正四角錐の表面積の求め方って??
こんにちは、この記事をかいているKenだよ。鶏肉は煮るとウマいね。
正四角錐って、
底面が「正方形」の錐体のこと
だったよね??
つまり、底面が正方形で、先がとんがっている立体ってことだ。
そんな正四角錐の表面積は
(底面の正方形)+(側面の三角形)×4
で求めることができるよ。
だって、正四角錐の展開図が「正方形1つ」と「三角形4つ」で成り立っているからね。
つまり、
「底面の1辺の長さ」と「側面の三角形の高さ」がわかっていれば計算できるってわけさ。
えっ。どんな問題がわからないから怖すぎるだって!?
そ、そんなキミでも大丈夫。
じつは、中学数学ででてくる「正四角錐系の問題」ってだいたい次の3つのパターンになるんだ。
- 「正方形の1辺の長さ」と「側面の三角形の高さ」がわかっているパターン
- 「正方形の1辺の長さ」と「正四角錐の他の辺の長さ」がわかっているパターン
- 「正方形の1辺の長さ」と「正四角錐の高さ」がわかっているパターン
それぞれの求め方についてゆっくりみていこう。
「正方形の1辺」と「側面の三角形の高さ」がわかっている問題
いちばん簡単なパターン。中学1年生でもとける問題だね。
「底面の1辺の長さ」と「側面の三角形の高さ」がわかっているから、
「底面の正方形」+「側面の三角形」×4
を計算すればいいんだ。
たとえば、底面の1辺の長さが4cm、側面の長さが6cmだとしよう。
正四角錐の展開図は「底面の正方形1つ」と「側面の三角形4つ」で構成されているね。
よって、正四角錐の表面積は、
( 4×4 ) + ( 4×6÷2 ) × 4
= 64 [cm²]
になる。
中1数学ではこの種類しか出題されないよ。
しっかり押さえておこう。
「正方形の1辺」と「側面の三角形の辺の長さ」がわかっているパターン
2つ目のパターンは、
「正方形の1辺」と「側面の三角形の辺の長さ」がわかっているパターンだ。
正四角錐の表面積の求め方って、
側面の三角形の高さ
さえわかっていれば計算できちゃう。
ってことは、「正方形の辺の長さ」と「側面の三角形の辺の長さ」から「側面の三角形の高さ」を計算しちゃえばいいってことになるね。
たとえば、
底面の1辺の長さが「6cm」、側面の三角形の辺の長さが「5cm」の正四角錐があったとしよう。
側面の三角形は二等辺三角形だから、頂点から底辺にひいた垂線は垂直二等分線になっているね。
側面の三角形の高さhは、三平方の定理をつかうと次のように計算できる。
√(5² – 3²)
= 4
側面の三角形の高さがわかったらもう大丈夫。
正四角錐の表面積は、
「底面の正方形」+「側面の三角形」×4
だったよね?? これも1つめのパターンと同じように計算してやると、
6×6 + (6×4÷2) ×4
= 84[cm²]
っていう感じで、正四角錐の表面積が計算できちゃうんだ。やったね。
「正方形の1辺」と「正四角錐の高さ」がわかっているパターン
最後は「正方形の1辺の長さ」と「正四角錐の高さ」がわかっているパターンだよ。
これもさっきのパターンと同じで、
「正方形の1辺の長さ」と「正四角錐の高さ」から「側面の三角形の高さ」をだしてやれば表面積を求めることができるよ。
たとえば、
底面の1辺の長さが「8cm」、高さも「8 cm」の正四角錐があったとしよう。
このとき、
「正四角錐の高さ」と「側面の三角形の高さ」を1辺とする三角形を考えてみよう。
正四角錐の頂点からおろした垂線は、ちょうど底面のど真ん中に着地しているね。
だから、この三角形の底面は正方形の辺の半分の「4cm」になる。
三平方の定理をつかって、斜面の長さを求めてやると、
h = √(8² + 4²)
= 4√5
になる!
側面の三角形の長さがわかってしまえばあとは計算するだけ。
正四角錐の表面積は、
「底面の正方形」+「側面の三角形」×4
で求めることができるから、
( 8 × 8 ) + (8×4√5 ÷2 ) × 4
= 64 ( 1 + √5) [cm²]
となる。
おめでとう!これで正四角錐の表面積が計算できたね。
まとめ:正四角錐の表面積の問題は3通り
正四角錐の表面積の求め方の問題がでたら、
自分が解こうとしている問題がどのタイプか??
ということを探ってみよう。そして、
いかにして側面の三角形の高さをだすか??
ということを考えてみよう!
そんじゃねー
Ken