二次方程式の利用の動点の問題？？
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。布団、押し込んだね。
二次方程式の利用ではいろいろ文章問題をとくよね。
整数の問題とか、長方形の面積を求める問題とか、まじありすぎる。
そんな中、テストにでてくるとヤッカイなのが、
動点の文章問題
だ。
動点の問題とは、
「ある点」が時間がたつにつれて辺上を動く問題のことね。
ずっと前に「一次関数の利用の問題」でやった問題といっしょ。
あれがもっかい中3数学で登場するわけ。
テストにでやすいから苦手をつぶしておこう。
二次方程式の利用の「動点」の文章問題の解き方の4ステップ
動点の文章題の解き方を紹介しよう。
つぎの練習問題をといてみようね。
練習問題
AB = 10cm、BC = 30cmの直角三角形ABCがあります。点Pは辺AB上をAからスタートして1秒間に1cmの速さでBまで動きます。また、点QはBC上をBからスタートして1秒間に2cmの速さでCまで動きます。
PとQが同時に動きはじめるとき、△PBQの面積が16cm^2になるのは何秒後になりますか？？
解き方は他の二次方程式の文章題といっしょ。
4ステップでいけるんだ。
- 求めたいものを文字とおく
- 二次方程式をたてる
- 二次方程式を解く
- 解のチェック
Step1. 求めたいものを文字とおく
方程式の文章題の解き方はどれもおなじ。
そう。
「文章題で求めたいもの」を文字でおけばいいんだったね？？
xでもyでもzでも好きな文字でおいてくれ。
例の文章問題では、
△PBQの面積が16 cm^2になるときは何秒後になるか？？
を求めたかったね。
だから、2点P、Qがスタートしてからの時間をx秒としてみようか。
これが第1ステップ。
Step2. 二次方程式をつくる
文章問題をもとに二次方程式をつくってみよう。
文章題のなかの、
○○が△△に等しいとき
っていう文をみつけて、それをもとに、
○○ = △△
っていう方程式をつくればいいのさ。
さっきの練習問題をみてみて。
△PBQの面積が16 cm^2になるとき
っていう文がみつけられたかな？？
つまり、この二次方程式の動点の問題では、
△PBQの面積 = 16cm^2
っていう2次方程式をつくればいいわけだ。
それじゃあ、x秒後の△PBQの面積を計算してみよう。
底辺×高さ÷2
だ。
ってことは、△PBQの面積を求めるには、
- PB（高さ）
- BQ（底辺）
の2つがわかってればいいね。
点P、Qはそれぞれ、
- 点P : 毎秒1cm
- 点Q : 毎秒2cm
動く。
ってことは、x秒後は、それぞれ、スタート地点から、
- 点P : x cm
- 点Q : 2x cm
すすんでるはずだね。
だから、直角三角形PBQの底辺と高さの辺たちは、
- PB （高さ）= AB – AP = 10 -x
- BQ（底辺） = 2x
になってる。
ってことは、スタートからx秒後の△PBQの面積は、
（底辺）×（高さ）÷ 2
= BQ × PB ÷ 2
= 2x (10-x)÷2
= x (10-x)
になるね。
この文章題では△PBQの面積が「16cm^2」になればいいんだったね？？
ってことは、
△PBQの面積 = 16
x (10-x) = 16
っていう二次方程式ができるはずだ。
Step3. 二次方程式を解く
さっきの二次方程式を解いてみよう。
因数分解をつかってもいいし、解の公式をつかってもいい。
とりあえず、2次方程式の解を求めてね。
練習問題の二次方程式は、
x (10-x) = 16
だ。
左辺の（）を分配法則で展開してやると、
x (10-x) = 16
10x – x^2 = 16
になるね。
移項して整理してやると、
x^2 – 10x + 16 = 0
になるんだ。
左辺の、
x^2 – 10x + 16
はどうやら因数分解の公式がつかえそうだ。
- かけたら16
- たしたら-10
になる2つの数を考えてみると・・・・
は！
- -8
- -2
ならこの条件にあいそう！
ってことで、因数分解の公式の、
x^2 +(a+b) x + ab = (x + a) (x +b)
で因数分解してやると、
x^2 – 10x + 16
= x^2 (-8-2)x + (-8)×(-2)
= (x -8) (x-2)
になるね。
だから、練習問題の二次方程式は、
x^2 – 10x + 16 = 0
(x -8) (x-2) = 0
になる。
( x – 8) (x – 2)が0になってるってことは、どっちかが0なはず。
よって、
- x-8 = 0
- x -2 = 0
のどちらかが成り立つはずだね？？
ってことで、2つの一次方程式をといてやると、
- x = 8
- x = 2
っていう解が2つでてくるね。
Step4. 解をチェックする
やった！これで二次方程式解けたー！おわたーー
ってなるのはちょっとはやい。
じつは、二次方程式の文章問題では最後に、
解の吟味
をしなきゃいけないんだ。
吟味ってつまり、解が文章題にそってるか確認することだ。
これをしないと、わけのわからん答えをかいちゃうからね。
練習問題でも解を確認しよう。
二次方程式の解は、
- x = 8
- x = 2
だったね。
つまり、PとQがスタートしてから「2秒後」と「8秒後」に面積が16cm^2になるらしい。
この2つのxはきちんとxの変域内におさまってるから問題なさそうだ。
だって、点PはBまでしか動けないからxの変域は、
0 ≦ x ≦ 10
だもんね。
点Pは1秒間に1cmすすむから、10秒で10cmすすむ。
つまり、終点のBに到着しちゃうのさ。
だから、xが10より大きくならないってわけ。
今回の2つの解は10以下におさまってるね。問題ない！
よって、まとめると、
△PBQの面積が16cm^2になるときはスタートしてから2秒後と8秒後だね。
まとめ：二次方程式の利用の文章題でも動点も大丈夫！！
二次方程式の利用の動点も大丈夫だ。
落ち着いて、
- 求めたいものを文字とおく
- 二次方程式をたてる
- 二次方程式を解く
- 解のチェック
の4ステップで解けばいいよ。
ただ、
解が変域内におさまってるか？？
は必ず確認してね。
そんじゃねー
Ken
