分解のやり方で分解すればいいんだ。
例題では、60を素因数分解してみよう。
素因数分解の解き方の鉄則は、
小さい素数から順番にわっていく
だったよね？？
だから、いちばん小さい素数の2から割りはじめよう。
割り算の答えが「1」になるまで素数で割り続けてみてね。
すると、
になるはず。
あとはわった素数をあつめて「×」で結んでみて。
すると、
60 = 2^2 × 3 × 5
になるね！
つぎは、素因数のなかから、
指数が奇数になってるやつ
をさがそう。
60の素因数のうち、
の指数は奇数だね。
これが第2ステップ！
最後は、
指数が奇数の素因数を1つずつかけてみよう！
それが答えになるよ。
なぜなら、すべての素因数の指数を偶数にすれば、
「○○の二乗」になるからね。
例題をみてみよう。
60を素因数分解すると、
60 = 2^2 × 3 × 5
になったよね？？
指数が奇数になってるのは、
の素因数。
よって、ぜんぶの指数を偶数にするためには、
「60」に「3」と「5」をかければいいね。
そうすると、
2^2 × 3^2 × 5^2
になる。
こいつを2乗でくくってやると、
(2×3×5)^2
になるね！
つまり、
60に自然数15をかけてやると、900になって、
そいつは30の二乗になってるんだ。
今回の例題では、
できるだけ小さい数をかける
って条件があったね。だから、
3×5、つまり、15が答えになるよ。
応用問題の解き方はわかったね。
っていう3ステップさ。
慎重にといてみよう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。塩は大事だね。
ってことは習ったね。
だけどさ、
実際、素因数分解ってどうやるんだろう？？
やり方なんてぜんぜんイメージできないよね。
だって、素因数分解したことないんだもん。
そこで今日は、
素因数分解のやり方を5ステップで解説してみたよ。
よかったら参考にしてみて。
素因数分解のやり方はずばり、
素数でわりまくって、割れた素数を集めて因数にする
方法だ。
だから、素因数分解で大切なのは、
素数で割りまくる根性
と、
素数かどうか見分ける力
なんだ。
この2つさえあれば素因数分解なんて楽勝さ。
素因数分解は5ステップでできちゃうよ。
例として、自然数の360を素因数分解してみよう！
まず、素因数分解したい自然数をかいてみよう。
鉛筆でもシャープペンでもいいからかいてみて。
例題でいうと、
360
だね。
うまくかけたらつぎにいこう。
つぎは素因数分解するための準備。
自然数の周りに線をかいてみて。
これは素数で割りまくるための道具なんだ。
この線の横に、自然数を割る素数、
自然数の下にその割り算の答えをかいていくんだ。
もし、「割り算の答え」が素数でわれるようだったら、
こんな感じで下に続けていって、素数でわりまくるんだ。
例題でもおんなじさ。
360の下にこのきんとんうんのような線をちょこっとかいてあげよう。
これが第2ステップ！！
いよいよ素因数分解の山場。
素数でわりまくる
っていうステップだ。
ここでのコツは、
小さい素数から割りまくる
ってこと。
つまり、素数でいちばん小さい「2」から割りまくるのさ。
2で割り切れなくなったら3、
3で割り切れなくなったら5、
・・・・
というように徐々に素数を大きくしていこう。
割り算の答えが1になるまで続けてみてね。
例題の「360」もまずは素数2でわりまくってみよう。
すると、
っていう感じで3回われたね！
45は残念ながら2で割り切れないから3にバトンタッチだ。
おなじように、3で割りまくってみると、
っていう感じで2回われたね。
お次は素数の5の出番。
おなじように割り算の答えをわってみると、
・・・
おや！
1がでてきたね！
割り算の答えが1になったからストップ。
割ってきた素数を集めるフェーズだ。
左の素数をかきあつめて「×」でむすんでみよう。
たとえば、自然数が素数1から素数nまでわれちゃったとしよう。
このとき、割れちゃった素数を「×」でむすんでやると、
素数1×素数2×素数3×・・・×素数n
になるね。
これを360の素因数分解でもやってみよう。
割った素数はぜんぶで、
の6つだね？？
こいつらを「×」でむすんでやると、
360 = 2×2×2×3×3×5
になるね。
最後は指数でシンプルにしよう。
同じ素数を指数でまとめればいいのさ。
360の素因数分解でいうと、
が指数でまとめられそうだね。
指数でコンパクトにしてやると、
360 = 2^3 × 3^2 × 5
になるはずだ。
おめでとう！
これで素因数分解のやり方もマスターだね。
素因数分解は基本的に、
素数で自然数をわりまくって、
あつめて、
かけ算にしてやるだけ。
あとは指数でととのえればよし。
素因数分解はいろいろな計算に使えて便利。
やり方・解き方はおぼえておこうね。
えっ、もっと高速に素因数分解したい？？
そんな君のために、素因数分解電卓アプリ「Soin」をつくったよ。
よかったら試してみて。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。強風にあおられたね。
世界にはたくさん因数分解がある。
地球は広い。ほんとに。
その因数分解の1つに、
素因数分解（そいんすうぶんかい）
ってものがある。
名前からしてちょっと怪しい。
ぶっちゃけ遠ざけたい。
だけど、テストにでてくるくせ者なんだ。
そこで今日はこの「素因数分解」と仲良くするためにも、
素因数分解とはなにか？？
を解説してみたよ。
よかったら参考にしてみて。
ずばりいってしまおう。
素因数分解とは、
「自然数」を「素数」の「かけ算」になおすこと
だよ。
もっと因数分解的にいってやると、
自然数を素数の因数に分解すること
なんだ。
素数の因数のことを略して「素因数」ってよんでるよ。
えっ。
ごちゃごちゃしてるって！？？
うーん、そうだね。
たとえば、35という自然数をイメージしてみて。
こいつを素因数分解、つまり、
素数のかけ算になおしてやると、
35 = 5 × 7
になる。
だって、「しちごさんじゅうご」だもん。
「5」も「7」も素数だから素因数分解になるんだ。
このとき、
「5」と「7」を「35」の「素因数」ってよんでるよ。
なぜなら、素数の因数だからね。
せっかくだから、
素因数分解じゃない例を紹介していくよ。
どれか1つにあてはまるようなら、
そいつはもう、素因数分解でもなんでもない。
ただの因数分解ってことさ。
因数分解する数字が「自然数」じゃない
っていうケースだ。
スタート地点から間違っているね。
たとえば、
-35
を「- 5 × 7」に因数分解したとしよう。
いっけん素因数分解っぽいけど、こいつは素因数分解じゃない。
なぜなら、
因数分解したもとの「-35」が自然数じゃないからね。
素因数分解かたしかめるときは、かならず、
もとの数が自然数かどうか
をチェックしてみよう。
つぎは、因数が素数じゃないケースだ。
これはヒューマンエラーというか、ただのミスだね。
たとえば、もし、35を「1×35」って因数分解しちゃっとしよう。
この因数分解は素因数分解なんかじゃない。
なぜなら、
は素数じゃないからね。
因数分解はできてるんだけど、素数のかけ算に分解できてないんだ。
だから、ただの因数分解になっちゃってる。
素因数分解したあとにはかならず、
因数が「素数」になっているかどうか
を確認してみよう！
素因数分解とは因数分解の一種。
自然数を素数の因数に分解することを「素因数分解」っていうんだ。
テストによくでてくるから、
素因数分解のやり方もおさえておこう！
そんじゃねー
Ken
