平行線と線分の比の証明ってどうやるの？？
やあ、 Dr. リードだよ！！
今日は平行線にはさまれた線分の比の定理を証明するよ。
つぎの2つの定理を証明していくんだ。
△ABCの辺AB・AC上の点をそれぞれP・Qとするとき、
- PQ//BCならば、 AP:AB = AQ : AC = PQ : BC
- PQ//BCならば、AP:PB = AQ : QC
ところで、今日はケーキを用意したぞ。
最近よく頑張ってるみたいだし。
ごほうびだ。
ちょっと注目して欲しいんだけど、
スポンジとクリームが見事な平行線をつくってるだろ。
「クリーム」と「スポンジの切り口」の長さは左側でも右側でも、
それぞれ一緒だろ？
よ～く目に焼き付けといてくれよ。
平行線と線分の比の定理を忘れそうになったときは、
カットしたケーキをイメージしてくれよな。
3分でわかる！平行線と線分の比の2つの証明
さっそく、2つの定理の証明をしていくぞ。
証明1.「PQ//BCならば、 AP:AB = AQ : AC = PQ : BC」
平行線と線分の比の証明の1つめ。
△ABCの辺AB・AC上の点をそれぞれP・Qとするとき、
PQ//BCならば、 AP:AB = AQ : AC = PQ : BC
こいつはズバリ、
で2つの三角形の相似を証明をしていけばいいのさ。
以下、証明な↓↓
△ＡＢＣと△ＡＰＱにおいて、
ＰＱ∥ＢＣなので、
∠ＡＢＣ ＝ ∠ＡＰＱ （平行線の同位角は等しい）①
∠ＡＣＢ ＝ ∠ＡＱＰ （平行線の同位角は等しい）②
①・②より、
２つの三角形の２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ ∽ △ＡＰＱ
よって、ＰＱ∥ＢＣならば、
AP：AB ＝ AQ：AC ＝ PQ：BC である。
2つの三角形の相似を証明するだけだから簡単だね。
証明2. 「PQ//BCならば、AP:PB = AQ : QC」
つぎは2つ目の平行線と線分の比の証明だ。
△ABCの辺 AB、AC上の点をそれぞれ点をP・Qとするとき、
PQ // BCならば、
AP : PB = AQ : QC
を証明していけばいいんだね。
まず、補助線を引くぞ。
点Ｐを通り辺ＡＣに平行な直線ＰＲを引いてみるよ。
以下、証明な↓↓
△ＡＰＱと△ＰＢＲについて、
ＰＱ∥ＢＣなので、
∠ＡＰＱ＝∠ＰＢＲ（平行線の同位角は等しい）①
ＰＲ∥ＡＣなので、
∠ＡＰＱ＝∠ＰＢＲ（平行線の同位角は等しい）②
２つの三角形の２組の角がそれぞれ等しいので
△ＡＰＱ ∽ △ＰＢＲ
よって、ＡＰ：ＰＢ ＝ ＡＱ：ＰＲ・・・ ③
また，ＰＱ∥ＢＣ，ＰＲ∥ＡＣなので、
四角形ＰＲＣＱは平行四辺形で、
ＰＲ ＝ ＱC・・・④ （平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しい）
③と④より、
ＡＰ：ＰＢ ＝ ＡＱ：ＰＲ ＝ ＡＱ：ＱＣ
やった！
平行線と線分の比の証明もできるようになったね。
まとめ：平行線と線分の比の証明は2種類抑えておこう
平行線と線分の比の証明はどうだったかな？
定理①はすぐ思い浮かぶけど、定理②は忘れちゃいがち。
2つの定理に共通してるのは、
同位角をつかって三角形の相似を証明する
ってこと。
しっかり覚えてくれよ。ケーキだよ。ケーキ。
今回はここまでね。
じゃ、お茶にしよう。
Dr.リード
