数学Aでは、

順列

と、

組合せ

が出てきたよな？？

どちらも、

「いくつかのものから選ぶ」

という点では似ている。

がしかし、

どっちでPを使うの？

どっちでCを使うの？

と迷いやすいよな。

 

でも、

見分け方はかなりシンプルだ。

結論からいうと、

$$
\boxed{
順列
=
順番を区別する
}
$$

$$
\boxed{
組合せ
=
順番を区別しない
}
$$

だ。

 

順列（じゅんれつ）とは？？

順列とは、

いくつかのものを選んで、順番をつけて並べること

だ。

たとえば、

A、B、Cの3人から、

2人を選んで、

1位と2位を決めるとする。

AとBを選んだとしても、

$$
A\rightarrow B
$$

と、

$$
B\rightarrow A
$$

では、

1位と2位が違う。

だから、

別の結果

として数える。

つまり、

$$
\boxed{
ABとBAは別
}
$$

である。

 

組合せ（くみあわせ）とは？？

組合せとは、

いくつかのものから、順番を考えずに選ぶこと

である。

たとえば、

A、B、Cの3人から、

2人の代表者を選ぶとする。

この場合、

AとBを選ぶのも、

BとAを選ぶのも、

選ばれている人は同じだ。

したがって、

$$
\{A,B\}
$$

という、

同じ1組

として扱う。

つまり、

$$
\boxed{
ABとBAを同じものとして考える
}
$$

のが組合せである。

 

順列と組合せの違い

違いを一言でいうと、

順番を区別するかどうか

である。

順列は、

$$
\boxed{
選ぶ
+
順番を決める
}
$$

組合せは、

$$
\boxed{
選ぶだけ
}
$$

である。

たとえば、

AとBという2人を選んだとき、

順列なら、

$$
AB
$$

$$
BA
$$

の2通り。

組合せなら、

$$
\{A,B\}
$$

の1通りである。

 

順列と組合せの最強の見分け方

順列か組合せか迷ったら、

次の質問をしてみよう。

「選んだものの順番を入れ替えたら、別の結果になるか？」

別の結果になるなら、

$$
\boxed{
順列
}
$$

同じ結果なら、

$$
\boxed{
組合せ
}
$$

である。

これが、

最も使いやすい見分け方だ。

 

 

例1. 会長と副会長を選ぶ

10人の中から、

会長1人、

副会長1人を選ぶとする。

Aさんが会長、

Bさんが副会長の場合と、

Bさんが会長、

Aさんが副会長の場合では、

結果が違う。

つまり、

役割を入れ替えたら、

別の結果になる。

したがって、

順列

である。

$$
\boxed{
{}_{10}P_2
}
$$

を使う。

 

例2.  代表者を2人選ぶ

10人の中から、

代表者を2人選ぶとする。

AさんとBさんを選んでも、

BさんとAさんを選んでも、

選ばれた2人は同じである。

したがって、

組合せ

である。

$$
\boxed{
{}_{10}C_2
}
$$

を使う。

 

例3.  1位・2位・3位を決める

8人の中から、

1位、

2位、

3位を決めるとする。

選ばれた3人が同じでも、

誰が何位かによって結果が違う。

だから、

順列

である。

$$
{}_{8}P_3
$$

を使う。

 

例4.  8人から3人を選ぶ

8人から、

単に3人のメンバーを選ぶとする。

順番や役割は関係ない。

したがって、

組合せ

である。

$$
{}_{8}C_3
$$

を使うんだ。

 

まとめ

よし、以上だ。

今回は、

順列と組合せの違い・見分け方

を確認したな。

 

順列とは、

選んで、順番まで考える

もの。

 

組合せとは、

順番を考えずに選ぶ

ものだ。

 

順列か組合せか迷ったら、

「順番を入れ替えたら別の結果になるか？」

と考えてみよう。

 

それじゃあな。