【中3数学】中点連結定理の証明がわかる3ステップ

中点連結定理の証明ってどうやるの??

どーも、ぺーたーだよ。

 

図形と相似の単元で、

中点連結定理

を勉強していくよね。

えっ、忘れたって!?

 

中点連結定理を簡単にいってやると、

三角形の2辺の中点を通る線が、

 

中点連結定理 証明

 

底辺に平行で、

 

中点連結定理 証明

 

 

なおかつ、

底辺の半分になってるよー

 

中点連結定理 証明

 

っていう定理なんだ。

 

けっこう便利なんだけど、

なんでそうなるの?

って思ったことはないかな?

 

思ったことがなくても、

中点連結定理を使えれば大丈夫なんだけどねw

ってことで、今日は、

なんで中点連結定理が使えるか??

を証明していくよ!

 

 

中点連結定理の証明がわかる3ステップ

さっそく中点連結定理を証明していくよ。

3ステップで証明できちゃうんだ。

  1. 相似の証明
  2. 相似比を求める
  3. 平行の証明

 

中点連結定理を証明するために、

つぎの、

△ADEと△ABC

を思い浮かべてみて。

 

中点連結定理 証明

 

DとEはそれぞれ、ABとACの中点ね。

中点連結定理の証明のゴールは、

  • DE = 1/2 BC
  • DE//BC

を証明することだよ。

 

中点連結定理 証明

 

さっそく証明していこう!

 

 

Step1. 相似の証明

まずは△ADEと△ABCの相似の証明だ。

 

D・Eはそれぞれの中点だから、

  • AD=DB
  • AE = EC

だよね??

 

中点連結定理 証明

 

ってことは、比であらわすと、

  • AD:DB=1:1
  • AE:EC=1:1

になるはずなんだ。

 

中点連結定理 証明

 

ADとDBの比を合わせると、

AD:AB=1:2…①

 

ACの比も同じ考え方でAEとECの比を合わせると、

AE:AC=1:2…②

になるね。

 

中点連結定理 証明

 

んで、

△ADEと△ABCは角Aを共有してるよね??

ってことで、

角DAE = 角BAC (共通)…③

だ。

 

中点連結定理 証明

 

 

①、②、③より、三角形の相似条件の、

2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいが使えるから、

△ADE∽△ABC

になるね。

 

中点連結定理 証明

 

 

これで相似の証明はできた!

 

 

Step2. 相似比を求める

三角形の相似比を求めてみよう。

 

①のAD:AB=1:2より、

△ADEと△ABCの相似比は1:2になるよ。

なぜなら、

ADとABは対応してる辺どうしだからね。

 

中点連結定理 証明

 

つまり、

△ADEと△ABCの対応する辺の比は全て、

1:2になるはずなんだ。

 

ってことは、残りの対応する辺の、

DEとBCの相似比も1:2になるね。

DE:BC=1:2

 

中点連結定理 証明

 

こいつを別の言い方をすると、

DE=1/2BC

ともできるよね。

 

中点連結定理 証明

 

これでDEがBCの半分になるってことはわかったね!

 

 

Step3. 平行の証明

あとは、

DEとBCが平行であること

を証明していこう。

これで中点連結定理の証明が完了するね。

 

平行の証明には、

同位角が等しいこと

をつかっていくよ。

 

△ADE∽△ABCだから、相似の図形の性質をつかうと、

対応する角はすべて等しいはずだね。

ってことは、

角ADE = 角ABC

がいえちゃうんだ。

 

中点連結定理 証明

 

こいつらは、どうみても同位角

同位角が等しいから、

同位角をつくってるDEとBCは平行

ってことがいえるんだ。

 

ってことで、

DE // BC

になるよ。

 

中点連結定理 証明

 

ここまでの3つのステップから、

DE//BC

DE=1/2BC

であることが言えるんだ。

 

中点連結定理 証明

 

おめでとう!

中点連結定理を証明できたね!!

 

 

まとめ:中点連結定理の証明はステップ踏めばOK

ここまでで、中点連結定理は証明できたね??

 

べつに証明はできなくてもいいけど、

なぜ、中点連結定理がつかえるのか??

ということは、ふんわりでもいいから頭の片隅においておいてね。

 

じゃ、またね!

ぺーたー