循環小数を分数に変換したい！
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。大根は干すとうまいね。
循環小数の問題でよくでてくるのは、
循環小数を分数に変換する問題
だ。
これは文字通り、
永遠につづく循環小数
を
分数
で表せって問題なんだ。
たとえば、こんな感じのやつね↓↓
例題
循環小数0.123412341234…..を分数で表しなさい。
求め方がわからんと苦戦する。
だけど、やり方はすごく簡単なんだ。
いっかいマスターすれば怖いものなしさ。
そこで今日は、
循環小数を分数になおす方法
をわかりやすく解説していくよ！
循環小数を分数に変換する3ステップ
3ステップでいけちゃうね。
- リピート数を数える
- 方程式をつくる
- 方程式をとく
例題をいっしょに解いていこう！
例題
循環小数0.123412341234…..を分数で表しなさい。
Step1. リピート数を数える
まずは、
繰り返しになってる数をかぞえてみよう。
例題の循環小数をみてみて。
0.123412341234…
は、
1234の「4ケタ」が繰り返えされてるね？？
だから、リピート数は「4」だ。
あ、ちなみに、この循環小数はこうやって表せるんだ。
⇒くわしくは「循環小数の表し方」をみてみてね
これが第1ステップ。
Step2. 方程式を2つ作る
つぎは、方程式を2つたててみよう。
えっ。
そんなに方程式なんて立てられないって！？？
そんなことはないよ。
じつは、
循環小数の方程式のたてかたはいつも同じなんだ。
もとの循環小数をx、繰り返しになってるケタ数をaとしよう。
このとき、
- 10^a X = 10^a × 循環小数
- x = 循環小数
っていう2つの方程式をつくればいいのさ。
例題で繰り返しになっている数は、
4ケタ
だったよね？？
だから、a = 4 、循環小数 = 0.123412341234…を
10^a X = 10^a × 循環小数
に代入してやると、
10^a X = 10^4 × 循環小数
10000X = 10^4 × 0.123412341234…
10000X = 1234.12341234…
になるね。
んで、もう一個の式は、
X = 循環小数
のまんま。
X = 0.123412341234…
になるね。
よって、例題ででてくる2つの方程式は、
- 10000X = 1234.12341234…
- X = 0.123412341234…
だ！
Step3. 方程式を引き算する
つぎは、2つの方程式を引き算しよう。
「大きいほう」から「小さいほう」をひけばいいんだ。
つまり、
（Xに10のa乗をかけた方程式）-（Xの方程式）
っていう計算だ。
例題でも2つの方程式を引くと、
10000X = 1234.12341234…
– )X = 0.123412341234…
————————————–
10000X – X = 1234.1234… – 0.12341234…
9999X = 1234
になるね！
Step4. 方程式をとく
あとは方程式をとくだけ。
xだけの一次方程式だから簡単だね。
例題でも、
9999x = 1234
をといてみよう。
xの係数「9999」で両辺をわってやると、
9999x ÷ 9999 = 1234 ÷ 9999
x = 9999分の1234
になるね！
よって、循環小数0.12341234…は、
9999分の1234
って分数に変換できちゃうってわけ！
どう？？
しっくりきたかな！？
まとめ：循環小数の分数変換に必要なのは一次方程式！
循環小数を分数に変換できた？？
使ってるのは、中1数学でならう、
一次方程式の解き方
だけだ。
やってること自体は簡単だから、計算問題をたくさんといてみよう！
そんじゃねー
Ken
